옹골성

이제 우리는 옹골성과 관련된 남은 주제들을 조금 더 살펴본다.

Tychonoff theorem

첫 번째 결과는 compact space의 임의의 product가 compact라는 것이다. 이를 위해서는 다음 보조정리가 필요한데, 이는 §필터의 수렴, ⁋명제 5를 filter의 언어로 일반화한 것이다.

보조정리 1 위상공간 $X$가 compact인 것은 임의의 ultrafilter가 수렴하는 것과 동치이다.

증명

우선 $X$가 compact라 가정하고, 임의의 ultrafilter $\mathcal{F}$가 주어졌다 하자. 결론에 반하여 $\mathcal{F}$의 limit point가 존재하지 않는다 하자. 즉, 어떠한 $x\in X$에 대해서도 열린근방 $U_x$가 존재하여 $U_x\not\in \mathcal{F}$이도록 할 수 있다. 그럼 $X$의 compactness에 의하여 $X$의 유한한 subcover $U_{x_1},\ldots, U_{x_n}$이 존재한다.

한편 [집합론] §필터와 아이디얼, 갈루아 대응, ⁋명제 5에 의하여 $\mathcal{F}$는 prime이다. 즉, 임의의 부분집합 $A\subseteq X$에 대하여, $A\in \mathcal{F}$ 혹은 $X\setminus A\in \mathcal{F}$ 중 정확히 하나가 성립한다. 그럼 이제 임의의 $A\in \mathcal{F}$에 대하여,

\[A=A\cap X=(A\cap U_{x_1})\cup \cdots\cup (A\cap U_{x_n})\in \mathcal{F}\]

이며, 가정에 의하여 $U_{x_i}\not\in \mathcal{F}$이므로 각각의 $A\cap U_{x_i}$들도 $\mathcal{F}$에 속하지 않으며 $\mathcal{F}$가 maximal이므로 $X\setminus (A\cap U_{x_i})\in \mathcal{F}$여야 한다. 그럼 이들의 유한한 교집합

\[X\setminus A=(X\setminus (A\cap U_{x_1}))\cap\cdots\cap (X\setminus (A\cap U_{x_n}))\]

도 $\mathcal{F}$에 속해야 하므로, 이는 $\mathcal{F}$가 maximal이라는 가정에 모순이다.

거꾸로 임의의 ultrafilter $\mathcal{F}$가 주어질 때마다 limit point $x$를 찾을 수 있다 하고, finite intersection property를 만족하는 $X$의 닫힌집합들의 family $\mathcal{A}$가 주어졌다 하자. 그럼 $\mathcal{A}$에 의해 생성되는 filter를 포함하는 ultrafilter $\mathcal{F}$를 생각할 수 있으며, 가정에 의해 $\mathcal{F}$는 limit point $x$를 가진다. 즉 $\mathcal{N}(x)\subseteq \mathcal{F}$이며, 따라서 임의의 $F\in \mathcal{F}$마다 적당한 $x$의 근방 $U$가 존재하여 $U\cap F\neq\emptyset$이다. 특히 임의의 $A\in \mathcal{A}$에 대하여 $A\cap U\neq\emptyset$이도록 할 수 있는 $x$의 근방 $U$가 존재하며, 따라서 $x\in \cl(A)=A$가 항상 성립한다. 이로부터 $x\in\bigcap_{A\in \mathcal{A}}A$임을 알고, 따라서 §옹골공간, ⁋명제 11에 의해 원하는 결과를 얻는다.

그럼 다음이 성립한다.

정리 2 (Tychonoff) Compact space들 $(X_i)_{i\in I}$의 product $X=\prod_{i\in I} X_i$는 compact이다. 거꾸로, 만일 product space $X$가 compact라면, 각각의 $X_i$들이 모두 compact이다.

증명

만일 $X$가 compact라면, 각각의 $X_i$들이 모두 compact라는 것은 $\pr_i$의 연속성과 §옹골공간, ⁋명제 8에 의해 자명하다.

