우리는 [호몰로지 대수학] §Ext와 Tor, ⁋정의 2에서 \(\Tor\) functor들을 정의했으며, 만일 \(B\)가 flat \(A\)-algebra라면, 다음의 canonical isomorphism
\[B\otimes_A\Tor_i^A(M,N)\cong\Tor_i^B(B\otimes_AM, B\otimes_AN)\]이 존재한다는 것을 보았다. 이는 특히 \(B=S^{-1}A\)인 경우 잘 적용된다.
명제 1 \(A\)-module \(M\)과 \(A\)의 ideal \(\mathfrak{a}\)가 주어졌다 하자. 그럼 multiplication map \(\mathfrak{a}\otimes_AM \rightarrow M\)이 injection인 것과 \(\Tor_1^A(A/\mathfrak{a}, M)=0\)인 것이 동치이다. \(M\)이 flat인 것은 모든 finitely generated \(\mathfrak{a}\)에 대하여 \(\mathfrak{a}\otimes_AM \rightarrow M\)이 injection인 것과 동치이다.
증명
Short exact sequence
\[0 \rightarrow \mathfrak{a} \rightarrow A \rightarrow A/\mathfrak{a} \rightarrow 0\]에 \(\Tor\) long exact sequence를 취하면
\[\cdots \rightarrow \Tor_1^A(A, M) \rightarrow \Tor_1^A(A/\mathfrak{a}, M) \rightarrow \mathfrak{a}\otimes_AM \rightarrow A\otimes_AM \rightarrow (A/\mathfrak{a})\otimes_AM \rightarrow 0\]을 얻는다. 이로부터 \(\mathfrak{a}\otimes M \rightarrow M\)이 injection인 것과 \(\Tor_1^A(A/\mathfrak{a},M)=0\)인 것이 동치인 것은 자명하다.
이제 두 번째 주장을 보여야 한다. 이를 위해서는 임의의 injection \(L \rightarrow N\)에 대하여, \(L\otimes_AM \rightarrow N\otimes_AM\)이 injection이 된다는 것을 보여야 한다. 그런데 이를 보이기 위해서는 \(N\)이 finitely generated임을 가정해도 충분하다. 임의의 \(z\in N\otimes_AM\)은 \(x\otimes y\) 꼴의 원소들의 유한한 합으로 적히므로, 이러한 \(x\)들을 모아 만들어진 finitely generated module \(N'\)에 대해, \(z\)가 \(N'\otimes_A M\)의 원소라고 가정하여도 되기 때문이다.
이제 두 finitely generated \(A\)-module \(N\), \(L\) 사이에 있는 submodule들의 sequence
\[L=N_0 \subseteq N_1\subseteq\cdots\subseteq N_p=N\]을 잡아서, \(N_{i+1}/N_i\)들 각각이 하나의 원소로 생성되도록 할 수 있다. 그럼 \(A\)의 적당한 ideal \(\mathfrak{a}\)가 존재하여 \(N_{i+1}/N_i\cong A/\mathfrak{a}\)이다. 또, 이들 inclusion들을 반복하여 \(L\hookrightarrow N\)을 얻으면 이 또한 injection이므로, 결과적으로 \(p=1\)로 가정하고 \(N/L\cong A/\mathfrak{a}\)로 가정해도 충분하다. 위의 논의에 의하여, 임의의 finitely generated ideal \(\mathfrak{a}'\)에 대해 \(\mathfrak{a}'\otimes_AM \rightarrow M\)이 injection이라면 이 조건은 임의의 ideal \(\mathfrak{a}\)에 대해서도 \(\mathfrak{a}\otimes_AM \rightarrow M\)이 injection이 되는 것을 보이는 것도 기억하자. 이제 다음의 short exact sequence
\[0 \rightarrow L \rightarrow N \rightarrow N/L \rightarrow 0\]에 \(\Tor\) long exact sequence를 취하면
\[\cdots \rightarrow \Tor_1^A(N/L, M) \rightarrow L\otimes_AM \rightarrow N\otimes_AM \rightarrow (N/L)\otimes_AM \rightarrow 0\]를 얻는데, 여기서 \(\Tor_1^A(N/L,M)=\Tor_1^A(A/\mathfrak{a},M)\)는 \(0\)이므로 원하는 결과를 얻는다.
이로부터, 특별한 몇몇 경우에 다음 따름정리들을 얻는다.
따름정리 2 Field \(\mathbb{K}\)와 ring \(A=\mathbb{K}[t]/(t^2)\), 그리고 \(A\)-module \(M\)이 주어졌다 하자. 그럼 \(M\)이 flat \(A\)-module인 것과, multiplication \(\times t: M \rightarrow tM\)이 isomorphism \(M/tM \rightarrow tM\)을 유도하는 것이 동치이다.
