옹골성

이제 우리는 옹골성과 관련된 남은 결과들 및 이 정의의 변주들을 살펴본다.

Tychonoff theorem

Compact space의 임의의 product는 다시 compact space가 된다. 만일 이 product가 유한이라면 이 결과는 보다 직관적인 방식으로 보일 수 있지만, 이 product가 무한하다면 이를 위해서는 다음 보조정리가 필요하다. 이는 §옹골성과 필터의 수렴, ⁋명제 5를 filter의 언어로 일반화한 것이다.

보조정리 1 위상공간 \(X\)가 compact인 것은 임의의 ultrafilter가 수렴하는 것과 동치이다.

증명

우선 \(X\)가 compact라 가정하고, 임의의 ultrafilter \(\mathcal{F}\)가 주어졌다 하자. 결론에 반하여 \(\mathcal{F}\)의 limit point가 존재하지 않는다 하자. 즉, 어떠한 \(x\in X\)에 대해서도 열린근방 \(U_x\)가 존재하여 \(U_x\not\in \mathcal{F}\)이도록 할 수 있다. 그럼 \(X\)의 compactness에 의하여 \(X\)의 유한한 subcover \(U_{x_1},\ldots, U_{x_n}\)이 존재한다.

한편 [집합론] §필터와 아이디얼, 갈루아 대응, ⁋명제 5에 의하여 \(\mathcal{F}\)는 prime이다. 즉, 임의의 부분집합 \(A\subseteq X\)에 대하여, \(A\in \mathcal{F}\) 혹은 \(X\setminus A\in \mathcal{F}\) 중 정확히 하나가 성립한다. 그럼 이제 임의의 \(A\in \mathcal{F}\)에 대하여,

\[A=A\cap X=(A\cap U_{x_1})\cup \cdots\cup (A\cap U_{x_n})\in \mathcal{F}\]

이며, 가정에 의하여 \(U_{x_i}\not\in \mathcal{F}\)이므로 각각의 \(A\cap U_{x_i}\)들도 \(\mathcal{F}\)에 속하지 않으며 \(\mathcal{F}\)가 maximal이므로 \(X\setminus (A\cap U_{x_i})\in \mathcal{F}\)여야 한다. 그럼 이들의 유한한 교집합

\[X\setminus A=(X\setminus (A\cap U_{x_1}))\cap\cdots\cap (X\setminus (A\cap U_{x_n}))\]

도 \(\mathcal{F}\)에 속해야 하므로, 이는 \(\mathcal{F}\)가 maximal이라는 가정에 모순이다.

거꾸로 임의의 ultrafilter \(\mathcal{F}\)가 주어질 때마다 limit point \(x\)를 찾을 수 있다 하고, finite intersection property를 만족하는 \(X\)의 닫힌집합들의 family \(\mathcal{A}\)가 주어졌다 하자. 그럼 \(\mathcal{A}\)에 의해 생성되는 filter를 포함하는 ultrafilter \(\mathcal{F}\)를 생각할 수 있으며, 가정에 의해 \(\mathcal{F}\)는 limit point \(x\)를 가진다. 즉 \(\mathcal{N}(x)\subseteq \mathcal{F}\)이며, 따라서 임의의 \(F\in \mathcal{F}\)마다 적당한 \(x\)의 근방 \(U\)가 존재하여 \(U\cap F\neq\emptyset\)이다. 특히 임의의 \(A\in \mathcal{A}\)에 대하여 \(A\cap U\neq\emptyset\)이도록 할 수 있는 \(x\)의 근방 \(U\)가 존재하며, 따라서 \(x\in \cl(A)=A\)가 항상 성립한다. 이로부터 \(x\in\bigcap_{A\in \mathcal{A}}A\)임을 알고, 따라서 §옹골공간, ⁋명제 11에 의해 원하는 결과를 얻는다.

그럼 다음이 성립한다.

정리 2 (Tychonoff) Compact space들 \((X_i)_{i\in I}\)의 product \(X=\prod_{i\in I} X_i\)는 compact이다. 거꾸로, 만일 product space \(X\)가 compact라면, 각각의 \(X_i\)들이 모두 compact이다.

