지난 글에서 살펴본 \(\mathbb{K}\)-벡터공간 \(\mathbb{K}[\x]\)의 모든 원소는 집합 \(S=\{1,\x,\x^2,\ldots\}\)의 원소들의 일차결합으로 나타낼 수 있다. 이러한 집합 \(S\)가 주어진다면 우리는 벡터공간들의 모든 원소 대신 \(S\)의 원소들만 살펴보아도 \(\mathbb{K}[\x]\)의 성질을 파악할 수 있다.
생성집합
이런 상황을 다음과 같이 정의한다.
정의 1 \(\mathbb{K}\)-벡터공간 \(V\)에 대하여, \(V\)의 부분집합 \(S\)가 \(V\)의 spanning set생성집합이라는 것은 임의의 \(v\in V\)가 주어질 때마다, 적당한 \(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in \mathbb{K}\)와 \(x_1,\ldots, x_n\in S\)가 존재하여
\[v=\alpha_1x_1+\cdots+\alpha_nx_n\]으로 적을 수 있는 것이다.
앞선 글에서 우리는 무한히 많은 원소들의 일차결합 또한 정의했었는데, 이를 이용하면 위의 정의는 \(V\)의 임의의 원소가 \(S\)의 일차결합으로 쓰여질 수 있다는 것과 같은 말이다.
임의의 \(\mathbb{K}\)-벡터공간 \(V\)는 항상 spanning set을 갖는다. 이는 \(V\)가 \(V\) 자기 자신을 생성하기 때문에 자명하다. 그러나 이 상황에서는 \(S\)가 너무 크기 때문에 \(V\)를 더 편하게 살펴보려는 처음의 목적에는 부합하지 않는다는 것 또한 명확하다.
정의 2 \(\mathbb{K}\)-벡터공간 \(V\)에 대하여, \(V\)의 부분집합 \(S\)를 포함하는 \(V\)의 부분공간 중 가장 작은 것을 \(S\)에 의해 span생성된 부분공간이라 하고, \(\span S\)과 같이 표현한다.
특별히 \(S\)가 하나의 원소 \(x\)로 이루어진 집합이라면, \(\span\{x\}\)의 모든 원소들은 다음의 꼴
\[\alpha x,\qquad\alpha\in \mathbb{K}\]의 꼴이므로, \(\span \{x\}\)를 \(\mathbb{K}x\)와 같이 적기도 한다.
부분공간 \(\span S\)는 존재한다면 유일하다. 만약 \(W,W'\)가 정의 2의 조건을 만족하는 두 개의 부분공간이라면, \(W'\)의 minimality에 의해 \(W'\leq W\)이고, \(W\)의 minimality에 의해 \(W\leq W'\)가 성립하기 때문이다. 따라서 위의 정의를 정당화하기 위해서는 그러한 부분공간이 하나 존재한다는 것만 보이면 충분하다.
보조정리 3 \(\mathbb{K}\)-벡터공간 \(V\)와, 공집합이 아닌 index set \(I\)에 대하여 \(V\)의 부분공간들의 family \((W_i)_{i\in I}\)가 주어졌다 하자. 그럼 \(W=\bigcap_{i\in I} W_i\)는 \(V\)의 부분공간이다.
증명
임의의 \(w_1, w_2\in W\)에 대하여, \(w_1+w_2\in W\)임을 보이자. \(w_1\)과 \(w_2\) 각각이 \(W\)의 원소이므로, 모든 \(i\in I\)에 대하여 \(w_1,w_2\)는 \(W_i\)의 원소이고, 따라서 \(w_1+w_2\in W_i\)가 모든 \(i\)에 대해 성립한다. 이제 다시 \(W\)의 정의에 의해 \(w_1+w_2\in W\)가 성립한다.
이와 유사하게 임의의 \(w\in W\)와 \(\alpha\in\mathbb{K}\)에 대하여
\[w\in W\implies w\in W_i\text{ for all $i$}\implies \alpha w\in W_i\text{ for all $i$}\implies \alpha w\in W\]이므로 \(W\)는 스칼라곱에 대해서도 닫혀있고, \(0\in W\)도 자명하므로 \(W\)는 부분공간이 된다.
