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Grad. student in mathematics

집합의 포함관계

정의 1 \(A\subseteq B\)라는 것은 임의의 \(x\)에 대하여, 명제 \(x\in A\implies x\in B\)이 항상 참인 것이다.

다음의 두 명제들은 \(\subset\)의 두 성질들이다.

명제 2 \(A\subseteq A\)가 항상 성립한다.

증명

\(x\in A\implies x\in A\)가 항상 참이다.

명제 3 \(A\subseteq B\)이고 \(B\subseteq C\)이면 \(A\subseteq C\)이다.

증명

우선 전제는 임의의 \(x\)에 대하여 두 명제 \(x\in A\implies x\in B\)와 \(x\in B\implies x\in C\)가 참이라는 것을 뜻한다. 따라서 삼단논법에 의해 \(x\in A\implies x\in C\)도 참이고, \(x\)는 임의로 택할 수 있으므로 \(A\subseteq C\)가 성립한다.

위 두 명제로부터 \(\subseteq\)가 집합들 사이의 순서관계가 된다는 것을 안다. (§순서관계의 정의, ⁋정의 1)

순서쌍

우리가 집합론에서 사용할 거의 유일한 도구는 이항관계이고, 이를 표현하는 언어는 순서쌍이다. 가령 위에서 살펴본 이항관계 \(\subseteq\)는 \(A\subseteq B\)를 만족하는 순서쌍들 \((A,B)\)를 모아둔 “집합”

\[\subseteq=\{(A,B),(B,C),\cdots\}\]

으로 생각할 수 있다.1 이와 비슷하게 함수 \(y=f(x)\)는 다음 집합

\[F=\{(x_1,f(x_1)), (x_2,f(x_2)),\cdots\}\]

으로 생각할 수 있고, 아직 정의하지 않은 동치관계 또한 이렇게 순서쌍들의 집합으로 나타낼 수 있다.

하지만 우리가 정의한 집합들 중에는 중고등학교때 배운 순서쌍의 역할을 할 도구가 없다. 예컨대 \(\{A,B\}=\{B,A\}\)이므로 단순히 axiom of pair를 한 번 사용해서는 \(A\)와 \(B\)의 순서를 구별할 수 없다.

정의 4 순서쌍ordered pair \((x,y)\)를 집합 \(\big\{\{x\}, \{x,y\}\big\}\)으로 정의한다.

위의 정의가 의미를 갖기 위해서는 다음의 보조정리를 먼저 보여야 한다.2

보조정리 5 두 집합 \(x\), \(y\)에 대하여, 집합 \((x,y)\)는 항상 존재하고 유일하다.

증명

집합 \(\{x\}=\{x,x\}\)와 \(\{x,y\}\)가 각각 axiom of pair에 의해 존재하며, 따라서 다시 axiom of pair에 의해 집합 \(\big\{\{x\}, \{x,y\}\big\}\)도 존재한다.

유일성의 경우 \(\{x\}=\{x,x\}\)와 \(\{x,y\}\)가 우선 유일하게 결정되고, 또 다시 이들에 axiom of pair를 적용하여 얻어지는 집합 \((x,y)\)도 유일하게 결정된다는 것을 extensionality를 두 번 써서 확인할 수 있다.

순서쌍 \((x,y)\)는 잘 정의된다는 것을 확인했지만, 이렇게 정의된 순서쌍이 일반적인 \(x,y\)에 대하여 \((x,y)\neq (y,x)\)를 만족하는지는 확인해봐야 한다.

명제 6 두 순서쌍 \((x,y)\), \((x',y')\)에 대하여, $(x,y)=(x',y')$인 것과 $x=x'$이고 $y=y'$인 것이 서로 동치이다.

증명

\(x=x'\)이고 \(y=y'\)라면 \((x,y)=(x', y')\)인 것은 자명하다. \(\{x\}=\{x'\}\)이고 \(\{x,y\}=\{x', y'\}\)이기 때문이다.

이제 반대로 \((x,y)=(x',y')\)이라 하자. 정의에 의해

\[\big\{\{x\},\{x,y\}\big\}=\big\{\{x'\},\{x',y'\}\big\}\]

이 성립한다. \(x=y\)와 \(x\neq y\) 가운데 정확히 하나가 반드시 성립하므로, 두 경우를 나누어 접근하자.

  • 만일 \(x=y\)일 경우, 위 식의 좌변은

    \[\big\{\{x\},\{x,x\}\big\}=\big\{\{x\},\{x\}\big\}=\big\{\{x\}\big\}\]

    이 되므로 \(\big\{\{x\}\big\}=\big\{\{x'\},\{x',y'\}\big\}\)이다. 따라서 \(\{x\}=\{x'\}=\{x',y'\}\)이므로, \(x=x'=y'\)이고 따라서 \(x=x'=y=y'\)이다. 즉, \(x=x'\)이고 \(y=y'\)이므로 이 경우는 증명 끝.

  • 남은 경우는 \(x\neq y\)이다. 이 경우, \(\{x,y\}\neq\{x'\}\)이므로 두 순서쌍이 같기 위해서는 반드시 \(\{x\}=\{x'\}\)이고 \(\{x,y\}=\{x',y'\}\)여야 한다. 그럼 \(\{x\}=\{x'\}\)에서 \(x=x'\)여야 하고, 이것과 \(\{x,y\}=\{x',y'\}\)에서 \(y=y'\)여야 한다. 따라서 이 경우도 증명 끝.

