쌍대공간

쌍대기저

$V$가 유한차원 $F$-벡터공간이라 하자. §선형사상들의 공간, ⁋명제 5에서 $W=F$로 두면 $V^\ast=\Hom(V,F)$은 $V$와 같은 차원을 갖는다는 것을 안다. 특히, 만일 $\mathcal{B}=\{x_1,\ldots, x_n\}$이 $V$의 basis라면 $x_i$만을 1로, 나머지 $x_j$들은 0으로 보내는 linear map $\xi^i$들의 모임

\[\mathcal{B}^\ast=\{\xi^1,\ldots, \xi^n\}\]

이 $V^\ast$의 basis가 된다는 것을 안다. 이를 $\mathcal{B}$의 dual basis_쌍대기저라 부른다.

$V$가 무한차원이라 하더라도 basis $\mathcal{B}$에 대하여, 위의 식과 같이 정의된 집합 $\mathcal{B}^\ast$가 일차독립이라는 것은 어떠한 수정도 없이 §선형사상들의 공간, ⁋명제 5의 증명과 동일한 증명을 이용할 수 있다. 따라서 항상 $\dim V\leq\dim V^\ast$가 성립하며, 사실 $V$가 무한차원인 경우 반드시 $\dim V<\dim V^\ast$이다. 이를 살펴보기 위해서는 임의의 $\mathcal{B}$의 모든 원소들을 $1$로 보내는 함수를 extend하여 얻이진 함수가 $\mathcal{B}^\ast$의 원소들의 일차결합으로 나타날 수 없음만 확인하면 된다.

이중쌍대공간

$V$가 유한차원일 경우 $V$와 $V^\ast$가 같은 차원을 가지며, 따라서 $V^\ast$의 dual space인 $V^{\ast\ast}$ 또한 $V^\ast$와 같은 차원을 갖는 $F$-벡터공간이 된다. 이를 $V$의 double dual_{이중쌍대공간}이라 부른다.

$V$와 $V^\ast$가 isomorphic하다는 것을 보이기 위해서는 특정한 basis를 택해야 했다. 반면, $V$에서 $V^{\ast\ast}$로의 basis의 선택에 의존하지 않는 단사인 linear map을 만들 수 있다. $V$와 $V^{\ast\ast}$의 차원이 같으므로, 이 단사인 linear map은 반드시 isomorphism이 되어야 한다.

정의 1 세 $F$-벡터공간 $U,V,W$에 대하여, 함수 $f:U\times V\rightarrow W$이 bilinear라는 것은 임의의 $u,u_1,u_2\in U$, $v,v_1,v_2\in V$, 그리고 스칼라 $\alpha$에 대하여

\[f(u_1+u_2,v)=f(u_1,v)+f(u_2,v),\qquad f(u,v_1+v_2)=f(u,v_1)+f(u,v_2),\qquad f(\alpha u,v)=\alpha f(u,v)=f(u,\alpha v)\]

가 성립하는 것이다.

바꾸어 말하자면 이는 임의의 $u\in U$에 대하여 함수 $f(u,-):V\rightarrow W$가 linear이고, 또 임의의 $v\in V$에 대하여 $f(-,v):U\rightarrow W$ 또한 linear라는 뜻이다.

정의 2 두 $F$-벡터공간 $V,W$에 대하여, $V$와 $W$의 pairing은 bilinear map $(-,-):V\times W\rightarrow F$를 의미한다. 만일 영벡터가 아닌 임의의 $v\in V$에 대하여 다음의 linear map

\[(v,-): W\rightarrow F\]

가 항상 영함수가 아니라면 이 pairing이 왼쪽에서 non-degenerate이라 하고, 비슷하게 영벡터가 아닌 임의의 $w\in W$에 대하여

\[(-,w):U\rightarrow F\]

가 항상 영함수가 아니라면 이 pairing이 오른쪽에서 non-degenerate라 한다. 왼쪽과 오른쪽 모두에서 non-degenerate인 pairing을 간단히 non-degenerate pairing이라 부른다.