증명

만일 \(X\)가 compact라면, 각각의 \(X_i\)들이 모두 compact라는 것은 \(\pr_i\)의 연속성과 §옹골공간, ⁋명제 8에 의해 자명하다.

반대 방향은 \(X\) 위에 정의된 임의의 ultrafilter \(\mathcal{F}\)에 대하여, \(\pr_i(\mathcal{F})\)가 \(X_i\)의 ultrafilter base를 정의한다는 것을 확인한 후, \(X_i\)가 compact라는 가정과 보조정리 1로부터 이 ultrafilter의 limit point \(x_i\)를 얻고, \(x=(x_i)_{i\in I}\)가 \(\mathcal{F}\)의 limit point임을 보일 수 있으므로 다시 보조정리 1에 의해 증명이 완료된다.

국소적 옹골공간

공간 \(X\)가 compact인 것은 너무나 좋은 성질이라 우리가 다루는 공간들이 compact가 아닌 경우가 많다. 가령 실수집합 \(\mathbb{R}\)만 보아도, \((n,n+2)\)로 이루어진 open cover들을 생각하면 compact가 아니다. 따라서 이 조건은 다소 약화시킬 필요가 있다.

정의 3 위상공간 \(X\)가 점 \(x\in X\)에서 locally compact_{국소적으로 옹골}라는 것은 \(x\)를 포함하는 \(X\)의 compact neighborhood \(A\)가 존재하는 것이다. 만일 \(X\)가 모든 점에서 locally compact라면, 이를 locally compact space_{국소적 옹골공간}이라 부른다.

그럼 §옹골공간, ⁋보조정리 6과 비슷한 증명으로 임의의 locally compact Hausdorff space는 regular라는 것을 보일 수 있다. 다음 정리는 locally compact Hausdorff space에 대한 중요한 정보를 준다.

정리 4 (Alexandroff) Locally compact Hausdorff space \(X\)가 주어졌다 하자. 그럼 compact Hausdorff space \(X'\)와 한 점 \(\ast_{X'}\in X'\), 그리고 homeomorphism \(f: X \rightarrow X'\setminus\{\ast_{X'}\}\)가 존재한다. 뿐만 아니라, 만일 이 조건을 만족하는 또 다른 데이터 \(g: X \rightarrow X''\setminus\{\ast_{X''}\}\)가 주어졌다 하면, 유일한 homeomorphism \(h: X' \rightarrow X''\)가 존재하여 \(g=h\circ f\)이도록 할 수 있다.

증명을 조금 더 직관적으로 하기 위해 주장을 조금 덜 엄밀한 방법으로 이야기하자면, locally compact Hausdorff space가 주어진다면 여기에 한 점을 더해 이를 compact Hausdorff space로 만들 수 있으며, 이렇게 한 점을 추가하는 방법은 유일하다고 할 수 있다. 이렇게 얻어진 새로운 공간을 \(X\)의 one-point compactification이라 부르기도 한다.

정리 4의 증명

우선 유일성을 보이자. \(h\)는 당연히 \(X'\setminus\{\ast_{X'}\}\)에서는 \(f(x)\)를 \(g(x)\)로 보내고, \(\ast_{X'}\)는 \(\ast_{X''}\)로 보내도록 정의하는 것이 자연스러울 것이다. 그럼 \(h\)는 연속이다. 이를 증명하기 위해 \(X''\)의 임의의 열린집합 \(V\)가 주어졌다 하자. 만일 \(V\)가 \(\ast_{X''}\)를 포함하지 않는다면, 정의에 의하여

\[h^{-1}(V)=f(g^{-1}(V))\]

이며 \(f\)가 homeomorphism이므로 \(h^{-1}(V)\)는 \(X'\setminus\{\ast_{X'}\}\)안에서 열린집합이다. 한편 \(X'\setminus\{\ast_{X'}\}\)는 \(X'\)가 Hausdorff space라는 가정으로부터 열린집합이므로 §부분공간, ⁋보조정리 2에 의하여 \(h^{-1}(V)\)는 \(X'\)의 열린집합이다.

