이번 글에서 우리는 위상공간의 차원을 정의한다. 우선 우리는 일반적으로 사용하는 차원을 정의한 후, 대수기하학에서 사용할 차원의 개념을 따로 정의한다.

Covering dimensionPermalink

편의상 [Mun]을 따라 이 절에서는 compact space의 차원만 정의한다. 기본적인 아이디어는 XX의 점이 열린집합들로 몇 번 덮이는지를 재는 것인데, 물론 XX는 하나의 열린집합 XX로만 덮이므로, 이를 임의의 open covering을 이용해서 정의해야 할 것이며, open covering을 아무렇게나 주면 점 하나를 원하는만큼 많은 열린집합들로 덮을 수 있으므로 어떠한 종류의 최소성을 담보해야 할 것이다.

우선 다음을 정의한다.

정의 1 XX의 부분집합들의 family (Ui)iI(U_i)_{i\in I}m+1m+1order를 갖는다는 것은 XX의 어떠한 점도 m+1m+1개 이상의 UiU_i에 속하지 않으며, XX의 어떠한 점 하나는 정확히 m+1m+1개의 UiU_i들에 속하는 것이다.

그럼 공간 XX의 차원을 다음과 같이 정의할 수 있다.

정의 2 공간 XX유한차원finite dimensional이라는 것은 적당한 mm이 존재하여, 임의의 open covering (Ui)iI(U_i)_{i\in I}가 주어질 때마다, order m+1m+1짜리 (Ui)(U_i)의 open refinement (Vj)jJ(V_j)_{j\in J}가 항상 존재하는 것이다. 이것이 가능하도록 하는 최소의 mmXX차원dimension으로 정의하고 dimX\dim X로 적는다.

다소 주의할만한 것은 위상공간은 다음 그림과 같이 상당히 웃기게 생길 수 있으며, 이 때 우리는 이 위상공간의 차원을 두 성분의 차원 중 큰 것이 되도록 정의했다는 것이다.

img

한편 우리가 차원에 기대함직한 성질이 몇 가지 있는데, 그들 중 일부는 다음과 같다.

명제 3 XX가 유한차원 위상공간이고 YYXX의 closed subspace라면, YY도 유한차원이고 dimYdimX\dim Y\leq\dim X이다.

증명

XXdd차원 위상공간이라 하고, YY의 임의의 open covering {Vj}\{V_j\}이 주어졌다 하자. 그럼 각각의 VjV_j마다 Vj=UjYV_j=U_j\cap Y이도록 하는 XX의 open subset UjU_j가 존재한다. 이제 XXUjU_j들과, XYX\setminus Y로 덮을 수 있다. 그럼 이 covering의 orderd+1\leq d+1짜리 refinement가 존재하며, 이를 다시 YY와 교집합하면 {Vj}\{V_j\}의 orderd+1\leq d+1짜리 refinement를 얻는다.

다음 명제는 정의 2 이후에 언급한 주의점을 더 수학적으로 다듬은 것이다.

명제 4 만일 위상공간 XX의 두 유한차원 닫힌 부분공간 Y,ZY,Z가 존재하여 X=YZX=Y\cup Z라면, dimX=max(dimY,dimZ)\dim X=\max(\dim Y,\dim Z)이다.

증명

그리고 물론 우리는 Rn\mathbb{R}^n의 차원이 nn차원이기를 바란다. 그러나 이를 보이는 것은 쉽지는 않은데, 이는 기본적으로 현재 우리가 Rn\mathbb{R}^nRm\mathbb{R}^m이 homeomorphic하지 않다는 것조차 보이기가 힘들기 때문이다. 그 대신 이보다 약한 다음의 명제는 정의로부터 쉽게 보일 수 있다.

명제 5 Rn\mathbb{R}^n의 임의의 compact subspace는 항상 nn차원 이하이다.

증명

Krull dimensionPermalink

한편 우리는 대수기하학에서 사용하는 차원의 개념을 정의할 것인데, 대수기하학에서 관심을 갖는 공간은 일반적으로 생각하는 위상구조와는 다른 위상구조가 주어져 있어서 이 정의는 다소 비직관적이다. 특히, 일상적인 위상구조가 주어진 Rn\mathbb{R}^n은 항상 00차원이다. 그러나 어쨌든 이 정의를 위상수학의 언어로 할 수 있는 것은 사실이므로 이 페이지에 같이 적어두기로 한다.

정의 6 위상공간 XXirreducible기약이라는 것은 X=ABX=A\cup B이도록 하는 XX의 비자명한 닫힌집합이 존재하지 않는 것이다.

그럼 다음이 모두 동치이다.

명제 7 위상공간 XX에 대하여 다음이 모두 동치이다.

  1. XX가 irreducible이다.
  2. 공집합이 아닌 XX의 임의의 열린집합 U,VU,V에 대하여, UVU\cap V\neq\emptyset이다.
  3. 공집합이 아닌 XX의 임의의 열린집합 UU에 대하여, clU=X\cl U=X이다.
  4. XX의 임의의 열린집합이 connected이다.
증명

첫쨰 조건과 둘쨰 조건은 여집합을 생각하면 동치인 것이 자명하며, 둘째 조건과 셋째 조건이 동치인 것은 XclUX\setminus \cl UUU를 생각하면 자명하다. 마지막으로 둘째 조건과 넷째 조건이 정의에 의해 동치이다.

