지난 글에서 살펴본 $\mathbb{k}$-벡터공간 $\mathbb{k}[\x]$의 모든 원소는 집합 $S=\{1,\x,\x^2,\ldots\}$의 원소들의 일차결합으로 나타낼 수 있다. 이러한 집합 $S$가 주어진다면 우리는 벡터공간들의 모든 원소 대신 $S$의 원소들만 살펴보아도 $\mathbb{k}[\x]$의 성질을 파악할 수 있다.
생성집합
이런 상황을 다음과 같이 정의한다.
정의 1 $\mathbb{k}$-벡터공간 $V$에 대하여, $V$의 부분집합 $S$가 $V$의 spanning set생성집합이라는 것은 임의의 $v\in V$가 주어질 때마다, 적당한 $\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in \mathbb{k}$와 $x_1,\ldots, x_n\in S$가 존재하여
\[v=\alpha_1x_1+\cdots+\alpha_nx_n\]으로 적을 수 있는 것이다.
앞선 글에서 우리는 무한히 많은 원소들의 일차결합 또한 정의했었는데, 이를 이용하면 위의 정의는 $V$의 임의의 원소가 $S$의 일차결합으로 쓰여질 수 있다는 것과 같은 말이다.
임의의 $\mathbb{k}$-벡터공간 $V$는 항상 spanning set을 갖는다. 이는 $V$가 $V$ 자기 자신을 생성하기 때문에 자명하다. 그러나 이 상황에서는 $S$가 너무 크기 때문에 $V$를 더 편하게 살펴보려는 처음의 목적에는 부합하지 않는다는 것 또한 명확하다.
정의 2 $\mathbb{k}$-벡터공간 $V$에 대하여, $V$의 부분집합 $S$를 포함하는 $V$의 부분공간 중 가장 작은 것을 $S$에 의해 span생성된 부분공간이라 하고, $\span S$과 같이 표현한다.
특별히 $S$가 하나의 원소 $x$로 이루어진 집합이라면, $\span\{x\}$의 모든 원소들은 다음의 꼴
\[\alpha x,\qquad\alpha\in \mathbb{k}\]의 꼴이므로, $\span \{x\}$를 $\mathbb{k}x$와 같이 적기도 한다.
부분공간 $\span S$는 존재한다면 유일하다. 만약 $W,W’$가 정의 2의 조건을 만족하는 두 개의 부분공간이라면, $W’$의 minimality에 의해 $W’\leq W$이고, $W$의 minimality에 의해 $W\leq W’$가 성립하기 때문이다. 따라서 위의 정의를 정당화하기 위해서는 그러한 부분공간이 하나 존재한다는 것만 보이면 충분하다.
보조정리 3 $\mathbb{k}$-벡터공간 $V$와, 공집합이 아닌 index set $I$에 대하여 $V$의 부분공간들의 family $(W_i)_{i\in I}$가 주어졌다 하자. 그럼 $W=\bigcap_{i\in I} W_i$는 $V$의 부분공간이다.
증명
임의의 $w_1, w_2\in W$에 대하여, $w_1+w_2\in W$임을 보이자. $w_1$과 $w_2$ 각각이 $W$의 원소이므로, 모든 $i\in I$에 대하여 $w_1,w_2$는 $W_i$의 원소이고, 따라서 $w_1+w_2\in W_i$가 모든 $i$에 대해 성립한다. 이제 다시 $W$의 정의에 의해 $w_1+w_2\in W$가 성립한다.
이와 유사하게 임의의 $w\in W$와 $\alpha\in\mathbb{k}$에 대하여
\[w\in W\implies w\in W_i\text{ for all $i$}\implies \alpha w\in W_i\text{ for all $i$}\implies \alpha w\in W\]이므로 $W$는 스칼라곱에 대해서도 닫혀있고, $0\in W$도 자명하므로 $W$는 부분공간이 된다.
이제, 임의의 $S$에 대하여,
위 논증은 $\span S$의 존재성과 유일성을 보이기엔 좋지만, $\span S$가 정확히 어떻게 생겼는지에 대한 정보는 전혀 주지 않는다. 다음 보조정리에서 $\span S$를 정의하는 방식은 덜 아름답지만, $\span S$의 원소들에 대한 정보 또한 완벽하게 준다.
보조정리 4 $\span S$는 $S$의 원소로 이루어진 임의의 일차결합들의 집합과 같다.
증명
$S$의 원소로 이루어진 임의의 일차결합들의 집합을 $\langle S\rangle$으로 표기하자. 즉 $\langle S\rangle$의 모든 원소들은 적당한 $x_1,\ldots, x_n\in S$에 대하여 일차결합 $\alpha_1x_1+\cdots+\alpha_nx_n$의 꼴로 나타낼 수 있고, 거꾸로 이러한 꼴을 갖는 모든 벡터들은 $\langle S\rangle$의 원소이다.
