정칙국소환Permalink

§차원, ⁋정의 9을 생각하면, regular local ring (A,m)(A, \mathfrak{m})에서 m\mathfrak{m}을 생성하는 d=dimAd=\dim A개의 원소들 a1,,ada_1,\ldots, a_dAA의 system of parameters가 되는 것이 자명하다. 이를 regular system of parameters라 부른다.

따름정리 1 Regular local ring은 integral domain이다.

증명

(A,m)(A, \mathfrak{m})의 차원에 대한 귀납법으로 증명한다. d=0d=0인 경우는 AA가 field이므로 증명할 것이 없다. dimA=d\dim A=d인 경우까지 주어진 주장이 성립한다 가정하고 dimA=d+1\dim A=d+1인 경우를 보이자. 그럼 특히 m0\mathfrak{m}\neq 0이므로 §정수적 확장, ⁋보조정리 8로부터 mm2\mathfrak{m}\neq \mathfrak{m}^2임을 안다. 한편, §동반소아이디얼, ⁋정리 7로부터 AA의 minimal prime ideal들은 유한하다는 것을 안다. 이들을 p1,,pk\mathfrak{p}_1,\ldots, \mathfrak{p}_k라 하자. 만일

mm2p1pk\mathfrak{m}\subseteq \mathfrak{m}^2\cup \mathfrak{p}_1\cup\cdots\cup \mathfrak{p}_k

라면 §동반소아이디얼, ⁋보조정리 2과 위의 계산 mm2\mathfrak{m}\neq \mathfrak{m}^2에 의해 m=pi\mathfrak{m}=\mathfrak{p}_i여야 하고, 이는

d+1=dimA=codimm=codimpi=0d+1=\dim A=\codim \mathfrak{m}=\codim \mathfrak{p}_i=0

이 되어 모순이므로 우리는 반드시 적당한 ama\in \mathfrak{m}이 존재하여 a∉m2p1pka\not\in \mathfrak{m}^2\cup \mathfrak{p}_1\cup\cdots\cup \mathfrak{p}_k여야 함을 안다.

이제 A=A/(a)A’=A/(a)라 하고, AA’의 maximal ideal m=mA\mathfrak{m}’=\mathfrak{m}A’를 생각하자. 그럼 aa의 선택에 의하여, AA’의 prime ideal들 중에는 pi\mathfrak{p}_i에 대응되는 것이 없으므로 반드시 dimA<dimA\dim A’<\dim A가 성립하며, 이를 §매개계, ⁋따름정리 6과 종합하면 dimA=d1\dim A’=d-1인 것을 안다. 따라서 다음 식

m/(m)2=m/(m2+(a))\mathfrak{m}'/(\mathfrak{m}')^2=\mathfrak{m}/(\mathfrak{m}^2+(a))

§정수적 확장, ⁋보조정리 8로부터 m\mathfrak{m}’(d1)(d-1)개의 원소로 생성되는 것을 알고, 따라서 귀납적 가정에 의해 AA’는 integral domain이다. 즉, (a)(a)는 prime ideal이며, 따라서 어떤 ii에 대해 pi(a)\mathfrak{p}_i\subsetneq (a)가 성립한다.

이제 임의의 xpix\in \mathfrak{p}_i에 대하여, x=αax=\alpha a이도록 하는 αA\alpha\in A를 택하자. 그럼 a∉pia\not\in \mathfrak{p}_i이므로 αpi\alpha\in \mathfrak{p}_i이고, 따라서 pi=api\mathfrak{p}_i=a \mathfrak{p}_i이며 이로부터 pi=mpi\mathfrak{p}_i=\mathfrak{m}\mathfrak{p}_i이다. 다시 §정수적 확장, ⁋보조정리 8를 적용하면 pi=0\mathfrak{p}_i=0이므로 AA는 integral domain이다.

