K

Grad. student in mathematics

[Bou]에는 이곳저곳에 흩어져있는 주제들과, 여기에 있지 않은 주제들을 모아 하나의 글로 묶었다.

Filter and ideal

우선 다음의 두 개념을 정의하자.

정의 1 Ordered set \(A\)에 대하여, 부분집합 \(X\subseteq A\)가 lower set하집합 (resp. upper set상집합)이라는 것은 \(y\in A\)가 어떤 \(x\in X\)에 대해 \(y\leq x\) (resp. \(x\leq y\))를 만족하면 반드시 \(y\in X\)인 것이다.

공집합이 아닌 right directed lower set을 ideal, 공집합이 아닌 left directed upper set을 filter라 부른다.

집합 \(E\) 자신은 filter인 동시에 ideal이 된다. \(E\)가 아닌 filter와 ideal을 proper하다고 한다.

예시 2 Ordered set \(A\)가 주어졌다 하자. 임의의 \(x\in A\)에 대하여, \(x\)의 downward closure1

\[\downarrow x=\{y\in A\mid y\leq x\}\]

는 \(A\)의 ideal이 된다. 이러한 ideal을 principal ideal이라 부른다.

물론, 비슷하게, \(x\)의 upward closure

\[\uparrow x=\{y\in A\mid y\geq x\}\]

는 \(A\)의 filter가 되며 이러한 filter를 principal filter라 부른다.

우리는 대부분 \(A\)가 lattice인 경우에 관심이 있다. 이 때, (§유향집합, ⁋정의 4)

  • 공집합이 아닌 lower set \(I\)가 ideal인 것은 임의의 \(x,y\in I\)에 대하여 \(x\vee y\in I\)인 것과 동치이다.
  • 공집합이 아닌 upper set \(F\)가 filter인 것은 임의의 \(x,y\in F\)에 대하여 \(x\wedge y\in F\)인 것과 동치이다.

예시 3 어떠한 집합 \(A\)가 주어졌다 하자. 그럼 \(\mathcal{P}(A)\)에 자연스러운 order relation \(\subseteq\)을 주면 \(\mathcal{P}(A)\)는 lattice가 되며 특히 임의의 \(X,Y\in\mathcal{P}(A)\)에 대하여

\[X\vee Y=X\cup Y,\qquad X\wedge Y=X\cap Y\]

가 성립한다. \(\mathcal{P}(A)\)에서는 추가적으로 두 연산 \(\vee\)와 \(\wedge\)가 다음의 분배법칙

\[X\vee(Y\wedge Z)=(X\vee Y)\wedge(X\vee Z),\qquad X\wedge(Y\vee Z)=(X\wedge Y)\vee(X\wedge Z)\]

을 만족한다.

정의 4 Lattice \(A\)가 주어졌다 하고, \(I\)와 \(F\)가 각각 \(E\)의 proper ideal과 proper filter라 하자. \(I\)가 prime ideal이라는 것은 임의의 \(x,y\in A\)에 대하여 \(x\wedge y\in I\)이면 반드시 \(x\in I\) 혹은 \(y\in I\)가 성립하는 것이다. 비슷하게 \(F\)가 prime filter라는 것은 임의의 \(x,y\in A\)에 대하여 \(x\vee y\in F\)이면 반드시 \(x\in F\) 혹은 \(y\in F\)가 성립하는 것이다. ([대수적 구조] §분수체, ⁋명제 8)

혹은, \(I\)가 prime ideal이라는 것은 \(A\setminus I\)가 filter라는 것으로 정의하여도 동등한 정의를 얻는다.

명제 5 두 연산 \(\vee\)와 \(\wedge\) 사이의 분배법칙이 성립하는 lattice \(A\)가 주어졌다 하자. 그럼 임의의 maximal ideal은 prime ideal이고 임의의 maximal filter는 prime filter이다.

증명

Maximal ideal \(I\)에 대해, \(x\wedge y\in I\)라 하자. 결론에 반하여 \(x,y\not\in I\)라 하고, 새로운 집합 \(J\)를 $x\wedge z\in I$이도록 하는 모든 $z$들의 집합이라 하자.