특히 irreducible space는 Hausdorff가 아니다. 위의 명제의 마지막 동치 때문에 irreducible space는 hyperconnected space라 부르기도 한다. 비슷한 맥락에서 다음이 성립한다. (참고: §연결공간, ⁋명제 3)

명제 8 만일 XX가 irreducible open subset들의 합집합

X=iIUiX=\bigcup_{i\in I} U_i

이고 UiUjU_i\cap U_j\neq \emptyset이 모든 i,ji,j에 대해 성립한다 하자. 그럼 XX는 irreducible이다.

증명

임의의 두 열린집합 V,WV, W가 주어졌다 하고, VWV\cap W\neq\emptyset임을 보이자. 그럼 주어진 가정으로부터 우선 UiVU_i\cap V\neq\emptyset 그리고 UjWU_j\cap W\neq\emptyset을 만족하는 i,ji,j가 존재한다. 이제 명제 7의 셋째 결과와 §부분공간, ⁋명제 5로부터 UiU_i도 irreducible이므로, UiU_i의 두 nonempty subset UiVU_i\cap VUiUjU_i\cap U_j도 반드시 공집합이 아닌 교집합을 가져야 한다. 즉

(UiV)(UiUj)=UiUjV(U_i\cap V)\cap (U_i\cap U_j)=U_i\cap U_j\cap V\neq\emptyset

이고, UiUjVU_i\cap U_j\cap VUjU_j의 nonempty subset으로 보면 마찬가지로 UjU_j의 irreducibilty로부터 다음의 식

(UiUjV)(UjW)=UiUjVW(U_i\cap U_j\cap V)\cap (U_j\cap W)=U_i\cap U_j\cap V\cap W\neq\emptyset

을 얻고 특히 VWV\cap W\neq\emptyset이다.

Connected component와 비슷하게 다음을 정의할 수 있다.

정의 9 위상공간 XX의 부분집합 AA에 대하여, AA를 포함하는 irreducible componentAA를 포함하는 irreducible subset 중 가장 큰 것을 의미한다.

그럼 §연결공간, ⁋명제 2과 비슷한 논증에 의하여, irreducible set의 closure는 irreducible인 것을 보일 수 있으므로 irreducible component는 반드시 closed subset이다.

정의 10 위상공간 XX에 대하여, XX의 irreducible closed subset들의 strictly descending chain

AnA0A_n\supsetneq\cdots\supsetneq A_0

length길이nn으로 정의한다. 그럼 XXKrull dimension크룰 차원을 다음의 식

dimX=sup{length of strictly descending chains of irreducible closed subsets}\dim X=\sup\{\text{length of strictly descending chains of irreducible closed subsets}\}

으로 정의한다. 만일 무한한 길이의 strictly descending chain이 존재한다면 dimX=\dim X=\infty로 정의하고, X=X=\emptyset인 경우 dimX=\dim X=-\infty로 정의한다.

그럼 다음과 같은 상황에서는 XX의 Krull dimension은 항상 유한하다. 특히 Hausdorff space에서는 오직 singleton만이 irreducible subset이므로 Hausdorff space의 Krull dimension은 00이다.

정의 11 위상공간 XXnoetherian뇌터 공간이라는 것은 임의의 닫힌집합들의 chain

A1A2A_1\supseteq A_2\supseteq\cdots

이 주어질 때마다, 적당한 nn이 존재하여 An=An+1=A_n=A_{n+1}=\cdots이도록 할 수 있는 것이다.

Noetherian 조건은 강력한 유한성의 조건을 준다. 가령 다음이 성립한다.

명제 12 Noetherian space는 compact이다.

증명

Noetherian space XXXX의 open covering {Ui}iI\{U_i\}_{i\in I}가 주어졌다 가정하자. 그럼

C={jJUj:J finite subset of I}\mathcal{C}=\left\{\bigcup_{j\in J} U_j:\text{$J$ finite subset of $I$}\right\}

라 정의할 수 있다. 이제 C\mathcal{C}의 임의의 totally ordered subset을 생각하면, 이는 그 여집합들로 이루어진 닫힌집합들의 descending chain과 동치이고 따라서 XX가 noetherian이라는 가정으로부터 이는 언젠가 멈춰야 한다. 즉, C\mathcal{C}[집합론] §선택공리, ⁋정리 4의 조건을 만족하고 따라서 C\mathcal{C}는 maximal element UCU\in \mathcal{C}를 갖는다. 만일 XUX\neq U라면, xXUx\in X\setminus U를 포함하는 UjU_j를 택할 수 있고 그럼 UUjU\cap U_jUU를 strict하게 포함하는 C\mathcal{C}의 원소이므로 UU의 maximality에 모순이다. 따라서 U=XU=X이고 우리는 원하는 결과를 얻는다.

추가적으로 noetherian space에 대해 다음이 성립한다.

