정칙국소환

$(A, \mathfrak{m})$의 차원에 대한 귀납법으로 증명한다. $d=0$인 경우는 $A$가 field이므로 증명할 것이 없다. $\dim A=d$인 경우까지 주어진 주장이 성립한다 가정하고 $\dim A=d+1$인 경우를 보이자. 그럼 특히 $\mathfrak{m}\neq 0$이므로 §정수적 확장, ⁋보조정리 8로부터 $\mathfrak{m}\neq \mathfrak{m}^2$임을 안다. 한편, §동반소아이디얼, ⁋정리 7로부터 $A$의 minimal prime ideal들은 유한하다는 것을 안다. 이들을 $\mathfrak{p}_1,\ldots, \mathfrak{p}_k$라 하자. 만일

라면 §동반소아이디얼, ⁋보조정리 2과 위의 계산 $\mathfrak{m}\neq \mathfrak{m}^2$에 의해 $\mathfrak{m}=\mathfrak{p}_i$여야 하고, 이는

이 되어 모순이므로 우리는 반드시 적당한 $a\in \mathfrak{m}$이 존재하여 $a\not\in \mathfrak{m}^2\cup \mathfrak{p}_1\cup\cdots\cup \mathfrak{p}_k$여야 함을 안다.

이제 $A’=A/(a)$라 하고, $A’$의 maximal ideal $\mathfrak{m}’=\mathfrak{m}A’$를 생각하자. 그럼 $a$의 선택에 의하여, $A’$의 prime ideal들 중에는 $\mathfrak{p}_i$에 대응되는 것이 없으므로 반드시 $\dim A’<\dim A$가 성립하며, 이를 §매개계, ⁋따름정리 6과 종합하면 $\dim A’=d-1$인 것을 안다. 따라서 다음 식

과 §정수적 확장, ⁋보조정리 8로부터 $\mathfrak{m}’$이 $(d-1)$개의 원소로 생성되는 것을 알고, 따라서 귀납적 가정에 의해 $A’$는 integral domain이다. 즉, $(a)$는 prime ideal이며, 따라서 어떤 $i$에 대해 $\mathfrak{p}_i\subsetneq (a)$가 성립한다.

이제 임의의 $x\in \mathfrak{p}_i$에 대하여, $x=\alpha a$이도록 하는 $\alpha\in A$를 택하자. 그럼 $a\not\in \mathfrak{p}_i$이므로 $\alpha\in \mathfrak{p}_i$이고, 따라서 $\mathfrak{p}_i=a \mathfrak{p}_i$이며 이로부터 $\mathfrak{p}_i=\mathfrak{m}\mathfrak{p}_i$이다. 다시 §정수적 확장, ⁋보조정리 8를 적용하면 $\mathfrak{p}_i=0$이므로 $A$는 integral domain이다.

각각의 $i$에 대하여 $A/(a_1,\ldots, a_i)$도 regular local ring이고, 따름정리 1에 의해 이는 integral domain이며 $x_{i+1}$은 이 ring의 $0$이 아닌 원소가 된다.

§완비화의 성질들, ⁋정리 8에 의하여, 주어진 가정으로부터 $A$가 $\kappa$를 포함해야 한다는 것을 안다. 이제 §완비화의 성질들, ⁋정리 5의 첫째 결과에 의하여 $\kappa$-algebra homomorphism $\phi:\kappa[[\x_1,\ldots, \x_d]]\rightarrow A$를 얻으며, 둘째 결과에 의하여 $\phi$는 surjective이다. 한편 $\kappa[[\x_1,\ldots, \x_d]]$는 따름정리 1에 의하여 $d$차원이므로

이고, 이것이 참이기 위해서는 반드시 $\codim\ker\phi=0$이어야 한다. 그런데 $\kappa[[\x_1,\ldots, \x_d]]$는 §매개계, ⁋따름정리 10에 의하여 integral domain이므로, 이는 곧 $\ker\phi=0$이라는 뜻이다.

우선 $A$는 따름정리 1으로부터 integral domain이다. 이제 §부풀림 대수, ⁋따름정리 8에 의하여 $\bigcap \mathfrak{m}^i=0$이므로, $0$이 아닌 임의의 $x\in A$에 대하여 $x\in \mathfrak{m}^i$를 성립하도록 하는 index $i$는 유한히 많다. 이들 중 가장 큰 것을 $k$라 하면, $x\in \mathfrak{m}^k=(m^k)$인 것으로부터 $x=am^k$이도록 하는 $a\in A$가 존재한다. 그럼 $k$의 maximality에 의하여 $a$는 $A$의 unit이다.

이제 $\Frac(A)$의 임의의 원소 $x$가 주어졌다 하자. $x=x_1/x_2$라 하면, 위의 논증에 의하여

로 적을 수 있다. 이 때 $a=a_1a_2^{-1}$이 unit이며, 이 표기의 유일성은 거의 자명하다.

