쌍대기저
\(V\)가 유한차원 \(\mathbb{K}\)-벡터공간이라 하자. §선형사상들의 공간, ⁋명제 5에서 \(W=\mathbb{K}\)로 두면 \(V^\ast=\Hom(V,\mathbb{K})\)은 \(V\)와 같은 차원을 갖는다는 것을 안다. 특히, 만일 \(\mathcal{B}=\{x_1,\ldots, x_n\}\)이 \(V\)의 basis라면 \(x_i\)만을 1로, 나머지 \(x_j\)들은 0으로 보내는 linear map \(\xi^i\)들의 모임
\[\mathcal{B}^\ast=\{\xi^1,\ldots, \xi^n\}\]이 \(V^\ast\)의 basis가 된다는 것을 안다. 이를 \(\mathcal{B}\)의 dual basis쌍대기저라 부른다.
\(V\)가 무한차원이라 하더라도 basis \(\mathcal{B}\)에 대하여, 위의 식과 같이 정의된 집합 \(\mathcal{B}^\ast\)가 일차독립이라는 것은 어떠한 수정도 없이 §선형사상들의 공간, ⁋명제 5의 증명과 동일한 증명을 이용할 수 있다. 따라서 항상 \(\dim V\leq\dim V^\ast\)가 성립하며, 사실 \(V\)가 무한차원인 경우 반드시 \(\dim V<\dim V^\ast\)이다. 이를 살펴보기 위해서는 임의의 \(\mathcal{B}\)의 모든 원소들을 \(1\)로 보내는 함수를 extend하여 얻이진 함수가 \(\mathcal{B}^\ast\)의 원소들의 일차결합으로 나타날 수 없음만 확인하면 된다.
이중쌍대공간
\(V\)가 유한차원일 경우 \(V\)와 \(V^\ast\)가 같은 차원을 가지며, 따라서 \(V^\ast\)의 dual space인 \(V^{\ast\ast}\) 또한 \(V^\ast\)와 같은 차원을 갖는 \(\mathbb{K}\)-벡터공간이 된다. 이를 \(V\)의 double dual이중쌍대공간이라 부른다.
\(V\)와 \(V^\ast\)가 isomorphic하다는 것을 보이기 위해서는 특정한 basis를 택해야 했다. 반면, \(V\)에서 \(V^{\ast\ast}\)로의
정의 1 세 \(\mathbb{K}\)-벡터공간 \(U,V,W\)에 대하여, 함수 \(f:U\times V\rightarrow W\)이 bilinear라는 것은 임의의 \(u,u_1,u_2\in U\), \(v,v_1,v_2\in V\), 그리고 스칼라 \(\alpha\)에 대하여
\[f(u_1+u_2,v)=f(u_1,v)+f(u_2,v),\qquad f(u,v_1+v_2)=f(u,v_1)+f(u,v_2),\qquad f(\alpha u,v)=\alpha f(u,v)=f(u,\alpha v)\]가 성립하는 것이다.
바꾸어 말하자면 이는 임의의 \(u\in U\)에 대하여 함수 \(f(u,-):V\rightarrow W\)가 linear이고, 또 임의의 \(v\in V\)에 대하여 \(f(-,v):U\rightarrow W\) 또한 linear라는 뜻이다.
정의 2 두 \(\mathbb{K}\)-벡터공간 \(V,W\)에 대하여, \(V\)와 \(W\)의 pairing은 bilinear map \((-,-):V\times W\rightarrow \mathbb{K}\)를 의미한다. 만일 영벡터가 아닌 임의의 \(v\in V\)에 대하여 다음의 linear map
\[(v,-): W\rightarrow \mathbb{K}\]가 항상 영함수가 아니라면 이 pairing이 왼쪽에서 non-degenerate이라 하고, 비슷하게 영벡터가 아닌 임의의 \(w\in W\)에 대하여
\[(-,w):U\rightarrow \mathbb{K}\]가 항상 영함수가 아니라면 이 pairing이 오른쪽에서 non-degenerate라 한다. 왼쪽과 오른쪽 모두에서 non-degenerate인 pairing을 간단히 non-degenerate pairing이라 부른다.