$\langle S\rangle$의 두 원소 $v,w$가 각각 다음의 식
\[v=\alpha_1x_1+\cdots+\alpha_nx_n,\quad w=\beta_1y_1+\cdots+\beta_my_m\]으로 주어졌다 하자. 그럼
\[v+w=\alpha_1x_1+\cdots+\alpha_nx_n+\beta_1y_1+\cdots+\beta_my_m\]이므로 $v+w\in S$이다. 비슷하게, 임의의 스칼라 $\gamma$에 대하여
\[\gamma v=\gamma\alpha_1x_1+\cdots+\gamma\alpha_nx_n\]이로 $\gamma v$ 또한 $\langle S\rangle$에 속한다. 따라서 $\langle S\rangle$은 $S$를 포함하는 $V$의 부분공간이 되므로 정의에 의해 $\span S\leq \langle S\rangle$이다.
한편, §부분공간, ⁋명제 3에 의하여, $S$를 포함하는 임의의 부분공간은 $S$의 원소들의 일차결합 또한 포함해야 하므로 $\langle S\rangle\leq\span S$가 성립한다.
보편적으로 선형대수학에서는 $\span S$가 더 자주 사용되는 표기법이기는 하지만, 대부분의 수학 분야에서 $\langle S\rangle$이 더 자주 통용되는 표기이므로 앞으로는 $S$에 의해 생성되는 부분공간을 $\langle S\rangle$과 깉이 적기로 한다.
일차독립
이제 우리는 미루어두었던 질문에 대한 답을 하려 한다. 즉 주어진 벡터공간 $V$에 대하여, 적당한 부분집합 $S\subseteq V$가 존재하여 $V=\langle S\rangle$가 성립하는 $S$를 찾되, $S$가 특정한 최소성을 갖도록 해야 한다.
이 최소성의 개념은 단순히 집합의 크기로는 설명할 수 없다. 예를 들어 $\mathbb{k}[\x]$의 부분집합 $S=\{1,\x,\x^2,\ldots\}$을 생각하면 이 집합은 $\mathbb{k}[\x]=\langle S\rangle$를 만족하지만, 다음의 집합
\[S'=S\cup\{1+\x\}\]또한 $\mathbb{k}[\x]=\langle S’\rangle$를 만족하는 동시에 $S$와 $S’$는 집합으로서 같은 크기를 갖는다.
정의 5 $\mathbb{k}$-벡터공간 $V$에 대하여, $V$의 부분집합 $S$가 일차독립linearly independent이라는 것은, 만일 어떤 finitely supported family $(\alpha_x)_{x\in S}$에 대하여
\[\sum_{x\in S} \alpha_xx=0\]이 성립한다면, 반드시 $\alpha_x=0$이 모든 $s$에 대해 성립하는 것이다.
그럼
\[0=1\cdot1+1\cdot\x-1\cdot(1+\x)\]가 되므로, 집합 $S’$는 일차독립이 아니라는 것을 알 수 있다. 이런 상황을 일차종속linearly dependent이라고 표현하면 좋을 것이다. 더 일반적으로 다음이 성립한다.
명제 6 $\mathbb{k}$-벡터공간 $V$와 $V$의 임의의 부분집합 $S$에 대하여, $S$가 일차독립인 것은 $V$의 임의의 원소가 많아야 하나의 $S$의 일차결합으로 표현되는 것과 동치이다.
증명
우선, 뒤의 조건이 성립한다면, $0\in V$를 $S$의 일차결합으로 표현하는 방법도 많아야 하나 뿐이다. 그런데
\[0=\sum_{x\in S}0x\]이므로, 만일 $\sum_{x\in S}\alpha_xx=0$이라면 유일성에 의해 $\alpha_x=0$이 항상 성립한다. 따라서 $S$는 일차독립이다.
반대 방향을 보이기 위해, 결론에 반하여 $S$가 일차독립이지만 두 $S$의 일차결합
\[v=\sum_{x\in S}\alpha_xx=\sum_{x\in S}\beta_xx\]으로 표현된다 가정하자. 그럼 $0=v-v$이므로,
\[0=v-v=\sum_{x\in S}\alpha_xx-\sum_{x\in S}\beta_xx=\sum_{x\in S}(\alpha_x-\beta_x)x\]인데, $S$가 일차독립이므로 정의에 의해 $\alpha_x-\beta_x=0$이 모든 $x$에 대해 성립한다. 이는 $\sum\alpha_xx$와 $\sum\beta_xx$가 서로 다른 표현이라는 것에 모순이므로 증명이 완료된다.
벡터공간의 기저
정의 7 $\mathbb{k}$-벡터공간 $V$에 대하여, 집합 $\mathcal{B}\subset V$가 $V$의 basis기저라는 것은, $\mathcal{B}$가 일차독립이고 $\langle\mathcal{B}\rangle=V$인 것이다.
앞선 보조정리 4, 그리고 명제 6에 의하여, 이는 정확히
$V$의 임의의 원소 $v$가 주어질 때마다, 적당한 $x_1,\ldots, x_n\in\mathcal{B}$, $\alpha_1,\ldots, \alpha_n\in \mathbb{k}$가
\[v=\alpha_1x_1+\cdots+\alpha_nx_n.\]유일하게 존재하여
라 할 수 있다.