이 따름정리는 앞으로도 자주 사용하게 되므로, 다음과 같이 새로운 정의를 내린다.

정의 2 Ring AA의 원소들 a1,,ada_1,\ldots, a_dAA-regular sequence 혹은 간단히 AA-sequence라는 것은 (a1,,ad)(a_1,\ldots, a_d)가 proper이고, 각각의 ii에 대하여 ai+1a_{i+1}의 image가 A/(a1,,ai)A/(a_1,\ldots, a_i)에서 non-zerodivisor인 것이다.

따름정리 3 Regular local noetherian ring의 regular system of parameters는 AA-sequence를 이룬다.

증명

각각의 ii에 대하여 A/(a1,,ai)A/(a_1,\ldots, a_i)도 regular local ring이고, 따름정리 1에 의해 이는 integral domain이며 xi+1x_{i+1}은 이 ring의 00이 아닌 원소가 된다.

명제 4 Complete regular local noethereian ring (A,m)(A, \mathfrak{m})의 차원이 dd이고, residue field κ=A/m\kappa=A/\mathfrak{m}라 하자. 만일 AA가 어떠한 field를 포함한다면 Aκ[[x1,,xd]]A\cong \kappa[[\x_1,\ldots, \x_d]]이며, 이 isomorphism은 각각의 변수 xi\x_i들과 AA의 regular system of parameters를 대응시킨다.

증명

§완비화의 성질들, ⁋정리 8에 의하여, 주어진 가정으로부터 AAκ\kappa를 포함해야 한다는 것을 안다. 이제 §완비화의 성질들, ⁋정리 5의 첫째 결과에 의하여 κ\kappa-algebra homomorphism ϕ:κ[[x1,,xd]]A\phi:\kappa[[\x_1,\ldots, \x_d]]\rightarrow A를 얻으며, 둘째 결과에 의하여 ϕ\phi는 surjective이다. 한편 κ[[x1,,xd]]\kappa[[\x_1,\ldots, \x_d]]따름정리 1에 의하여 dd차원이므로

d=dimA=dimim(ϕ)=dimκ[[x1,,xd]]/kerϕdimκ[[x1,,xd]]codimkerϕ=dcodimkerϕd=\dim A=\dim \im(\phi)=\dim \kappa[[\x_1,\ldots,\x_d]]/\ker\phi\leq \dim \kappa[[\x_1,\ldots, \x_d]]-\codim \ker\phi=d-\codim\ker\phi

이고, 이것이 참이기 위해서는 반드시 codimkerϕ=0\codim\ker\phi=0이어야 한다. 그런데 κ[[x1,,xd]]\kappa[[\x_1,\ldots, \x_d]]§매개계, ⁋따름정리 10에 의하여 integral domain이므로, 이는 곧 kerϕ=0\ker\phi=0이라는 뜻이다.

이산값매김환Permalink

이제 우리는 11차원의 regular local ring (A,m)(A,\mathfrak{m})에 대해 살펴본다. 그럼 정의에 의해 m\mathfrak{m}은 하나의 원소 mm으로 생성되어야 하며, 우리는 이를 AAregular parameter 혹은 uniformizing parameter라 부른다.

명제 5 1차원의 regular local ring (A,m)(A, \mathfrak{m})이 주어졌다 하고, mmAA의 regular parameter라 하자. 그럼 Frac(A)\Frac(A)의 임의의 원소 xx

x=amkkZa a unit of Ax=a m^k\qquad \text{$k\in \mathbb{Z}$, $a$ a unit of $A$}

의 꼴로 유일하게 적을 수 있다.

증명

우선 AA따름정리 1으로부터 integral domain이다. 이제 §부풀림 대수, ⁋따름정리 8에 의하여 mi=0\bigcap \mathfrak{m}^i=0이므로, 00이 아닌 임의의 xAx\in A에 대하여 xmix\in \mathfrak{m}^i를 성립하도록 하는 index ii는 유한히 많다. 이들 중 가장 큰 것을 kk라 하면, xmk=(mk)x\in \mathfrak{m}^k=(m^k)인 것으로부터 x=amkx=am^k이도록 하는 aAa\in A가 존재한다. 그럼 kk의 maximality에 의하여 aaAA의 unit이다.