증명
\(A\)의 유일한 ideal이 \((t)\)이므로, \(M\)이 flat인 것은 \((t)\otimes_A M \rightarrow M\)이 injective인 것과 동치이다. 한편, \(\times t: A \rightarrow (t)\)는 \(A\)-linear map이고, 그 kernel이 \((t)\)이다. 더 명시적으로 이 \(A\)-linear isomorphism은 다음 식
\[A/(t)\cong \mathbb{K} \rightarrow (t);\qquad a+(t)\mapsto at\]으로 주어진다. 이제 이로부터 isomorphism
\[M/tM\cong A/(t)\otimes_A M \cong (t)\otimes_A M\]을 얻는다. 한편 multiplication map \((t)\otimes_AM \rightarrow M\)은 \(A\)-bilinear map
\[(t)\times M \rightarrow M;\qquad (ta, x)\mapsto (ta)x\]을 통해 얻어지는 것이며, 이를 위의 isomorphism과 합성하면 그로부터 얻어지는 \(M/tM \rightarrow M\)은 임의의 \(x+tM\in M/tM\)에 대하여,
\[x+tM \mapsto (1+(t))\otimes x\mapsto t\otimes x\mapsto tx\]으로 얻어진다. 즉, \(M/tM \rightarrow M\)이 정확히 \(t\)를 곱하여 얻어지는 함수 \(tM\)이며, 이 함수의 image가 \(tM\)인 것은 자명하므로, \(\times t: M/tM \rightarrow tM\)이 isomorphism인 것과 \((t)\otimes_AM \rightarrow M\)이 injective인 것이 동치이고, 이는 다시 명제 1에 의해 \(M\)이 flat인 것과 동치이다.
따름정리 3 Zero-divisor가 아닌 원소 \(a\in A\)를 고정하자. 만일 \(M\)이 flat \(A\)-module이라면, \(a\)는 \(M\)의 zero-divisor가 아니다. 만일 \(A\)가 PID라면 그 역도 성립한다.
증명
\(M\)이 flat \(A\)-module이라면 \((a)\otimes_AM \rightarrow M\)이 injection이므로 \(a\)는 \(M\)의 non-zerodivisor이다. 한편 \(A\)가 PID라면, \(A\)의 모든 ideal이 non-zerodivisor 하나로 생성되고, 특히 모든 ideal \(\mathfrak{a}\)에 대하여 \(\mathfrak{a}\otimes_AM \rightarrow M\)이 injective이다.
일반적으로 tensor product의 원소를 표현하는 방식은 유일하지 않다. 다음 보조정리는 이를 어느정도 해소해준다.
보조정리 4 두 \(A\)-module \(M,N\)을 고정하고, \(N\)이 \(\{y_j\}_{j\in J}\)들로 생성된다 하자. 이제 \(M\otimes_AN\)의 임의의 원소를 유한합
\[\sum_{j\in J} x_j\otimes y_j\]으로 나타냈을 때, 이 원소가 \(0\)이 되는 것과, 적당한 \(M\)의 원소들 \(\{x_j'\}_{j\in J}\), index set \(I\), 그리고 \(a_{ij}\in A\)가 존재하여 다음 식
\[\sum_{i\in I} a_{ij}x_i'=x_j\quad\text{for all $j$},\qquad \sum_{j\in J} a_{ij}y_j=0\quad\text{for all $i$}\]이 성립하는 것이 동치이다.
증명
우선 주어진 조건을 만족하는 \(x_j'\)들과 \(a_{ij}\)들이 모두 존재한다 하면
\[\sum_{j\in J} x_j\otimes y_j=\sum_{j\in J}\left(\left(\sum_{i\in I}a_{ij}x_i'\right)\otimes y_j\right)=\sum_{i\in I} x_i'\otimes\left(\sum_{j\in J} a_{ij} y_j\right)=0\]이 되므로 역방향은 쉽게 얻어진다.
이제 원래의 방향을 보이기 위해 먼저 \(N\)이 free module익고 \(\{y_j\}_{j\in J}\)가 \(N\)의 basis인 경우를 살펴보자. 그럼 다음의 isomorphism
\[M\otimes_AN\cong\bigoplus_{j\in J} (M\otimes_A Ay_j)\cong \bigoplus_{j\in J} M\]을 생각하면 ([대수적 구조] §가군의 직접곱과 직합, 텐서곱, ⁋정리 6), 원소 \(\sum_j x_j\otimes y_j\)는 \((x_j)_{j\in J}\)에 해당되므로 이 원소가 \(0\)인 것과 모든 \(x_j\)가 \(0\)인 것이 동치이다.