[집합론] §집합의 곱에서 우리는 family $(\alpha_x^v)_{x\in\mathcal{B}}$는 $\mathcal{B}$에서 $\mathbb{k}$로의 함수임을 알고 있다. 이 함수는 $x\in\mathcal{B}$를 받아 $\alpha_x^v$를 내놓는 함수이며, 오직 $v$에 의해서만 결정된다. 따라서 이 함수의 $x$에서의 함수값을 $\alpha_x^v$ 대신 간략하게 $v_x$로 표현한다.
이제 계수들의 (finitely supported) family $(v_x)_{x\in \mathcal{B}}$를 벡터 $v$의 basis $\mathcal{B}$에 대한 좌표 표현coordinate representation in basis $\mathcal{B}$이라 부르고, $[v]_\mathcal{B}$와 같이 표기한다.
몇 가지 예시를 살펴보자.
예시 8 자명한 $\mathbb{k}$-벡터공간 $\{0\}$의 basis는 $\emptyset$이다.
예시 9 이번에는 $\mathbb{k}$ 자기 자신을 $\mathbb{k}$-벡터공간으로 생각하면, $\{1\}$이 $\mathbb{k}$의 basis가 된다. 임의의 $\alpha\in\mathbb{k}$에 대해서, $\alpha=\alpha\cdot 1$이므로 이 집합은 $\mathbb{k}$를 span하고, 또 $0=\alpha\cdot 1$을 만족하는 $\alpha\in\mathbb{k}$는 $\alpha=0$뿐이므로 일차독립 조건도 만족한다.
더 일반적으로, $\mathbb{k}$의 0이 아닌 임의의 원소를 하나 가져와서 이를 $x$라 하면, $\{x\}$는 $\mathbb{k}$의 basis가 된다. $x\neq 0$이므로 $x$의 곱셈에 대한 역원 $x^{-1}$이 존재하며, 따라서 임의의 $\alpha\in\mathbb{k}$에 대하여
\[\alpha=(\alpha x^{-1})\cdot x\]가 성립하며 $0=\alpha\cdot x$를 만족하는 $\alpha$ 또한 $\alpha=0$ 뿐이기 때문이다.
두 field $\mathbb{k}’\supset \mathbb{k}$가 주어졌다 하면, $\mathbb{k}’$는 자연스러운 $\mathbb{k}$-벡터공간의 구조를 갖는다.
만일 $\mathbb{k}’=\mathbb{C}$이고 $\mathbb{k}=\mathbb{R}$이라면 $\mathbb{k}’$는 집합 $\{1,i\}$를 basis로 갖는 $\mathbb{R}$-벡터공간이다. 반면 $\mathbb{k}’=\mathbb{R}$이고 $\mathbb{k}=\mathbb{Q}$인 경우 $\mathbb{k}’$의 $\mathbb{k}$-벡터공간으로서의 basis를 찾는 것은 쉽지 않다. 예컨대 다음의 집합
\[\{\ldots,100,10,1,0.1,0.01,\ldots\}\]은 $\mathbb{R}$의 $\mathbb{Q}$-벡터공간으로서의 basis가 되지 않는다.
그럼에도 불구하고 다음 정리가 성립한다.
정리 10 임의의 $\mathbb{k}$-벡터공간 $V$는 basis를 갖는다.
이에 대한 증명은 학부 수준으로 충분히 가능하지만, 약간의 집합론적 지식이 필요하므로 별도의 글로 남겨둔다. 그 대신 약간의 예시를 더 살펴보자.
예시 11 임의의 field $\mathbb{k}$에 대하여, 유클리드 $n$-공간 $\mathbb{k}^n$은 다음 $n$개의 벡터들
\[\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots\\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\\vdots\\ 0\end{pmatrix},\ldots,\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots\\ 1\end{pmatrix}\]을 basis로 갖는다. 이들을 $\mathbb{k}^n$의 standard basis라 부르고, 각각을 $e_1,\ldots,e_n$으로 표기한다. 물론, standard basis가 있다는 말은 non-standard인 basis들이 있다는 뜻이고, 실제로
\[\begin{pmatrix}-1\\0\\\vdots\\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\-1\\\vdots\\ 0\end{pmatrix},\ldots,\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots\\ -1\end{pmatrix}\]또한 $\mathbb{k}^n$의 basis가 되고,
\[\begin{pmatrix}0\\1\\\vdots\\ 1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots\\ 1\end{pmatrix},\ldots,\begin{pmatrix}1\\1\\\vdots\\ 0\end{pmatrix}\]도 $\mathbb{k}^n$의 basis가 된다는 것을 정의로부터 확인할 수 있다.
예시 12 $\mathbb{k}[\x]$는 집합 $\{1,\x,\x^2,\ldots\}$을 basis로 갖는다. 반면, $\mathbb{k}[[\x]]$는 이 집합을 basis로 갖지 않는다.
참고문헌
[Goc] M.S. Gockenbach, Finite-dimensional linear algebra, Discrete Mathematics and its applications, Taylor&Francis, 2011.
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