이제 Frac(A)\Frac(A)의 임의의 원소 xx가 주어졌다 하자. x=x1/x2x=x_1/x_2라 하면, 위의 논증에 의하여

x=x1x2=a1mk1a2mk2=a1a21mk1k2=amkx=\frac{x_1}{x_2}=\frac{a_1m^{k_1}}{a_2m^{k_2}}=a_1a_2^{-1}m^{k_1-k_2}=am^k

로 적을 수 있다. 이 때 a=a1a21a=a_1a_2^{-1}이 unit이며, 이 표기의 유일성은 거의 자명하다.

그럼 위에서 증명한 표기의 유일성으로부터, multiplicative group Frac(A)×\Frac(A)^\times에서 Z\mathbb{Z}로의 group homomorphism

ν:Frac(A)×Z;amkk\nu:\Frac(A)^\times \rightarrow \mathbb{Z};\qquad am^k\mapsto k

를 정의할 수 있다. 더 일반적으로 다음을 정의한다.

정의 6 Integral domain AA와 totally ordered abelian group GG에 대하여, group homomorphism ν:Frac(A)×G\nu:\Frac(A)^\times \rightarrow G가 다음 부등식

ν(x+y)min(ν(x),ν(y))\nu(x+y)\geq \min(\nu(x), \nu(y))

를 만족한다면 ν\nuvaluation값매김이라 부른다. Valuation ν\nu에 대하여, 다음의 ring

S=ν1({gGg0})S=\nu^{-1}\left(\{g\in G\mid g\geq 0\}\right)

ν\nuvaluation ring값매김환이라 부른다.

특히 만일 G=ZG=\mathbb{Z}일 경우에는 이를 discrete valuation이산값매김이라 부르고, ν\nu의 valuation ring을 discrete valuation ring이산값매김환이라 부른다.

그럼 위에서 정의한 ν:Frac(A)×Z\nu:\Frac(A)^\times \rightarrow \mathbb{Z}가 discrete valuation이 된다는 것은 다음의 식

amk+bml=(amkmin(k,l)+bmlmin(k,l))mmin(k,l)am^k+bm^l=(am^{k-\min(k,l)}+bm^{l-\min(k,l)})m^{\min(k,l)}

에 의해 자명하다. 그럼 명제 4에 의하여, 두 complete discrete valuation ring이 각각 field를 포함하고, isomorphic한 residue field를 갖는다면 이들은 서로 isomorphic하다는 것을 안다. 그러나 일반적으로 complete하지 않은 discrete valuation ring들 사이에는 이러한 종류의 classification이 존재하지 않는다.

세르의 정규화 조건Permalink

우선 편의를 위해, ring AA의 non-zerodivisor uu에 대하여, A/(u)A/(u)의 associated prime ideal p\mathfrak{p}associated to a non-zerodivisor uu라 부르기로 하자. 이는 §동반소아이디얼, ⁋정의 1에서와 마찬가지 예외이다.

명제 7 Reduced noetherian ring AAAA의 total ring of fractions KK가 주어졌다 하자. 그럼 원소 xKx\in KAA에 속하는 것은 임의의 prime ideal p\mathfrak{p} associated to a non-zerodivisor에 대하여 xxKpK_\mathfrak{p}에서의 image가 ApA_\mathfrak{p}에 속하는 것과 동치이다.

