가환군과 체
Abelian group과 field의 정의, 예시
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- Math / Algebraic Topology 10
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Math / Linear Algebra
벡터공간
벡터공간의 정의, 간단한 성질과 예시들
부분공간
벡터공간의 부분공간과 벡터들의 일차결합
벡터공간의 기저
벡터공간의 기저, 일차결합
벡터공간의 차원
벡터공간의 기저와 차원
선형사상
선형사상의 정의와 예시
동형사상
서로 동등한 벡터공간들
행렬
행렬의 정의와 연산
선형사상들의 공간
Hom과 쌍대공간
선형대수학의 기본정리
선형대수학의 기본정리
가우스 소거법
가우스 소거법과 역행렬
행렬식
행렬식의 정의와 기하학적 의미
행렬식의 존재성과 유일성
행렬식의 존재성, 유일성 증명, 계산방법
특성다항식
행렬의 특성다항식
고유공간분해
벡터공간의 고유공간분해
조르당 표준형
일반화된 고유공간 분해를 통한 Jordan 표준형의 구성
쌍대공간
쌍대공간, 쌍대사상, 그리고 직교여공간
쌍선형형식
쌍선형형식과 쌍대공간
내적공간
실수집합 위에서 정의된 내적의 성질
최소제곱법 (작성중)
정사영과 최소제곱법
Math / Set Theory
ZFC 공리계
집합론의 공리들
순서쌍
집합의 포함관계와 순서쌍의 정의
이항관계
이항관계의 정의
이항관계들 사이의 연산
이항관계의 역과 합성
함수
함수의 기본 정의
함수들 사이의 연산
함수의 역과 합성, 전사함수와 단사함수
Retraction과 section
전사함수와 단사함수의 성질들
합집합과 교집합
집합들 간의 합집합과 교집합
집합의 합
집합들 사이의 합 (분리합집합)
집합의 곱
집합들 사이의 곱
곱집합의 성질
부분곱, 결합법칙과 결합법칙
동치관계
동치관계의 정의와 성질들
동치관계의 예시들
동치관계의 예시들, 동치관계의 포화, isomorphism theorem들
순서관계의 정의
순서관계의 정의와 성질들
단조함수
순서집합의 연산과 단조함수
순서집합의 원소들
순서집합의 최대, 최소, 극대, 극소 원소들
유향집합
유향집합과 lattice
필터와 아이디얼, 갈루아 대응
Filter와 ideal
서수와 정렬집합
정렬집합의 정의, 서수의 motivation
정렬집합의 성질들
Ordinal의 정의와 정렬집합의 성질들
선택공리
선택공리와 그 동치들
서수들 사이의 순서관계
서수들의 순서관계와 기수의 엄밀한 정의
기수
Cardinal number의 정의
기수들 사이의 연산
Cardinal number의 연산
자연수와 무한집합
자연수의 정의와 무한집합의 성질들
극한
Inverse limit과 direct limit
Math / Category Theory
범주
카테고리의 정의와 기본개념들
함자
함자의 정의와 예시들
자연변환
Natural transformation과 category들 사이의 equivalence
표현가능한 함자
Initial object, terminal object, representable functor
극한
극한과 여극한
모노이드 범주
Monoidal category의 정의와 coherence 조건
모노이드 대상
Monoidal category 내부의 monoid object와 그 예시들
수반함자
Left, right adjoint functor의 정의
아벨 카테고리
아벨 카테고리
Math / Algebraic Structures
대수적 구조
집합 위에 정의된 이항연산
반군, 모노이드, 군
반군, 모노이드, 군의 정의
Grothendieck 군
Grothendieck group과 정수의 정의
군 준동형사상
군 준동형사상의 정의와 성질들, 군 준동형사상의 핵과 상
몫군
정규부분군과 몫군
군 동형사상
동형사상 정리들
군의 직접곱
Direct product of groups
제한합
Group들의 restricted sum
자유곱
Free product와 universal property
가환군
Free abelian group, tensor product
군의 작용
Group action
환의 정의
환의 정의와 기본성질들
몫환, 환 동형사상
Quotient ring과 ring isomorphism theorems
환의 곱, 쌍대곱, 텐서곱
환의 product, coproduct, tensor product의 정의
분수체
Localization, ring of fraction, prime ideal
등급환
Monoid로 index된 graded ring의 정의와 기본 성질
가군
Module의 정의
가군의 직접곱과 직합, 텐서곱
Module category의 product, coproduct, tensor product
스칼라의 변환
Ring homomorphism을 통한 restriction과 extension of scalars
등급가군
Graded ring 위에 정의되는 graded module의 정의
대수
가환환 위 algebra의 정의와 결합/단위/가환 등 다양한 종류
대수의 직접곱, 직합, 텐서곱
Algebra의 product, direct sum, tensor product 구조
Math / Group Theory
대칭군
Symmetric group의 cycle 분해와 sign, alternating group
군의 확장
Short exact sequence로서의 group extension과 semidirect product
