이제 우리는 위상수학에서 중요한 개념 중 하나인 연결성에 대해 살펴본다.
정의 1 위상공간 \(X\)가 connected space연결공간라는 것은 \(X\)가 두 개의 서로소인 열린집합의 합집합으로 나타날 수 없는 것이다. 더 일반적으로, \(X\)의 부분집합 \(A\)가 connected라는 것은 \(A\)에 subspace topology를 준 것이 connected인 것이다.
즉 어떤 위상공간이 disconnected라는 것은
명제 2 Connected set \(A\subseteq X\)에 대해서, \(A\subseteq B \subseteq \cl(A)\)를 만족하는 \(B\)는 connected이다.
증명
주어진 상황에서,
\[\cl_B(A)=B\cap \cl_X(A)=B\]이므로 \(A\)는 \(B\)의 dense subset이다. (§부분공간, ⁋명제 5) 이제 결론에 반하여 \(B\)의 서로소인 두 열린집합 \(U,V\)가 존재하여 \(U\cup V=B\)라 하자. 그럼 \(A\)는 \(B\)의 dense subset이므로 \(U\cap A, V\cap A\)는 모두 공집합이 아니며 \(U\cap V\cap A=\emptyset\)이다. 이는 \(A\)가 connected라는 가정에 모순이다.
또, 직관적으로 다음 명제 또한 납득할 만하다.
명제 3 Connected set들의 family \((A_i)\)에 대하여, 만일 임의의 \(i,j\)마다 \(A_i\cap A_j\neq\emptyset\)이 성립한다면 \(A=\bigcup A_i\)도 connected이다.
증명
결론에 반하여 두 열린집합 \(U,V\)가 존재하여 두 조건
\[A=(U\cap A)\cup (V\cap A),\qquad U\cap V\cap A=\emptyset\]이 성립한다 가정하자. 우선 임의의 \(i\)에 대하여, \(A_i\)는 connected이므로 두 식 \(A_i\subseteq U\) 혹은 \(A_i\subseteq V\) 중 정확히 하나만이 성립해야 한다. 한편, 만일 \(A_i\subseteq U\)이고 \(A_j\subseteq V\)라면
\[A_i\cap A_j\subseteq (U\cap A)\cap (V\cap A)=U\cap V\cap A=\emptyset\]가 되어 모순이므로 \(A_i\)들은 모두 동시에 \(U\)에 속하거나 동시에 \(V\)에 속해야 한다. 그럼 \(U\cap A=\emptyset\)이거나 \(V\cap A=\emptyset\)이어야 한다.
연결집합의 성질들
연결성은 연속함수에 의해 보존되는 성질이다.
명제 4 임의의 연속함수 \(f:X \rightarrow Y\)와 \(X\)의 connected subset \(A\subseteq X\)에 대하여, \(f(A)\)도 connected이다.
증명
결론에 반하여 \(f(A)\)가 connected가 아니라 하고,
\[f(A)=(V_1\cap f(A))\cup (V_2\cap f(A)), \qquad V_1\cap V_2\cap f(A)=\emptyset\]이도록 하는 \(Y\)의 열린집합 \(V_1,V_2\)를 택하자. 그럼 \(f^{-1}(V_1),f^{-1}(V_2)\)는 \(X\)의 열린집합이며,
\[A=(A\cap f^{-1}(V_1))\cup (A\cap f^{-1}(V_2)),\qquad f^{-1}(V_1)\cap f^{-1}(V_2)\cap A=\emptyset\]이다. 이제 \(A\)가 connected라는 가정으로부터 \(V_1\cap f(A)=\emptyset\)이거나 \(V_2\cap f(A)=\emptyset\)이어야 한다는 것을 안다.
이로부터 다음 따름정리는 자명하다.
따름정리 5 Connected space의 quotient space는 connected이다.
또, 다음이 성립한다.
명제 6 Connected space들의 product는 connected이다. 거꾸로, product가 connected라면 각각의 성분들도 connected이다.
증명
뒤쪽 방향은 \(\pr_i\)에 대해 명제 4를 사용하면 되므로 증명할 것이 없다.