표기법 \((-,-)\)은 순서쌍의 표기법과 동일하여 약간의 혼동이 있을 수도 있지만, 문맥상 둘을 구별하는 것이 어렵지 않고 편하므로 이 표기법을 사용한다.
예를 들어 \(V=W=\mathbb{R}^n\) 위에서 정의된 벡터의 내적 \((-,-):\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}\)은 non-degenerate pairing이다. 우선 다음의 식
\[(v,w_1+w_2)=(v,w_1)+(v,w_2),\qquad (v_1+v_2,w)=(v_1,w)+(v_2,w),\qquad (\alpha v,w)=\alpha(v,w)=(v,\alpha w)\]이 성립하는 것은 자명하다. 따라서 벡터의 내적은 pairing이다. 한편 영벡터가 아닌 임의의 벡터 \(v\)에 대하여 \((v,v)=\lVert v\rVert^2\neq 0\)이므로 non-degenerate 조건 또한 만족된다.
위와 같이 \(V=W\)인 경우는 특별히 pairing을 bilinear form이라 부르기도 한다. 이번 글에서 사용할 예시는 다음의 예시이다.
예시 3 임의의 \(\mathbb{K}\)-벡터공간 \(V\)와, \(V\)의 dual space \(V^\ast\)에 대하여 \((-,-):V\times V^\ast\rightarrow \mathbb{K}\)를 다음의 식
\[(v,f)=f(v)\]으로 주면 \((-,-)\)은 non-degenerate pairing이다. 우선 고정된 \(v\in V\)와 임의의 \(f,g\in V^\ast\)에 대하여
\[(v,f+g)=(f+g)(v)=f(v)+g(v)=(v,f)+(v,g)\]이고, 또 고정된 \(f\in V^\ast\)와 임의의 \(v_1,v_2\in V\)에 대하여
\[(v_1+v_2,f)=f(v_1+v_2)=f(v_1)+f(v_2)=(v_1,f)+(v_2,f)\]이 성립한다. 비슷하게 임의의 스칼라 \(\alpha\)에 대하여
\[(\alpha v,f)=f(\alpha v)=\alpha f(v)=(\alpha f)(v)=(v,\alpha f)\]이 성립하므로 \((-, -)\)은 pairing이다.
뿐만 아니라 \((-,-)\)은 non-degenerate이다. 우선 임의의 \(f\in V^\ast\)가 0이 아니라면 \(f(v)\neq 0\)이도록 하는 \(v\)가 존재하므로 \((-,-)\)이 오른쪽에서 non-degenerate임은 자명하다. 또, 영벡터가 아닌 임의의 벡터 \(v\)에 대하여, \(v\)를 포함하는 basis \(\mathcal{B}\)를 찾은 후, 위와 같이 dual basis를 만들면, \(v\)에 대응되는 dual basis의 원소 \(\xi\)에 대해 \((v,\xi)=1\)이므로 \((-,-)\)은 왼쪽에서 non-degenerate이기도 하다.
이로부터 \((-,-)\)이 non-degenerate pairing임을 안다. 이를 canonical pairing이라 부른다.
명제 4 Non-degenerate pairing \((-,-):V\times W\rightarrow \mathbb{K}\)가 주어진 두 \(\mathbb{K}\)-벡터공간 \(V,W\)에 대하여, 다음의 식
\[v\mapsto (v,-)\]으로 정의된 함수 \(V\rightarrow W^\ast\)는 단사인 linear map이다. 비슷하게, 다음의 식
\[w\mapsto (-,w)\]으로 정의된 함수 \(W\rightarrow V^\ast\)도 단사인 linear map이다.
증명
이 함수가 linear map이라는 것은 \((-,-)\)이 각 성분에 대해 linear이므로 자명하다. 이 함수들이 단사라는 것은 정확히 \((-,-)\)이 왼쪽과 오른쪽에서 non-degenerate라는 것이다.
따름정리 5 Non-degenerate pairing \((-,-):V\times W\rightarrow \mathbb{K}\)가 주어진 두
증명
두 부등식
\[\dim V\leq\dim W^\ast=\dim W,\qquad \dim W\leq\dim V^\ast=\dim V\]으로부터 자명하다.