증명

정의에 의해 KK의 원소는 임의의 aAa\in A와 non-zerodivisor uAu\in A에 대하여 a/ua/u의 꼴이다. 이제

auA    a(u)    a=0mod  (u)    ϵp(a)=0 in (A/(u))p=Ap/(u)Ap for all p associated prime of A/(u)\frac{a}{u}\in A\iff a\in (u)\iff a=0\mod{(u)}\iff \epsilon_\mathfrak{p}(a)= 0\text{ in $(A/(u))_\mathfrak{p}=A_\mathfrak{p}/(u)A_\mathfrak{p}$ for all $\mathfrak{p}$ associated prime of $A/(u)$}

가 성립한다. 여기서 ϵp:AAp\epsilon_\mathfrak{p}: A \rightarrow A_\mathfrak{p}는 canonical morphism이고, 마지막 동치는 §동반소아이디얼, ⁋따름정리 4에 의한 것이다. 그럼 임의의 prime ideal p\mathfrak{p} associated to a non-zerodivisor에 대하여,

ϵp(a)(u)Ap\epsilon_\mathfrak{p}(a)\in(u)A_\mathfrak{p}

이다. 한편, AA가 reduced이므로 KK는 field들의 유한한 direct product이고 (§동반소아이디얼, ⁋따름정리 8), localization은 유한한 direct product와 commute하므로 ApA_\mathfrak{p}의 total ring of fractions와 KpK_\mathfrak{p}를 identify할 수 있다. 이 identification을 통해 위의 포함관계를 다시 살펴보면 원하는 결과를 얻는다.

이를 통해 다음을 보일 수 있다.

정리 8 Noetherian integral domain AA가 normal domain인 것은 다음 조건과 동치이다.

(\ast) 임의의 prime ideal p\mathfrak{p} associated to a principal ideal에 대하여, pAp\mathfrak{p}A_\mathfrak{p}ApA_\mathfrak{p}의 principal ideal이다.

증명

우선 (\ast)를 가정하고 AA가 normal domain임을 보인다. 그런데 공통의 quotient field를 갖는 normal domain들이 주어졌다 하면, 이들의 교집합 또한 normal domain이 되는 것이 자명하다. 따라서 다음 식

A=p associated to a principal idealApA=\bigcap_\text{\scriptsize$\mathfrak{p}$ associated to a principal ideal}A_\mathfrak{p}

을 보이면 충분하며, 여기서 ApA_\mathfrak{p}AA의 quotient field KK의 부분집합으로 본 것이다. 이제 보이고자 하는 주장은 명제 7에서 더 일반적인 경우에 다루었다.

거꾸로 AA가 normal domain이라 하고, p\mathfrak{p}가 principal ideal a=(a)\mathfrak{a}=(a)의 associated prime이라 하자. 즉

p=ann(b+a)\mathfrak{p}=\ann(b+\mathfrak{a})

이며, 우리는 pAp\mathfrak{p}A_\mathfrak{p}ApA_\mathfrak{p}의 principal ideal인 것을 보여야 한다. 이는 어차피 localization에 대한 것이므로, (A,p)(A,\mathfrak{p})가 local ring이었다고 가정해도 상관 없으며, 이 때 KKAA의 field of fraction이라 하고, p\mathfrak{p}의 inverse

p1={xKxpA}\mathfrak{p}^{-1}=\{x\in K\mid x \mathfrak{p}\subseteq A\}

를 생각하면 p1p\mathfrak{p}^{-1}\mathfrak{p}p\mathfrak{p}AA 사이의 ideal이다. 이제 p\mathfrak{p}의 maximality로부터 p1p=p\mathfrak{p}^{-1}\mathfrak{p}=\mathfrak{p}이거나 p1p=A\mathfrak{p}^{-1}\mathfrak{p}=A가 성립해야 한다. 그런데 만일 p1p=p\mathfrak{p}^{-1}\mathfrak{p}=\mathfrak{p}라면 §정수적 확장, ⁋보조정리 5에 의하여 p1\mathfrak{p}^{-1}의 임의의 원소는 integral이고, 따라서 p1A\mathfrak{p}^{-1}\subseteq A이다. 그런데 pb(a)\mathfrak{p}b\subseteq (a)이므로, b/ap1b/a\in \mathfrak{p}^{-1}이고 이로부터 b(a)b\in (a)가 되어 모순이다.

