§Mirror Symmetry 개요에서 우리는 Grassmannian에 대한 mirror symmetry를 다루기 위해 Marsh-Rietsch의 construction을 예고하였다. 그 construction은 Grassmannian의 풍부한 combinatorial 및 Lie-theoretic 구조에 깊이 의존하며, 이 구조의 출발점은 바로 Bruhat decomposition이다. 본 글에서는 Lie theory 시리즈의 일환으로, reductive algebraic group \(G\)의 Bruhat decomposition
\[G=\bigsqcup_{w\in W}BwB\]을 정확히 이해한 뒤, 이를 parabolic subgroup \(P\supseteq B\)로 확장하여 partial flag variety \(G/P\)의 cell decomposition을 얻는 과정을 살펴 본다. 특히 Grassmannian \(Gr_{n-k}(\mathbb{C}^n)\)을 \(GL_n/P_k\)로 실현하는 구체적인 대응과, 이 위에서 정의되는 Schubert cell 및 Schubert variety를 소개한다.
Reductive group과 Weyl group
우리는 이 글에서 기본적으로 algebraically closed field 위에서 정의된 connected reductive algebraic group \(G\)를 다룬다. [리 이론] §리 군에서 Lie group의 개념을, [리 이론] §근계에서 그 Lie algebra의 구조를 살펴 보았으며, [리 이론] §Borel subgroup과 flag variety에서는 이로부터 자연스럽게 얻어지는 Borel subgroup과 flag variety를 소개하였다. 이 절에서는 이들 개념을 algebraic group의 맥락에서 간략히 복습한다.
정의 1 Algebraic group \(G\)가 reductive라는 것은 \(G\)의 unipotent radical이 trivial한 것이다. 즉, \(G\)는 torus와 semisimple group의 extension으로 주어진다.
Reductive group \(G\)를 고정하고, \(G\)의 Borel subgroup \(B\)와 \(B\)에 포함된 maximal torus \(T\)를 고정하자. Borel subgroup은 \(G\)의 maximal connected solvable subgroup이며, 모든 Borel subgroup은 서로 conjugate하다. Maximal torus \(T\)는 \(B\)의 maximal connected diagonalizable subgroup으로, 마찬가지로 모든 maximal torus는 conjugate하다.
정의 2 Maximal torus \(T\)의 normalizer를 \(N_G(T)\)라 할 때, Weyl group \(W\)는 다음의 quotient group으로 정의된다.
\[W=N_G(T)/T\]Weyl group \(W\)는 \(T\)의 conjugation action에 의해 자연스럽게 \(T\)의 character lattice 위에 작용하며, [리 이론] §근계, ⁋명제 20에서 확인한 것과 같이 이 action은 root system \(\Phi\)의 대칭성을 포착한다. 더욱 중요한 것은 \(W\)가 Coxeter group의 구조를 지닌다는 점이다. 구체적으로, \(B\)에 의해 결정되는 positive root system \(\Phi^+\)와 simple root system \(\Delta=\{\alpha_1,\ldots,\alpha_r\}\)를 고정하면, 각 simple root \(\alpha_i\)에 대응하는 reflection \(s_i=s_{\alpha_i}\)가 생성하는 finite group이 바로 \(W\)이다.
명제 3 Weyl group \(W\)는 simple reflection들 \(S=\{s_1,\ldots,s_r\}\)에 의해 생성되며, 다음의 관계들을 만족한다.
- \(s_i^2=e\) for all \(i\).
- \((s_is_j)^{m_{ij}}=e\) for \(i\neq j\), where \(m_{ij}\in\{2,3,4,6\}\).
따라서 \((W,S)\)는 Coxeter system을 이룬다.
증명
\(W\)가 reflection들로 생성되는 것은 [리 이론] §근계, ⁋정의 17의 정의이며, finite Coxeter group으로서의 구조는 root system의 기하학적 성질로부터 얻어진다. 구체적으로, 두 simple reflection \(s_i, s_j\)의 곱 \(s_is_j\)는 \(\alpha_i\)와 \(\alpha_j\)가 생성하는 2차원 평면 위에서 rotation을 정의하며, 그 각도는 두 root 사이의 각도에 의해 결정된다. [리 이론] §근계에서 살펴 본 것과 같이 두 simple root가 이루는 각도는 \(90^\circ, 120^\circ, 135^\circ, 150^\circ\) 중 하나이므로, \(m_{ij}\)는 각각 \(2,3,4,6\)이 된다. 이들 관계만으로 \(W\)가 완전히 결정되는 것은 Coxeter group의 일반론에 따른다.
