대수기하학에서 모양들의 family를 다룰 때, 우리는 기저 위의 점이 변함에 따라 fiber가 “연속적으로” 변하기를 기대한다. 그러나 단순히 사상의 연속성만으로는 이 직관을 포착하기에 부족하다. 예를 들어 기저의 한 점에서 fiber의 차원이 갑자기 뛰거나, 특이점의 개수가 달라지는 등의 비연속적인 변화가 일어날 수 있다. 이러한 현상을 배제하고 fiber들이 일정한 대수적·기하학적 성질을 유지하도록 하는 개념이 바로 평탄성(flatness)이다. 본 글에서는 먼저 가환대수학적 맥락에서 평탄 가군을 정의한 뒤, 이를 바탕으로 §스킴 사이의 평탄 사상을 소개하고 그 기하학적 의미와 판정법, 예시들을 살편본다.
평탄 가군
가환환 \(A\) 위의 가군 \(M\)이 평탄하다는 것은 대수적으로 자연스러운 조건이다. \(A\)-가군 사이의 텐서곱 함자 \(-\otimes_A M\)은 일반적으로 완전열을 보존하지 않는다. 즉, 단사 가군 동형사상 \(N' \hookrightarrow N\)에 대하여 \(N' \otimes_A M \rightarrow N \otimes_A M\)이 단사가 되지 않을 수 있다. 텐서곱이 가군들 사이의 “관계”를 망가뜨리는 이러한 현상을 방지하는 것이 평탄 가군의 본질이다.
정의 1 가환환 \(A\) 위의 가군 \(M\)이 평탄(flat)하다고 하면, 텐서곱 함자 \(-\otimes_A M\)이 정확한 함자(exact functor)인 것을 말한다. 즉, 임의의 \(A\)-가군의 짧은 완전열
\[0 \longrightarrow N' \longrightarrow N \longrightarrow N'' \longrightarrow 0\]에 대하여
\[0 \longrightarrow N' \otimes_A M \longrightarrow N \otimes_A M \longrightarrow N'' \otimes_A M \longrightarrow 0\]역시 짧은 완전열이 되는 것이다.
직관적으로 평탄 가군 \(M\)은 기존의 가군들에 포함되어 있던 선형관계를 텐서곱 이후에도 그대로 유지시킨다. 예를 들어 \(A = \mathbb{Z}\) 위에서 \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\)는 평탄하지 않은데, 단사사상 \(\mathbb{Z} \xrightarrow{\times 2} \mathbb{Z}\)에 \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\)를 텐서곱하면
\[\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \xrightarrow{\times 2} \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\]이 되어 영사상이 되고 단사성이 깨지기 때문이다. 반면 자유 가군은 항상 평탄하다. 더 일반적으로 [가환대수학] §평탄성, ⁋명제 1에서 보듯이, 국소환 위에서 유한생성 평탄 가군은 자유 가군이다.
평탄 사상의 정의
이제 scheme의 맥락으로 넘어가보자. Morphism \(f: X \to Y\)가 평탄하다는 것은 대역적으로 말해 \(X\)의 구조층이 \(Y\)의 구조층 위에서 평탄한 가군 구조를 가진다는 의미이다.
정의 2 Morphism \(f: X \to Y\)가 평탄(flat)하다고 하면, 임의의 \(x \in X\)에 대하여 국소환 \(\mathcal{O}_{X,x}\)가 \(\mathcal{O}_{Y,f(x)}\)-가군으로서 평탄한 것을 말한다. 추가로 \(f\)가 대응하는 위상공간의 사상이 surjective이면 충실히 평탄(faithfully flat)하다고 부른다.
평탄성은 §스킴 사이의 사상이 가지는 가장 중요한 대수적 성질 중 하나이다. 특히 평탄 사상의 fiber는 기저의 변화에 따라 예측 가능한 방식으로 변화하며, 이는 곧 기하학적 성질들이 family를 따라 일정하게 유지됨을 의미한다.
기하학적 성질
평탄 사상의 가장 기하학적으로 직관적인 특징은 fiber의 §차원 (스킴)이 기저 위에서 locally constant하다는 점이다. 일반적인 morphism의 경우 Chevalley의 정리에 의해 fiber 차원은 위로 반연속(upper semi-continuous)이지만, 평탄성이 주어지면 이 반연속성이 양방향이 되어 fiber 차원이 일정해진다.
명제 3 Locally Noetherian scheme 사이의 평탄 사상 \(f: X \to Y\)가 locally of finite type이면, 함수
\[y \longmapsto \dim f^{-1}(y)\]은 \(Y\) 위에서 locally constant이다.