따라서 pp1=A\mathfrak{p}\mathfrak{p}^{-1}=A여야 한다. 또, (A,p)(A, \mathfrak{p})가 local이므로, 이 두 조건을 종합하면 적당한 xp1x\in \mathfrak{p}^{-1}에 대하여 xp=Ax \mathfrak{p}=A여야 함을 안다. 따라서 p=Ax1\mathfrak{p}=A x^{-1}은 principal이다.

이 정리는 더욱 일반화가 가능하다. 우선 다음을 정의하자.

정의 9 Ring AAAA의 total ring of fractions KK를 고정하자.

  1. AAnormal ring정규환이라는 것은 AA가 reduced이고, KK 안에서 AA가 integrally closed인 것이다.
  2. Reduced ring AAnormalization정규화KK에서의 AA의 integral closure로 정의한다.

그럼 다음이 성립한다.

정리 10 (Serre) Noetherian ring AA가 normal domain들의 (유한한) direct product인 것은 다음의 두 조건이 모두 성립하는 것과 동치이다.

(R1) AA의 codimension 11 prime에서의 localization은 DVR이고, AA의 codimension 00 prime에서의 localization은 field이다.
(S2) AA의 non-zerodivisor로 생성되는 principal ideal의 associated prime은 codimension 11이다. 또, 00의 associated prime은 모두 codimension 00이다.

증명

우선 일반적으로, noetherian ring AA가 다른 ring들의 direct product

A=A1×AnA=A_1\times\cdots A_n

이고, 이 ring의 임의의 prime ideal은 prime ideal pkAk\mathfrak{p}_k\subseteq A_k에 대해

A1××Ak1×pk×Ak+1××AnA_1\times\cdots\times A_{k-1}\times \mathfrak{p}_k\times A_{k+1}\times\cdots\times A_n

의 꼴로 나타나며, 00의 associated prime ideal은 위의 꼴에서 pk\mathfrak{p}_k00의 (AkA_k에서의) associated prime으로 두면 된다. 마찬가지로 AA의 non-zerodivisor

a=(a1,,an),ai a non-zerodivisor of Aia=(a_1,\ldots, a_n),\qquad\text{$a_i$ a non-zerodivisor of $A_i$}

의 associated prime은 pk\mathfrak{p}_kaka_k의 associated prime으로 둔 것과 같다.

이제 주장을 증명하자. 우선 각각의 AiA_i가 normal이라면 (S2)조건은 정리 8의 결과로 얻어지고, (R1) 조건은 AA의 codimension cc짜리 prime ideal p\mathfrak{p}에서의 localization을 위에서의 p\mathfrak{p}의 묘사를 통해 AkA_k에서의 codimension cc prime pk\mathfrak{p}_k에서의 localization으로 볼 수 있기 때문에 성립한다.

거꾸로 R1S2 조건이 성립한다 하자. 그럼 우선 RR은 reduced ring이다. 이는 만일

0=qi,qi a pi-primary ideal0=\bigcap \mathfrak{q}_i,\qquad\text{$\mathfrak{q}_i$ a $\mathfrak{p}_i$-primary ideal}

00의 minimal primary decomposition이라면 여기에 등장하는 pi\mathfrak{p}_i들은 모두 S2 조건에 의해 codimension 00 ideal들이고, R1 조건에 의해 여기에서의 localization이 field임을 안다. 따라서 명제 7을 적용할 수 있고, 여기에 §조르단-횔더 정리, ⁋정리 5를 적용해주면 원하는 결과를 얻는다.


참고문헌

[Eis] David Eisenbud. Commutative Algebra: with a view toward algebraic geometry. Springer, 1995.


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