Coxeter system \((W,S)\) 위에는 length function \(\ell:W\rightarrow\mathbb{Z}_{\geq 0}\)가 자연스럽게 정의된다. \(\ell(w)\)는 \(w\)를 simple reflection들의 곱으로 표현할 때 필요한 최소 개수이며, 이는 \(w\)의 reduced expression의 길이와 일치한다. Combinatorial하게는 \(\ell(w)=\lvert\Phi^+\cap w^{-1}\Phi^-\rvert\)로도 주어진다. 즉, \(w\)에 의해 positive root에서 negative root로 본지는 root의 개수가 \(\ell(w)\)이다.
Bruhat decomposition
Bruhat decomposition은 reductive group \(G\)를 Borel subgroup \(B\)의 double coset으로 분해하는 기본적인 정리이다. 이 분해는 flag variety \(G/B\)의 cell decomposition을 제공하며, 이후에 소개할 Schubert variety의 기초가 된다.
정리 4 (Bruhat decomposition) Connected reductive algebraic group \(G\), Borel subgroup \(B\), maximal torus \(T\subset B\), 그리고 Weyl group \(W=N_G(T)/T\)에 대하여, 다음의 분해가 성립한다.
\[G=\bigsqcup_{w\in W}BwB\]즉, \(G\)는 \(B\)의 double coset \(BwB\)들의 disjoint union으로 표현되며, 이들은 Weyl group \(W\)의 원소 \(w\)에 의해 색인화된다.
증명
우선 \(G=\bigcup_{w\in W}BwB\)임을 보이자. \(G\) 위에 \(B\times B\)가 \((b_1,b_2)\cdot g=b_1gb_2^{-1}\)로 작용한다고 생각하면, 각 \(BwB\)는 하나의 orbit이 된다. \(G\)가 irreducible variety이고 \(BwB\)들은 locally closed subset이므로, 이들의 closure 중 maximal dimension을 갖는 것이 전체 \(G\)를 덮어야 한다. BN-pair의 공리에 의하면 \(G\)는 \(B\)와 \(N=N_G(T)\)로 생성되며, \(W=N/T\)가 double coset의 complete set of representatives를 이룬다.
Disjointness를 보이기 위해 \(BwB=BvB\)라 가정하자. 그럼 \(w\in BvB\)이므로 \(w=b_1vb_2\) for some \(b_1,b_2\in B\). 이로부터 \(wBw^{-1}=b_1v(b_2Bb_2^{-1})v^{-1}b_1^{-1}=b_1vBv^{-1}b_1^{-1}\)이 된다. 특히 \(wBw^{-1}\)와 \(vBv^{-1}\)는 서로 conjugate한 Borel subgroup이다. 한편 \(w\in N_G(T)\)이므로 \(wTw^{-1}=T\)이고, 따라서 \(T\subset wBw^{-1}\cap vBv^{-1}\). 두 Borel subgroup이 서로를 normalize하고 같은 maximal torus \(T\)를 포함한다면, \(w^{-1}v\)는 \(B\)를 normalize한다. 그런데 \(B\)의 normalizer는 \(B\) 자신이므로 \(w^{-1}v\in B\). \(w^{-1}v\in N_G(T)\)이기도 하므로 \(w^{-1}v\in B\cap N_G(T)=T\). 따라서 \(w=v\) in \(W=N_G(T)/T\)이다.
Bruhat decomposition의 각 조각 \(BwB\)는 Bruhat cell이라 불리며, 그 구조는 다음과 같이 좀 더 정교하게 묘사할 수 있다. \(B\)의 unipotent radical을 \(U\)라 하고, opposite Borel subgroup \(B^-\)의 unipotent radical을 \(U^-\)라 하자. 각 \(w\in W\)에 대하여
\[U_w=U\cap wU^-w^{-1}\]으로 정의하면, \(U_w\)는 root subgroup \(U_\gamma\)들의 곱으로 주어지며, 여기서 \(\gamma\)는 \(w^{-1}\gamma\in\Phi^-\)를 만족하는 positive root들이다. 즉
\[U_w=\prod_{\gamma\in\Phi^+\,:\,w^{-1}\gamma\in\Phi^-}U_\gamma\]이며, 이는 affine space \(\mathbb{A}^{\ell(w)}\)와 isomorphism한다.
