Ordinal의 엄밀한 정의
우리는 앞선 글에서 ordinal을 간략하게 소개한 후, 이를 정의하는 것은 well-ordered set을 정의한 이후로 미뤄뒀었다. 이제 우리는 ordinal number를 엄밀하게 정의할 준비가 되었다.
명제 1 Well-ordered set \(A\)의 segment들을 모두 모은 집합을 \(A^\ast\)라 하자. 그럼 \((A^\ast,\subseteq)\) 또한 well-ordered set이며, 함수 \(x\mapsto S_x\)는 \(A\)와 \(A^\ast\setminus\{A\}\) 간의 order isomorphism이다.
증명
§유향집합, ⁋명제 6을 사용한다. \(S\)가 순증가이고 \(s(A)=A^\ast\setminus\{A\}\)임을 보이자.
\(s\)가 증가함수인 것은 자명하다. 만약 \(x\leq y\)이고 \(a\in S_x\)라면, \(a < x\leq y\)이므로 \(a\in S_y\)이기 때문이다. 또, 이 포함관계는 strict한데, 만약 \(x < y\)라면, \(x\not< x\)이고 \(x < y\)이므로 \(x\not\in S_x\)지만 \(x\in S_y\)이기 때문이다. 따라서 함수 \(s\)는 \(A\)와 그 image 사이의 isomorphism이다. 따라서 §서수와 정렬집합, ⁋명제 5에 의해 \(s(A)=A^\ast\setminus\{A\}\)이다.
마지막으로 \(A^\ast\)가 well-ordered임을 보이자. \(s(A)\)가 well-ordered이므로, \(s(A)=A^\ast\setminus\{A\}\)에 최대원소 \(A\)를 추가하면 (§순서집합의 원소들, ⁋명제 4) \(A^\ast\)를 얻고, 이렇게 얻어진 집합은 다시 well-ordered이다.
위 명제의 isomorphism을 통하면 well-ordered set을 다음의 정의
각각의 well-ordered set은, 자신보다 작은 well-ordered set들에 \(\subset\)으로 포함관계가 주어진 집합이다.
처럼 취급해도 된다.
정의 2 (von Neumann) 집합 \(S\)가 ordinal서수이라는 것은, \(S\)의 각각의 원소들이 \(\in\)으로 strictly well-ordered되어있고, 또 \(S\)의 각각의 원소들이 \(S\)의 부분집합이기도 한 것이다.
\(\emptyset\)은 vacuous하게 ordinal이고, 모든 자연수들도 ordinal이 된다. 자연수를 나타내는 집합은 (유한집합이고 totally ordered set이므로) well-ordered set임은 자명하고, 또 예를 들어, \(2\in 3=\{0,1,2\}\)라면 \(2=\{0,1\}\) 또한 \(3\)의 부분집합이 되기 때문이다. 일반적인 ordinal들은 그리스 소문자로 적는 것이 관례이다.
더 일반적으로, 다음이 성립한다.
명제 3 만일 \(\alpha\)가 ordinal number라면, \(\alpha\)의 successor \(S(\alpha)=\alpha\cup\{\alpha\}\) 또한 ordinal이다.
증명
우선, \(S(\alpha)=\alpha\cup\{\alpha\}\)의 모든 원소는 \(S(\alpha)\)의 부분집합이다. 집합 \(\alpha\)에 들어있던 원소들은 \(\alpha\)를 포함하는 집합인 \(S(\alpha)\)에도 들어있을 것이고, 우리가 새로 추가한
다음 명제는 이렇게 successor funcion \(S\)를 도입하는 것보다 더더욱 일반적인 방법으로
명제 4 \((A_i)_{i\in I}\)가 well-ordered set들의 family이고, 어떠한 \(i,j\in I\)에 대해서도 \(A_i\)와 \(A_j\) 중 어느 하나는 다른 하나의 segment라 하자. 그럼 집합 \(A=\bigcup_{i\in I}A_i\) 위에서의 유일한 order relation이 존재한다. 이는 well-ordering이고 \(A_i\)의 segment는 \(A\)의 segment가 되며, \(A\) 자기자신을 제외한 \(A\)의 segment는 어떤 \(A_i\)의 segment가 된다.
원하는 order relation의 존재성과 유일성을 직접 보이는 대신, 이 조건보다 더 약화된 조건 하에서 더 일반적인 결과를 보이자.