따라서 각각의 \(X_i\)들이 connected라 하고, 결론에 반하여 \(X=\prod X_i\)가 connected가 아니라 하자. \(X=U\cup V\)이고 \(U\cap V=\emptyset\), \(U,V\neq\emptyset\)이라 하면
\[f(x)=\begin{cases}1&\text{if $x\in U$}\\0&\text{if $x\in V$}\end{cases}\]으로 정의한 함수 \(f:X \rightarrow \{0,1\}\)은 연속이다. (여기서 \(\{0,1\}\)은 discrete topology가 주어진 공간이다.)
이제 원소 \(a=(a_i)\in X\)를 고정하고, \(\iota_i: X_i \rightarrow X\)를 \(i\)번째 성분만 \(x\)이고, 나머지 성분은 \(a\)로부터 받아오는 함수로 정하자. 그럼 \(f\circ\iota_i\)는 \(X_i\)에서 \(\{0,1\}\)로의 연속함수이며, \(X_i\)가 connected라는 가정으로부터 \(f_i\)는 상수함수여야 하는 것을 안다. 따라서 귀납법에 의하여, 유한 개를 제외한 성분이 모두 \(a\)와 같은 \(X\)의 점 \(x\)들은 \(f(x)=f(a)\)를 만족해야 한다는 것을 안다. 이러한 점들은 \(X\)의 dense subset이므로, \(f\)는 \(X\) 전체에서 상수함수여야 하고 이는 모순이다.
연결성분
한편 고정된 \(x\in X\)에 대하여, \(x\)를 포함하는 connected set들의 모임은 명제 3의 전제조건을 만족하고 따라서 \(x\)를 포함하는 가장 큰 connected set이 말이 된다.
정의 7 \(X\)의 점 \(x\in X\)를 포함하는 connected component연결성분는 \(x\)를 포함하는 \(X\)의 connected subset 중 가장 큰 것이다. 만일 \(X\)의 임의의 점 \(x\)를 포함하는 connected componenet가 항상 \(\{x\}\) 자기자신이라면 \(X\)를 totally disconnected라 부른다.
정의에 의하여, 만일 \(X\)가 connected라면 \(X\)는 유일한 connected component를 갖는다. 더 일반적으로 임의의 \(X\)는 connected component들의 합집합
\[X=\bigcup_{i\in I} U_i\]으로 나타낼 수 있다. 한편 명제 2에 의하여 각각의 \(U_i\)들은 반드시 닫힌집합이어야 한다. 만일 \(I\)가 유한집합이라면, \(U_i\)들은 모두 열린집합인 동시에 닫힌집합이어야 함을 안다. 물론 이는 무한히 많은 connected component에 대해서는 적용되지 않지만, 임의의 위상공간의 clopen set은 반드시 connected component들의 union으로 나타나야한다. 만일 그렇지 않고 어떠한 connected component \(C\)가 clopen set \(A\)와 만나면서 동시에 \(A\)의 여집합과도 만난다면 \(C\cap A\)와 \(C\setminus A\)가 \(C\)를 나누는 두 열린집합이 될 것이기 때문이다.
뿐만 아니라 다음이 성립한다.
명제 8 위상공간 \(X\) 위에 동치관계 \(\sim\)을
\[x\sim y\iff \text{$x$ and $y$ lies in the same component}\]로 정의하자. 그럼 \(X/{\sim}\)은 totally disconnected이다.
이에 대한 증명은 자명하다.
국소연결공간
정의 9 위상공간 \(X\)가 점 \(x\in X\)에서 locally connected국소연결이라는 것은 \(x\)의 임의의 근방 \(U\)가 주어질 때마다, \(U\)에 속하는 \(x\)의 connected neighborhood가 존재하는 것이다. 모든 점에서 locally connected인 공간을 간단히 locally connected space라 부른다.
그럼 다음이 성립한다.
명제 10 \(X\)가 locally connected인 것과, \(X\)의 열린집합을 포함하는 임의의 component가 항상 open인 것이 동치이다.
경로연결공간
한편 우리는
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