명제 5 각 \(w\in W\)에 대하여, 곱 map
\[U_w\times B\longrightarrow BwB,\qquad (u,b)\longmapsto u\dot{w}b\]은 variety의 isomorphism이며, 따라서 \(BwB\cong\mathbb{A}^{\ell(w)}\times B\)이다. 여기서 \(\dot{w}\)는 \(w\in W=N_G(T)/T\)의 \(N_G(T)\)에서의 lift이다.
증명
\(B=U\rtimes T\)이고, \(U\)는 root subgroup들의 곱으로 분해된다. \(U\)를 \(U_w\)와 \(U_w'=U\cap wUw^{-1}\)의 곱으로 분해하면, \(U=U_wU_w'\)이고 \(U_w\cap U_w'=\{e\}\). \(U_w'\)는 \(w^{-1}\)에 의해 positive root에서 positive root로 본지는 root들에 해당하므로, \(w^{-1}U_w'w\subset U\). 따라서 \(BwB=UwB=U_w(wU_w'w^{-1})wB=U_wwB\). 이제 \(u_1w b_1=u_2w b_2\)라 하면 \(w^{-1}u_2^{-1}u_1w=b_2b_1^{-1}\in B\). \(u_2^{-1}u_1\in U_w\)이므로 \(w^{-1}u_2^{-1}u_1w\in U^-\), 따라서 \(w^{-1}u_2^{-1}u_1w\in B\cap U^-=\{e\}\). 이로부터 \(u_1=u_2\)이고 \(b_1=b_2\)이므로 map이 bijective이며, 실제로 variety의 isomorphism이다. \(U_w\)는 \(\ell(w)\)개의 root subgroup의 곱이고 각 root subgroup은 \(\mathbb{G}_a\)와 isomorphic하므로 \(U_w\cong\mathbb{A}^{\ell(w)}\)이다.
Bruhat decomposition은 flag variety \(\mathcal{F}=G/B\)로 project하면 cell decomposition을 준다. 각 \(w\in W\)에 대하여
\[X_w^\circ=BwB/B\subset G/B\]은 \(\mathbb{A}^{\ell(w)}\)와 isomorphic한 locally closed subset이며, 이들의 disjoint union이 \(G/B\)를 덮는다.
예시 6 \(G=GL_n(\mathbb{C})\)인 경우를 생각하자. Borel subgroup \(B\)는 upper triangular matrix들의 모임이고, maximal torus \(T\)는 diagonal matrix들의 모임이다. Weyl group은 \(W\cong S_n\)이며, 각 \(w\in S_n\)은 permutation matrix로 대표될 수 있다. Bruhat decomposition \(GL_n=\bigsqcup_{w\in S_n}BwB\)는 classical Gauss elimination의 일반화로 이해될 수 있다. 임의의 가역행렬 \(g\)는 row와 column의 elementary transformation을 통해 permutation matrix \(w\)를 중심으로 한 ``canonical form’‘으로 변형될 수 있으며, 이 때의 \(w\)가 바로 \(g\)가 속하는 Bruhat cell을 결정한다.
Opposite Borel subgroup \(B^-\)에 대해서도 유사한 decomposition이 존재한다. 이를 Birkhoff decomposition 또는 opposite Bruhat decomposition이라 한다.
정리 7 (Birkhoff decomposition) \(B^-=w_0Bw_0\)를 \(B\)에 대응하는 opposite Borel subgroup이라 하면, 다음이 성립한다.
\[G=\bigsqcup_{w\in W}B^-wB^-\]더욱 일반적으로, \(B^+\)와 \(B^-\)를 서로 opposite인 두 Borel subgroup이라 할 때
\[G=\bigsqcup_{w\in W}B^+wB^-\]이 성립한다.
증명
\(B^-=w_0Bw_0\)이므로
\[G=w_0Gw_0=w_0\left(\bigsqcup_{w\in W}BwB\right)w_0=\bigsqcup_{w\in W}(w_0Bw_0)(w_0ww_0)(w_0Bw_0)=\bigsqcup_{w\in W}B^-(w_0ww_0)B^-\]\(w\mapsto w_0ww_0\)는 \(W\)의 automorphism이므로, 이는 \(G\)의 \(B^-\)에 의한 Bruhat decomposition을 준다.