정의에 의해 $K$의 원소는 임의의 $a\in A$와 non-zerodivisor $u\in A$에 대하여 $a/u$의 꼴이다. 이제

가 성립한다. 여기서 $\epsilon_\mathfrak{p}: A \rightarrow A_\mathfrak{p}$는 canonical morphism이고, 마지막 동치는 §동반소아이디얼, ⁋따름정리 4에 의한 것이다. 그럼 임의의 prime ideal $\mathfrak{p}$ associated to a non-zerodivisor에 대하여,

이다. 한편, $A$가 reduced이므로 $K$는 field들의 유한한 direct product이고 (§동반소아이디얼, ⁋따름정리 8), localization은 유한한 direct product와 commute하므로 $A_\mathfrak{p}$의 total ring of fractions와 $K_\mathfrak{p}$를 identify할 수 있다. 이 identification을 통해 위의 포함관계를 다시 살펴보면 원하는 결과를 얻는다.

우선 ($\ast$)를 가정하고 $A$가 normal domain임을 보인다. 그런데 공통의 quotient field를 갖는 normal domain들이 주어졌다 하면, 이들의 교집합 또한 normal domain이 되는 것이 자명하다. 따라서 다음 식

을 보이면 충분하며, 여기서 $A_\mathfrak{p}$는 $A$의 quotient field $K$의 부분집합으로 본 것이다. 이제 보이고자 하는 주장은 명제 7에서 더 일반적인 경우에 다루었다.

거꾸로 $A$가 normal domain이라 하고, $\mathfrak{p}$가 principal ideal $\mathfrak{a}=(a)$의 associated prime이라 하자. 즉

이며, 우리는 $\mathfrak{p}A_\mathfrak{p}$가 $A_\mathfrak{p}$의 principal ideal인 것을 보여야 한다. 이는 어차피 localization에 대한 것이므로, $(A,\mathfrak{p})$가 local ring이었다고 가정해도 상관 없으며, 이 때 $K$를 $A$의 field of fraction이라 하고, $\mathfrak{p}$의 inverse

를 생각하면 $\mathfrak{p}^{-1}\mathfrak{p}$는 $\mathfrak{p}$와 $A$ 사이의 ideal이다. 이제 $\mathfrak{p}$의 maximality로부터 $\mathfrak{p}^{-1}\mathfrak{p}=\mathfrak{p}$이거나 $\mathfrak{p}^{-1}\mathfrak{p}=A$가 성립해야 한다. 그런데 만일 $\mathfrak{p}^{-1}\mathfrak{p}=\mathfrak{p}$라면 §정수적 확장, ⁋보조정리 5에 의하여 $\mathfrak{p}^{-1}$의 임의의 원소는 integral이고, 따라서 $\mathfrak{p}^{-1}\subseteq A$이다. 그런데 $\mathfrak{p}b\subseteq (a)$이므로, $b/a\in \mathfrak{p}^{-1}$이고 이로부터 $b\in (a)$가 되어 모순이다.

따라서 $\mathfrak{p}\mathfrak{p}^{-1}=A$여야 한다. 또, $(A, \mathfrak{p})$가 local이므로, 이 두 조건을 종합하면 적당한 $x\in \mathfrak{p}^{-1}$에 대하여 $x \mathfrak{p}=A$여야 함을 안다. 따라서 $\mathfrak{p}=A x^{-1}$은 principal이다.

우선 일반적으로, noetherian ring $A$가 다른 ring들의 direct product

이고, 이 ring의 임의의 prime ideal은 prime ideal $\mathfrak{p}_k\subseteq A_k$에 대해

의 꼴로 나타나며, $0$의 associated prime ideal은 위의 꼴에서 $\mathfrak{p}_k$를 $0$의 ($A_k$에서의) associated prime으로 두면 된다. 마찬가지로 $A$의 non-zerodivisor

의 associated prime은 $\mathfrak{p}_k$를 $a_k$의 associated prime으로 둔 것과 같다.

이제 주장을 증명하자. 우선 각각의 $A_i$가 normal이라면 (S2)조건은 정리 8의 결과로 얻어지고, (R1) 조건은 $A$의 codimension $c$짜리 prime ideal $\mathfrak{p}$에서의 localization을 위에서의 $\mathfrak{p}$의 묘사를 통해 $A_k$에서의 codimension $c$ prime $\mathfrak{p}_k$에서의 localization으로 볼 수 있기 때문에 성립한다.

거꾸로 R1S2 조건이 성립한다 하자. 그럼 우선 $R$은 reduced ring이다. 이는 만일

가 $0$의 minimal primary decomposition이라면 여기에 등장하는 $\mathfrak{p}_i$들은 모두 S2 조건에 의해 codimension $0$ ideal들이고, R1 조건에 의해 여기에서의 localization이 field임을 안다. 따라서 명제 7을 적용할 수 있고, 여기에 §조르단-횔더 정리, ⁋정리 5를 적용해주면 원하는 결과를 얻는다.