표기법 $(-,-)$은 순서쌍의 표기법과 동일하여 약간의 혼동이 있을 수도 있지만, 문맥상 둘을 구별하는 것이 어렵지 않고 편하므로 이 표기법을 사용한다.

예를 들어 $V=W=\mathbb{R}^n$ 위에서 정의된 벡터의 내적 $(-,-):\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$은 non-degenerate pairing이다. 우선 다음의 식

\[(v,w_1+w_2)=(v,w_1)+(v,w_2),\qquad (v_1+v_2,w)=(v_1,w)+(v_2,w),\qquad (\alpha v,w)=\alpha(v,w)=(v,\alpha w)\]

이 성립하는 것은 자명하다. 따라서 벡터의 내적은 pairing이다. 한편 영벡터가 아닌 임의의 벡터 $v$에 대하여 $(v,v)=\lVert v\rVert^2\neq 0$이므로 non-degenerate 조건 또한 만족된다.

위와 같이 $V=W$인 경우는 특별히 pairing을 bilinear form이라 부르기도 한다. 이번 글에서 사용할 예시는 다음의 예시이다.

예시 3 임의의 $F$-벡터공간 $V$와, $V$의 dual space $V^\ast$에 대하여 $(-,-):V\times V^\ast\rightarrow F$를 다음의 식

\[(v,f)=f(v)\]

으로 주면 $(-,-)$은 non-degenerate pairing이다. 우선 고정된 $v\in V$와 임의의 $f,g\in V^\ast$에 대하여

\[(v,f+g)=(f+g)(v)=f(v)+g(v)=(v,f)+(v,g)\]

이고, 또 고정된 $f\in V^\ast$와 임의의 $v_1,v_2\in V$에 대하여

\[(v_1+v_2,f)=f(v_1+v_2)=f(v_1)+f(v_2)=(v_1,f)+(v_2,f)\]

이 성립한다. 비슷하게 임의의 스칼라 $\alpha$에 대하여

\[(\alpha v,f)=f(\alpha v)=\alpha f(v)=(\alpha f)(v)=(v,\alpha f)\]

이 성립하므로 $(-, -)$은 pairing이다.

뿐만 아니라 $(-,-)$은 non-degenerate이다. 우선 임의의 $f\in V^\ast$가 0이 아니라면 $f(v)\neq 0$이도록 하는 $v$가 존재하므로 $(-,-)$이 오른쪽에서 non-degenerate임은 자명하다. 또, 영벡터가 아닌 임의의 벡터 $v$에 대하여, $v$를 포함하는 basis $\mathcal{B}$를 찾은 후, 위와 같이 dual basis를 만들면, $v$에 대응되는 dual basis의 원소 $\xi$에 대해 $(v,\xi)=1$이므로 $(-,-)$은 왼쪽에서 non-degenerate이기도 하다.

이로부터 $(-,-)$이 non-degenerate pairing임을 안다. 이를 canonical pairing이라 부른다.

명제 4 Non-degenerate pairing $(-,-):V\times W\rightarrow F$가 주어진 두 $F$-벡터공간 $V,W$에 대하여, 다음의 식

\[v\mapsto (v,-)\]

으로 정의된 함수 $V\rightarrow W^\ast$는 단사인 linear map이다. 비슷하게, 다음의 식

\[w\mapsto (-,w)\]

으로 정의된 함수 $W\rightarrow V^\ast$도 단사인 linear map이다.

증명

이 함수가 linear map이라는 것은 $(-,-)$이 각 성분에 대해 linear이므로 자명하다. 이 함수들이 단사라는 것은 정확히 $(-,-)$이 왼쪽과 오른쪽에서 non-degenerate라는 것이다.

따름정리 5 Non-degenerate pairing $(-,-):V\times W\rightarrow F$가 주어진 두 유한차원 $F$-벡터공간 $V,W$는 isomorphic하다.

증명

두 부등식

\[\dim V\leq\dim W^\ast=\dim W,\qquad \dim W\leq\dim V^\ast=\dim V\]

으로부터 자명하다.

