환의 곱, 쌍대곱, 텐서곱

이제 우리는 ring들의 product와 coproduct를 정의한다.

환들의 곱

환들의 곱의 경우는 어렵지 않게 정의할 수 있다. Ring들의 family \((A_i)_{i\in I}\)가 주어졌다 하자. 그럼 abelian group의 product \(\prod_{i\in I}A_i\)가 잘 정의된다. 한편 \(A_i\) 위에 곱셈구조를 주는 \(\mu_i: A_i\otimes A_i \rightarrow A_i\)는 bilinear map \(A_i\times A_i \rightarrow A_i\)와 같고, 이를 통해 집합들 사이의 함수

\[\left(\prod_{i\in I} A_i\right)\times\left(\prod_{i\in I} A_i\right) \cong \prod_{i\in I} (A_i\times A_i) \overset{\prod \mu_i}{\longrightarrow} \prod_{i\in I}A_i\]

를 정의할 수 있다.

명제 1 위와 같이 정의된 함수는 abelian group \(\left(\prod A_i\right)\times\left(\prod A_i\right)\)에서 \(\prod A_i\)로의 bilinear map이며, 따라서 abelian group homomorphism \(\left(\prod A_i\right)\otimes\left(\prod A_i\right) \rightarrow \prod A_i\)를 유도한다.

증명

위의 함수를 직접 원소로 나타내면, \(\prod A_i\)의 원소들은 순서쌍 \((\alpha_i)_{i\in I}\)의 꼴이며, 두 원소 \((\alpha_i)_{i\in I}, (\beta_i)_{i\in I}\in \prod A_i\)에 대해 이들 둘을 위 함수에 넣은 결과는

\[(\alpha_i)_{i\in I}(\beta_i)_{i\in I}=(\alpha_i\beta_i)_{i\in I}\]

을 통해 곱셈이 주어지게 된다. 즉 주어진 함수는 두 원소의 성분별로 곱셈을 하는 함수이다. 이제 bilinearity 또한 성분별로 확인할 수 있다.

이를 통해 \(\prod A_i\) 또한 ring의 구조를 갖는다. 이 때, 이 ring의 덧셈에 대한 항등원은 모든 성분이 \(0\)인 원소이고 곱셈에 대한 항등원은 모든 성분이 \(1\)인 원소이다. 한편 임의의 두 ring homomorphism \(\phi,\psi:A \rightarrow B\)에 대하여,

\[\Eq(\phi,\psi)=\{\alpha\in A\mid \phi(\alpha)=\psi(\alpha)\}\]

으로 정의하면 이것은 §군 준동형사상, ⁋명제 2에 의해 \(A\)의 subgrouop이고, 뿐만 아니라 임의의 \(\alpha,\beta\in\Eq(\phi,\psi)\)에 대하여

\[\phi(\alpha\beta)=\phi(\alpha)\phi(\beta)=\psi(\alpha)\psi(\beta)=\psi(\alpha\beta)\]

이므로 \(\alpha\beta\in\Eq(\phi,\psi)\)이다. 즉 \(\Eq(\phi,\psi)\)는 \(A\)의 subring이며, 이것이 \(\Ring\)에서 \(\phi\)와 \(\psi\)의 equalizer를 정의한다. 이로부터 다음이 성립한다.

정리 2 Category \(\Ring\)은 complete이다.

환들의 쌍대곱

한편 ring들의 coproduct를 정의하기 위해서는 약간의 노력이 필요하다. 이는 본질적으로 ring의 곱셈 연산이 commutative하지 않기 때문으로, \(\Grp\)에서 쌍대곱을 정의할 때도 비슷한 문제가 있었다. 이를 극복하기 위해 우리는 §자유곱에서 꽤나 귀찮은 방식으로 free product를 정의했어야 했다. Ring에서도 마찬가지 방식으로 coproduct를 정의할 수 있지만, 앞으로의 논의에 이것이 쓰일 일은 없으므로 다음과 같이 명제로 남겨두기만 한다.