반대 방향은 $X$ 위에 정의된 임의의 ultrafilter $\mathcal{F}$에 대하여, $\pr_i(\mathcal{F})$가 $X_i$의 ultrafilter base를 정의한다는 것을 확인한 후, $X_i$가 compact라는 가정과 보조정리 1로부터 이 ultrafilter의 limit point $x_i$를 얻고, $x=(x_i)_{i\in I}$가 $\mathcal{F}$의 limit point임을 보일 수 있으므로 다시 보조정리 1에 의해 증명이 완료된다.

국소적 옹골공간

그 다음으로 정의할 개념은 locally compact space이다.

정의 3 위상공간 $X$가 점 $x\in X$에서 locally compact_{국소적으로 옹골}라는 것은 $x$를 포함하는 $X$의 compact neighborhood $A$가 존재하는 것이다. 만일 $X$가 모든 점에서 locally compact라면, 이를 locally compact space_{국소적 옹골공간}이라 부른다.

그럼 §옹골공간, ⁋보조정리 6과 비슷한 증명으로 임의의 locally compact Hausdorff space는 regular라는 것을 보일 수 있다. 다음 정리는 locally compact Hausdorff space에 대한 중요한 정보를 준다.

정리 4 (Alexandroff) Locally compact Hausdorff space $X$가 주어졌다 하자. 그럼 compact Hausdorff space $X’$와 한 점 $\ast_{X’}\in X’$, 그리고 homeomorphism $f: X \rightarrow X’\setminus\{\ast_{X’}\}$가 존재한다. 뿐만 아니라, 만일 이 조건을 만족하는 또 다른 데이터 $g: X \rightarrow X’‘\setminus\{\ast_{X’’}\}$가 주어졌다 하면, 유일한 homeomorphism $h: X’ \rightarrow X’‘$가 존재하여 $g=h\circ f$이도록 할 수 있다.

증명을 조금 더 직관적으로 하기 위해 주장을 조금 덜 엄밀한 방법으로 이야기하자면, locally compact Hausdorff space가 주어진다면 여기에 한 점을 더해 이를 compact Hausdorff space로 만들 수 있으며, 이렇게 한 점을 추가하는 방법은 유일하다고 할 수 있다. 이렇게 얻어진 새로운 공간을 $X$의 one-point compactification이라 부르기도 한다.

정리 4의 증명

우선 유일성을 보이자. $h$는 당연히 $X’\setminus\{\ast_{X’}\}$에서는 $f(x)$를 $g(x)$로 보내고, $\ast_{X’}$는 $\ast_{X’’}$로 보내도록 정의하는 것이 자연스러울 것이다. 그럼 $h$는 연속이다. 이를 증명하기 위해 $X’‘$의 임의의 열린집합 $V$가 주어졌다 하자. 만일 $V$가 $\ast_{X’’}$를 포함하지 않는다면, 정의에 의하여

\[h^{-1}(V)=f(g^{-1}(V))\]

이며 $f$가 homeomorphism이므로 $h^{-1}(V)$는 $X’\setminus\{\ast_{X’}\}$안에서 열린집합이다. 한편 $X’\setminus\{\ast_{X’}\}$는 $X’$가 Hausdorff space라는 가정으로부터 열린집합이므로 §부분공간, ⁋보조정리 2에 의하여 $h^{-1}(V)$는 $X’$의 열린집합이다.

만일 $V$가 $\ast_{X’}$를 포함한다면, $X’‘\setminus V$는 $X’‘$의 닫힌집합이므로 compact인 부분집합이고, 따라서 $f(X)$의 compact인 부분집합이기도 하다. 이제 $g$가 homeomorphism인 것으로부터 $g^{-1}(X’‘\setminus V)$는 $X$의 compact subspace이고, 따라서 다음 집합

\[h^{-1}(X''\setminus V)=f(g^{-1}(X''\setminus V))\]

은 $X’$의 compact subspace이므로 닫힌집합이다. (§옹골공간, ⁋따름정리 5) 따라서 §연속함수, ⁋정리 4의 세 번째 조건으로부터 $h$가 연속임을 안다.