이러한 의미에서, 두 유한차원 벡터공간 사이의 non-degenerate pairing을 perfect pairing이라 부르기도 한다. 특별히 $W=V^\ast$인 예시 3의 canonical pairing에 이 따름정리를 적용하면 우리는 $V$에서 $V^{\ast\ast}$로의 isomorphism을 얻는다. 명시적으로 이 함수는 임의의 $f\in V^\ast$에 대하여

\[\ev_v:f\mapsto f(v)\]

으로 정의되는 evaluation map_{값매김사상}으로 생각하면 된다. 위의 논의는 $v\mapsto \ev_v$로 정의된 $V\rightarrow V^{\ast\ast}$가 isomorphism임을 보여준다.

쌍대사상

두 $F$-벡터공간 $V,W$와 linear map $L:V\rightarrow W$가 주어졌다 하자. 그럼 함수 $L^\ast:W^\ast\rightarrow V^\ast$를 다음의 식

\[L^\ast(f)=f\circ L\]

을 통해 정의할 수 있다. 이는 diagram으로 보면 다음과 같다.

혹은, 위에서 정의한 canonical pairing에 따르면 $L^\ast$는 다음의 식

\[(Lv, f)=(v,L^\ast f)\qquad\text{for all $v\in V$ and $f\in W^\ast$}\tag{1}\]

을 통해 정의되었다 할 수 있다. 물론 좌변의 $(-,-)$은 $W$의 canonical pairing이고, 우변의 $(-,-)$은 $V$의 canonical pairing이다.

특별히 $V,W$가 모두 유한차원 $F$-벡터공간이라 하자. $V$의 basis를 $\mathcal{B}=\{x_1,\ldots, x_n\}$, $W$의 basis를 $\mathcal{C}=\{y_1,\ldots, y_m\}$이라 하고 이들의 dual basis를 각각

\[\mathcal{B}^\ast=\{\xi^1,\ldots,\xi^n\},\qquad\mathcal{C}^\ast=\{\upsilon^1,\ldots,\upsilon^m\}\]

이라 하자. §선형대수학의 기본정리에 의하여 모든 linear map은 basis의 선택이 주어진다면 행렬로 나타낼 수 있으므로, $L^\ast$를 두 basis $\mathcal{C}^\ast$와 $\mathcal{B}^\ast$에 대한 행렬로 표현할 수 있다. 우선 $L$이 basis $\mathcal{B},\mathcal{C}$에 대해 다음의 행렬

\[[L]_\mathcal{C}^\mathcal{B}=\begin{pmatrix}\alpha_{11}&\alpha_{12}&\cdots&\alpha_{1n}\\\alpha_{21}&\alpha_{22}&\cdots&\alpha_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\alpha_{m1}&\alpha_{m2}&\cdots&\alpha_{mn}\end{pmatrix}\]

으로 나타난다 하자. 즉

\[\begin{aligned}L(x_1)&=\alpha_{11}y_1+\alpha_{21}y_2+\cdots+\alpha_{m1}y_m\\L(x_2)&=\alpha_{12}y_1+\alpha_{22}y_2+\cdots+\alpha_{m2}y_m\\&\phantom{a}\vdots\\L(x_n)&=\alpha_{1n}y_1+\alpha_{2n}y_2+\cdots+\alpha_{mn}y_m\end{aligned}\]

이 성립한다. 이제 $L^\ast$를 행렬로 나타내기 위해서는 $\mathcal{C}^\ast$의 원소 각각이 어디로 옮겨지는가를 알면 된다. 임의의 $\upsilon^k\in\mathcal{C}^\ast$에 대하여, $L^\ast(\upsilon^k)=\upsilon^k\circ L$이며, $V^\ast$의 원소로서 이 함수는 $\mathcal{B}^\ast$의 원소들의 일차결합으로 표현된다.

\[\begin{aligned}L^\ast(\upsilon^1)&=\beta_{11}\xi^1+\beta_{21}\xi^2+\cdots+\beta_{n1}\xi^n\\L^\ast(\upsilon^2)&=\beta_{12}\xi^1+\beta_{22}\xi^2+\cdots+\beta_{n2}\xi^n\\&\phantom{a}\vdots\\L^\ast(\upsilon^m)&=\beta_{1m}\xi^1+\beta_{2m}\xi^2+\cdots+\beta_{nm}\xi^n\end{aligned}\]