명제 3 임의의 ring들의 family \((A_i)_{i\in I}\)에 대하여, 이들의 coproduct가 존재한다.

한편 임의의 두 ring homomorphism \(\phi,\psi:A \rightarrow B\)이 주어졌다 하자. \(B\)의 ideal \(\mathfrak{b}\)를 \(\phi(\alpha)-\psi(\alpha)\)들로 생성되는 two-sided ideal이라 하면 \(B/\mathfrak{b}\)가 잘 정의된다. 그럼 §군 동형사상, ⁋명제 8과 동일한 증명을 통해 다음이 성립한다.

명제 4 위와 같은 상황에서, \(\CoEq(\phi,\psi)=B/\mathfrak{b}\)는 \(f,g\)의 coequalizer를 정의한다.

따라서 다음이 성립한다.

정리 5 Category \(\Ring\)은 bicomplete category이다.

환들의 텐서곱

마지막으로 \(\Ring\)에서의 tensor product \(\otimes\)를 정의한다. 이를 위해서는 임의의 두 ring \(A,B\)에 대하여, abelian group \(A\otimes B\) 위에 곱셈구조, 즉 다음의 abelian group homomorphism

\[(A\otimes B)\otimes(A\otimes B) \rightarrow A\otimes B\]

를 정의하면 충분하다. 그런데 tensor product의 associatvity와 commutativity에 의하여,

\[(A\otimes B)\otimes(A\otimes B)\cong (A\otimes A)\otimes (B\otimes B)\]

가 성립하고, 따라서 \(\mu_A:A\otimes A \rightarrow A\)와 \(\mu_B: B\otimes B\)가 \(A\otimes B\) 위의 곱셈

\[(A\otimes B)\otimes(A\otimes B)\cong (A\otimes A)\otimes (B\otimes B)\overset{\mu_A\otimes\mu_B}{\longrightarrow} A\otimes B\]

을 정의한다.

정의 6 임의의 ring \(A,B\)에 대하여, 위와 같이 정의된 ring \(A\otimes B\)를 이들의 tensor product라 부른다.

이를 통해 category \(\Ring\)이 symmetric monoidal category \((\Ring,\otimes, \mathbb{Z})\)를 이룬다는 것을 확인할 수 있다. 명시적으로 \(A\otimes B\) 위의 곱셈은

\[(\alpha\otimes \beta)(\alpha'\otimes \beta')=\alpha\alpha'\otimes \beta\beta'\]

를 통해 정의된다.

한 가지 흥미로운 사실은, \(\otimes\)가 \(\cRing\)에서의 coproduct와 같다는 것이다. 이를 확인하기 위해서는 임의의 commutative ring \(A,B\)와 다음 식

\[\iota_A: A \hookrightarrow A\otimes B;\quad \alpha\mapsto \alpha\otimes 1\]

그리고 비슷한 방식으로 정의된 \(\iota_B\)가 coproduct의 universal property를 만족함을 보이면 된다. 임의의 \(\phi_A: A \rightarrow C\), \(\phi_B: B \rightarrow C\)가 주어졌다 하자. 만일 coproduct의 universal property를 만족하는 \(\phi: A\otimes B \rightarrow C\)가 존재한다면, 이는 반드시

\[\phi(\alpha\otimes \beta)=\phi((\alpha\otimes 1)(1\otimes \beta))=\cdots=\phi_A(\alpha)\phi_B(\beta)\]

를 만족해야 하므로 유일하다는 것을 알 수 있다. 한편, \(A\times B\)에서 \(C\)로의 함수 \((\alpha,\beta)\mapsto \phi_A(\alpha)\phi_B(\beta)\)가 bilinear이므로, tensor product의 universal property로부터 \(\alpha\otimes \beta\mapsto \phi_A(\alpha)\phi_B(\beta)\)를 만족하는 ring homomorphism \(A\otimes B \rightarrow C\)가 존재하게 되고, 이것이 정확히 \(\phi\)가 된다.