차원

이번 글에서 우리는 위상공간의 차원을 정의한다. 우선 우리는 일반적으로 사용하는 차원을 정의한 후, 대수기하학에서 사용할 차원의 개념을 따로 정의한다.

Covering dimension

편의상 [Mun]을 따라 이 절에서는 compact space의 차원만 정의한다. 기본적인 아이디어는 $X$의 점이 열린집합들로 몇 번 덮이는지를 재는 것인데, 물론 $X$는 하나의 열린집합 $X$로만 덮이므로, 이를 임의의 open covering을 이용해서 정의해야 할 것이며, open covering을 아무렇게나 주면 점 하나를 원하는만큼 많은 열린집합들로 덮을 수 있으므로 어떠한 종류의 최소성을 담보해야 할 것이다.

우선 다음을 정의한다.

정의 1 $X$의 부분집합들의 family $(U_i)_{i\in I}$가 $m+1$의 order를 갖는다는 것은 $X$의 어떠한 점도 $m+1$개 이상의 $U_i$에 속하지 않으며, $X$의 어떠한 점 하나는 정확히 $m+1$개의 $U_i$들에 속하는 것이다.

그럼 공간 $X$의 차원을 다음과 같이 정의할 수 있다.

정의 2 공간 $X$가 유한차원_{finite dimensional}이라는 것은 적당한 $m$이 존재하여, 임의의 open covering $(U_i)_{i\in I}$가 주어질 때마다, order $m+1$짜리 $(U_i)$의 open refinement $(V_j)_{j\in J}$가 항상 존재하는 것이다. 이것이 가능하도록 하는 최소의 $m$을 $X$의 차원_dimension으로 정의하고 $\dim X$로 적는다.

다소 주의할만한 것은 위상공간은 다음 그림과 같이 상당히 웃기게 생길 수 있으며, 이 때 우리는 이 위상공간의 차원을 두 성분의 차원 중 큰 것이 되도록 정의했다는 것이다.

img

한편 우리가 차원에 기대함직한 성질이 몇 가지 있는데, 그들 중 일부는 다음과 같다.

명제 3 $X$가 유한차원 위상공간이고 $Y$가 $X$의 closed subspace라면, $Y$도 유한차원이고 $\dim Y\leq\dim X$이다.

증명

$X$가 $d$차원 위상공간이라 하고, $Y$의 임의의 open covering $\{V_j\}$이 주어졌다 하자. 그럼 각각의 $V_j$마다 $V_j=U_j\cap Y$이도록 하는 $X$의 open subset $U_j$가 존재한다. 이제 $X$는 $U_j$들과, $X\setminus Y$로 덮을 수 있다. 그럼 이 covering의 order$\leq d+1$짜리 refinement가 존재하며, 이를 다시 $Y$와 교집합하면 $\{V_j\}$의 order$\leq d+1$짜리 refinement를 얻는다.

다음 명제는 정의 2 이후에 언급한 주의점을 더 수학적으로 다듬은 것이다.

명제 4 만일 위상공간 $X$의 두 유한차원 닫힌 부분공간 $Y,Z$가 존재하여 $X=Y\cup Z$라면, $\dim X=\max(\dim Y,\dim Z)$이다.

증명

그리고 물론 우리는 $\mathbb{R}^n$의 차원이 $n$차원이기를 바란다. 그러나 이를 보이는 것은 쉽지는 않은데, 이는 기본적으로 현재 우리가 $\mathbb{R}^n$과 $\mathbb{R}^m$이 homeomorphic하지 않다는 것조차 보이기가 힘들기 때문이다. 그 대신 이보다 약한 다음의 명제는 정의로부터 쉽게 보일 수 있다.

명제 5 $\mathbb{R}^n$의 임의의 compact subspace는 항상 $n$차원 이하이다.

증명

Krull dimension

한편 우리는 대수기하학에서 사용하는 차원의 개념을 정의할 것인데, 대수기하학에서 관심을 갖는 공간은 일반적으로 생각하는 위상구조와는 다른 위상구조가 주어져 있어서 이 정의는 다소 비직관적이다. 특히, 일상적인 위상구조가 주어진 $\mathbb{R}^n$은 항상 $0$차원이다. 그러나 어쨌든 이 정의를 위상수학의 언어로 할 수 있는 것은 사실이므로 이 페이지에 같이 적어두기로 한다.

정의 6 위상공간 $X$가 irreducible_기약이라는 것은 $X=A\cup B$이도록 하는 $X$의 비자명한 닫힌집합이 존재하지 않는 것이다.

그럼 다음이 모두 동치이다.

명제 7 위상공간 $X$에 대하여 다음이 모두 동치이다.

1. $X$가 irreducible이다.
2. 공집합이 아닌 $X$의 임의의 열린집합 $U,V$에 대하여, $U\cap V\neq\emptyset$이다.
3. 공집합이 아닌 $X$의 임의의 열린집합 $U$에 대하여, $\cl U=X$이다.
4. $X$의 임의의 열린집합이 connected이다.

