우리는 [호몰로지 대수학] §Ext와 Tor, ⁋정의 2에서 $\Tor$ functor들을 정의했으며, 만일 $B$가 flat $A$-algebra라면, 다음의 canonical isomorphism
\[B\otimes_A\Tor_i^A(M,N)\cong\Tor_i^B(B\otimes_AM, B\otimes_AN)\]이 존재한다는 것을 보았다. 이는 특히 $B=S^{-1}A$인 경우 잘 적용된다.
명제 1 $A$-module $M$과 $A$의 ideal $\mathfrak{a}$가 주어졌다 하자. 그럼 multiplication map $\mathfrak{a}\otimes_AM \rightarrow M$이 injection인 것과 $\Tor_1^A(A/\mathfrak{a}, M)=0$인 것이 동치이다. $M$이 flat인 것은 모든 finitely generated $\mathfrak{a}$에 대하여 $\mathfrak{a}\otimes_AM \rightarrow M$이 injection인 것과 동치이다.
증명
Short exact sequence
\[0 \rightarrow \mathfrak{a} \rightarrow A \rightarrow A/\mathfrak{a} \rightarrow 0\]에 $\Tor$ long exact sequence를 취하면
\[\cdots \rightarrow \Tor_1^A(A, M) \rightarrow \Tor_1^A(A/\mathfrak{a}, M) \rightarrow \mathfrak{a}\otimes_AM \rightarrow A\otimes_AM \rightarrow (A/\mathfrak{a})\otimes_AM \rightarrow 0\]을 얻는다. 이로부터 $\mathfrak{a}\otimes M \rightarrow M$이 injection인 것과 $\Tor_1^A(A/\mathfrak{a},M)=0$인 것이 동치인 것은 자명하다.
이제 두 번째 주장을 보여야 한다. 이를 위해서는 임의의 injection $L \rightarrow N$에 대하여, $L\otimes_AM \rightarrow N\otimes_AM$이 injection이 된다는 것을 보여야 한다. 그런데 이를 보이기 위해서는 $N$이 finitely generated임을 가정해도 충분하다. 임의의 $z\in N\otimes_AM$은 $x\otimes y$ 꼴의 원소들의 유한한 합으로 적히므로, 이러한 $x$들을 모아 만들어진 finitely generated module $N’$에 대해, $z$가 $N’\otimes_A M$의 원소라고 가정하여도 되기 때문이다.
이제 두 finitely generated $A$-module $N$, $L$ 사이에 있는 submodule들의 sequence
\[L=N_0 \subseteq N_1\subseteq\cdots\subseteq N_p=N\]을 잡아서, $N_{i+1}/N_i$들 각각이 하나의 원소로 생성되도록 할 수 있다. 그럼 $A$의 적당한 ideal $\mathfrak{a}$가 존재하여 $N_{i+1}/N_i\cong A/\mathfrak{a}$이다. 또, 이들 inclusion들을 반복하여 $L\hookrightarrow N$을 얻으면 이 또한 injection이므로, 결과적으로 $p=1$로 가정하고 $N/L\cong A/\mathfrak{a}$로 가정해도 충분하다. 위의 논의에 의하여, 임의의 finitely generated ideal $\mathfrak{a}’$에 대해 $\mathfrak{a}’\otimes_AM \rightarrow M$이 injection이라면 이 조건은 임의의 ideal $\mathfrak{a}$에 대해서도 $\mathfrak{a}\otimes_AM \rightarrow M$이 injection이 되는 것을 보이는 것도 기억하자. 이제 다음의 short exact sequence
\[0 \rightarrow L \rightarrow N \rightarrow N/L \rightarrow 0\]에 $\Tor$ long exact sequence를 취하면
\[\cdots \rightarrow \Tor_1^A(N/L, M) \rightarrow L\otimes_AM \rightarrow N\otimes_AM \rightarrow (N/L)\otimes_AM \rightarrow 0\]를 얻는데, 여기서 $\Tor_1^A(N/L,M)=\Tor_1^A(A/\mathfrak{a},M)$는 $0$이므로 원하는 결과를 얻는다.
이로부터, 특별한 몇몇 경우에 다음 따름정리들을 얻는다.
따름정리 2 Field $\mathbb{k}$와 ring $A=\mathbb{k}[t]/(t^2)$, 그리고 $A$-module $M$이 주어졌다 하자. 그럼 $M$이 flat $A$-module인 것과, multiplication $\times t: M \rightarrow tM$이 isomorphism $M/tM \rightarrow tM$을 유도하는 것이 동치이다.
증명
$A$의 유일한 ideal이 $(t)$이므로, $M$이 flat인 것은 $(t)\otimes_A M \rightarrow M$이 injective인 것과 동치이다. 한편, $\times t: A \rightarrow (t)$는 $A$-linear map이고, 그 kernel이 $(t)$이다. 더 명시적으로 이 $A$-linear isomorphism은 다음 식
\[A/(t)\cong \mathbb{k} \rightarrow (t);\qquad a+(t)\mapsto at\]으로 주어진다. 이제 이로부터 isomorphism
\[M/tM\cong A/(t)\otimes_A M \cong (t)\otimes_A M\]을 얻는다. 한편 multiplication map $(t)\otimes_AM \rightarrow M$은 $A$-bilinear map
\[(t)\times M \rightarrow M;\qquad (ta, x)\mapsto (ta)x\]을 통해 얻어지는 것이며, 이를 위의 isomorphism과 합성하면 그로부터 얻어지는 $M/tM \rightarrow M$은 임의의 $x+tM\in M/tM$에 대하여,
\[x+tM \mapsto (1+(t))\otimes x\mapsto t\otimes x\mapsto tx\]으로 얻어진다. 즉, $M/tM \rightarrow M$이 정확히 $t$를 곱하여 얻어지는 함수 $tM$이며, 이 함수의 image가 $tM$인 것은 자명하므로, $\times t: M/tM \rightarrow tM$이 isomorphism인 것과 $(t)\otimes_AM \rightarrow M$이 injective인 것이 동치이고, 이는 다시 명제 1에 의해 $M$이 flat인 것과 동치이다.
따름정리 3 Zero-divisor가 아닌 원소 $a\in A$를 고정하자. 만일 $M$이 flat $A$-module이라면, $a$는 $M$의 zero-divisor가 아니다. 만일 $A$가 PID라면 그 역도 성립한다.
증명
$M$이 flat $A$-module이라면 $(a)\otimes_AM \rightarrow M$이 injection이므로 $a$는 $M$의 non-zerodivisor이다. 한편 $A$가 PID라면, $A$의 모든 ideal이 non-zerodivisor 하나로 생성되고, 특히 모든 ideal $\mathfrak{a}$에 대하여 $\mathfrak{a}\otimes_AM \rightarrow M$이 injective이다.
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