증명
Chevalley의 정리에 의해, locally of finite type인 사상에 대하여 \(y \mapsto \dim f^{-1}(y)\)는 위로 반연속이다. 한편 평탄성 가정 하에서, 임의의 \(y \in Y\)에 대하여 \(f^{-1}(y)\)의 차원은 근처의 점들에서 떨어지지 않는다는 사실도 성립한다. 이는 [가환대수학] §평탄성과 국소화, ⁋정리 1의 국소 판정법과 차원공식을 통해 보일 수 있다. 위로 반연속이면서 동시에 아래로도 반연속인 함수는 locally constant이므로 결론을 얻는다.
평탄 사상의 또 다른 중요한 기하학적 성질은 열린집합을 열린집합으로 본다는 점이다. 사실 더 강력한 결과가 성립한다.
명제 4 평탄하고 locally of finite type이며 dominant인 사상 \(f: X \to Y\)는 열린 사상(open map)이다. 즉, 임의의 열린집합 \(U \subseteq X\)의 상 \(f(U)\)는 \(Y\)의 열린집합이다.
Chevalley의 정리에 의해 locally of finite type 사상의 상은 생성가능 집합(constructible set)이다. Noetherian 공간에서 생성가능 집합이 열린집합이 될 필요충분조건은 일반화(generization)에 대해 닫혀 있는 것이다. \(f\)가 평탄이면 충실히 평탄인 국소화를 통해, \(f(U)\)가 일반화에 대해 닫혀 있음을 보일 수 있다. 구체적으로 \(y' \in \overline{\{y\}}\)이고 \(y \in f(U)\)라 하자. 평탄성에 의해 \(U\) 위의 일반화는 \(f(U)\) 위로 올라가고, 따라서 \(y' \in f(U)\)이다.
평탄성은 매끄러운 사상(smooth morphism)보다 더 약한 조건이다. 사실 매끄러움은 정칙성(regularity)의 상대적 버전이며, 이는 평탄성을 내포한다.
명제 5 매끄러운 사상(smooth morphism)은 평탄이다.
\(f: X \to Y\)가 매끄러운 사상이라 하자. 매끄러움은 locally of finite presentation이며, 임의의 \(x \in X\)에 대하여 국소환 \(\mathcal{O}_{X,x}\)가 \(\mathcal{O}_{Y,f(x)}\) 위에서 정칙 국소환(regular local ring)으로서 상대차원 \(d\)를 가진다. 즉, 최대 아이디얼 \(\mathfrak{m}_x\)는 \(d\)개의 원소 \(f_1, \dots, f_d\)와 \(\mathfrak{m}_{f(x)}\)에 의해 생성되며, \(\mathcal{O}_{X,x}/(f_1, \dots, f_d)\)는 \(\mathcal{O}_{Y,f(x)}\) 위에서 평탄하다. 정칙 국소환의 정의와 국소 판정법에 의해 \(\mathcal{O}_{X,x}\) 자체가 \(\mathcal{O}_{Y,f(x)}\)-평탄 가군이 됨을 알 수 있다.
평탄성의 판정법
평탄성을 직접 검증하는 것은 어려울 수 있으므로, 이를 판정하는 여러 기준이 개발되었다. 가장 기본적인 것은 국소 판정법(local criterion for flatness)이다.
명제 6 (국소 평탄성 판정법). Noetherian 국소환 \((A, \mathfrak{m})\)과 유한생성 \(A\)-가군 \(M\)이 주어졌다고 하자. \(A\)의 임의의 아이디얼 \(I\)에 대하여 \(M/IM\)이 \(A/I\)-평탄이고, 추가로 \(\operatorname{Tor}_1^A(M, A/I) = 0\)이면 \(M\)은 \(A\)-평탄이다. 특히 \(I = \mathfrak{m}\)인 경우, \(M/\mathfrak{m}M\)이 \(A/\mathfrak{m}\) 위에서 평탄(즉, 자유)이고 \(\operatorname{Tor}_1^A(M, A/\mathfrak{m}) = 0\)이면 \(M\)은 평탄이다.
증명
아이디얼 \(I\)에 대하여, \(M\)이 \(A\)-평탄임을 보이기 위해 \(\operatorname{Tor}_1^A(M, N) = 0\)이 임의의 유한생성 \(A\)-가군 \(N\)에 대해 성립함을 보인다. \(N\)에 대한 필tration을 사용하여, 귀납적으로 \(N = A/\mathfrak{p}\)인 소아이디얼 \(\mathfrak{p}\)에 대한 경우만 확인하면 충분하다. 국소 판정법의 표준적인 증명은 \(I\)-adic 완비화와 Artin-Rees 보조정리를 사용하여, \(M\)의 완비화가 평탄임을 보이고 이로부터 \(M\) 자체의 평탄성을 유도한다. 자세한 내용은 [가환대수학] §평탄성과 국소화, ⁋정의 4를 참고하라.