증명

첫쨰 조건과 둘쨰 조건은 여집합을 생각하면 동치인 것이 자명하며, 둘째 조건과 셋째 조건이 동치인 것은 $X\setminus \cl U$와 $U$를 생각하면 자명하다. 마지막으로 둘째 조건과 넷째 조건이 정의에 의해 동치이다.

특히 irreducible space는 Hausdorff가 아니다. 위의 명제의 마지막 동치 때문에 irreducible space는 hyperconnected space라 부르기도 한다. 비슷한 맥락에서 다음이 성립한다. (참고: §연결공간, ⁋명제 3)

명제 8 만일 $X$가 irreducible open subset들의 합집합

\[X=\bigcup_{i\in I} U_i\]

이고 $U_i\cap U_j\neq \emptyset$이 모든 $i,j$에 대해 성립한다 하자. 그럼 $X$는 irreducible이다.

증명

임의의 두 열린집합 $V, W$가 주어졌다 하고, $V\cap W\neq\emptyset$임을 보이자. 그럼 주어진 가정으로부터 우선 $U_i\cap V\neq\emptyset$ 그리고 $U_j\cap W\neq\emptyset$을 만족하는 $i,j$가 존재한다. 이제 명제 7의 셋째 결과와 §부분공간, ⁋명제 5로부터 $U_i$도 irreducible이므로, $U_i$의 두 nonempty subset $U_i\cap V$와 $U_i\cap U_j$도 반드시 공집합이 아닌 교집합을 가져야 한다. 즉

\[(U_i\cap V)\cap (U_i\cap U_j)=U_i\cap U_j\cap V\neq\emptyset\]

이고, $U_i\cap U_j\cap V$를 $U_j$의 nonempty subset으로 보면 마찬가지로 $U_j$의 irreducibilty로부터 다음의 식

\[(U_i\cap U_j\cap V)\cap (U_j\cap W)=U_i\cap U_j\cap V\cap W\neq\emptyset\]

을 얻고 특히 $V\cap W\neq\emptyset$이다.

Connected component와 비슷하게 다음을 정의할 수 있다.

정의 9 위상공간 $X$의 부분집합 $A$에 대하여, $A$를 포함하는 irreducible component는 $A$를 포함하는 irreducible subset 중 가장 큰 것을 의미한다.

그럼 §연결공간, ⁋명제 2과 비슷한 논증에 의하여, irreducible set의 closure는 irreducible인 것을 보일 수 있으므로 irreducible component는 반드시 closed subset이다.

정의 10 위상공간 $X$에 대하여, $X$의 irreducible closed subset들의 strictly descending chain

\[A_n\supsetneq\cdots\supsetneq A_0\]

의 length_길이를 $n$으로 정의한다. 그럼 $X$의 Krull dimension_{크룰 차원}을 다음의 식

\[\dim X=\sup\{\text{length of strictly descending chains of irreducible closed subsets}\}\]

으로 정의한다. 만일 무한한 길이의 strictly descending chain이 존재한다면 $\dim X=\infty$로 정의하고, $X=\emptyset$인 경우 $\dim X=-\infty$로 정의한다.

그럼 다음과 같은 상황에서는 $X$의 Krull dimension은 항상 유한하다. 특히 Hausdorff space에서는 오직 singleton만이 irreducible subset이므로 Hausdorff space의 Krull dimension은 $0$이다.

정의 11 위상공간 $X$가 noetherian_{뇌터 공간}이라는 것은 임의의 닫힌집합들의 chain

\[A_1\supseteq A_2\supseteq\cdots\]

이 주어질 때마다, 적당한 $n$이 존재하여 $A_n=A_{n+1}=\cdots$이도록 할 수 있는 것이다.

Noetherian 조건은 강력한 유한성의 조건을 준다. 가령 다음이 성립한다.

명제 12 Noetherian space는 compact이다.

증명

Noetherian space $X$와 $X$의 open covering $\{U_i\}_{i\in I}$가 주어졌다 가정하자. 그럼

\[\mathcal{C}=\left\{\bigcup_{j\in J} U_j:\text{$J$ finite subset of $I$}\right\}\]

라 정의할 수 있다. 이제 $\mathcal{C}$의 임의의 totally ordered subset을 생각하면, 이는 그 여집합들로 이루어진 닫힌집합들의 descending chain과 동치이고 따라서 $X$가 noetherian이라는 가정으로부터 이는 언젠가 멈춰야 한다. 즉, $\mathcal{C}$는 [집합론] §선택공리, ⁋정리 4의 조건을 만족하고 따라서 $\mathcal{C}$는 maximal element $U\in \mathcal{C}$를 갖는다. 만일 $X\neq U$라면, $x\in X\setminus U$를 포함하는 $U_j$를 택할 수 있고 그럼 $U\cap U_j$는 $U$를 strict하게 포함하는 $\mathcal{C}$의 원소이므로 $U$의 maximality에 모순이다. 따라서 $U=X$이고 우리는 원하는 결과를 얻는다.