\(B^+wB^-\) 형태의 decomposition을 보이기 위해서는, \(B^+=B\)와 \(B^-=w_0Bw_0\)를 대입하면
\[BwB^-=Bww_0Bw_0=B(ww_0)Bw_0\]이므로 \(w\in W\)를 \(ww_0\)로 재색인하면 된다. 따라서 \(G=\bigsqcup_{w\in W}BwB^-\)이 성립한다.
Parabolic subgroup과 generalized Bruhat decomposition
Bruhat decomposition은 Borel subgroup에 대한 것이지만, 이를 \(B\)를 포함하는 더 큰 subgroup, 즉 parabolic subgroup으로 확장할 수 있다. Parabolic subgroup은 flag variety를 일반화하는 partial flag variety \(G/P\)의 isotropy group으로 작용하며, Grassmannian을 비롯한 다양한 homogeneous space를 Lie-theoretic하게 실현하는 데 핵심적인 역할을 한다.
정의 8 \(G\)의 subgroup \(P\)가 parabolic subgroup이라는 것은 \(G/P\)가 projective variety가 되도록 하는 것이다. Equivalently, \(P\)는 어떤 Borel subgroup을 포함하는 connected closed subgroup이다.
\(B\)를 포함하는 standard parabolic subgroup들은 simple root system \(\Delta\)의 부분집합 \(I\subseteq\Delta\)에 의해 일대일대응된다. 구체적으로, \(I\)에 대응하는 parabolic subgroup \(P_I\)는
\[P_I=BW_IB\]으로 정의되며, 여기서 \(W_I=\langle s_i\mid\alpha_i\in I\rangle\)은 \(I\)에 속한 simple reflection들로 생성되는 \(W\)의 parabolic subgroup이다.
명제 9 \(P_I=BW_IB=\bigsqcup_{w\in W_I}BwB\)는 \(G\)의 connected closed subgroup이며, 이는 \(B\)의 Lie algebra에 \(I\)에 해당하는 simple root들의 negative root space들을 추가하여 얻어진다.
증명
\(B=U\rtimes T\)이고 \(W_I\subset W\)이므로, \(P_I\)는 \(B\)와 \(W_I\)의 대표원소들로 생성되는 subgroup이다. \(W_I\)의 각 원소 \(w\)에 대해 \(BwB\)는 locally closed subset이고, 이들의 union \(P_I\)는 closed subset이다. 실제로 \(P_I\)는 Levi decomposition \(P_I=L_I\ltimes U_I\)를 갖는다. 여기서 Levi factor \(L_I\)는 \(T\)와 \(I\)에 해당하는 root space들로 생성되며, unipotent radical \(U_I\)는 \(I\)에 속하지 않은 positive root들의 root space들로 생성된다. 따라서 \(P_I\)는 connected closed subgroup이다.
Parabolic subgroup \(P=P_I\)가 주어졌을 때, \(G/P\) 위의 Bruhat decomposition을 얻기 위해서는 Weyl group \(W\)를 parabolic subgroup \(W_I\)로 quotient해야 한다. 이 때 중요한 역할을 하는 것이 minimal length coset representative이다.
정의 10 Parabolic subgroup \(W_I\subseteq W\)에 대하여, minimal length coset representatives \(W^I\)는 다음과 같이 정의된다.
\[W^I=\{w\in W\mid\ell(ws)>\ell(w)\text{ for all simple reflections }s\in W_I\}\]Equivalently, \(W^I\)는 각 left coset \(wW_I\)에서 길이가 최소인 유일한 원소들의 모임이다.
명제 11 각 left coset \(wW_I\)는 정확히 하나의 minimal length element를 포함한다. 따라서 자연스러운 projection \(W^I\rightarrow W/W_I\)는 bijection이다.
