연결공간

주어진 상황에서,

이므로 $A$는 $B$의 dense subset이다. (§부분공간, ⁋명제 5) 이제 결론에 반하여 $B$의 서로소인 두 열린집합 $U,V$가 존재하여 $U\cup V=B$라 하자. 그럼 $A$는 $B$의 dense subset이므로 $U\cap A, V\cap A$는 모두 공집합이 아니며 $U\cap V\cap A=\emptyset$이다. 이는 $A$가 connected라는 가정에 모순이다.

결론에 반하여 두 열린집합 $U,V$가 존재하여 두 조건

이 성립한다 가정하자. 우선 임의의 $i$에 대하여, $A_i$는 connected이므로 두 식 $A_i\subseteq U$ 혹은 $A_i\subseteq V$ 중 정확히 하나만이 성립해야 한다. 한편, 만일 $A_i\subseteq U$이고 $A_j\subseteq V$라면

가 되어 모순이므로 $A_i$들은 모두 동시에 $U$에 속하거나 동시에 $V$에 속해야 한다. 그럼 $U\cap A=\emptyset$이거나 $V\cap A=\emptyset$이어야 한다.

결론에 반하여 $f(A)$가 connected가 아니라 하고,

이도록 하는 $Y$의 열린집합 $V_1,V_2$를 택하자. 그럼 $f^{-1}(V_1),f^{-1}(V_2)$는 $X$의 열린집합이며,

이다. 이제 $A$가 connected라는 가정으로부터 $V_1\cap f(A)=\emptyset$이거나 $V_2\cap f(A)=\emptyset$이어야 한다는 것을 안다.

뒤쪽 방향은 $\pr_i$에 대해 명제 4를 사용하면 되므로 증명할 것이 없다.

따라서 각각의 $X_i$들이 connected라 하고, 결론에 반하여 $X=\prod X_i$가 connected가 아니라 하자. $X=U\cup V$이고 $U\cap V=\emptyset$, $U,V\neq\emptyset$이라 하면

으로 정의한 함수 $f:X \rightarrow \{0,1\}$은 연속이다. (여기서 $\{0,1\}$은 discrete topology가 주어진 공간이다.)

이제 원소 $a=(a_i)\in X$를 고정하고, $\iota_i: X_i \rightarrow X$를 $i$번째 성분만 $x$이고, 나머지 성분은 $a$로부터 받아오는 함수로 정하자. 그럼 $f\circ\iota_i$는 $X_i$에서 $\{0,1\}$로의 연속함수이며, $X_i$가 connected라는 가정으로부터 $f_i$는 상수함수여야 하는 것을 안다. 따라서 귀납법에 의하여, 유한 개를 제외한 성분이 모두 $a$와 같은 $X$의 점 $x$들은 $f(x)=f(a)$를 만족해야 한다는 것을 안다. 이러한 점들은 $X$의 dense subset이므로, $f$는 $X$ 전체에서 상수함수여야 하고 이는 모순이다.