우리는 이전 글에서 열심히 differential에 대한 내용을 공부했는데, 이제 이에 대한 예시를 살펴본다.
다양체에서의 곡선과 속도벡터
정의 1 Manifold \(M\)에 대하여, \(C^\infty\) 함수 \(\gamma:(a,b)\rightarrow M\)을 \(M\) 위에서 정의된 \(C^\infty\) 곡선이라 부르고, 임의의 \(t\in (a,b)\)에 대하여
\[d\gamma_t\left(\frac{d}{dr}\bigg|_t\right)\]을 점 \(\gamma(t)\)에서 이 곡선의 속도벡터velocity vector라 부르고, \(\gamma'(t)\)로 표기한다.
벡터 \(\gamma'(t)\)는 \(T_{\gamma(t)}M\)의 원소로서 \(\mathcal{C}^\infty_{M,\gamma(t)}\)의 각 원소들 \(f\)에 작용하는데, differential의 정의를 풀어쓰면
\[\gamma'(t)f=d\gamma_p\left(\frac{d}{dr}\bigg|_t\right)f=\frac{d}{dr}\bigg|_t (f\circ\gamma)=\frac{d(f\circ \gamma)}{dr}(t)=(f\circ\gamma)'(t)\]임을 알 수 있다.
사실은 \(T_pM\)을 정의할 때, 이를 점 \(p\)를 지나는 \(C^\infty\) 곡선들의 모임1으로 생각해도 큰 문제가 없다. 이 주장 중 일부인 다음의 명제는 사용할 일이 많으므로 증명을 해 둔다.
명제 2 Manifold \(M\)과 점 \(p\in M\)을 고정하자. 영벡터가 아닌 임의의 \(v\in T_pM\)에 대하여, 점 \(p\)를 지나고 점 \(p\)에서의 속도벡터가 \(v\)인 \(C^\infty\) 곡선 \(\gamma\)가 존재한다.
증명
점 \(p\)를 중심으로 하고, 다음의 식
\[v=d\varphi^{-1}_{\varphi(p)}\left(\frac{\partial}{\partial r^1}\bigg|_0\right)\]을 만족하는 coordinate system \((U,\varphi)\)를 찾으면 된다. 그럼 \(v\)는 \(C^\infty\) 곡선
\[\gamma: t\mapsto \varphi^{-1}(t, 0,\cdots, 0)\]의 \(t=0\)에서의 속도벡터가 되기 때문이다. 참고로 위의 조건을 만족하는 coordinate system을 찾는 것은 아주 쉬운데, 임의의 coordinate system \((U,\psi)\)를 하나 고른 후, \(d\psi_p(v)\)가 옮겨진 벡터를 포함하는 \(\mathbb{R}^n\)의 새로운 기저를 만든 후, 원래의 \(\psi\)와 이렇게 얻어진 change of basis를 합성하면 된다.
특별히 \(M=\mathbb{R}^m\)인 경우, \(T_{\gamma(t)}M\)의 basis는
\[\frac{\partial}{\partial r^1}\bigg|_{\gamma(t)},\cdots,\frac{\partial}{\partial r^m}\bigg|_{\gamma(t)}\]로 주어지므로,
\[\gamma'(t)=\sum_{i=1}^m\frac{d(r^i\circ \gamma)}{dr}(t)\frac{\partial}{\partial r^i}\bigg|_{\gamma(t)}=\frac{d\gamma^1}{dr}\frac{\partial}{\partial r^1}\bigg|_{\gamma(t)}+\cdots+\frac{d\gamma^m}{dr}\frac{\partial}{\partial r^m}\bigg|_{\gamma(t)}\]이고, 유클리드 공간에서는 이들 \(\partial/\partial r^i\)들이 \(i\)번째 standard basis와 같으므로 이를
\[\left(\frac{d\gamma^1}{dr},\ldots, \frac{d\gamma^m}{dr}\right)\]으로 생각할 수 있다. 이 식은 통상적인 다음의 미분
\[\gamma'(t)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\gamma(t+h)-\gamma(t)}{h}\]와 동일하므로, 우리가 정의했던 tangent vector와 속도벡터의 개념이 유클리드 공간에서는 (원래부터 알고 있던) 곡선의 속도벡터와 일치한다는 것을 확인할 수 있다.