군의 열
Commutator와 normal/composition/derived series, solvability
실로우 정리
유한군의 p-부분군과 Sylow의 세 정리
Math / Ring Theory
정역
Euclidean domain, PID, UFD의 정의와 포함관계
중국인의 나머지정리
Ideal의 곱과 comaximal ideal에 대한 중국인의 나머지정리
다항식환
가환환 위 polynomial ring의 인수분해와 Gauss lemma
Math / Multilinear Algebra
완전열
Module의 exact sequence와 short/long exact sequence
사영가군, 단사가군, 평탄가군
Projective, injective, flat module의 정의와 동치조건
기저
Free module의 정의와 기저, universal property
쌍대공간
Module의 Hom과 dual module, bidual map
Hom과 텐서곱
Hom functor와 tensor product의 adjunction과 exactness
행렬
일반적 환 위 free module의 행렬 정의와 곱셈
행렬과 선형사상
Free module 사이의 linear map의 행렬표현과 좌표계
기저변환
정사각행렬과 가역행렬, 기저변환에 의한 행렬의 변환
행렬의 텐서곱
Tensor product에 대응하는 Kronecker product 행렬연산
텐서대수
텐서대수, 대칭대수, 외대수
행렬식
Free module 자기사상의 determinant와 기본 성질
노름과 대각합
Algebra의 원소가 정의하는 norm과 trace
미분
Differential module
미분가군
Graded algebra 위 derivation을 갖는 differential module
대칭텐서
Symmetric group의 작용과 symmetric tensor, symmetric power
Math / Field Theory
체
Field의 정의와 prime field, characteristic
대수적 확장
체의 algebraic extension의 정의와 degree
대수적 폐포
Algebraically closed field와 algebraic closure의 존재성
제곱근확대체
Radical extension의 정의와 Galois theory에서의 역할
에탈대수
Field 위 étale algebra의 정의와 diagonalizable 특성화
분리가능확대체
Étale algebra를 통한 separable extension의 특성화
분리가능차수
Separable degree와 inseparable degree의 분해
갈루아 확장
Normal과 separable을 모두 만족하는 Galois extension의 정의
갈루아 군의 성질들
Krull 위상을 갖는 무한 Galois group의 구조
갈루아 이론의 기본정리
Subgroup과 intermediate field 사이의 Galois correspondence
Math / Homological Algebra
Diagram chasing
Five lemma, snake lemma
호몰로지
기본정의
긴 완전열
긴 완전열
분해
Abelian category에서의 projective와 injective resolution
유도함자
δ-functor를 통한 right/left derived functor의 정의
Ext와 Tor
Hom과 tensor의 derived functor인 Ext, Tor의 정의와 성질
스펙트럼 열
Filtered complex의 cohomology를 page 단위로 근사하는 spectral sequence
유도카테고리
Chain complex와 quasi-isomorphism을 통한 derived category 구성
Math / Commutative Algebra
기본 개념들
가환대수에서 사용하는 ring, algebra의 기본 약속과 정의
국소화
환과 가군의 localization과 local ring 구성
국소화의 성질들
Localization과 Hom, tensor의 호환성 및 local 성질
등급환의 국소화
Graded ring과 graded module의 homogeneous localization
조르단-횔더 정리
Composition series의 유일성과 length의 well-definedness
동반소아이디얼
Prime avoidance와 associated prime의 정의 및 성질
으뜸분해
Noetherian ring 위 가군의 primary decomposition과 유일성
정수적 확장
Cayley-Hamilton 정리와 integral element, integral extension
정수적 확장과 아이디얼
Integral extension 하 prime ideal의 lying over와 going up 정리
영점정리
Jacobson ring과 Hilbert Nullstellensatz의 증명
부풀림 대수
Ideal로부터 만드는 Rees algebra와 associated graded ring
평탄성
Flat module의 정의, Tor를 통한 특성화와 기본 성질
평탄성과 국소화
Maximal ideal에서의 점검을 통한 flatness의 local criterion
완비화
Filtration으로 정의되는 ring과 module의 completion
완비화의 성질들