이라 하자. 이 때 계수 $\beta_{lk}$을 구하기 위해서는 다음의 식

\[L^\ast(\upsilon^k)=\beta_{1k}\xi^1+\cdots+\beta_{lk}\xi^l+\cdots+\beta_{nk}\xi^n\]

의 양 변에 $x_l$을 대입해보면 된다. 이를 해 보면 우변은 $\beta_{lk}$가 나오며, 좌변은

\[L^\ast(\upsilon^k)(x_l)=\upsilon^k(L(x_l))=\upsilon^k(\alpha_{1l}y_1+\cdots+\alpha_{ml}y_m)=\alpha_{kl}\]

이 된다. 따라서 $\beta_{lk}=\alpha_{kl}$이 성립하고, $L^\ast$의 행렬표현은 다음의 식

\[[L^\ast]_{\mathcal{B}^\ast}^{\mathcal{C}^\ast}=\begin{pmatrix}\alpha_{11}&\alpha_{21}&\cdots&\alpha_{m1}\\\alpha_{12}&\alpha_{22}&\cdots&\alpha_{m2}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\alpha_{1n}&\alpha_{2n}&\cdots&\alpha_{mn}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\alpha_{11}&\alpha_{12}&\cdots&\alpha_{1n}\\\alpha_{21}&\alpha_{22}&\cdots&\alpha_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\alpha_{m1}&\alpha_{m2}&\cdots&\alpha_{mn}\end{pmatrix}^t=\bigl([L]_\mathcal{C}^\mathcal{B}\bigr)^t\]

을 만족한다. 즉 전치행렬은 별다른 것이 아니라 dual map의 행렬표현에 해당하는 행렬이었던 것이다.

직교여공간

우선 다음 명제가 성립한다.

명제 6 두 $F$-벡터공간 $V,W$, 그리고 linear map $L:V\rightarrow W$와 그 dual $L^\ast:W^\ast\rightarrow V^\ast$가 주어졌다 하자.

1. 만약 $L$이 단사라면 $L^\ast$는 전사이다.
2. 만약 $L$이 전사라면 $L^\ast$는 단사이다.

증명

두 주장 모두 §선형사상들의 공간, ⁋따름정리 2에 의해 자명하다.

1. 만약 $L$이 단사라면 $R\circ L=\id_V$를 만족하는 $R:W\rightarrow V$가 존재한다. 따라서 임의의 $f\in V^\ast$에 대하여, $f\circ R$은 $W$에서 $F$로의 함수, 즉 $W^\ast$의 원소이고

   \[L^\ast(f\circ R)=(f\circ R)\circ L=f\circ(R\circ L)=f\circ\id_V=f\]

   를 만족하므로 $L^\ast$는 전사이다.

2. 만약 $L$이 전사라면 $L\circ S=\id_W$를 만족하는 $S:W\rightarrow V$가 존재한다. 따라서, 만일 어떤 $f\in W^\ast$가 $L^\ast(f)=0$을 만족한다면,

   \[L^\ast(f)=f\circ L=0\implies 0=(f\circ L)\circ S=f\circ(L\circ S)=f\circ\id_W=f\]

   이므로 $L^\ast$는 단사이다.

이 명제는 $\ker L$과 $\im L^\ast$, 그리고 $\im L$과 $\ker L^\ast$ 사이에 특정한 관계가 있다는 것을 암시한다. 우선 다음을 정의하자.

정의 7 Canonical pairing $(-,-)$이 주어진 $F$-벡터공간 $V$가 주어졌다 하고, 임의의 부분집합 $S\subseteq V$을 생각하자. 임의의 $v\in S$에 대하여 $(v,f)=0$을 만족하는 $f\in V^\ast$의 모임을 $S$의 orthogonal complement_{직교여공간} 혹은 annihilator_소멸자라 부르고, $S^\perp$로 표기한다.

