연결공간

이제 우리는 위상수학에서 중요한 개념 중 하나인 연결성에 대해 살펴본다.

정의 1 위상공간 $X$가 connected space_연결공간라는 것은 $X$가 두 개의 서로소인 열린집합의 합집합으로 나타날 수 없는 것이다. 더 일반적으로, $X$의 부분집합 $A$가 connected라는 것은 $A$에 subspace topology를 준 것이 connected인 것이다.

그럼 다음의 간단한 결과가 성립한다.

명제 2 Connected set $A\subseteq X$에 대해서, $A\subseteq B \subseteq \cl(A)$를 만족하는 $B$는 connected이다.

증명

주어진 상황에서,

\[\cl_B(A)=B\cap \cl_X(A)=B\]

이므로 $A$는 $B$의 dense subset이다. (§부분공간, ⁋명제 5) 이제 결론에 반하여 $B$의 서로소인 두 열린집합 $U,V$가 존재하여 $U\cup V=B$라 하자. 그럼 $A$는 $B$의 dense subset이므로 $U\cap A, V\cap A$는 모두 공집합이 아니며 $U\cap V\cap A=\emptyset$이다. 이는 $A$가 connected라는 가정에 모순이다.

또, 직관적으로 다음 명제 또한 납득할 만하다.

명제 3 Connected set들의 family $(A_i)$에 대하여, 만일 임의의 $i,j$마다 $A_i\cap A_j\neq\emptyset$이 성립한다면 $A=\bigcup A_i$도 connected이다.

증명

결론에 반하여 두 열린집합 $U,V$가 존재하여 두 조건

\[A=(U\cap A)\cup (V\cap A),\qquad U\cap V\cap A=\emptyset\]

이 성립한다 가정하자. 우선 임의의 $i$에 대하여, $A_i$는 connected이므로 두 식 $A_i\subseteq U$ 혹은 $A_i\subseteq V$ 중 정확히 하나만이 성립해야 한다. 한편, 만일 $A_i\subseteq U$이고 $A_j\subseteq V$라면

\[A_i\cap A_j\subseteq (U\cap A)\cap (V\cap A)=U\cap V\cap A=\emptyset\]

가 되어 모순이므로 $A_i$들은 모두 동시에 $U$에 속하거나 동시에 $V$에 속해야 한다. 그럼 $U\cap A=\emptyset$이거나 $V\cap A=\emptyset$이어야 한다.

연결집합의 성질들

연결성은 연속함수에 의해 보존되는 성질이다.

명제 4 임의의 연속함수 $f:X \rightarrow Y$와 $X$의 connected subset $A\subseteq X$에 대하여, $f(A)$도 connected이다.

증명

결론에 반하여 $f(A)$가 connected가 아니라 하고,

\[f(A)=(V_1\cap f(A))\cup (V_2\cap f(A)), \qquad V_1\cap V_2\cap f(A)=\emptyset\]

이도록 하는 $Y$의 열린집합 $V_1,V_2$를 택하자. 그럼 $f^{-1}(V_1),f^{-1}(V_2)$는 $X$의 열린집합이며,

\[A=(A\cap f^{-1}(V_1))\cup (A\cap f^{-1}(V_2)),\qquad f^{-1}(V_1)\cap f^{-1}(V_2)\cap A=\emptyset\]

이다. 이제 $A$가 connected라는 가정으로부터 $V_1\cap f(A)=\emptyset$이거나 $V_2\cap f(A)=\emptyset$이어야 한다는 것을 안다.

이로부터 다음 따름정리는 자명하다.

따름정리 5 Connected space의 quotient space는 connected이다.

또, 다음이 성립한다.

명제 6 Connected space들의 product는 connected이다. 거꾸로, product가 connected라면 각각의 성분들도 connected이다.

증명

뒤쪽 방향은 $\pr_i$에 대해 명제 4를 사용하면 되므로 증명할 것이 없다.

따라서 각각의 $X_i$들이 connected라 하고, 결론에 반하여 $X=\prod X_i$가 connected가 아니라 하자. $X=U\cup V$이고 $U\cap V=\emptyset$, $U,V\neq\emptyset$이라 하면

\[f(x)=\begin{cases}1&\text{if $x\in U$}\\0&\text{if $x\in V$}\end{cases}\]

으로 정의한 함수 $f:X \rightarrow \{0,1\}$은 연속이다. (여기서 $\{0,1\}$은 discrete topology가 주어진 공간이다.)

이제 원소 $a=(a_i)\in X$를 고정하고, $\iota_i: X_i \rightarrow X$를 $i$번째 성분만 $x$이고, 나머지 성분은 $a$로부터 받아오는 함수로 정하자. 그럼 $f\circ\iota_i$는 $X_i$에서 $\{0,1\}$로의 연속함수이며, $X_i$가 connected라는 가정으로부터 $f_i$는 상수함수여야 하는 것을 안다. 따라서 귀납법에 의하여, 유한 개를 제외한 성분이 모두 $a$와 같은 $X$의 점 $x$들은 $f(x)=f(a)$를 만족해야 한다는 것을 안다. 이러한 점들은 $X$의 dense subset이므로, $f$는 $X$ 전체에서 상수함수여야 하고 이는 모순이다.

연결성분

한편 고정된 $x\in X$에 대하여, $x$를 포함하는 connected set들의 모임은 명제 3의 전제조건을 만족하고 따라서 $x$를 포함하는 가장 큰 connected set이 말이 된다.

정의 7 $X$의 점 $x\in X$를 포함하는 connected component_연결성분는 $x$를 포함하는 $X$의 connected subset 중 가장 큰 것이다. 만일 $X$의 임의의 점 $x$를 포함하는 connected componenet가 항상 $\{x\}$ 자기자신이라면 $X$를 totally disconnected라 부른다.

정의에 의하여, 만일 $X$가 connected라면 $X$는 유일한 connected component를 갖는다. 더 일반적으로 임의의 $X$는 connected component들의 합집합

\[X=\bigcup_{i\in I} U_i\]

으로 나타낼 수 있다. 한편 명제 2에 의하여 각각의 $U_i$들은 반드시 닫힌집합이어야 한다. 만일 $I$가 유한집합이라면, $U_i$들은 모두 열린집합인 동시에 닫힌집합이어야 함을 안다. 뿐만 아니라 다음이 성립한다.

명제 8 위상공간 $X$ 위에 동치관계 $\sim$을

\[x\sim y\iff \text{$x$ and $y$ lies in the same component}\]

로 정의하자. 그럼 $X/{\sim}$은 totally disconnected이다.

이에 대한 증명은 자명하다.

국소연결공간

정의 9 위상공간 $X$가 점 $x\in X$에서 locally connected_국소연결이라는 것은 $x$의 임의의 근방 $U$가 주어질 때마다, $U$에 속하는 $x$의 connected neighborhood가 존재하는 것이다. 모든 점에서 locally connected인 공간을 간단히 locally connected space라 부른다.

그럼 다음이 성립한다.

명제 10 $X$가 locally connected인 것과, $X$의 열린집합을 포함하는 임의의 component가 항상 open인 것이 동치이다.