집합의 합

Covering

정의 1 Family $(A_i)_{i\in I}$가 집합 $A$의 covering_덮개이라는 것은 $A=\bigcup_{i\in I} A_i$임을 뜻한다. $A$의 두 covering $(A_i)_{i\in I}$와 $(A’_j)_{j\in J}$에 대하여, $(A’_j)_{j\in J}$가 $(A_i)_{i\in I}$보다 finer_섬세하다는 것은 임의의 $j\in J$에 대하여, $A’_j\subseteq A_i$를 만족하는 $i\in I$가 존재하는 것이다.

집합 $A$의 covering $(A_i)_{i\in I}$이 주어졌다 하자. 그럼 임의의 함수 $f:B \rightarrow A$에 대하여, $B$의 부분집합들의 family $(f^{-1}(A_i))_{i\in I}$는 $B$의 covering이 된다. 이를 $(A_i)$의 $f$에 의한 preimage라 부른다. 임의의 함수 $g:A\rightarrow C$에 대하여는 $C$의 부분집합들의 family $(g(A_i))_{i\in I}$가 $C$의 covering이 될 필요는 없지만, 만일 $g$가 전사함수라면 이들이 $C$를 덮는다. 이를 전사함수 $g$에 의한 $(A_i)$의 image라 부른다.

명제 2 집합 $A$와 그 covering $(A_i)_{i\in I}$를 생각하고, 임의의 집합 $B$를 택하자.

1. 함수 $f,g:A\rightarrow B$가 임의의 $i\in I$가 주어질 때마다 $f|_{A_i}=g|_{A_i}$를 만족한다 하자. 그럼 $f=g$이다.

2. 함수들의 family $(f_i:A_i\rightarrow B)_{i\in I}$가 다음의 조건

   \[f_i|_{A_i\cap A_j}=f_j|_{A_i\cap A_j}\]

   를 만족한다면, 모든 $f_i$를 확장하는 함수 $f:A\rightarrow B$가 존재한다.

증명

우선 첫 번째 주장을 보이기 위해 임의의 $x\in A$가 주어졌다고 하자. $(A_i)_{i\in I}$가 $A$를 덮으므로, 어떤 $i\in I$가 존재하여 $x\in A_i$이다. 이제

\[f(x)=(f|_{A_i})(x)=(g|_{A_i})(x)=g(x)\]

이므로 첫 번째 주장이 성립한다.

두 번째 주장의 경우, 주어진 함수들 $f_i=(F_i,A_i,B)$를 사용하여 $F=\bigcup F_i$를 만들고, 새로운 triple $f=(F,A,B)$를 생각하자. 그럼 $\pr_1F=A$임이 자명하며, 따라서 $f$가 함수임을 보이기 위해서는 임의의 $x\in A$에 대하여 $(x,y)\in F$가 참이도록 하는 $y$가 유일함을 보이면 충분하다.

$y,y’\in B$가 $(x,y)\in F$, $(x,y’)\in F$를 만족한다 하자. 그럼 $(x,y)\in F_i$, $(x,y’)\in F_j$이도록 하는 $i,j$가 각각 존재한다. 이제

\[y=(f_i)(x)=(f_i|_{A_i\cap A_j})(x)=(f_j|_{A_i\cap A_j})(x)=(f_j)(x)=y'\]

이므로 둘째 주장 또한 성립한다.

위의 명제의 2번을 만족하는 함수 $f$는 첫째 주장에 의하여 유일하다는 것이 자명하다. 또, 특별히 $A_i\cap A_j$가 모든 $i,j$에 대하여 성립한다면 둘째 주장의 전제조건이 항상 만족된다. 이를 다음과 같이 정의한다.

정의 3 집합 $A$와 $B$가 서로소_disjoint라는 것은 $A\cap B=\emptyset$인 것이다. 더 일반적으로, $(A_i)_{i\in I}$가 쌍마다 서로소_{pairwise disjoint}라는 것은 임의의 $i, j\in I$에 대하여 $i\neq j$라면 $A_i\cap A_j=\emptyset$인 것이다.

정의 4 집합 $A$의 분할_partition은 $A$의 쌍마다 서로소인 covering을 뜻한다.

일반적으로 이 family의 구성원 중 $\emptyset$은 어떠한 역할도 하지 않으므로, 분할이라고 하면 모든 구성원이 공집합이 아님을 전제로 한다.