두 manifold \(M,N\) 사이의 \(C^\infty\) 함수 \(F:M\rightarrow N\)이 주어졌다 하고, \(C^\infty\) 함수 \(\gamma:(a,b)\rightarrow M\)을 생각하자. 그럼 \(F\circ\gamma\)의 \(t\)에서의 differential을 계산해보면,
\[d(F\circ\gamma)_t=dF_{\gamma(t)}\circ d\gamma_t\]이고, 따라서
\[d(F\circ\gamma)_t\left(\frac{d}{dr}\bigg|_t\right)=(dF_{\gamma(t)}\circ d\gamma_t)\left(\frac{d}{dr}\bigg|_t\right)=dF_{\gamma(t)}(\gamma'(t))\]이다. 좌변을 \(N\)에서의 \(C^\infty\) 곡선 \(F\circ\gamma\)의 시간 \(t\)에서의 속도벡터로 생각할 수 있으므로, 위의 식은
\[(F\circ\gamma)'(t)=dF_{\gamma(t)}(\gamma'(t))\]으로 적을 수 있다.
이를 약간 수정하면, 주어진 \(C^\infty\) 함수 \(F:M\rightarrow N\)에 대하여, 임의의 \(v\in T_pM\)에서의 differential의 값 \(dF_p(v)\)를 알기 위해서는 점 \(p\)에서 \(v\)방향 속도벡터를 가지는 곡선을 아무거나 하나 고른 후2, 이 곡선 \(\gamma\)에 대해 \(F\circ\gamma\)의 시간 \(t\)에서의 속도벡터를 구하면 된다는 것을 알 수 있다. 즉,
명제 3 두 manifold \(M,N\)과 \(C^\infty\) 함수 \(F:M\rightarrow N\)을 생각하자. 임의의 \(v\in T_pM\)에 대하여, \(\gamma(0)=p\), \(\gamma'(0)=v\)를 만족하는 \(C^\infty\) 곡선 \(\gamma:(a,b)\rightarrow M\)는 다음의 식
\[dF_p(v)=(F\circ\gamma)'(0)\]또한 만족한다.
벡터공간의 접공간
우리는 앞서 §미분다양체의 예시들, ⁋예시 2에서 임의의 \(m\)차원 \(\mathbb{R}\)-벡터공간 \(V\)가 \(m\)차원의 manifold 구조를 갖는다는 것을 살펴봤다. 그럼 임의의 점 \(x\in V\)에 대하여, 점 \(x\)에서의 tangent space \(T_xV\) 또한 manifold \(V\)의 차원과 동일한 차원을 가지므로 \(\dim T_xV=m\)이 성립한다. 따라서 \(V\cong T_xV\)가 성립해야 한다.
이는 본질적으로 유클리드 공간에서 \(\mathbb{R}^m\)의 표준벡터들과, \(T_x\mathbb{R}^m\)의 basis들
\[\frac{\partial}{\partial r^1}\bigg|_x,\cdots,\frac{\partial}{\partial r^m}\bigg|_x\]이 동일한 것임을 이용하면 보일 수 있다. 사실 이 isomorphism은 basis의 선택에 의존하지 않는데, 임의의 \(v\in\mathbb{R}^m\)에 대하여
\[D_v|_x: f\mapsto \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+tv)-f(x)}{t}\]로 정의된 방향미분을 대응시키는 것이 이 isomorphism이기 때문이다.