Completion과 exact sequence의 호환성, Artin-Rees lemma
차원
Prime chain으로 정의되는 Krull dimension과 기본 성질
매개계
Local ring의 system of parameters와 차원과의 관계
정칙국소환
Regular system of parameters와 regular local ring의 특성화
분수아이디얼
Fractional ideal과 invertible module, Picard group
인자
Dedekind 정역에서의 Cartier divisor와 class group
뇌터 정규화
유한생성 algebra의 Noether normalization 정리와 응용
미분
Kähler differential module의 대수적 정의와 universal property
Math / Representation Theory
맨 위로 이동 ↑Math / Topology
열린집합
위상공간, 열린집합
위상공간의 기저
위상공간의 기저와 부분기저, 국소기저
집합의 내부, 폐포, 경계
위상수학의 기본 개념들
위상공간의 다른 정의들
닫힌집합, 폐포, neighborhood filter를 이용한 위상의 정의
연속함수
연속함수의 성질들
Initial topology와 final topology
Initial/final topology와 그 예시들
부분공간
부분공간의 성질들
준층
Gluing lemma와 presheaf의 정의
층
위상공간 위에 정의된 층
몫공간
부분공간의 성질들
곱공간
곱공간의 성질들
열린사상과 닫힌사상
Open map과 closed map의 정의 및 quotient map과의 관계
하우스도르프 공간
점열의 수렴과 Hausdorff 공리
옹골공간
Open cover의 finite subcover로 정의되는 compact space
옹골성과 필터의 수렴
Filter의 수렴을 통한 compactness의 특성화
옹골성
Tychonoff 정리와 local compactness, paracompactness
고유함수
Universally closed map으로서의 proper map과 compactness와의 관계
연결공간
Connected space와 path-connected, connected component
차원
Covering dimension과 대수기하용 Krull dimension의 정의
Math / Algebraic Topology
위상다양체
Locally Euclidean 공간으로서의 topological manifold 정의와 성질
호몰로지
Simplex의 정의와 성질들
호모토피
위상적 불변량과 fundamental group을 통한 공간의 분류
피복공간
Simply connected의 동치조건과 covering space, Seifert-van Kampen 정리
호몰로지의 계산
Relative homology와 Mayer-Vietoris를 통한 호몰로지의 실제 계산
코호몰로지
코호몰로지의 정의와 universal coefficient theorem
Acyclic models theorem
Category with models 위에서의 acyclic models 정리와 응용
합곱
코호몰로지의 외적과 cup product의 정의, 그리고 ring 구조
푸앵카레 쌍대성
방향층과 fundamental class를 통한 호몰로지와 코호몰로지의 쌍대성
특성류
Fiber bundle의 특성류 정의와 분류공간을 통한 해석
Math / Manifold
미분다양체
Smooth manifold의 정의
미분다양체의 예시들
미분다양체의 다양한 예시들
접공간
접벡터와 접공간
여접공간
접벡터와 접공간
미분사상
두 접공간 사이의 미분사상
미분사상의 예시들
매끈한 함수와 미분사상의 예시들
부분다양체와 역함수 정리
미분다양체의 부분구조
부분다양체의 유일성
Immersed submanifold의 위상구조와 매끄러운 함수의 인수분해
음함수 정리
미분다양체에서의 음함수 정리와 그 결과들
접다발과 여접다발
Vector bundle의 정의와 tangent, cotangent bundle
벡터장
Vector fields
미분형식
Differential form
Distribution
Distribution의 정의와 Frobenius theorem
리 미분
리 미분과 리 브라켓
미분 아이디얼
Differential ideal과 Frobenius theorem
향
Manifold 위의 orientation
적분
Manifold 위에서의 적분
Math / Lie Theory
리 군
Lie group의 정의와 성질
원환면의 작용
Torus의 작용과 weight space decomposition
근계
Adjoint representation의 weight decomposition으로 얻는 root system
Borel subgroup과 flag variety
Dynkin diagram, ADE 분류, 그리고 flag variety
Bruhat decomposition과 parabolic subgroup
Bruhat decomposition을 중심으로 한 homogeneous space의 cell decomposition, parabolic subgroup, 그리고 Grassmannian에서의 Schubert variety
Richardson Variety
Schubert variety와 opposite Schubert variety의 교집합으로 정의되는 Richardson variety, 그리고 Marsh-Rietsch mirror B-model에서의 역할