증명
임의의 \(w\in W\)에 대하여, coset \(wW_I\) 내의 길이가 최소인 원소의 존재성은 finite group \(W_I\)의 coset \(wW_I\)가 비어있지 않으므로, 길이가 최소인 원소가 반드시 존재함을 알 수 있다. 유일성을 보이기 위해 \(u,v\in wW_I\)가 둘 다 minimal length를 갖는다고 하자. 그럼 \(u=vw'\) for some \(w'\in W_I\). \(u\)와 \(v\)가 모두 minimal length이므로 \(\ell(u)=\ell(v)\leq\ell(vs)\) for all simple reflection \(s\in W_I\). 한편 \(\ell(u)=\ell(vw')\)이고, \(w'\in W_I\)는 simple reflection들의 곱으로 표현된다. Coxeter group에서 \(\ell(vw')=\ell(v)+\ell(w')-2\cdot(\text{cancellation})\)이므로, \(\ell(u)=\ell(v)\)이려면 \(\ell(w')=0\), 즉 \(w'=e\)이어야 한다. 따라서 \(u=v\)이다.
Minimal length coset representatives를 사용하면, \(G/P_I\) 위의 cell decomposition을 얻는다.
정리 12 (Generalized Bruhat decomposition) \(P=P_I\)를 standard parabolic subgroup이라 하면, 다음이 성립한다.
\[G=\bigsqcup_{w\in W^I}BwP\]따라서 partial flag variety \(G/P\)는 다음과 같이 분해된다.
\[G/P=\bigsqcup_{w\in W^I}BwP/P\]증명
Bruhat decomposition \(G=\bigsqcup_{w\in W}BwB\)와 \(P=\bigsqcup_{v\in W_I}BvB\)로부터
\[G=\bigcup_{w\in W}BwP\]\(G=\bigcup_{w\in W}BwP\)은 Bruhat decomposition과 \(P=\bigsqcup_{v\in W_I}BvB\)로부터 직접적으로 얻어진다. 이제 \(w_1,w_2\in W^I\)에 대해 \(Bw_1P=Bw_2P\)라 하자. 그럼 \(w_1\in Bw_2P\)이므로 \(w_1=b_1w_2p\) for some \(b_1\in B, p\in P\). \(p\in P\)이므로 \(p=b'vb''\) for some \(b',b''\in B, v\in W_I\). 따라서 \(w_1\in Bw_2vB\)이고, Bruhat decomposition의 disjointness로부터 \(w_1=w_2v\) in \(W\). 즉 \(w_1\)과 \(w_2\)는 같은 coset \(wW_I\)에 속한다. \(w_1,w_2\in W^I\)이고 각 coset에 유일한 minimal length element가 존재하므로 \(w_1=w_2\)이다.
각 cell \(BwP/P\subset G/P\)는 \(\mathbb{A}^{\ell(w)}\)와 isomorphic하며, 이들의 closure는 Schubert variety를 정의한다. 이는 다음 절에서 좀 더 구체적으로 다룬다.
Grassmannian
Generalized Bruhat decomposition의 가장 대표적인 예시는 Grassmannian이다. \(G=GL_n(\mathbb{C})\)를 고정하고, Borel subgroup \(B\)는 upper triangular matrix들의 모임, maximal torus \(T\)는 diagonal matrix들의 모임으로 하자. Weyl group은 \(W\cong S_n\)이고, simple reflection은 adjacent transposition \(s_i=(i\;i+1)\) (\(1\leq i\leq n-1\))이다.
정의 13 \(1\leq k\leq n-1\)에 대하여, Grassmannian \(Gr_k(\mathbb{C}^n)\)은 \(\mathbb{C}^n\)의 \(k\)차원 부분공간들의 moduli space이다.
\[Gr_k(\mathbb{C}^n)=\{V\subseteq\mathbb{C}^n\mid\dim V=k\}\]Grassmannian은 projective variety로 실현될 수 있으며, homogeneous space로서의 구조는 다음과 같이 주어진다. Simple root system \(\Delta=\{\alpha_1,\ldots,\alpha_{n-1}\}\)에서 \(\alpha_k\)를 제외한 부분집합 \(I=\Delta\setminus\{\alpha_k\}\)에 대응하는 maximal parabolic subgroup을 \(P_k\)라 하자. \(P_k\)는 block upper triangular matrix들의 모임으로, 구체적으로
\[P_k=\left\{\begin{pmatrix}A&C\\0&D\end{pmatrix}\in GL_n(\mathbb{C})\;\middle|\;A\in GL_k(\mathbb{C}),\;D\in GL_{n-k}(\mathbb{C})\right\}\]이다. 이 subgroup은 standard \(k\)-plane \(E_k=\span\{e_1,\ldots,e_k\}\)를 고정하므로, \(GL_n(\mathbb{C})\)의 자연스러운 \(Gr_k(\mathbb{C}^n)\) 위의 작용은 transitive하고, isotropy group이 바로 \(P_k\)이다. 따라서
\[Gr_k(\mathbb{C}^n)\cong GL_n(\mathbb{C})/P_k\]이다. 한편 \(V\mapsto V^\perp\) (적절한 내적 하에서) 또는 \(V\mapsto\mathbb{C}^n/V\)에 의해 \(Gr_k(\mathbb{C}^n)\)과 \(Gr_{n-k}(\mathbb{C}^n)\) 사이에 canonical isomorphism이 존재하므로, 동일한 방식으로
\[Gr_{n-k}(\mathbb{C}^n)\cong GL_n(\mathbb{C})/P_k\]으로도 볼 수 있다.