  1. 만일 \(z_1,z_2\in J\)라면 \(x\wedge (z_1\vee z_2)=(x\wedge z_1)\vee(x\wedge z_2)\in I\)가 성립하므로, \(z_1\vee z_2\in J\)이다.
  2. 만일 \(z\in J\)이고 \(z'\leq z\)라면 \(z'\in J\)이다. \((x\wedge z')\vee (x\wedge z)=x\wedge (z'\vee z)=x\wedge z\)이므로 \(x\wedge z'\leq x\wedge z\)인데, \(x\wedge z\in I\)이므로 \(x\wedge z'\) 또한 \(I\)의 원소여야 하기 때문이다.
  3. 특별히 \(x\not\in J\)이고 \(y\in J\)임은 자명하다.

따라서 \(J\)는 \(I\)를 strict하게 포함하는 proper ideal이 되므로, 이는 \(I\)의 maximality에 모순이다. 비슷하게 임의의 maximal filter가 prime이라는 것을 보일 수 있다.

특별히 maximal filter를 ultrafilter라 부르기도 한다.

두 ordered set \(A,B\)에 대해 증가함수 \(f:A\rightarrow B\)를 생각하자. 또, \(B\)의 임의의 lower set \(Y\)가 주어졌다 하고 \(X=f^{-1}(Y)\)이라 하자. 만일 어떤 \(y\in A\)에 대해 적당한 \(x\in X\)가 존재하여 \(y\leq x\)라면 \(f(y)\leq f(x)\)이고, \(Y\)는 lower set이므로 \(f(y)\in Y\)이 성립하여 \(y\in X\)이다. 즉, lower set의 preimage \(X\) 또한 lower set이 된다.

Galois connection

지금부터 소개할 Galois connection은 그 이름에서부터 짐작할 수 있듯 field extension에 대한 갈루아 이론으로부터 나온 것이지만, 이를 추상화하여 ordered set 두 개 사이의 관계로 생각할 수 있으며, 이 추상화는 많은 분야에서 유용하게 사용된다.

정의 6 두 ordered set \(A,B\)가 주어졌다 하자.

  1. 두 증가함수 \(F:A\rightarrow B\)와 \(G:B\rightarrow A\)가 임의의 \(a\in A\), \(b\in B\)에 대해 다음의 조건

    \[F(a)\leq b\iff a\leq G(b)\]

    을 만족한다 하자. 그럼 \(F\)를 \(G\)의 lower adjoint, \(G\)를 \(F\)의 upper adjoint라 부르며, 이 때 쌍 \((F,G)\)를 \(A\)와 \(B\) 사이의 monotone Galois connection갈루아 연결이라 부른다.

  2. 두 감소함수 \(F:A\rightarrow B\)와 \(G:B\rightarrow A\)가 임의의 \(a\in A\), \(b\in B\)에 대해 다음의 조건

    \[b\leq F(a)\iff a\leq G(b)\]

    을 만족한다 하자. 그럼 \(F\)와 \(G\)를 각각의 polarity라 부르며, 이 때 쌍 \((F,G)\)를 \(A\)와 \(B\) 사이의 antitone Galois connection쌍대 갈루아 연결이라 부른다.

어떤 경우이건 간에, 함수 \(G\circ F:A\rightarrow A\)는 \(a\leq G(F(a))\)를 항상 만족한다. 우선 monotone Galois connection의 경우

\[a\leq G(F(a))\iff F(a)\leq F(a)\]

인데 후자가 항상 참이 되며, antitone Galois connection의 경우도 마찬가지이다. 반면 \(F\circ G\)는 monotone인지 antitone인지에 따라 달라지는데, monotone Galois connection에 대해서는

\[F(G(b))\leq b\iff G(b)\leq G(b)\]

인데 후자가 항상 참이므로 \(F(G(b))\leq b\)가 성립하며, antitone Galois connection에 대해서는

\[b\leq F(G(b))\iff G(b)\leq G(b)\]

이므로 \(b\leq F(G(b))\)가 항상 성립한다.

한편, \(G\circ F\)와 \(F\circ G\)는 두 증가함수의 합성이거나, 두 감소함수의 합성이므로 어떤 경우이든 증가함수가 되어야 한다.

남은 글에서는 편의상 우리는 \(G\circ F\)와 \(F\circ G\)를 각각 \(GF\)와 \(FG\)로 줄여쓰기로 하자.