이제, 임의의 \(S\)에 대하여,
위 논증은 \(\span S\)의 존재성과 유일성을 보이기엔 좋지만, \(\span S\)가 정확히 어떻게 생겼는지에 대한 정보는 전혀 주지 않는다. 다음 보조정리에서 \(\span S\)를 정의하는 방식은 덜 아름답지만, \(\span S\)의 원소들에 대한 정보 또한 완벽하게 준다.
보조정리 4 \(\span S\)는 \(S\)의 원소로 이루어진 임의의 일차결합들의 집합과 같다.
증명
\(S\)의 원소로 이루어진 임의의 일차결합들의 집합을 \(\langle S\rangle\)으로 표기하자. 즉 \(\langle S\rangle\)의 모든 원소들은 적당한 \(x_1,\ldots, x_n\in S\)에 대하여 일차결합 \(\alpha_1x_1+\cdots+\alpha_nx_n\)의 꼴로 나타낼 수 있고, 거꾸로 이러한 꼴을 갖는 모든 벡터들은 \(\langle S\rangle\)의 원소이다.
\(\langle S\rangle\)의 두 원소 \(v,w\)가 각각 다음의 식
\[v=\alpha_1x_1+\cdots+\alpha_nx_n,\quad w=\beta_1y_1+\cdots+\beta_my_m\]으로 주어졌다 하자. 그럼
\[v+w=\alpha_1x_1+\cdots+\alpha_nx_n+\beta_1y_1+\cdots+\beta_my_m\]이므로 \(v+w\in S\)이다. 비슷하게, 임의의 스칼라 \(\gamma\)에 대하여
\[\gamma v=\gamma\alpha_1x_1+\cdots+\gamma\alpha_nx_n\]이로 \(\gamma v\) 또한 \(\langle S\rangle\)에 속한다. 따라서 \(\langle S\rangle\)은 \(S\)를 포함하는 \(V\)의 부분공간이 되므로 정의에 의해 \(\span S\leq \langle S\rangle\)이다.
한편, §부분공간, ⁋명제 3에 의하여, \(S\)를 포함하는 임의의 부분공간은 \(S\)의 원소들의 일차결합 또한 포함해야 하므로 \(\langle S\rangle\leq\span S\)가 성립한다.
보편적으로 선형대수학에서는 \(\span S\)가 더 자주 사용되는 표기법이기는 하지만, 대부분의 수학 분야에서 \(\langle S\rangle\)이 더 자주 통용되는 표기이므로 앞으로는 \(S\)에 의해 생성되는 부분공간을 \(\langle S\rangle\)과 깉이 적기로 한다.
일차독립
이제 우리는 미루어두었던 질문에 대한 답을 하려 한다. 즉 주어진 벡터공간 \(V\)에 대하여, 적당한 부분집합 \(S\subseteq V\)가 존재하여 \(V=\langle S\rangle\)가 성립하는 \(S\)를 찾되, \(S\)가 특정한 최소성을 갖도록 해야 한다.
이 최소성의 개념은 단순히 집합의 크기로는 설명할 수 없다. 예를 들어 \(\mathbb{K}[\x]\)의 부분집합 \(S=\{1,\x,\x^2,\ldots\}\)을 생각하면 이 집합은 \(\mathbb{K}[\x]=\langle S\rangle\)를 만족하지만, 다음의 집합
\[S'=S\cup\{1+\x\}\]또한 \(\mathbb{K}[\x]=\langle S'\rangle\)를 만족하는 동시에 \(S\)와 \(S'\)는 집합으로서 같은 크기를 갖는다.
정의 5 \(\mathbb{K}\)-벡터공간 \(V\)에 대하여, \(V\)의 부분집합 \(S\)가 일차독립linearly independent이라는 것은, 만일 어떤 finitely supported family \((\alpha_x)_{x\in S}\)에 대하여
\[\sum_{x\in S} \alpha_xx=0\]이 성립한다면, 반드시 \(\alpha_x=0\)이 모든 \(s\)에 대해 성립하는 것이다.