이와 비슷하게, 임의의 부분집합 $T\subseteq V^\ast$가 주어졌다 하자. 그럼 임의의 $f\in T$에 대하여 $(v,f)=0$을 만족하는 $v\in V$의 모임을 $T$의 orthogonal complement라 부르고 $T^\perp$로 표기한다.

특별히 $S$ 혹은 $T$가 singleton인 경우 이를 $v^\perp$ 혹은 $f^\perp$와 같이 표현하기도 한다.

임의의 $v\in V$에 대하여 $v^\perp$가 $V^\ast$의 부분공간이 된다는 것은 $(-,-)$이 bilinear라는 사실로부터 자명하다. 이제 다음 등식

\[S^\perp=\bigcap_{v\in S}v^\perp\]

과 §벡터공간의 기저, ⁋보조정리 3을 이용하면 $S^\perp$가 $V^\ast$의 부분공간임을 안다. 이와 비슷하게 임의의 $T\subseteq V^\ast$에 대하여 $T^\perp$는 $V$의 부분공간이 된다.

명제 8 두 $F$-벡터공간 $V,W$, 그리고 linear map $L:V\rightarrow W$와 그 dual $L^\ast:W^\ast\rightarrow V^\ast$가 주어졌다 하자. 임의의 부분공간 $U\subseteq V$와 그 orthogonal complement $U^\perp$에 대하여,

\[L(U)^\perp=(L^\ast)^{-1}(U^\perp)\]

가 성립한다.

증명

Dual map $L^\ast$를 canonical pairing을 통해 정의한 식 (1)을 사용하면, 임의의 $\upsilon\in W^\ast$에 대하여

\[\upsilon\in L(U)^\perp\iff (L(u),\upsilon)=0\text{ for all $u\in U$}\iff (u, L^\ast(\upsilon))\text{ for all $u\in U$}\iff L^\ast(\upsilon)\in U^\perp\]

이 성립한다.

따름정리 9 두 $F$-벡터공간 $V,W$, 그리고 linear map $L:V\rightarrow W$와 그 dual $L^\ast:W^\ast\rightarrow V^\ast$가 주어졌다 하자. 그럼 $(\im L)^\perp=\ker(L^\ast)$이 성립한다.

증명

명제 8에서 $U=V$로 두면 된다. Canonical pairing $(-,-)$의 non-degenerate 조건으로부터 $U^\perp=\{0\}$이 되어 원하는 결과를 얻는다.

명제 8에서 $U\subseteq V$ 대신, $U\subseteq W^\ast$로 시작할 수도 있었다. 이 경우 다음의 명제를 얻는다.

명제 10 두 $F$-벡터공간 $V,W$, 그리고 linear map $L:V\rightarrow W$와 그 dual $L^\ast:W^\ast\rightarrow V^\ast$가 주어졌다 하자. 임의의 부분공간 $U\subseteq W^\ast$와 그 orthogonal complement $U^\perp$에 대하여,

\[\bigl(L^\ast(U)\bigr)^\perp=L^{-1}(U^\perp)\]

가 성립한다.

증명

이 또한 식 (1)을 사용하면, 임의의 $x\in V$에 대하여

\[x\in \bigl(L^\ast(U)\bigr)^\perp\iff (x, L^\ast(\upsilon))=0\text{ for all $\upsilon\in U$}\iff (L(x),\upsilon)=0\text{ for all $\upsilon\in U$}\iff L(x)\in U^\perp\]

이므로 자명하다.

따름정리 11 두 $F$-벡터공간 $V,W$, 그리고 linear map $L:V\rightarrow W$와 그 dual $L^\ast:W^\ast\rightarrow V^\ast$가 주어졌다 하자. 그럼 $\bigl(\im L^\ast\bigr)^\perp=\ker L$이 성립한다.

증명

명제 10에서 $U=W^\ast$로 두면 된다.

---

참고문헌

[Lee] 이인석, 선형대수와 군, 서울대학교 출판문화원, 2005.
[Bou] Bourbaki, N. Algebra I, Elements of Mathematics. Springer-Verlag Berlin, 1998.

---