명제 7 두 ordered set \(A,B\)와 이들 사이의 monotone Galois connection \(F:A\rightarrow B\), \(G:B\rightarrow A\)이 주어졌다 하자. 임의의 \(y\in B\)에 대하여 \(GFG(y)=G(y)\)가 항상 성립한다.

만일 이들이 antitone Galois connection이라면, 임의의 \(x\in A\)와 \(y\in B\)에 대해 \(GFG(y)=G(y)\)와 \(FGF(x)=F(x)\)가 모두 성립한다.

증명

우선, \(a\leq GF(a)\)에 \(a=G(y)\)를 대입하면 \(G(y)\leq GFG(y)\)를 얻는다. 한편, 우리는 \(FG\)가 임의의 \(b\in B\)에 대해 \(FG(b)\leq b\)를 만족한다는 것을 보였고 \(G\)는 증가함수이므로 \(GFG(y)\leq G(y)\) 또한 얻는다. 따라서 \(GFG(y)=G(y)\)가 성립한다.

한편, 쌍 \((F,G)\)가 antitone Galois connection인 경우, \(G(y)\leq GFG(y)\)인 것은 위와 동일하게 보일 수 있다. 또 임의의 \(b\in B\)에 대해 \(b\leq FG(b)\)가 항상 성립하고, \(G\)는 감소함수이므로 \(G(y)\geq GFG(y)\)가 다시 성립하므로 \(GFG(y)=G(y)\)이다. \(FGF(x)=F(x)\)는 \(F\), \(G\)의 역할을 바꾸면 쉽게 증명된다.

다음 정의는 위상수학 못지않게 lattice theory에서도 중요하게 사용된다.

정의 8 Ordered set \(A\)에 대하여, 함수 \(f:A\rightarrow A\)가 closure operator폐포 연산자라는 것은 다음의 세 조건이 모두 성립하는 것이다.

  1. 임의의 \(x\in A\)에 대해 \(x\leq f(x)\)가 성립한다.
  2. 임의의 \(x\in A\)에 대해 \(f(x)=f(f(x))\).
  3. 만일 \(x\leq y\)라면, \(f(x)\leq f(y)\).

이 때, \(x\)가 closed라는 것은 \(f(x)=x\)인 것이다.

Antitone Galois connection을 고정하자. 명제 7의 결과인 \(GFG(y)=G(y)\)로부터, 임의의 \(x\in A\)에 대하여 \(y=F(x)\)를 대입하면

\[GFGF(x)=GF(x)\]

이 성립한다. 따라서 함수 \(GF\)는 위의 모든 조건을 만족하므로 closure operator이다. 마찬가지로 antitone Galois connection에서는 \(FG\) 또한 closure operator가 된다.

정의에 의하여, \(x,y\)가 긱긱 \(GF\)와 \(FG\)에 대해 closed라는 것은 각각 \(GF(x)=x\), 그리고 \(FG(y)=y\)가 성립한다는 것이다. 우리는 명제 7로부터 \(F\)와 \(G\)의 image에 속한 원소들은 모두 closed라는 것을 안다. 거꾸로 임의의 원소 \(x\)가 \(GF\)에 대해 closed라면 \(GF(x)=x\)로부터 \(x\)가 \(G\)의 image에 속한다는 것을 알고, 비슷하게 \(FG\)에 대한 명제 또한 증명할 수 있다.

우리는 이 과정을 통해 ordered set \(A,B\) 사이의 Galois connection에 대해, closed subset들의 모임 \(A'\subseteq A\), \(B'\subseteq B\)를 만들 수 있으며, \(F\)와 \(G\)를 이 모임에 제한한 것이 잘 정의된다. 뿐만 아니라 이들 \(F\vert_{A'}\)와 \(G\vert_{B'}\)는 일대일 대응이며, anti-isomorphism이 된다. 이들을 특별히 Galois correspondence갈루아 대응라 부른다.

참고문헌

[Bou] N. Bourbaki, Theory of Sets. Elements of mathematics. Springer Berlin-Heidelberg, 2013. [Wikipedia] Galois connection

  1. Upper set을 upward closed set, lower set을 downward closed set이라 부르기도 한다. ↩

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