명제 14 \(GL_n(\mathbb{C})/P_k\cong Gr_k(\mathbb{C}^n)\)인 경우, Weyl group \(W=S_n\)의 parabolic subgroup \(W_{P_k}\)는 \(S_k\times S_{n-k}\)과 isomorphic하며, minimal length coset representatives \(W^{P_k}\)는 다음과 같이 묘사된다.
\[W^{P_k}=\{w\in S_n\mid w(1)<w(2)<\cdots<w(k),\;w(k+1)<\cdots<w(n)\}\]이들은 \((k,n-k)\)-shuffle이라 불리며, \(\binom{n}{k}\)개의 원소를 가진다.
증명
\(P_k\)는 simple reflection \(s_1,\ldots,s_{k-1}\)과 \(s_{k+1},\ldots,s_{n-1}\)을 포함한다. 따라서 \(W_{P_k}=\langle s_1,\ldots,s_{k-1},s_{k+1},\ldots,s_{n-1}\rangle\)은 처음 \(k\)개와 나머지 \(n-k\)개의 문자를 각각 내부적으로 치환하는 permutation들의 모임이므로 \(S_k\times S_{n-k}\)와 isomorphic하다.
Minimal length coset representative \(w\in W^{P_k}\)는 \(wW_{P_k}\)에서 길이가 최소인 원소이다. \(w\)의 길이 \(\ell(w)\)는 inversion의 개수이므로, \(\ell(w)\)가 최소가 되기 위해서는 \(w\)가 \(1,\ldots,k\) 사이의 상대적 순서와 \(k+1,\ldots,n\) 사이의 상대적 순서를 모두 보존해야 한다. 즉 \(w(1)<\cdots<w(k)\)이고 \(w(k+1)<\cdots<w(n)\)이어야 한다. 이러한 조건을 만족하는 permutation은 \(\{1,\ldots,n\}\)에서 \(k\)개를 선택하여 앞쪽 \(k\)개의 자리에 증가하는 순서로 배치하고, 나머지를 뒤쪽에 증가하는 순서로 배치하는 것이므로 총 \(\binom{n}{k}\)개가 존재한다. 이는 \(W/W_{P_k}\)의 크기와 일치하므로, 이들이 바로 \(W^{P_k}\)를 이룬다.
예시 15 \(n=4, k=2\)인 경우, \(W=S_4\)이고 \(W_{P_2}=S_2\times S_2\)이다. Minimal length coset representatives는
\[W^{P_2}=\{1234, 1324, 1423, 2314, 2413, 3412\}\]이다. 여기서 \(w=1324\)는 \(w(1)=1<w(2)=3\)이고 \(w(3)=2<w(4)=4\)를 만족한다. 각 \(w\in W^{P_2}\)에 대응하는 Schubert cell \(X_w^\circ\subset Gr_2(\mathbb{C}^4)\)은 \(\mathbb{A}^{\ell(w)}\)와 isomorphic하며, \(\ell(1234)=0\), \(\ell(1324)=1\), \(\ell(1423)=2\), \(\ell(2314)=2\), \(\ell(2413)=3\), \(\ell(3412)=4\)이다.
Schubert cell과 Schubert variety
이제 partial flag variety \(X=G/P\) 위에서의 geometric structure를 정의하자. \(B\)와 opposite Borel subgroup \(B^-\)를 고정하고, \(G/P\) 위의 cell decomposition을 구성한다.