만일 \(V\)가 \(\ast_{X'}\)를 포함한다면, \(X''\setminus V\)는 \(X''\)의 닫힌집합이므로 compact인 부분집합이고, 따라서 \(f(X)\)의 compact인 부분집합이기도 하다. 이제 \(g\)가 homeomorphism인 것으로부터 \(g^{-1}(X''\setminus V)\)는 \(X\)의 compact subspace이고, 따라서 다음 집합

\[h^{-1}(X''\setminus V)=f(g^{-1}(X''\setminus V))\]

은 \(X'\)의 compact subspace이므로 닫힌집합이다. (§옹골공간, ⁋따름정리 5) 따라서 §연속함수, ⁋정리 4의 세 번째 조건으로부터 \(h\)가 연속임을 안다.

위의 증명으로부터, 만일 주어진 조건을 만족하는 위상공간 \(X'=X\cup \{\ast_{X'}\}\)가 존재한다면, \(X'\)의 열린집합은 다음의 두 종류

\[f(U)\quad\text{for $U$ open in $X$},\qquad X'\setminus f(C)\quad\text{for $C$ compact in $X$}\]

의 꼴이어야 한다는 것을 안다. 그럼 실제로 이것이 §열린집합, ⁋정의 1의 조건을 만족하는 것을 쉽게 보일 수 있다. 남은 것은 이렇게 주어진 위상구조가 compact Hausdorff임을 보이는 것 뿐이다.

우선 \(X'\)가 compact라는 것을 보이자. \(X'\)의 임의의 open covering \((U_i)_{i\in I}\)이 주어진다면, 이 family에는 \(\ast_{X'}\)를 포함하는 열린집합 \(U_j\)이 존재해야 하며, 위에서 정의한 위상구조에 의하여 이는 \(X\)의 compact subset \(C\)에 대해 \(U_j=X'\setminus C\)로 적을 수 있다. 한편, \(X\)의 열린집합들의 모임 \((f^{-1}(U_i))_{i\neq j}\)를 생각하자. 그럼 \((U_i)_{i\neq j}\)들이 \(f(C)\)를 덮어야 하므로 \((f^{-1}(U_i))_{i\neq j}\)는 \(C\)의 open covering이고, \(C\)가 compact라는 가정으로부터 finite subcover를 택하여 이로부터 \(X'\)의 open covering \((U_i)_{i\in I}\)의 finite subcover를 얻을 수 있다.

이제 \(X'\)가 Hausdorff임을 보이기 위해 \(X'\)의 임의의 두 점 \(x,y\in X'\)가 주어졌다 하자. 이들 둘이 모두 \(f(X)\)에 속한다면 증명할 것이 없으므로, \(y=\ast_{X'}\)라 가정할 수 있다. 그럼 \(x\)를 포함하는 \(X\)의 compact neighborhood \(C\)와 \(C\)에 속하는 \(x\)의 열린근방 \(U\)가 존재하므로, \(f(U)\)와 \(X'\setminus f(C)\)가 \(x,y\)를 분리하는 열린집합이 된다.

위상다양체

이번에는 옹골성에서 요구하는 유한성을 다소 약화시켜보자. 가령 위상공간 \(X\)의 임의의 open covering이 locally finite open subcover를 갖는 상황을 생각할 수 있다. (§집합의 내부, 폐포, 경계, ⁋정의 3) 그런데 약간의 말장난을 통해 이 조건은 사실 \(X\)의 compactness와 동치임을 보일 수 있으므로 이것만으로는 새로운 정의가 나오지 않는다. 이제 우리는 위상공간 두 open cover \((U_i)_{i\in I}\)와 \((V_j)_{j\in J}\)에 대하여, 임의의 \(V_j\)를 온전히 포함하는 \(U_i\)가 항상 존재한다면 \((V_j)_{j\in J}\)가 \((U_i)_{i\in I}\)의 (open) refinement라 부르기로 한다.

정의 5 위상공간 \(X\)가 paracompact라는 것은 \(X\)의 임의의 open covering이 locally finite open refinement를 갖는 것이다.

만일 \(X\)가 compact라면, 임의의 open covering의 finite subcover가 곧 locally finite open refinment가 되므로 임의의 compact space는 paracompact이다.