보조정리 5 Ordered set들의 family \((A_i)_{i\in I})\)가 포함관계에 대하여 right directed이고, \(A_i\subseteq A_j\)일 때마다
증명
각각의 \(A_i\)에 대하여, \(R_i\)가 order relation이라 하자. 만약 각각의 order relation을 확장하는 \(A\) 위의 ordering \(R\)이 존재한다면, \(R_i\subseteq R\)이다. 반대로 만일 \((x,y)\in R\)라면 \(x\)와 \(y\)를 포함하는 \(A_i,A_j\)가 존재하므로, 어떤 \(A_k\)가 존재하여 \(x\)와 \(y\)를 동시에 포함한다. 한편 \((x,y)\in R_k\)이므로 \((x,y)\in\bigcup_{i\in I}R_i\)이다. 따라서 만일 그러한 관계가 존재한다면 이는 유일하며 반드시 \(\bigcup_{i\in I}R_i\)가 되어야 한다.
따라서 \(R=\bigcup_{\alpha\in A}R_\alpha\)가 실제로 이 조건들을 만족함을 보이면 된다. 우선 정의에 의해 \(R\)이 모든 \(R_i\)를 확장하는 것은 자명하므로, \(R\)가 order relation임을 보이자. 임의의 \(x\in A\)에 대하여, 만일 \(x\in X_i\)라면 \((x,x)\in R_i\subseteq R\)가 되므로 \((x,x)\in R\)이다. 비슷하게 만일 \((x,y)\in R\)라면, 어떤 \(X_k\)가 존재하여 \(x\)와 \(y\)를 동시에 포함하며, 이 집합에서의 order relation들의 조건에 의해 \((y,x)\in R_k\subseteq R\)이다. Transitivity을 보이기 위해서는, \((x,y)\in R\)과 \((y,z)\in R\)을 가정한 후, \(x\), \(y\), \(z\)를 모두 포함하는 집합 \(X_l\)를 찾아서, \((x,z)\in R_l\)로 결론을 내리면 된다.
이제 이렇게 정의된 order relation이 주어진 성질들을 모두 만족함을 보이면 된다.
명제 4의 증명
우선 모든 \(A_i\)와 이들의 segment들이 \(A\)의 segment가 됨을 보이자. 임의의 \(A_i\)와 \(x\in A_i\)에 대하여, 어떠한 \(y\in A\)가 주어졌다고 하자. 그럼 어떤 \(A_j\)가 존재하여 \(y\in A_j\)이다. 이제 \(y\leq x\)라 하자. 가정에 의해 \(A_i\)가 \(A_j\)의 segment이거나 \(A_j\)가 \(A_i\)의 segment이다. 만일 \(A_i\)가 \(A_j\)의 segment라면, \(A_j\)의 원소로서 \(y\leq x\)는 \(y\in A_i\)이다. 만약 반대로 \(A_j\)가 \(A_i\)의 segment였다면, \(A_j\subseteq A_i\)이고, 특히 \(y\in A_i\)이다. 어떤 경우이건 \(y\in A_i\)이고, 따라서 \(A_i\)는 \(A\)의 segment이다. \(A_i\)의 segment들도 비슷하게 \(A\)의 segment임을 보일 수 있다.
이제 \(A\)가 well-ordered임을 보이자. \(X\)가 \(A\)의 임의의 부분집합이라 하자. 그럼 어떤 \(A_i\)가 존재하여 \(X\cap A_i\neq\emptyset\)이다. Well-ordered set \(A_i\)의 부분집합으로서, \(A_i\cap X\)의 least element가 존재한다. 이를 \(a\)라 하자. 이제 \(a\)가 \(X\)의 least element임을 보일 것이다. 임의의 \(x\in X\)에 대하여, \(x\in A_j\)인 \(A_j\)가 존재하며, 이는 \(A_i\)의 segment이거나 \(A_i\)를 segment로 포함한다. 만일 \(A_j\)가 \(A_i\)의 segment라면, \(x\in A_i\)이고, 따라서 \(x\in A_i\cap X\)이고 \(a\leq x\)이다 (minimality of \(a\)). 반대로 \(A_i\)가 \(A_j\)의 segment라면, \(x<a\)는 불가능하다. 그렇게 된다면 \(x\in A_i\)이므로 \(a\)의 minimality에 모순이기 때문이다. 어떠한 경우든, 임의의 \(x\in X\)에 대하여 \(a\leq x\)이므로 \(a\)는 \(X\)의 least element이다.