호몰로지 대수학의 관점에서는 §Ext와 Tor를 이용하여 평탄성을 판정할 수 있다.
명제 7 (\(\operatorname{Tor}\) 판정법). \(A\)-가군 \(M\)이 평탄인 것은 임의의 아이디얼 \(I \subseteq A\)에 대하여 \(\operatorname{Tor}_1^A(M, A/I) = 0\)이 되는 것과 동치이다.
증명
\(-\otimes_A M\)이 정확한 함자임을 보이기 위해, 단사사상 \(N' \hookrightarrow N\)이 주어졌을 때 \(N' \otimes_A M \rightarrow N \otimes_A M\)이 단사임을 확인하면 충분하다. \(\operatorname{Tor}_1^A(M, -)\)가 모든 순환 가군 \(A/I\)에 대해 소멸한다는 가정 하에서, 긴 완전열에 의해 이는 임의의 유한생성 가군, 나아가 임의의 가군에 대해서도 성립한다. 따라서 \(-\otimes_A M\)은 정확하고, \(M\)은 평탄이다. 역방향은 평탄 가군의 정의에 의해 \(-\otimes_A M\)이 정확한 함자이므로, 임의의 단사사상에 대한 텐서곱이 단사가 되어 \(\operatorname{Tor}_1^A(M, A/I) = 0\)이 성립한다.
마지막으로, 제네릭 평탄성(generic flatness)은 평탄 영역이 기저 위에서 조밀한 열린집합을 이룬다는 중요한 정리이다.
명제 8 (제네릭 평탄성). Noetherian scheme \(Y\) 위의 integral scheme \(X\)로의 dominant morphism \(f: X \to Y\)가 finite type이면, \(Y\)의 어떤 조밀한 열린집합 \(U\) 위에서 \(f\rvert_{f^{-1}(U)}: f^{-1}(U) \to U\)가 평탄이다.
증명
문제는 affine하게 환원할 수 있다. 즉, \(Y = \operatorname{Spec} A\), \(X = \operatorname{Spec} B\)로 두고, \(A\)가 Noetherian 정역, \(B\)가 \(A\) 위에서 finite type인 가군이며 \(A \to B\)가 단사라고 가정한다. 대수적 버전의 제네릭 평탄성에 의해, \(A\)의 영원소 \(f \neq 0\)가 존재하여 \(B_f\)가 \(A_f\)-평탄이다. 이는 곧 \(D(f) \subseteq Y\) 위에서 \(f\)가 평탄임을 의미한다. 이 정리의 증명은 \(B\)를 유한생성 \(A\)-대수로 보고, 그 분수체에서의 평탄성을 확보한 뒤 이를 적절한 localization으로 전파시키는 방식으로 이루어진다.
예시
평탄 사상과 그렇지 않은 사상의 전형적인 예시들을 살펴보자.
예시 9
(1) 열린 부분스킴으로의 열린 포함사상(open immersion)은 평탄이다. 이는 국소적으로 localization에 해당하며, localization은 항상 평탄하다.
(2) 아핀 공간 사이의 사영사상 \(\mathbb{A}_k^{n+m} \to \mathbb{A}_k^n\), 즉 \(k[x_1, \dots, x_n] \to k[x_1, \dots, x_n, y_1, \dots, y_m]\)은 평탄이다. 이는 다변수 다항식환의 자유 가군 구조로부터 바로 얻어진다.
예시 10 평탄하지 않은 대표적인 예로, cusp의 family를 고려하자. \(k\)를 체로 하고, \(\mathbb{A}_k^1 = \operatorname{Spec} k[t]\) 위의 family
\[X = \operatorname{Spec} k[t, x, y]/(y^2 - x^3 - t) \longrightarrow \mathbb{A}_k^1\]를 생각한다. \(t \neq 0\)인 점에서는 fiber가 non-singular한 타원곡선(genus 1)이 되지만, \(t = 0\)에서는 fiber가 cusp \(y^2 = x^3\)가 되어 singular해진다. 이 사상은 \(t = 0\)에서 평탄하지 않다. 사실 \(k[t]_{(t)}\) 위에서 \(k[t, x, y]/(y^2 - x^3 - t)_{(t)}\)를 생각하면, 이 가군은 \(t\)에 의해 영이 되는 원소를 가지므로 \(t\)-torsion이 존재하여 평탄성이 깨진다. 직관적으로 fiber의 위상적 형태가 갑자기 변하기 때문에 평탄성이 상실된 것이다.