추가적으로 noetherian space에 대해 다음이 성립한다.

명제 13 Noetherian topological space $X$에 대하여, 다음이 성립한다.

1. $X$의 임의의 부분공간은 noetherian이다.
2. $X$는 유한히 많은 irreducible component를 가진다.
3. $X$의 각각의 irreducible component는 공집합이 아닌 $X$의 열린집합을 포함한다.

증명

1. $X$의 임의의 부분공간 $Y$가 주어졌다 하고 $Y$의 임의의 닫힌집합들의 descending chain

   \[A_1\supseteq A_2\supseteq \cdots\]

   가 주어졌다 하자. 그럼 $A_i=A_i’ \cap Y$를 만족하는 $X$의 닫힌집합 $A_i’$들이 존재한다. 이제 $B_i=A_1’\cap\cdots\cap A_i’$라 하면, $B_i\cap Y=A_i$이고 $B_i$는 $X$의 닫힌집합들의 descending chain이다.

2. $\mathcal{C}$를 $X$의 닫힌집합 중, 유한히 많은 irreducible component들의 합집합으로 나타낼 수 없는 집합들의 모임이라 하자. 그럼 $\mathcal{C}=\emptyset$임을 보이면 된다. 결론에 반하여 $\mathcal{C}$가 공집합이 아니라 하면, 명제 12의 증명에서와 마찬가지 방법으로 $\mathcal{C}$가 minimal element $A$를 갖는다는 것을 안다. 이제 $A$는 irreducible이 아니므로, 두 닫힌집합 $B_1,B_2$에 대해 $A=B_1\cup B_2$로 나타낼 수 있고 $B_1,B_2\not\in \mathcal{C}$라는 가정으로부터 이들 각각은 유한한 irreducible component를 갖는다. 약간의 계산을 통해 이 irreducible decomposition들을 사용하여 $A=B_1\cup B_2$의 유한한 irreducible decomposition을 찾을 수 있고, 이는 모순이므로 $\mathcal{C}=\emptyset$이어야 한다.
3. $X=A_1\cup\cdots\cup A_n$이 irreducible decomposition이라 하고, $X\setminus (A_2\cup\cdots\cup A_n)$을 생각하면 이 집합이 $A_1$에 포함되는 공집합이 아닌 $X$의 열린집합이다.

그럼 만일 $X$가 noetherian이라면, $X$의 irreducible decomposition

\[X=\bigcup_{i=1}^r X_i\]

이 존재하며, $X_i$들은 모두 닫힌집합이고, $X_i$의 여집합도 닫힌집합들의 유한한 합집합이므로 $X_i$는 열린집합이기도 하다.

명제 14 위상공간 $X$와 열린집합 $U$에 대하여, $U$와 만나는 $X$의 irreducible closed subset과, $U$의 irreducible closed subset 사이의 일대일대응이 존재한다.

증명

우선 $U\cap Z\neq\emptyset$을 만족하는 $X$의 irreducible subspace $Z$가 주어졌다 하고, $Z\cap U$의 공집합이 아닌 임의의 두 열린집합이 서로소가 아님을 보여야 한다. $Z\cap U$의 임의의 부분집합은 $Z$의 열린집합 $V_1, V_2$에 대하여 $V_1\cap U$, $V_2\cap U$의 꼴이므로, 다음의 식

\[(V_1\cap U)\cap (V_2\cap U)=(V_1\cap V_2)\cap U\]

으로부터 만일 $(V_1\cap U)\cap(V_2\cap U)\neq\emptyset$이라면 $V_1\cap V_2\neq\emptyset$이 되어 $Z$가 irreducible이라는 가정에 모순이다.

거꾸로 $U$의 irreducible closed subset $Y\subseteq U$가 주어졌다 하면 $Y$의 closure 또한 irreducible이므로 $X$의 irreducible $\cl_X(Y)$가 $U$와 만나는 $X$의 irreducible subset이 된다. 즉 이로부터 두 함수

\[\{\text{irreducible closes subset of $X$ meeting $U$}\}\rightarrow \{\text{irreducible closed subset of $U$}\};\qquad Z\mapsto Z\cap U\]

그리고

\[\{\text{irreducible closed subset of $U$}\} \rightarrow \{\text{irreducible closes subset of $X$ meeting $U$}\};\qquad Y\mapsto \cl_X(Y)\]

를 얻으며, 이들이 서로의 bijection임을 확인할 수 있다.

뿐만 아니라, 위의 증명에서의 두 함수는 inclusion-preserving이므로, $U$와 만나는 $X$의 irreducible component와 $U$의 irreducible component 사이의 일대일대응이 존재한다.

이제 다음 명제를 보이자.

명제 15 만일 위상공간 $X$의 두 유한차원 닫힌 부분공간 $Y,Z$가 존재하여 $X=Y\cup Z$라면, 이들의 Krull dimension 또한 식 $\dim X=\max(\dim Y,\dim Z)$을 만족한다.