그럼
\[0=1\cdot1+1\cdot\x-1\cdot(1+\x)\]가 되므로, 집합 \(S'\)는 일차독립이 아니라는 것을 알 수 있다. 이런 상황을 일차종속linearly dependent이라고 표현하면 좋을 것이다. 더 일반적으로 다음이 성립한다.
명제 6 \(\mathbb{K}\)-벡터공간 \(V\)와 \(V\)의 임의의 부분집합 \(S\)에 대하여, \(S\)가 일차독립인 것은 \(V\)의 임의의 원소가 많아야 하나의 \(S\)의 일차결합으로 표현되는 것과 동치이다.
증명
우선, 뒤의 조건이 성립한다면, \(0\in V\)를 \(S\)의 일차결합으로 표현하는 방법도 많아야 하나 뿐이다. 그런데
\[0=\sum_{x\in S}0x\]이므로, 만일 \(\sum_{x\in S}\alpha_xx=0\)이라면 유일성에 의해 \(\alpha_x=0\)이 항상 성립한다. 따라서 \(S\)는 일차독립이다.
반대 방향을 보이기 위해, 결론에 반하여 \(S\)가 일차독립이지만 두 \(S\)의 일차결합
\[v=\sum_{x\in S}\alpha_xx=\sum_{x\in S}\beta_xx\]으로 표현된다 가정하자. 그럼 \(0=v-v\)이므로,
\[0=v-v=\sum_{x\in S}\alpha_xx-\sum_{x\in S}\beta_xx=\sum_{x\in S}(\alpha_x-\beta_x)x\]인데, \(S\)가 일차독립이므로 정의에 의해 \(\alpha_x-\beta_x=0\)이 모든 \(x\)에 대해 성립한다. 이는 \(\sum\alpha_xx\)와 \(\sum\beta_xx\)가 서로 다른 표현이라는 것에 모순이므로 증명이 완료된다.
벡터공간의 기저
정의 7 \(\mathbb{K}\)-벡터공간 \(V\)에 대하여, 집합 \(\mathcal{B}\subset V\)가 \(V\)의 basis기저라는 것은, \(\mathcal{B}\)가 일차독립이고 \(\langle\mathcal{B}\rangle=V\)인 것이다.
앞선 보조정리 4, 그리고 명제 6에 의하여, 이는 정확히
\(V\)의 임의의 원소 \(v\)가 주어질 때마다, 적당한 \(x_1,\ldots, x_n\in\mathcal{B}\), \(\alpha_1,\ldots, \alpha_n\in \mathbb{K}\)가
\[v=\alpha_1x_1+\cdots+\alpha_nx_n.\]유일하게 존재하여
라 할 수 있다.
[집합론] §집합의 곱에서 우리는 family \((\alpha_x^v)_{x\in\mathcal{B}}\)는 \(\mathcal{B}\)에서 \(\mathbb{K}\)로의 함수임을 알고 있다. 이 함수는 \(x\in\mathcal{B}\)를 받아 \(\alpha_x^v\)를 내놓는 함수이며, 오직 \(v\)에 의해서만 결정된다. 따라서 이 함수의 \(x\)에서의 함수값을 \(\alpha_x^v\) 대신 간략하게 \(v_x\)로 표현한다.
이제 계수들의 (finitely supported) family \((v_x)_{x\in \mathcal{B}}\)를 벡터 \(v\)의 basis \(\mathcal{B}\)에 대한 좌표 표현coordinate representation in basis \(\mathcal{B}\)이라 부르고, \([v]_\mathcal{B}\)와 같이 표기한다.
몇 가지 예시를 살펴보자.
예시 8 자명한 \(\mathbb{K}\)-벡터공간 \(\{0\}\)의 basis는 \(\emptyset\)이다.