이러한 의미에서, 두 유한차원 벡터공간 사이의 non-degenerate pairing을 perfect pairing이라 부르기도 한다. 특별히 \(W=V^\ast\)인 예시 3의 canonical pairing에 이 따름정리를 적용하면 우리는 \(V\)에서 \(V^{\ast\ast}\)로의 isomorphism을 얻는다. 명시적으로 이 함수는 임의의 \(f\in V^\ast\)에 대하여
\[\ev_v:f\mapsto f(v)\]으로 정의되는 evaluation map값매김사상으로 생각하면 된다. 위의 논의는 \(v\mapsto \ev_v\)로 정의된 \(V\rightarrow V^{\ast\ast}\)가 isomorphism임을 보여준다.
쌍대사상
두 \(\mathbb{K}\)-벡터공간 \(V,W\)와 linear map \(L:V\rightarrow W\)가 주어졌다 하자. 그럼 함수 \(L^\ast:W^\ast\rightarrow V^\ast\)를 다음의 식
\[L^\ast(f)=f\circ L\]을 통해 정의할 수 있다. 이는 diagram으로 보면 다음과 같다.
혹은, 위에서 정의한 canonical pairing에 따르면 \(L^\ast\)는 다음의 식
\[(Lv, f)=(v,L^\ast f)\qquad\text{for all $v\in V$ and $f\in W^\ast$}\tag{1}\]을 통해 정의되었다 할 수 있다. 물론 좌변의 \((-,-)\)은 \(W\)의 canonical pairing이고, 우변의 \((-,-)\)은 \(V\)의 canonical pairing이다.
특별히 \(V,W\)가 모두 유한차원 \(\mathbb{K}\)-벡터공간이라 하자. \(V\)의 basis를 \(\mathcal{B}=\{x_1,\ldots, x_n\}\), \(W\)의 basis를 \(\mathcal{C}=\{y_1,\ldots, y_m\}\)이라 하고 이들의 dual basis를 각각
\[\mathcal{B}^\ast=\{\xi^1,\ldots,\xi^n\},\qquad\mathcal{C}^\ast=\{\upsilon^1,\ldots,\upsilon^m\}\]이라 하자. §선형대수학의 기본정리에 의하여 모든 linear map은 basis의 선택이 주어진다면 행렬로 나타낼 수 있으므로, \(L^\ast\)를 두 basis \(\mathcal{C}^\ast\)와 \(\mathcal{B}^\ast\)에 대한 행렬로 표현할 수 있다. 우선 \(L\)이 basis \(\mathcal{B},\mathcal{C}\)에 대해 다음의 행렬
\[[L]_\mathcal{C}^\mathcal{B}=\begin{pmatrix}\alpha_{11}&\alpha_{12}&\cdots&\alpha_{1n}\\\alpha_{21}&\alpha_{22}&\cdots&\alpha_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\alpha_{m1}&\alpha_{m2}&\cdots&\alpha_{mn}\end{pmatrix}\]으로 나타난다 하자. 즉
\[\begin{aligned}L(x_1)&=\alpha_{11}y_1+\alpha_{21}y_2+\cdots+\alpha_{m1}y_m\\L(x_2)&=\alpha_{12}y_1+\alpha_{22}y_2+\cdots+\alpha_{m2}y_m\\&\phantom{a}\vdots\\L(x_n)&=\alpha_{1n}y_1+\alpha_{2n}y_2+\cdots+\alpha_{mn}y_m\end{aligned}\]이 성립한다. 이제 \(L^\ast\)를 행렬로 나타내기 위해서는 \(\mathcal{C}^\ast\)의 원소 각각이 어디로 옮겨지는가를 알면 된다. 임의의 \(\upsilon^k\in\mathcal{C}^\ast\)에 대하여, \(L^\ast(\upsilon^k)=\upsilon^k\circ L\)이며, \(V^\ast\)의 원소로서 이 함수는 \(\mathcal{B}^\ast\)의 원소들의 일차결합으로 표현된다.