마지막으로, 임의의 segment \(S\)는 \((-\infty, x)\)의 꼴이므로, \(x\in A_i\)이도록 \(A_i\)를 잡으면 \((-\infty, x)\)는 \(A_i\)의 segment가 된다.
자연수에서 귀납법이 성립하는 가장 큰 이유는 각각의 자연수들이 successor function \(S\)를 이용해서 순차적으로 정의되었기 때문이다. 그러나, 이 아이디어를 일반적인 ordinal로 확장하는 것은 다소 어려움이 있다. Ordinal \(\omega+1\)의 순서 구조를 살펴보면,
\[0,1,2,\cdots; \omega\]와 같이 \(\omega\) 이전에 무한히 많은 자연수들을 거쳐야 하기 때문에, 귀납법을 순차적으로 사용하는 것이 불가능하기 때문이다. 이건 \(\omega\)가 갖는 특정한 성질 때문이다. 즉, \(\omega\) 이전에 나오는 \(0,1,2,\cdots\)는 \(\omega\)의 원소들인데, 이들이 maximal element를 갖지 않기 때문이다. 우선 이러한 상황을 다음과 같이 정의한다.
정의 6 임의의 ordinal \(\alpha\)에 대하여, \(\alpha\)의 maximal element \(\beta\)가 존재하면 \(\alpha\)를 successor ordinal따름서수이라 정의하고, 그렇지 않다면 \(\alpha\)를 limit ordinal극한서수이라 부른다.
만약 \(\alpha\)가 successor ordinal이고, \(\beta\)가 \(\alpha\)의 maximal element라면 \(\alpha=S(\beta)=\beta+1\)이라 할 수 있기 때문에 그러한 이름을 붙여주었다.
하지만 limit ordinal의 존재에도 불구하고, ordinal에 대해서도 귀납법 비슷한 것을 사용하는 것이 가능하다.
보조정리 7 (Transfinite induction) \(A\)가 well-ordered set이고, \(\mathcal{S}\)가 다음의 조건을 만족하는 segment들의 모임이라 하자.
- \(\mathcal{S}\)는 임의의 합집합에 대하여 닫혀있다.
- 만일 \(S_a\in\mathcal{S}\)라면, \(S_a\cup\{a\}\in\mathcal{S}\)
그럼 \(A\)의 모든 segment는 \(\mathcal{S}\)에 속한다.
증명
결론을 부정하여 모순을 찾자. \(\mathcal{S}\subseteq A^\ast\)이므로, \(A^\ast\setminus\mathcal{S}\)의 least element \(S\)가 존재한다. 만일 \(S\)가 greatest element를 갖지 않는다면, \(S=\bigcup_{x\in S}S_x\)인데, 최소성에 의해 각각의 \(S_x\)는 \(\mathcal{S}\)의 원소이고, 1에 의해, \(S\in\mathcal{S}\)이다. 만일 \(S\)가 greatest element \(a\)를 갖는다면, \(S=S_a\cup\{a\}\)인데, 다시 최소성에 의해 \(S_a\in\mathcal{S}\)이다. 이제 (ii)에 의해 \(S=S_a\cup\{a\}\in\mathcal{S}\)여야 한다. 이는 모순이므로 \(A^\ast\setminus\mathcal{S}\)의 least element는 존재하지 않고, 따라서 \(\mathcal{S}=A^\ast\)이다.
여기에서, \(A\)는 어떤 큰 ordinal (limit ordinal이건 successor ordinal이건 상관 없이)이고, 따라서 귀납법을 일반화할 때 걸리적거렸던 limit ordinal의 존재가 이 보조정리를 통해 해소된다. 이것을 가능하게 만드는 것은 1번의 조건이다. 예를 들어, \(\omega\)는 \(1,2,\ldots\)의 무한한 합집합으로 만들 수 있기 때문이다.
이와 비슷하게, ordinal에 대해서도 transfinite recursion theorem을 만들어서 ordinal들의 연산을 정의할 수 있다. 하지만, 우리는 대부분의 경우에 ordinal들의 모임에 주어진 order relation이 궁금하기 때문에 이는 다루지 않기로 한다.
참고문헌
[HJJ] K. Hrbacek, T.J. Jeck, and T. Jech. Introduction to Set Theory. Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics. M. Dekker, 1978.
[Bou] N. Bourbaki, Theory of Sets. Elements of mathematics. Springer Berlin-Heidelberg, 2013.
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