이제 임의의 module \(N\)에 대하여, 적당한 free \(A\)-module \(F\), \(\varepsilon: F \rightarrow N\)을 택하여 \(F\)의 basis \(\{f_j\}_{j\in J}\)가 \(\varepsilon\)을 통해 \(\{y_j\}_{j\in J}\)로 옮겨지도록 할 수 있다. ([다중선형대수학] §기저, ⁋정의 1) 그럼 다음의 short exact sequence
\[0 \longrightarrow\ker\varepsilon \longrightarrow F \overset{\varepsilon}{\longrightarrow} N \longrightarrow 0\]를 얻으며, 다시 \(\ker \varepsilon\)을 [다중선형대수학] §기저, ⁋명제 2를 통해 free module \(G\)의 quotient로 보면 다음의 exact sequence
\[G \rightarrow \ker\varepsilon \rightarrow 0\]를 얻는다. 이들을 통해 \(N\)의 free presentation
\[G \overset{\eta}{\longrightarrow} F \overset{\varepsilon}{\longrightarrow} N \longrightarrow 0\]을 얻는다. 한편 \(M\otimes_A-\)는 right exact이므로, 이로부터 다음의 exact sequence
\[M\otimes_A G \overset{\id_M\otimes\eta}{\longrightarrow} M\otimes_AF \overset{\id_M\otimes \varepsilon}{\longrightarrow} M\otimes_AN \longrightarrow 0\]을 얻으며, 가정에 의해 \(\sum_{j\in J} x_j\otimes f_j\)는 \(\id_M\otimes\varepsilon\)을 통해 \(0\)으로 보내진다. 따라서, \(M\otimes_AF\)에서의 exactness로부터 적당한 \(x_i'\in M\), \(z_i\in G\)들을 택하여
\[\sum_{i\in I} x_i'\otimes\eta(z_i)=(\id_M\otimes\eta)\left(\sum_i x_i'\otimes z_i\right)=\sum_j x_j\otimes f_j\]이도록 할 수 있다. 한편 \(F\)의 basis \(\{f_j\}_{j\in J}\)를 이용하여
\[\eta(z_i)=\sum_{j\in J} a_{ij}f_j,\qquad\text{$(a_{ij})_{j\in J}$ finitely supported for all $i$}\]로 적을 수 있다. 이를 위의 식에 대입하면
\[\sum_{j\in J} x_j\otimes f_j=\sum_{i\in I} x_i'\otimes\eta(z_i)=\sum_{i\in I}\sum_{j\in J}a_{ij}x_i'\otimes f_j\]으로부터
\[0=\sum_{j\in J} x_j \otimes f_j-\sum_{i\in I}\sum_{j\in J} a_{ij}x_i'\otimes f_j=\sum_{j\in J} \left(x_j-\sum_{i\in I} a_{ij}x_i'\right)\otimes f_j\]을 얻고, 따라서 위에서 보인 free module일 때의 결과에 의해 \(x_j=\sum_{i\in I} a_{ij}x_i'\)인 것을 안다. 이 때 \(\eta(z_i)\)의 \(\varepsilon\)에 의한 image를 생각하면
\[0=(\varepsilon\circ\eta)(z_i)=\varepsilon\left(\sum_{j\in J} a_{ij}f_j\right)=\sum_{j\in J} a_{ij}y_j\]이므로 원하는 결과를 얻는다.
더 일반적으로 다음이 성립한다.
따름정리 5 \(A\)-module \(M\)이 flat인 것과 다음 조건이 동치이다.
\(0=\sum_{i\in I} a_ix_i\)를 만족하는 \(x_i\in M\)과 \(a_i\in A\)가 주어질 때마다 index set \(J\), \(x_j'\in M\), \(b_{ij}\in A\)들이 존재하여 다음 두 식
\[\sum_{j\in J} b_{ij} x_j'=x_i\quad\text{for all $i$},\qquad \sum_{i\in I} b_{ij} a_i=0\quad\text{for all $j$}\]을 만족한다.
증명
명제 1의 결과로부터, \(M\)이 flat인 것과 임의의 finitely generated ideal \(\mathfrak{a}\)에 대해 multiplication map
\[\mathfrak{a}\otimes_A M \rightarrow M\]이 injective인 것과 동치이다. 이는
\[\sum_i a_i\otimes x_i\in \mathfrak{a}\otimes_AM\]이 위의 multiplication map의 kernel에 속한다면 이 원소가 반드시 \(0\)이 되어야 한다는 것과 동치이며, 이제 보조정리 4를 이용하여 이 원소가 언제 \(0\)이 되는지를 살펴보면 원하는 결과를 얻는다.