명제 13 Noetherian topological space XX에 대하여, 다음이 성립한다.

  1. XX의 임의의 부분공간은 noetherian이다.
  2. XX는 유한히 많은 irreducible component를 가진다.
  3. XX의 각각의 irreducible component는 공집합이 아닌 XX의 열린집합을 포함한다.
증명
  1. XX의 임의의 부분공간 YY가 주어졌다 하고 YY의 임의의 닫힌집합들의 descending chain

    A1A2A_1\supseteq A_2\supseteq \cdots

    가 주어졌다 하자. 그럼 Ai=AiYA_i=A_i’ \cap Y를 만족하는 XX의 닫힌집합 AiA_i’들이 존재한다. 이제 Bi=A1AiB_i=A_1’\cap\cdots\cap A_i’라 하면, BiY=AiB_i\cap Y=A_i이고 BiB_iXX의 닫힌집합들의 descending chain이다.

  2. C\mathcal{C}XX의 닫힌집합 중, 유한히 많은 irreducible component들의 합집합으로 나타낼 수 없는 집합들의 모임이라 하자. 그럼 C=\mathcal{C}=\emptyset임을 보이면 된다. 결론에 반하여 C\mathcal{C}가 공집합이 아니라 하면, 명제 12의 증명에서와 마찬가지 방법으로 C\mathcal{C}가 minimal element AA를 갖는다는 것을 안다. 이제 AA는 irreducible이 아니므로, 두 닫힌집합 B1,B2B_1,B_2에 대해 A=B1B2A=B_1\cup B_2로 나타낼 수 있고 B1,B2∉CB_1,B_2\not\in \mathcal{C}라는 가정으로부터 이들 각각은 유한한 irreducible component를 갖는다. 약간의 계산을 통해 이 irreducible decomposition들을 사용하여 A=B1B2A=B_1\cup B_2의 유한한 irreducible decomposition을 찾을 수 있고, 이는 모순이므로 C=\mathcal{C}=\emptyset이어야 한다.
  3. X=A1AnX=A_1\cup\cdots\cup A_n이 irreducible decomposition이라 하고, X(A2An)X\setminus (A_2\cup\cdots\cup A_n)을 생각하면 이 집합이 A1A_1에 포함되는 공집합이 아닌 XX의 열린집합이다.

그럼 만일 XX가 noetherian이라면, XX의 irreducible decomposition

X=i=1rXiX=\bigcup_{i=1}^r X_i

이 존재하며, XiX_i들은 모두 닫힌집합이고, XiX_i의 여집합도 닫힌집합들의 유한한 합집합이므로 XiX_i는 열린집합이기도 하다.

명제 14 위상공간 XX와 열린집합 UU에 대하여, UU와 만나는 XX의 irreducible closed subset과, UU의 irreducible closed subset 사이의 일대일대응이 존재한다.

증명

우선 UZU\cap Z\neq\emptyset을 만족하는 XX의 irreducible subspace ZZ가 주어졌다 하고, ZUZ\cap U의 공집합이 아닌 임의의 두 열린집합이 서로소가 아님을 보여야 한다. ZUZ\cap U의 임의의 부분집합은 ZZ의 열린집합 V1,V2V_1, V_2에 대하여 V1UV_1\cap U, V2UV_2\cap U의 꼴이므로, 다음의 식

(V1U)(V2U)=(V1V2)U(V_1\cap U)\cap (V_2\cap U)=(V_1\cap V_2)\cap U

으로부터 만일 (V1U)(V2U)(V_1\cap U)\cap(V_2\cap U)\neq\emptyset이라면 V1V2V_1\cap V_2\neq\emptyset이 되어 ZZ가 irreducible이라는 가정에 모순이다.

거꾸로 UU의 irreducible closed subset YUY\subseteq U가 주어졌다 하면 YY의 closure 또한 irreducible이므로 XX의 irreducible clX(Y)\cl_X(Y)UU와 만나는 XX의 irreducible subset이 된다. 즉 이로부터 두 함수

{irreducible closes subset of X meeting U}{irreducible closed subset of U};ZZU\{\text{irreducible closes subset of $X$ meeting $U$}\}\rightarrow \{\text{irreducible closed subset of $U$}\};\qquad Z\mapsto Z\cap U

그리고

{irreducible closed subset of U}{irreducible closes subset of X meeting U};YclX(Y)\{\text{irreducible closed subset of $U$}\} \rightarrow \{\text{irreducible closes subset of $X$ meeting $U$}\};\qquad Y\mapsto \cl_X(Y)

를 얻으며, 이들이 서로의 bijection임을 확인할 수 있다.

뿐만 아니라, 위의 증명에서의 두 함수는 inclusion-preserving이므로, UU와 만나는 XX의 irreducible component와 UU의 irreducible component 사이의 일대일대응이 존재한다.

이제 다음 명제를 보이자.

명제 15 만일 위상공간 XX의 두 유한차원 닫힌 부분공간 Y,ZY,Z가 존재하여 X=YZX=Y\cup Z라면, 이들의 Krull dimension 또한 식 dimX=max(dimY,dimZ)\dim X=\max(\dim Y,\dim Z)을 만족한다.

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