집합의 합

명제 5 $(A_i)_{i\in I}$가 어떤 집합들의 family라 하자. 그럼 어떠한 집합 $S$가 존재하여,

• $S$는 쌍마다 서로소인 family $(S_i)_{i\in I}$들의 합집합이며,
• 모든 $i\in I$에 대하여 $A_i$에서 $S_i$로의 전단사함수가 존재한다.

증명

$S_i$를 $x\in A_i$를 만족하는 $(x, i)$들로 이루어진 집합이라 하자. 그럼 $(S_i)_{i\in I}$는 쌍마다 서로소이다. 또, 각각의 $i$에 대하여 $x\mapsto (x,i)$는 $A_i$에서 $S_i$로의 전단사함수가 된다. 따라서 $S=\bigcup_{i\in I} S_i$가 주어진 조건을 만족한다.

정의 6 위의 조건을 만족하는 $S$를 family $(A_i)_{i\in I}$들의 합_sum이라 하며, $\sum_{i\in I} A_i$로 적는다.

이 집합을 종종 분리합집합_{disjoint union}이라 부르고, $\bigsqcup_{i\in I} A_i$으로 적기도 한다. 다음 명제를 보면 이 이름도 꽤나 그럴싸해 보인다.

명제 7 쌍마다 서로소인 family $(A_i)_{i\in I}$를 생각하자. 이들의 합집합을 $A$, 합을 $S$라 하면 $A$와 $S$ 간의 전단사함수가 존재한다.

증명

$f_i:A_i\rightarrow S_i$가 명제 5의 조건을 만족하는 전단사함수라면, 명제 2를 통해 $(f_i)_{i\in I}$를 $\bigcup_{i\in I} A_i=A$로 확장하면 된다.

이를 집합의 합이라고 부르는 것에 대한 직관은 나중에 나온다. (§Cardinal, ⁋정의 6)

Universal property

정의 6에서 우리가 언급하지 않은 사실이 있다. 집합들의 family $(A_i)$들의 합 $X$는 유일하지 않다는 것이다. 명제 5의 조건을 만족하는 집합은 무수히 많다. 예를 들어 해당 명제의 증명에서는 $S$를 $(x,i)$들의 집합으로 두었는데, $(i,x)$들의 집합으로 두어도 합의 정의를 만족한다는 것을 알 수 있다. 때문에 엄밀히 말하자면 $A_i$들의 합을 $\sum A_i$로 적는 것은 잘 정의된 표현이 아니다.

우선 다음과 같이 합의 universal property_보편성질를 살펴보자.

정리 8 (Universal property of sum) 집합들의 family $(A_i)$와 명제 5에서 정의한 집합 $S$, 그리고 단사함수들 $\iota_i:A_i\rightarrow S$가 주어졌다 하자. 그럼, 또 다른 어떤 집합 $B$와, $f_i:A_i\rightarrow B$들이 주어질 때마다, 이에 해당하는 유일한 $f:S\rightarrow B$가 존재하여 $f_i=f\circ\iota_i$가 성립한다.

증명

우선, 이러한 함수 $f$가 (존재한다면) 유일하다는 것을 보이자. 이를 위해서는 임의의 $x\in S$에 대하여, 그 함숫값 $f(x)$가 항상 유일하게 결정된다는 것을 보이면 충분하다. $S$는 쌍마다 서로소인 family $(S_i)$들의 합집합이므로, $x\in S_i$이도록 하는 유일한 $i\in I$가 존재한다. 그럼 $\iota_i:A_i\rightarrow S_i$가 전단사함수이므로, 또 다시 $A_i$의 유일한 원소 $x_i$가 존재하여 $\iota_i(x_i)=x$이도록 할 수 있다. 이제,

\[f(x)=f(\iota_i(x_i))=(f\circ\iota_i)(x_i)=f_i(x_i)\]

이므로, $x$에서의 함숫값 $f(x)$는 반드시 $f_i(x_i)$와 같아야 하고 따라서 $f$는 유일하게 결정된다.