예시 9 이번에는 \(\mathbb{K}\) 자기 자신을 \(\mathbb{K}\)-벡터공간으로 생각하면, \(\{1\}\)이 \(\mathbb{K}\)의 basis가 된다. 임의의 \(\alpha\in\mathbb{K}\)에 대해서, \(\alpha=\alpha\cdot 1\)이므로 이 집합은 \(\mathbb{K}\)를 span하고, 또 \(0=\alpha\cdot 1\)을 만족하는 \(\alpha\in\mathbb{K}\)는 \(\alpha=0\)뿐이므로 일차독립 조건도 만족한다.
더 일반적으로, \(\mathbb{K}\)의 0이 아닌 임의의 원소를 하나 가져와서 이를 \(x\)라 하면, \(\{x\}\)는 \(\mathbb{K}\)의 basis가 된다. \(x\neq 0\)이므로 \(x\)의 곱셈에 대한 역원 \(x^{-1}\)이 존재하며, 따라서 임의의 \(\alpha\in\mathbb{K}\)에 대하여
\[\alpha=(\alpha x^{-1})\cdot x\]가 성립하며 \(0=\alpha\cdot x\)를 만족하는 \(\alpha\) 또한 \(\alpha=0\) 뿐이기 때문이다.
두 field \(\mathbb{K}'\supset \mathbb{K}\)가 주어졌다 하면, \(\mathbb{K}'\)는 자연스러운 \(\mathbb{K}\)-벡터공간의 구조를 갖는다.
만일 \(\mathbb{K}'=\mathbb{C}\)이고 \(\mathbb{K}=\mathbb{R}\)이라면 \(\mathbb{K}'\)는 집합 \(\{1,i\}\)를 basis로 갖는 \(\mathbb{R}\)-벡터공간이다. 반면 \(\mathbb{K}'=\mathbb{R}\)이고 \(\mathbb{K}=\mathbb{Q}\)인 경우 \(\mathbb{K}'\)의 \(\mathbb{K}\)-벡터공간으로서의 basis를 찾는 것은 쉽지 않다. 예컨대 다음의 집합
\[\{\ldots,100,10,1,0.1,0.01,\ldots\}\]은 \(\mathbb{R}\)의 \(\mathbb{Q}\)-벡터공간으로서의 basis가 되지 않는다.
그럼에도 불구하고 다음 정리가 성립한다.
정리 10 임의의 \(\mathbb{K}\)-벡터공간 \(V\)는 basis를 갖는다.
이에 대한 증명은 학부 수준으로 충분히 가능하지만, 약간의 집합론적 지식이 필요하므로 별도의 글로 남겨둔다. 그 대신 약간의 예시를 더 살펴보자.
예시 11 임의의 field \(\mathbb{K}\)에 대하여, 유클리드 \(n\)-공간 \(\mathbb{K}^n\)은 다음 \(n\)개의 벡터들
\[\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots\\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\\vdots\\ 0\end{pmatrix},\ldots,\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots\\ 1\end{pmatrix}\]을 basis로 갖는다. 이들을 \(\mathbb{K}^n\)의 standard basis라 부르고, 각각을 \(e_1,\ldots,e_n\)으로 표기한다. 물론, standard basis가 있다는 말은 non-standard인 basis들이 있다는 뜻이고, 실제로
\[\begin{pmatrix}-1\\0\\\vdots\\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\-1\\\vdots\\ 0\end{pmatrix},\ldots,\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots\\ -1\end{pmatrix}\]또한 \(\mathbb{K}^n\)의 basis가 되고,
\[\begin{pmatrix}0\\1\\\vdots\\ 1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots\\ 1\end{pmatrix},\ldots,\begin{pmatrix}1\\1\\\vdots\\ 0\end{pmatrix}\]도 \(\mathbb{K}^n\)의 basis가 된다는 것을 정의로부터 확인할 수 있다.
예시 12 \(\mathbb{K}[\x]\)는 집합 \(\{1,\x,\x^2,\ldots\}\)을 basis로 갖는다. 반면, \(\mathbb{K}[[\x]]\)는 이 집합을 basis로 갖지 않는다.
참고문헌
[Goc] M.S. Gockenbach, Finite-dimensional linear algebra, Discrete Mathematics and its applications, Taylor&Francis, 2011.
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