위의 증명으로부터, 만일 주어진 조건을 만족하는 위상공간 $X’=X\cup \{\ast_{X’}\}$가 존재한다면, $X’$의 열린집합은 다음의 두 종류

\[f(U)\quad\text{for $U$ open in $X$},\qquad X'\setminus f(C)\quad\text{for $C$ compact in $X$}\]

의 꼴이어야 한다는 것을 안다. 그럼 실제로 이것이 §열린집합, ⁋정의 1의 조건을 만족하는 것을 쉽게 보일 수 있다. 남은 것은 이렇게 주어진 위상구조가 compact Hausdorff임을 보이는 것 뿐이다.

우선 $X’$가 compact라는 것을 보이자. $X’$의 임의의 open covering $(U_i)_{i\in I}$이 주어진다면, 이 family에는 $\ast_{X’}$를 포함하는 열린집합 $U_j$이 존재해야 하며, 위에서 정의한 위상구조에 의하여 이는 $X$의 compact subset $C$에 대해 $U_j=X’\setminus C$로 적을 수 있다. 한편, $X$의 열린집합들의 모임 $(f^{-1}(U_i))_{i\neq j}$를 생각하자. 그럼 $(U_i)_{i\neq j}$들이 $f(C)$를 덮어야 하므로 $(f^{-1}(U_i))_{i\neq j}$는 $C$의 open covering이고, $C$가 compact라는 가정으로부터 finite subcover를 택하여 이로부터 $X’$의 open covering $(U_i)_{i\in I}$의 finite subcover를 얻을 수 있다.

이제 $X’$가 Hausdorff임을 보이기 위해 $X’$의 임의의 두 점 $x,y\in X’$가 주어졌다 하자. 이들 둘이 모두 $f(X)$에 속한다면 증명할 것이 없으므로, $y=\ast_{X’}$라 가정할 수 있다. 그럼 $x$를 포함하는 $X$의 compact neighborhood $C$와 $C$에 속하는 $x$의 열린근방 $U$가 존재하므로, $f(U)$와 $X’\setminus f(C)$가 $x,y$를 분리하는 열린집합이 된다.

위상다양체

또, compactness를 다음과 같이 일반화한다.

정의 5 위상공간 $X$가 paracompact라는 것은 $X$의 임의의 open covering이 locally finite open refinement를 갖는 것이다. (§집합의 내부, 폐포, 경계, ⁋정의 3)

그럼 임의의 compact space는 paracompact임이 자명하다. 또, paracompact Hausdorff space의 닫힌집합이 다시 paracompact가 되는 것도 보일 수 있다. 이 조건을 사용하는 이유는 명제 7 때문이다.

정의 6 위상공간 $X$가 주어졌다 하자. 그럼 연속함수들의 집합

\[F=\{f:X \rightarrow [0,1]\mid \text{$f$ continuous}\}\]

이 partition of unity_단위분할이라는 것은 다음의 두 조건

1. 임의의 $x\in X$에 대하여, 적당한 열린근방 $U$가 존재하여 $f\vert_U\neq 0$을 만족하는 $f\in F$가 오직 유한 개 뿐이도록 할 수 있다.
2. 임의의 $x\in X$에 대하여, $\sum_{f\in F} f(x)=1$이 성립한다.

이 성립하는 것이다. 특별히 $X$의 open covering $(U_i)_{i\in I}$에 대하여, $\supp f_i\subseteq U_i$를 만족하는 partition of unity $F=(f_i)_{i\in I}$를 partition of unity subordinate to $(U_i)$라 부른다.

그럼 다음이 성립한다.

정리 7 $T_1$-space $X$가 paracompact Hausdorff space인 것과, $X$의 임의의 open cover $(U_i)$에 대하여 partition of unity subordinate to $(U_i)$가 존재하는 것이 동치이다.

이에 대한 증명은 위키피디아에서 확인할 수 있다.

이로부터 다음을 정의할 수 있다.

정의 8 자연수 $n$을 고정하자. 그럼 paracompact Hausdorff space $X$가 topological manifold_{위상다양체}라는 것은 임의의 $x\in X$마다 열린근방 $U$가 존재하여 $U$가 $\mathbb{R}^n$과 homeomorphic한 것을 의미한다.

특히 topological manifold는 (continuous) partition of unity를 갖는다. 한편 위의 정의에서 $X$의 차원을 $n$으로 정의하고 싶지만, 차원의 정의는 더 일반적인 경우에서 할 수 있으므로 나중으로 미루기로 한다.