비슷하게 node의 family
\[\operatorname{Spec} k[t, x, y]/(xy - t) \longrightarrow \mathbb{A}_k^1\]역시 \(t = 0\)에서 평탄하지 않다. \(t \neq 0\)일 때는 fiber가 두 개의 교차하는 직선이지만, \(t = 0\)에서는 이중원 \(xy = 0\)가 되어 위상적으로 다른 형태를 띤다.
예시 11 양수 특성 \(p > 0\)인 체 \(k\) 위의 scheme \(X\)에 대하여, Frobenius 사상
\[F: X \longrightarrow X\]은 구조층 위에서 \(p\)제곱사상 \(a \mapsto a^p\)을 유도한다. 이 사상은 일반적으로 평탄하지 않다. Kunz의 정리에 의해, \(X\)가 정칙(regular)인 것과 \(F\)가 평탄인 것이 동치이다. 따라서 \(X\)가 특이점을 가지면 Frobenius 사상은 평탄이 아니다. 예를 들어 \(X = \operatorname{Spec} k[x, y]/(xy)\)는 이중원(node)이며, 이 점에서 Frobenius는 평탄하지 않다.
평탄 사상의 성질
평탄성은 기본적인 연산들 아래에서 잘 거동한다.
명제 12
(1) 평탄 사상의 기저변환(§올곱)은 평탄이다. 즉, \(f: X \to Y\)가 평탄이고 \(Z \to Y\)가 임의의 사상이면, 투영사상 \(X \times_Y Z \to Z\)는 평탄이다.
(2) 평탄 사상들의 합성은 평탄이다. 즉, \(f: X \to Y\)와 \(g: Y \to Z\)가 모두 평탄이면 \(g \circ f: X \to Z\)도 평탄이다.
증명
(1) 기저변환은 국소적으로 텐서곱 \(B \otimes_A C\)의 형태를 띤다. \(B\)가 \(A\)-평탄이면, \(-\otimes_A (B \otimes_A C) \cong (-\otimes_A B) \otimes_B (B \otimes_A C)\)이므로 정확성이 보존된다. 따라서 \(B \otimes_A C\)는 \(C\)-평탄이다.
(2) 합성의 경우, \((g \circ f)^{-1}\)에 대한 구조층의 전진은 \(g_* f_* \mathcal{O}_X\)이다. \(f_* \mathcal{O}_X\)가 \(\mathcal{O}_Y\)-평탄 가군이고, \(g_*\)에 의해 평탄성이 보존되므로, 합성사상 역시 평탄이다. 대수적으로, \(A \to B\)와 \(B \to C\)가 모두 평탄이면 임의의 \(A\)-가군 \(N\)에 대해 \(N \otimes_A C \cong (N \otimes_A B) \otimes_B C\)이며, 각 단계에서 정확성이 보존되어 \(-\otimes_A C\)도 정확하다.
또한 평탄하지 않은 점들이 모여 있는 집합은 닫힌 집합을 이룬다는 사실도 중요하다.
명제 13 Locally finite presentation인 사상 \(f: X \to Y\)에 대하여, \(X\)에서 \(f\)가 평탄하지 않은 점들의 집합은 닫힌집합이다. equivalently, 평탄 영역(flat locus)은 \(X\)의 열린집합이다.
증명
문제는 국소적이므로 \(Y = \operatorname{Spec} A\), \(X = \operatorname{Spec} B\)로 가정한다. \(B\)가 \(A\) 위에서 finite presentation이라 하자. 평탄성은 국소적으로 \(\operatorname{Tor}\) 함자의 소멸으로 판정되며, \(\operatorname{Tor}_1^A(B, -)\)의 소멸은 특정 행렬식의 비소멸 조건으로 기술된다. 이러한 조건은 열린 조건을 이루므로, 평탄한 점들의 집합은 열린집합이 된다. Noetherian 경우에는 이를 아이디얼들의 높이를 통해 더욱 명시적으로 기술할 수 있다.
참고문헌
[Har] R. Hartshorne, Algebraic geometry, Springer, 1977.
[Stacks] The Stacks Project Authors, Stacks Project, https://stacks.math.columbia.edu, Tag 00MD, Tag 00R3, Tag 01UA.
[EGA] A. Grothendieck, Éléments de géométrie algébrique, IHES, 1960–1967.
[Mats] H. Matsumura, Commutative ring theory, Cambridge University Press, 1986.
댓글남기기