\[\begin{aligned}L^\ast(\upsilon^1)&=\beta_{11}\xi^1+\beta_{21}\xi^2+\cdots+\beta_{n1}\xi^n\\L^\ast(\upsilon^2)&=\beta_{12}\xi^1+\beta_{22}\xi^2+\cdots+\beta_{n2}\xi^n\\&\phantom{a}\vdots\\L^\ast(\upsilon^m)&=\beta_{1m}\xi^1+\beta_{2m}\xi^2+\cdots+\beta_{nm}\xi^n\end{aligned}\]이라 하자. 이 때 계수 \(\beta_{lk}\)을 구하기 위해서는 다음의 식
\[L^\ast(\upsilon^k)=\beta_{1k}\xi^1+\cdots+\beta_{lk}\xi^l+\cdots+\beta_{nk}\xi^n\]의 양 변에 \(x_l\)을 대입해보면 된다. 이를 해 보면 우변은 \(\beta_{lk}\)가 나오며, 좌변은
\[L^\ast(\upsilon^k)(x_l)=\upsilon^k(L(x_l))=\upsilon^k(\alpha_{1l}y_1+\cdots+\alpha_{ml}y_m)=\alpha_{kl}\]이 된다. 따라서 \(\beta_{lk}=\alpha_{kl}\)이 성립하고, \(L^\ast\)의 행렬표현은 다음의 식
\[[L^\ast]_{\mathcal{B}^\ast}^{\mathcal{C}^\ast}=\begin{pmatrix}\alpha_{11}&\alpha_{21}&\cdots&\alpha_{m1}\\\alpha_{12}&\alpha_{22}&\cdots&\alpha_{m2}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\alpha_{1n}&\alpha_{2n}&\cdots&\alpha_{mn}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\alpha_{11}&\alpha_{12}&\cdots&\alpha_{1n}\\\alpha_{21}&\alpha_{22}&\cdots&\alpha_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\alpha_{m1}&\alpha_{m2}&\cdots&\alpha_{mn}\end{pmatrix}^t=\bigl([L]_\mathcal{C}^\mathcal{B}\bigr)^t\]을 만족한다. 즉 전치행렬은 별다른 것이 아니라 dual map의 행렬표현에 해당하는 행렬이었던 것이다.
직교여공간
우선 다음 명제가 성립한다.
명제 6 두 \(\mathbb{K}\)-벡터공간 \(V,W\), 그리고 linear map \(L:V\rightarrow W\)와 그 dual \(L^\ast:W^\ast\rightarrow V^\ast\)가 주어졌다 하자.
- 만약 \(L\)이 단사라면 \(L^\ast\)는 전사이다.
- 만약 \(L\)이 전사라면 \(L^\ast\)는 단사이다.
증명
두 주장 모두 §선형사상들의 공간, ⁋따름정리 2에 의해 자명하다.
-
만약 \(L\)이 단사라면 \(R\circ L=\id_V\)를 만족하는 \(R:W\rightarrow V\)가 존재한다. 따라서 임의의 \(f\in V^\ast\)에 대하여, \(f\circ R\)은 \(W\)에서 \(\mathbb{K}\)로의 함수, 즉 \(W^\ast\)의 원소이고
\[L^\ast(f\circ R)=(f\circ R)\circ L=f\circ(R\circ L)=f\circ\id_V=f\]를 만족하므로 \(L^\ast\)는 전사이다.
-
만약 \(L\)이 전사라면 \(L\circ S=\id_W\)를 만족하는 \(S:W\rightarrow V\)가 존재한다. 따라서, 만일 어떤 \(f\in W^\ast\)가 \(L^\ast(f)=0\)을 만족한다면,
\[L^\ast(f)=f\circ L=0\implies 0=(f\circ L)\circ S=f\circ(L\circ S)=f\circ\id_W=f\]이므로 \(L^\ast\)는 단사이다.
이 명제는 \(\ker L\)과 \(\im L^\ast\), 그리고 \(\im L\)과 \(\ker L^\ast\) 사이에 특정한 관계가 있다는 것을 암시한다. 우선 다음을 정의하자.
정의 7 Canonical pairing \((-,-)\)이 주어진 \(\mathbb{K}\)-벡터공간 \(V\)가 주어졌다 하고, 임의의 부분집합 \(S\subseteq V\)을 생각하자. 임의의 \(v\in S\)에 대하여 \((v,f)=0\)을 만족하는 \(f\in V^\ast\)의 모임을 \(S\)의 orthogonal complement직교여공간 혹은 annihilator소멸자라 부르고, \(S^\perp\)로 표기한다.