우리가 다루는 거의 모든 공간은 Hausdorff space이다. 별도로 증명을 하지는 않지만, paracompact Hausdorff space를 특징짓는 중요한 성질 중 하나는 partition of unity의 존재성이다. (정리 7)

정의 6 위상공간 \(X\)가 주어졌다 하자. 그럼 연속함수들의 집합

\[\Phi=\{\phi:X \rightarrow [0,1]\mid \text{$\phi$ continuous}\}\]

이 partition of unity_단위분할이라는 것은 다음의 두 조건

1. 임의의 \(x\in X\)에 대하여, 적당한 열린근방 \(U\)가 존재하여 \(\phi\vert_U\neq 0\)을 만족하는 \(\phi\in \Phi\)가 오직 유한 개 뿐이도록 할 수 있다.
2. 임의의 \(x\in X\)에 대하여, \(\sum_{\phi\in \Phi} \phi(x)=1\)이 성립한다.

이 성립하는 것이다. 특별히 \(X\)의 open covering \((U_i)_{i\in I}\)에 대하여, \(\supp \phi_i\subseteq U_i\)를 만족하는 partition of unity \(\Phi=(\phi_i)_{i\in I}\)를 partition of unity subordinate to \((U_i)\)라 부른다.

즉 다음이 성립한다.

정리 7 위상공간 \(X\)가 paracompact Hausdorff space인 것과, \(X\)의 임의의 open cover \((U_i)\)에 대하여 partition of unity subordinate to \((U_i)\)가 존재하는 것이 동치이다.

이에 대한 증명은 위키피디아에서 확인할 수 있다. 이를 그대로 옮겨적는 대신 이것이 어떠한 방식으로 사용되는지를 간략히 살펴보자. 이를 위해 우선 위상다양체를 정의한다. 위상다양체의 모델은 우리가 잘 알고 있는 공간, 곧 Euclidean space \(\mathbb{R}^m\)이다.

정의 8 위상공간 \(M\)이 locally Euclidean of dimension \(m\)이라는 것은 임의의 \(x\in M\)이 주어질 때마다 \(x\)의 적당한 열린근방 \(U\)가 존재하여 \(U\)가 \(\mathbb{R}^m\)의 열린집합과 homeomorphic한 것이다.

이 조건이 위상다양체의 본질이지만, 생각보다는 약한 조건이므로 우리는 여기에 몇몇 조건을 추가한다.

정의 9 Second countable, Hausdorff, locally Euclidean of dimension \(m\)인 공간을 topological manifold of dimension \(m\)이라 부른다.

그럼 증명없이 언급할 또 다른 정리로 다음이 있다.

정리 10 임의의 Hausdorff locally Euclidean topological space \(M\)에 대하여, \(M\)이 second-countable인 것과, \(M\)이 paracompact이고 countable하게 많은 connected component를 갖는 것이 동치이다. (§연결공간, ⁋정의 7)

우리는 아직 connected component가 무엇인지 정의하지 않았지만, 어쨌든 위의 정리는 논리적으로 임의의 topological manifold \(M\)은 paracompact Hausdorff이고, 따라서 topological manifold \(M\)의 임의의 open cover \((U_i)\)에 대하여 partition of unity subordinate to \((U_i)\)가 존재한다는 것을 함의한다. 특히 우리는 locally Euclidean 조건을 활용하여 open cover \((U_i)\)를 Euclidean space로 볼 수 있는데, 그럼 이 위에서 정의된 \(\mathbb{R}\)로의 연속함수라는 것은 우리가 미적분학을 배울 때부터 알고 있는 대상이다. 그럼 다음의 식

\[f=\sum \phi_i f_i\]

을 통해 \(M\) 전체에서 정의된 연속함수 \(f\)를 정의할 수 있으며 거꾸로 \(M\) 전체에서 정의된 연속함수 \(f\)가 주어졌다 하면 각각의 \(\phi_i f\)가 \(U_i\) 위에서 정의된 연속함수이다. 대부분의 경우 topological manifold는 단 하나의 connected component를 갖는 것으로 생각해도 별 문제가 없으므로, 사실상 paracompactness가 manifold를 다룰 때 필수적인 조건이라 생각할 수 있다.