집합

\[\bigcup z=\{x\}\cup\{x,y\}=\{x,y\}\]

를 생각하자. 이제 다음과 같이 성질

\(P(s)\): 어떠한 \(t\)가 존재하여 \(z=(s,t)\)이다.

을 정의하면, 우리는 앞선 집합 \(\bigcup z\)의 부분집합

\[\left\{s\in\bigcup z\mid P(s)\right\}\]

을 얻게 된다. 이 집합은 원소 하나짜리 집합 \(\{x\}\)이다. 성질 \(Q\)를 비슷하게 잘 정의하면 원소 하나짜리 집합 \(\{y\}\)를 얻는다.

정의 7 위의 과정으로 얻어진 두 집합 \(\{x\}\), \(\{y\}\)에 대하여, \(\{x\}\)의 유일한 원소 \(x\)를 \(z=(x,y)\)의 첫 번째 성분, \(\{y\}\)의 유일한 원소 \(y\)를 \(z=(x,y)\)의 두 번째 성분이라 부르며, 이를 각각

\[x=\pr_1 z,\qquad y=\pr_2 z\]

와 같이 표시한다.

여기서 \(\pr\)은 projection의 약자이다. 한편, 다음과 같이 두 집합 \(A\), \(B\)의 곱 \(A\times B\)를 정의할 수 있다.

정의 8 두 집합 \(A\), \(B\)에 대하여, 다음의 집합

\[\{z\mid(z=(x,y))\wedge (x\in A)\wedge(y\in B)\}\]

을 \(A\)와 \(B\)의 cartesian product데카르트 곱라 부르고, 간단히 \(A\times B\)로 표시한다.

또, 정의 7과 유사하게 집합 \(A\)와 \(B\)를 \(A\times B\)의 첫 번째와 두 번째 성분이라 부른다.

두 곱집합 \(A\times B\)와 \(A'\times B'\)가 동일해질 조건을 알기 위해서는 하나의 곱집합이 다른 곱집합에 언제 포함되는지만 확실하게 결정해주면 된다.

명제 9 공집합이 아닌 두 집합 \(A'\), \(B'\)에 대하여, $A'\times B'\subseteq A\times B$인 것과 $A'\subseteq A$이고 $B'\subseteq B$인 것이 동치이다.

증명

먼저, \(A'\times B'\subseteq A\times B\)라 가정하자. \(A'\subseteq A\)를 보여야 하므로, 임의의 \(a'\in A'\)가 주어졌다 하고 \(a'\in A\)임을 보이자.
\(B'\)는 공집합이 아니므로, 어떤 원소 \(b'\in B'\)가 존재한다. 따라서 \((a',b')\in A'\times B'\)이고, 이제 \(A'\times B'\subseteq A\times B\)이므로 \((a',b')\in A\times B\)이고 \(a'\in A\)이다. 이와 비슷하게 \(B'\subseteq B\)도 보일 수 있다.

반대로 \(A'\subseteq A\)이고 \(B'\subseteq B\)라 하자. 임의의 \(z'\in A'\times B'\)가 주어졌을 때 \(z'\in A\times B\)임을 보여야 한다.
\(z'=(a',b')\)이라 하자. 즉 \(a'\in A'\), \(b'\in B'\)인데, 가정에 의해 \(a'\)와 \(b'\)는 \(A\)와 \(B\)의 원소이기도 하므로 \((a,b)\in A\times B\)이다.

\(A,B\) 둘 중 하나가 공집합일 때는 다음 명제를 적용할 수 있다.

명제 10 두 집합 \(A\), \(B\)에 대하여, $A\times B=\emptyset$인 것과 $A=\emptyset$이거나 $B=\emptyset$인 것이 동치이다.

증명

우선 \(A\times B=\emptyset\)이라 하자. 만일 \(A\), \(B\)가 모두 공집합이 아니라 하면, 우리는 어떤 \(a\in A\)와 \(b\in B\)를 뽑아올 수 있으므로 \((a,b)\in A\times B\)가 되어 모순이다.

거꾸로 \(A\) 혹은 \(B\)가 공집합이라 가정하자. 이번에도 결론을 부정하에 \(A\times B\)가 공집합이 아니라면, 어떤 원소 \((a,b)\in A\times B\)가 존재한다. 따라서 \(a\in A\)이고 \(b\in B\)이므로, 이는 \(A\) 혹은 \(B\)가 공집합이라는 가정에 모순이다. 증명 끝.

참고문헌

[HJJ] K. Hrbacek, T.J. Jeck, and T. Jech. Introduction to Set Theory. Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics. M. Dekker, 1978.
[Bou] N. Bourbaki, Theory of Sets. Elements of mathematics. Springer Berlin-Heidelberg, 2013.

  1. 물론 이 “집합”은 집합이 아니다. (§ZFC 공리계, ⁋예시 4) ↩

  2. 이 보조정리의 증명을 끝으로, 더 이상 증명과정에서 사용한 공리들을 언급하지 않는다. ↩

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