정의 16 \(w\in W^P\)에 대하여, Schubert cell \(X_w^\circ\)와 opposite Schubert cell \(X^w_\circ\)는 각각 다음과 같이 정의된다.
\[X_w^\circ=BwP/P\subseteq G/P,\qquad X^w_\circ=B^-wP/P\subseteq G/P\]여기서 \(B^-\)는 \(B\)에 대응하는 opposite Borel subgroup이다. 이들의 closure
\[X_w=\overline{X_w^\circ},\qquad X^w=\overline{X^w_\circ}\]를 각각 Schubert variety와 opposite Schubert variety라 한다.
정의에 의해 \(X_w^\circ\cong\mathbb{A}^{\ell(w)}\)이고 \(X^w_\circ\cong\mathbb{A}^{\dim(G/P)-\ell(w)}\)이다. 특히 \(X_e^\circ=B^-P/P\)는 open dense cell이며, \(X_{w_0^P}^\circ\)는 \(G/P\)의 \(B^-\)-fixed point \(\{w_0^P P\}\)이다. 여기서 \(w_0^P\)는 \(W^P\)에서 가장 긴 원소이다.
Schubert variety들 사이의 inclusion 관계는 Weyl group 위의 Bruhat order에 의해 결정된다.
명제 17 \(x,w\in W^P\)에 대하여, 다음이 성립한다.
\[X_x\subseteq X_w\iff x\leq w\text{ in Bruhat order}\]특히 \(X_w=\bigsqcup_{x\leq w,\,x\in W^P}X_x^\circ\)이다.
증명
\(X_w=\overline{B^-wP/P}\)이고 \(B^-\)는 connected solvable group이므로, \(B^-\)-orbit의 closure는 더 작은 dimension을 갖는 orbit들의 union으로 주어진다. Bruhat order \(\leq\)는 \(v\leq w\)가 \(\ell(v)<\ell(w)\)이고 \(BvB\subseteq\overline{BwB}\)일 때 정의되는 순서이다. \(G/P\)로 project하면, \(x\leq w\)인 \(x\in W^P\)에 대해서만 \(X_x^\circ\subseteq X_w\)가 성립함을 확인할 수 있다. 이는 \(P\)로 인해 \(W\)의 원소 중 \(W_P\)에 의한 coset 내부의 차이가 무너지기 때문이다.
예시 18 \(G/P=Gr_2(\mathbb{C}^4)\)인 경우를 다시 생각하자. \(W^{P_2}\)의 원소들 중 Bruhat order는 다음과 같이 주어진다.
\(1234\leq 1324\leq 1423\leq 2413\leq 3412\) \(1234\leq 1324\leq 2314\leq 2413\leq 3412\)
즉 \(1324\) 아래에는 \(1234\)만 있고, \(1423\)와 \(2314\)는 비교 불가능하며 둘 다 \(1324\) 위에 있다. Schubert variety \(X_{2413}\)는 \(X_{1423}^\circ\), \(X_{2314}^\circ\), \(X_{1324}^\circ\), \(X_{1234}^\circ\)를 포함하며, 이들의 disjoint union으로 이루어진다.
Schubert variety \(X_w\subset G/P\)는 일반적으로 singular하며, 그 singular locus 역시 더 작은 Schubert variety들의 union으로 표현될 수 있다. Mirror symmetry와 Schubert calculus의 맥락에서, Schubert variety의 cohomology class \([X_w]\in H^\ast(G/P)\)는 \(H^\ast(G/P)\)의 additive basis를 이루는 것이 중요하다. 특히 Grassmannian의 경우, Schubert variety는 Young diagram으로 색인화되며, 이들의 intersection theory는 classical Schubert calculus의 핵심을 이룬다. 이는 이후 글에서 quantum cohomology의 관점에서 더 자세히 다룰 것이다.
참고문헌
[Ful] W. Fulton, Young tableaux, London Mathematical Society Student Texts 35, Cambridge University Press, 1997.
[Hum] J. E. Humphreys, Linear algebraic groups, Graduate Texts in Mathematics 21, Springer, 1975.
[Man] L. Manivel, Symmetric functions, Schubert polynomials and degeneracy loci, SMF/AMS Texts and Monographs 6, 2001.
[Spr] T. A. Springer, Linear algebraic groups, Progress in Mathematics 9, Birkhäuser, 1998.
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