이와 비슷하게, 임의의 부분집합 \(T\subseteq V^\ast\)가 주어졌다 하자. 그럼 임의의 \(f\in T\)에 대하여 \((v,f)=0\)을 만족하는 \(v\in V\)의 모임을 \(T\)의 orthogonal complement라 부르고 \(T^\perp\)로 표기한다.
특별히 \(S\) 혹은 \(T\)가 singleton인 경우 이를 \(v^\perp\) 혹은 \(f^\perp\)와 같이 표현하기도 한다.
임의의 \(v\in V\)에 대하여 \(v^\perp\)가 \(V^\ast\)의 부분공간이 된다는 것은 \((-,-)\)이 bilinear라는 사실로부터 자명하다. 이제 다음 등식
\[S^\perp=\bigcap_{v\in S}v^\perp\]과 §벡터공간의 기저, ⁋보조정리 3을 이용하면 \(S^\perp\)가 \(V^\ast\)의 부분공간임을 안다. 이와 비슷하게 임의의 \(T\subseteq V^\ast\)에 대하여 \(T^\perp\)는 \(V\)의 부분공간이 된다.
명제 8 두 \(\mathbb{K}\)-벡터공간 \(V,W\), 그리고 linear map \(L:V\rightarrow W\)와 그 dual \(L^\ast:W^\ast\rightarrow V^\ast\)가 주어졌다 하자. 임의의 부분공간 \(U\subseteq V\)와 그 orthogonal complement \(U^\perp\)에 대하여,
\[L(U)^\perp=(L^\ast)^{-1}(U^\perp)\]가 성립한다.
증명
Dual map \(L^\ast\)를 canonical pairing을 통해 정의한 식 (1)을 사용하면, 임의의 \(\upsilon\in W^\ast\)에 대하여
\[\upsilon\in L(U)^\perp\iff (L(u),\upsilon)=0\text{ for all $u\in U$}\iff (u, L^\ast(\upsilon))\text{ for all $u\in U$}\iff L^\ast(\upsilon)\in U^\perp\]이 성립한다.
따름정리 9 두 \(\mathbb{K}\)-벡터공간 \(V,W\), 그리고 linear map \(L:V\rightarrow W\)와 그 dual \(L^\ast:W^\ast\rightarrow V^\ast\)가 주어졌다 하자. 그럼 \((\im L)^\perp=\ker(L^\ast)\)이 성립한다.
증명
명제 8에서 \(U=V\)로 두면 된다. Canonical pairing \((-,-)\)의 non-degenerate 조건으로부터 \(U^\perp=\{0\}\)이 되어 원하는 결과를 얻는다.
명제 8에서 \(U\subseteq V\) 대신, \(U\subseteq W^\ast\)로 시작할 수도 있었다. 이 경우 다음의 명제를 얻는다.
명제 10 두 \(\mathbb{K}\)-벡터공간 \(V,W\), 그리고 linear map \(L:V\rightarrow W\)와 그 dual \(L^\ast:W^\ast\rightarrow V^\ast\)가 주어졌다 하자. 임의의 부분공간 \(U\subseteq W^\ast\)와 그 orthogonal complement \(U^\perp\)에 대하여,
\[\bigl(L^\ast(U)\bigr)^\perp=L^{-1}(U^\perp)\]가 성립한다.
증명
이 또한 식 (1)을 사용하면, 임의의 \(x\in V\)에 대하여
\[x\in \bigl(L^\ast(U)\bigr)^\perp\iff (x, L^\ast(\upsilon))=0\text{ for all $\upsilon\in U$}\iff (L(x),\upsilon)=0\text{ for all $\upsilon\in U$}\iff L(x)\in U^\perp\]이므로 자명하다.
따름정리 11 두 \(\mathbb{K}\)-벡터공간 \(V,W\), 그리고 linear map \(L:V\rightarrow W\)와 그 dual \(L^\ast:W^\ast\rightarrow V^\ast\)가 주어졌다 하자. 그럼 \(\bigl(\im L^\ast\bigr)^\perp=\ker L\)이 성립한다.
증명
명제 10에서 \(U=W^\ast\)로 두면 된다.
참고문헌
[Lee] 이인석, 선형대수와 군, 서울대학교 출판문화원, 2005.
[Bou] Bourbaki, N. Algebra I, Elements of Mathematics. Springer-Verlag Berlin, 1998.
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