이제 유일성 증명에서 힌트를 얻어, 함수 $f$의 존재성을 보이자. $f(x)$를 위의 식과 같이 $f_i(x_i)$로 정의하고, $f$가 실제로 함수가 된다는 것을 증명하면 된다. 예를 들어, 이렇게 정의하면 $f$는 모든 $S$의 원소에 대해 정의가 될 것이며, 또 하나의 $x$는 위에서 이야기한 것과 같이 오직 하나의 함숫값만을 지정한다.

많은 경우에 명제 5의 증명에 등장한 집합 $S$를 $A_i$들의 합이라 정의하지만, 사실 이는 주객이 전도된 정의다. 우리가 많은 분야들에서 $S$를 $A_i$들의 합으로 생각하는 이유는 표기법 상의 편리함 때문이지, $S$라는 집합 자체가 특별한 의미를 가져서가 아니다. 합의 성질은 집합 $S$에서 나오는 것이 아니라, 위의 universal property에서 나온다.

따라서 애초에 다음과 같이 정의를 해 버릴 수도 있다.

정의 6$’$ 주어진 집합들의 family $(A_i)$의 합은 다음과 같은 조건

임의의 집합 $B$와 $f_i:A_i\rightarrow B$가 주어질 때마다, 유일한 함수 $f:\sum A_i\rightarrow B$가 존재하여 $f_i=f\circ\iota_i$가 성립한다.

을 만족하는 집합 $\sum A_i$와 $\iota_i:A_i\rightarrow \sum A_i$들의 모임이다.

물론 이를 정의로 쓰기 위해서는 universal property를 만족하는 대상이 적어도 하나 존재한다는 것은 보여줘야 한다. 그리고 정리 8이 정확히 그런 역할을 해 준다.

우리는 앞서 $\sum A_i$라는 집합이 엄밀한 의미에서는 잘 정의되지 않는다는 것을 언급했다. 하지만 이러한 집합 자체는 잘 정의되지 않더라도, 이러한 집합들이 여럿 주어진다면 이들 사이의 전단사함수가 존재한다. 이런 상황을 전단사함수에 대하여 유일하다_{unique up to bijection}고 말한다. 정의 6$’$으로부터 집합의 합은 전단사함수에 대하여 유일하다는 것을 보일 수 있다.

따름정리 9 집합들의 family $(A_i)$에 대하여, $\sum A_i$는 전단사함수에 대하여 유일하다.

증명

두 개의 합 $S$, $S’$가 주어졌다 하고, $A_i$에서 $S$, $S’$로의 단사함수들을 각각 $\iota_i$, $\iota_i’$라 하자. 우선, 함수 $\iota_i’:A_i\rightarrow Y$에 대하여, $S$의 universal property를 적용하면 유일한 $\phi’:S\rightarrow S’$가 존재하여 $\iota_i’=\phi’\circ\iota_i$이도록 할 수 있다. 이와 비슷하게, 함수 $\iota_i$들에 $S’$의 universal property를 적용하면, 또 다시 유일한 $\phi:S’\rightarrow S$가 존재하여 $\iota_i=\phi\circ\iota_i’$이도록 할 수 있다. 그럼

\[\iota_i'=\phi'\circ\iota_i=\phi'\circ(\phi\circ\iota_i')=(\phi'\circ\phi)\circ\iota_i'\]

이다. 한편, 함수들 $\iota_i’:A_i\rightarrow S’$에 이번에는 $S’$의 universal property를 적용하자. 그럼 어떤 유일한 함수 $\psi:S’\rightarrow S’$가 존재하여 $\iota_i’=\psi\circ\iota_i’$를 만족한다. 이는 당연히 $\psi=\id_{S’}$에 의해 만족되는 식이므로, 유일성에 의해 이 식을 만족하는 모든 함수 $\psi$들은 $\id_{S’}$와 같다. 따라서 $\phi’\circ\phi=\id_{S’}$이고, $\id_{S’}$는 전단사이므로 $\phi’$는 전사함수, $\phi$는 단사함수이다. (§Retraction과 section, ⁋명제 3)

마찬가지로, $\phi\circ\phi’=\id_S$임을 보일 수 있고, 이로 인해 $\phi$는 전사함수, $\phi’$는 단사함수다. 즉, 이들은 각각 전단사함수가 되므로 $S$와 $S’$ 사이의 전단사함수가 존재한다.

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참고문헌

[Bou] N. Bourbaki, Theory of Sets. Elements of mathematics. Springer Berlin-Heidelberg, 2013.

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