Math / Riemannian Geometry
리만 계량
Tangent bundle 위의 양의 정부호 symmetric 2-텐서로서의 Riemannian metric
접속
Vector bundle 위에서 정의된 미분
레비-치비타 접속 (작성중)
Riemannian manifold 위에서의 connection
Math / Algebraic Varieties
아핀다양체
Affine varieties and their basic properties
사영다양체
Projective varieties and homogeneous coordinates
준사영다양체
Quasi-projective varieties and regular maps
유리사상
Rational maps and birational equivalence
차원
Dimension of algebraic varieties
접공간과 매끄러움
Tangent spaces and smoothness of algebraic varieties
그라스만 다양체
Grassmannians as parameter spaces of linear subspaces
인자
Weil divisors, Cartier divisors, and divisor class groups
선다발과 벡터다발
Line bundles, invertible sheaves, and the Picard group
선형계
Complete linear systems, base loci, and ampleness
표준선다발
Canonical bundle and canonical divisor
층 코호몰로지
Sheaf cohomology and its applications
사영공간의 코호몰로지
Bott’s formula and the cohomology of line bundles on projective space
세르 쌍대성
Serre duality theorem and its applications
곡선에서의 리만-로흐 정리
The Riemann–Roch theorem for curves
곡면에서의 리만-로흐 정리
Intersection theory on surfaces and its applications
고다이라 소멸정리
Kodaira vanishing theorem과 그 응용
저우 군
Chow groups and the cycle class map
교차곱
The intersection product on Chow groups
Math / Scheme Theory
스펙트럼
가환환의 prime spectrum과 Zariski topology
아핀스킴
Ring의 spectrum 위 structure sheaf로 정의되는 affine scheme
스킴
Locally affine한 locally ringed space로서의 scheme 정의
스킴의 위상구조
Generic point와 Zariski topology, irreducible component
스킴의 대수구조
Reduced scheme과 integral scheme의 정의와 성질
스킴 사이의 사상
Locally ringed space morphism으로서의 scheme morphism의 네 관점
스킴 사상의 성질들
Affine, finite, finite type 등 scheme morphism의 기본 성질
값매김환
Valuative criteria for separated, properness
평탄사상
Flat morphisms in algebraic geometry
올곱
Category of S-schemes에서의 fiber product 정의와 존재성
닫힌 부분스킴
Ideal sheaf로부터 정의되는 closed subscheme과 vanishing scheme
사영스킴
Graded ring으로부터의 Proj 구성과 projective scheme
사영공간의 닫힌 부분스킴
Projective space의 closed subscheme과 homogeneous ideal의 대응
완전교차
Vanishing scheme의 codimension과 complete intersection
차원
Scheme의 dimension 정의와 local ring의 Krull dimension과의 관계
대수적 군
Algebraic group action
Math / Toric Geometry
아핀 토릭 다양체
Strongly convex rational polyhedral cone으로부터 아핀 토릭 다양체의 구성
토릭 다양체의 정의
Fan으로부터 아핀 토릭 다양체들을 이어붙여 얻는 일반적 토릭 다양체
토러스 인자와 선다발
Fan의 ray로부터 얻어지는 torus-invariant divisor와 line bundle
파노 다양체
Reflexive polytope과 그에 대응하는 Gorenstein Fano 토릭 다양체
Math / Symplectic Geometry
맨 위로 이동 ↑Math / Mirror Symmetry
Mirror Symmetry 개요
A-model과 B-model의 대응, 그리고 Hori-Vafa mirror construction을 중심으로 한 mirror symmetry의 직관적 소개
Misc / Blog Development
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