환의 곱, 쌍대곱, 텐서곱

이제 우리는 ring들의 product와 coproduct를 정의한다.

환들의 곱

환들의 곱의 경우는 어렵지 않게 정의할 수 있다. Ring들의 family $(A_i)_{i\in I}$가 주어졌다 하자. 그럼 abelian group의 product $\prod_{i\in I}A_i$가 잘 정의된다. 한편 $A_i$ 위에 곱셈구조를 주는 $\mu_i: A_i\otimes A_i \rightarrow A_i$는 bilinear map $A_i\times A_i \rightarrow A_i$와 같고, 이를 통해 집합들 사이의 함수

\[\left(\prod_{i\in I} A_i\right)\times\left(\prod_{i\in I} A_i\right) \cong \prod_{i\in I} (A_i\times A_i) \overset{\prod \mu_i}{\longrightarrow} \prod_{i\in I}A_i\]

를 정의할 수 있다.

명제 1 위와 같이 정의된 함수는 abelian group $\left(\prod A_i\right)\times\left(\prod A_i\right)$에서 $\prod A_i$로의 bilinear map이며, 따라서 abelian group homomorphism $\left(\prod A_i\right)\otimes\left(\prod A_i\right) \rightarrow \prod A_i$를 유도한다.

증명

위의 함수를 직접 원소로 나타내면, $\prod A_i$의 원소들은 순서쌍 $(a_i)_{i\in I}$의 꼴이며, 두 원소 $(a_i)_{i\in I}, (b_i)_{i\in I}\in \prod A_i$에 대해 이들 둘을 위 함수에 넣은 결과는

\[(a_i)_{i\in I}(b_i)_{i\in I}=(a_ib_i)_{i\in I}\]

을 통해 곱셈이 주어지게 된다. 즉 주어진 함수는 두 원소의 성분별로 곱셈을 하는 함수이다. 이제 bilinearity 또한 성분별로 확인할 수 있다.

이를 통해 $\prod A_i$ 또한 ring의 구조를 갖는다. 이 때, 이 ring의 덧셈에 대한 항등원은 모든 성분이 $0$인 원소이고 곱셈에 대한 항등원은 모든 성분이 $1$인 원소이다. 한편 임의의 두 ring homomorphism $f,g:A \rightarrow B$에 대하여,

\[\Eq(f,g)=\{x\in A: f(x)=g(x)\}\]

으로 정의하면 임의의 $x,y\in\Eq(f,g)$에 대하여

\[f(xy)=f(x)f(y)=g(x)g(y)=g(xy)\]

이므로 $xy\in\Eq(f,g)$이다. 즉 $\Eq(f,g)$는 $A$의 subring이며, 이것이 $\Ring$에서 $f,g$의 equalizer를 정의한다. 이로부터 다음이 성립한다.

정리 2 Category $\Ring$은 complete이다.

환들의 쌍대곱

한편 ring들의 coproduct를 정의하기 위해서는 약간의 노력이 필요하다. 이는 본질적으로 ring의 곱셈 연산이 commutative하지 않기 때문으로, $\Grp$에서 쌍대곱을 정의할 때도 비슷한 문제가 있었다. 이를 극복하기 위해 우리는 §자유곱에서 꽤나 귀찮은 방식으로 free product를 정의했어야 했다. Ring에서도 마찬가지 방식으로 coproduct를 정의할 수 있지만, 앞으로의 논의에 이것이 쓰일 일은 없으므로 다음과 같이 명제로 남겨두기만 한다.

명제 3 임의의 ring들의 family $(A_i)_{i\in I}$에 대하여, 이들의 coproduct가 존재한다.

한편 임의의 두 ring homomorphism $f,g:A \rightarrow B$이 주어졌다 하자. $B$의 ideal $\mathfrak{b}$를 $f(x)-g(x)$들로 생성되는 two-sided ideal이라 하면 $B/\mathfrak{b}$가 잘 정의된다. 그럼 §군 동형사상, ⁋명제 8과 동일한 증명을 통해 다음이 성립한다.

명제 4 위와 같은 상황에서, $\CoEq(f,g)=B/\mathfrak{b}$는 $f,g$의 coequalizer를 정의한다.

따라서 다음이 성립한다.

정리 5 Category $\Ring$은 bicomplete category이다.

환들의 텐서곱

마지막으로 $\Ring$에서의 tensor product $\otimes$를 정의한다. 이를 위해서는 임의의 두 ring $A,B$에 대하여, abelian group $A\otimes B$ 위에 곱셈구조, 즉 다음의 abelian group homomorphism

\[(A\otimes B)\otimes(A\otimes B) \rightarrow A\otimes B\]

를 정의하면 충분하다. 그런데 tensor product의 associatvity와 commutativity에 의하여,

\[(A\otimes B)\otimes(A\otimes B)\cong (A\otimes A)\otimes (B\otimes B)\]

가 성립하고, 따라서 $\mu_A:A\otimes A \rightarrow A$와 $\mu_B: B\otimes B$가 $A\otimes B$ 위의 곱셈

\[(A\otimes B)\otimes(A\otimes B)\cong (A\otimes A)\otimes (B\otimes B)\overset{\mu_A\otimes\mu_B}{\longrightarrow} A\otimes B\]

을 정의한다.

정의 6 임의의 ring $A,B$에 대하여, 위와 같이 정의된 ring $A\otimes B$를 이들의 tensor product라 부른다.

이를 통해 category $\Ring$이 symmetric monoidal category $(\Ring,\otimes, \mathbb{Z})$를 이룬다는 것을 확인할 수 있다. 명시적으로 $A\otimes B$ 위의 곱셈은

\[(a\otimes b)(a'\otimes b')=aa'\otimes bb'\]

를 통해 정의된다.

한 가지 흥미로운 사실은, $\otimes$가 $\CRing$에서의 coproduct와 같다는 것이다. 이를 확인하기 위해서는 임의의 commutative ring $A,B$와 다음 식

\[\iota_A: A \hookrightarrow A\otimes B;a\mapsto a\otimes 1\]

그리고 비슷한 방식으로 정의된 $\iota_B$가 coproduct의 universal property를 만족함을 보이면 된다. 임의의 $f_A: A \rightarrow C$, $f_B: B \rightarrow C$가 주어졌다 하자. 만일 coproduct의 universal property를 만족하는 $f: A\otimes B \rightarrow C$가 존재한다면, 이는 반드시

\[f(a\otimes b)=f((a\otimes 1)(1\otimes b))=\cdots=f_A(a)f_B(b)\]

를 만족해야 하므로 유일하다는 것을 알 수 있다. 한편, $A\times B$에서 $C$로의 함수 $(a,b)\mapsto f_A(a)f_B(b)$가 bilinear이므로, tensor product의 universal property로부터 $a\otimes b\mapsto f_A(a)f_B(b)$를 만족하는 ring homomorphism $A\otimes B \rightarrow C$가 존재하게 되고, 이것이 정확히 $f$가 된다.