한편 flatness 또한 [호몰로지 대수학] §분해, ⁋정의 1과 비슷한 형태로 diagram의 언어를 이용해 서술할 수 있다.
따름정리 6 \(A\)-module \(M\)에 대하여 다음이 모두 동치이다.
- \(M\)이 flat \(A\)-module이다.
-
임의의 finitely generated free module \(F\), morphism \(u:F \rightarrow M\)과 \(\ker u\)의 monogeneous submodule \(K\)에 대하여, 다음 diagram
이 존재하여 \(K\subseteq \ker v\)이도록 할 수 있다.
- 2번 조건은 가정을 \(\ker u\)의 monogeneous submodule 대신 finitely generated submodule로 약화시켜도 성립한다.
증명
첫 번째와 두 번째 조건이 동치인 것은 따름정리 5에 의해 자명하다. 따라서 둘째 조건을 가정하고 셋째 조건만 보이면 충분한데, 이는 \(K\)의 generator들 \(x_1,\ldots, x_n\)에 대하여 monogenous submodule \(x_1\)를 죽이는 \(v_1:F \rightarrow G\)를 택한 후, \(v_1(K)\)의 남은 generator들 \(v_1(x_2),\ldots, v_1(x_n)\)에 같은 과정을 반복하면 된다.
만일 \(M\)이 finitely presented라면, 다음의 exact sequence
\[0 \rightarrow K \rightarrow F \rightarrow M \rightarrow 0\]이 존재한다. 여기서 \(F\)는 finitely generated free \(A\)-module이고, \(K\) 또한 finitely generated이다. 만일 \(M\)이 flat이라면, 위의 따름정리에서 \(\im v\subseteq G\)는 \(G \rightarrow M\)에 의하여 \(M\)으로 isomorphic하게 옮겨진다. 따라서 \(G \rightarrow M\)이 split하고, 이로부터 \(M\)이 \(G\)의 direct summand인 것을 안다. 즉, finitely presented flat module은 finitely presented projective module과 같은 것이다. ([다중선형대수학] §사영가군, 단사가군, 평탄가군, ⁋명제 4)
따름정리 7 Field \(\mathbb{K}\)와 \(A=\mathbb{K}[\x]\)를 고정하고, \(E\)가 flat \(A\)-algebra라 하자. 만일 \(E/\x E\)가 domain이고, \(S\)가 \(f\in E\)에 대해 \(1-\x f\) 꼴의 원소들의 모임이라면 \(S^{-1}E\)는 domain이다.
증명
우선 주어진 명제를 간단한 형태로 바꾸자. Localization을 취하는 것은 \(\otimes\)를 보존하므로, \(E\)를 \(S^{-1}E\)로 바꾸어도 \(S^{-1}E\)는 여전히 flat \(A\)-algebra이다. 또, \(E/\x E\)가 domain이라면 \(S^{-1} E/ \x S^{-1}E\) 또한 domain이므로, 처음부터 \(E\)를 \(S^{-1}E\)로 택해도 된다. 이 때, \(S\)를 조건과 같이 선택하는 것은 \(E\)의 \(1-\x f\) 꼴의 모든 원소가 unit이라는 가정으로 바꿔줄 수 있다.
이제 위의 조건 하에서 \(E\)의 ideal들 \(\mathfrak{a}, \mathfrak{b}\)가 \(\mathfrak{a}\mathfrak{b}=0\)을 만족한다 하고, \(\mathfrak{a}=0\) 혹은 \(\mathfrak{b}=0\)이 성립해야 한다는 것을 보여야 한다. 그럼 \(\mathfrak{a}\mathfrak{b}=0\)이므로, 필요하다면 \(\mathfrak{a}\)와 \(\mathfrak{b}\)를 키워서 이들이 서로의 annihilator라고 가정할 수 있다. 이제 \(\mathfrak{a}\mathfrak{b}=0\) modulo \(\x\)이고, \(E/\x E\)가 domain이므로 \(\mathfrak{b}\subseteq (\x)\)라 가정할 수 있다. 그럼 \(\x\)는 \(E\)의 non-zerodivisor이고 \(\mathfrak{a}(\mathfrak{b}:(\x))\x=0\)이므로 \((\mathfrak{b}:(\x))\)는 \(\mathfrak{a}\)를 annihilate한다. 즉, \((\mathfrak{b}:(\x))\subseteq \mathfrak{b}\)이므로 \(\mathfrak{b}=\x\mathfrak{b}\)이다. 이제 §정수적 확장, ⁋보조정리 7으로부터 원하는 결과를 얻는다.
참고문헌
[Eis] David Eisenbud. Commutative Algebra: with a view toward algebraic geometry. Springer, 1995.
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