명제 4 Manifold 구조가 주어진 \(m\)차원 \(\mathbb{R}\)-벡터공간 \(V\)를 생각하자. \(V\)의 임의의 점 \(x\in V\)에 대하여, basis의 선택에 의존하지 않는 isomorphism \(V\cong T_xV\)가 존재한다. 뿐만 아니라 \(V,W\)가 두 \(\mathbb{R}\)-벡터공간이고, \(L:V\rightarrow W\)가 linear map이라면 다음의 diagram이 commute한다.
증명
첫 번째 부분은 앞서 보인 방향미분의 식
\[(D_v|_x)f=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{f(x+tv)-f(x)}{t}\]을 사용하면 된다. 대응 \(v\mapsto D_v\vert_x\)에 의하여, \(v+w\)는
\[\begin{aligned}(D_{v+w}|_x)f&=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{f(x+t(v+w))-f(x)}{t}\\ &=\lim_{t\rightarrow 0}\left(\frac{f((x+tw)+tv)-f(x+tw)}{t}+\frac{f(x+tv)-f(x)}{t}\right)\\ &=(D_v|_x)f+(D_w|_x)f \end{aligned}\]로 옮겨지며, 비슷하게 \(\alpha v\)는
\[(D_{\alpha v}|_x)f=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{f(x+t\alpha v)-f(x)}{t}=\alpha\lim_{t\rightarrow 0}\frac{f(x+t\alpha v)-f(x)}{\alpha t}=\alpha(D_v|_x)f\]으로부터 얻어진다. 따라서 \(v\mapsto D_v\vert_x\)는 linear이다.
이 대응이 injective라는 것은 함수 \(f\)에 \(x^1,\ldots, x^m\)들을 대입해보면 되며, 두 벡터공간이 같은 차원을 가지므로 이 대응은 반드시 isomorphism이 되어야 한다. 이상에서 isomorphism \(V\cong T_xV\)를 얻었다.
두 번째 부분을 보여야 한다. 임의의 \(v\in V\)는 \(V\rightarrow W\rightarrow T_{L(x)}W\)를 따르면
\[v\mapsto L(v)\mapsto D_{L(v)}|_{L(x)}\]로 옮겨진다. 한편 \(V\mapsto T_xV\mapsto T_{L(x)}W\)를 따르면 우선 \(V\mapsto T_xV\)에 의하여
\[v\mapsto D_v|_x\]를 얻고, 이후에는 \(\gamma(t)=x+tv\)를 이용해 명제 3을 사용하면
\[dL_x(D_v|_x)=(L\circ \gamma)'(0)\]을 얻는다. 그런데
\[(L\circ\gamma)(t)=L(x+tv)=L(x)+tL(v)\]이므로, \((L\circ\gamma)'(0)\)는 임의의 \(f\)에 대하여
\[(L\circ\gamma)'(0)f=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{f(L(x)+tL(v))-f(L(x))}{t}=(D_{L(v)}|_{L(x)})f\]를 만족한다. 따라서 주어진 diagram이 commute한다.
위의 명제에서 만든 isomorphism \(V\cong T_xV\)는 basis의 선택에 의존하지 않지만, 만일 \(V\)의 어떤 basis \(e_1,\ldots, e_n\)과 그 dual basis \(r^1,\ldots, r^n\)이 주어진다면 이 isomorphism은
\[\sum a_ie_i\leftrightarrow\sum a_i\frac{\partial}{\partial r^i}\]과 같다는 것을 확인할 수 있다.
예시 5 \(n\times n\) 행렬들의 모임 \(\Mat_n(\mathbb{R})\)은 \(n^2\)차원 \(\mathbb{R}\)-벡터공간이다. 따라서, \(\Mat_n(\mathbb{R})\)의 임의의 점에서의 tangent space는 \(\Mat_n(\mathbb{R})\)과 동일하다.
특별히 \(\Mat_n(\mathbb{R})\)의 open submanifold인 \(\GL(n,\mathbb{R})\)을 생각하면, \(\GL(n,\mathbb{R})\)의 임의의 원소에서의 tangent space는 이 원소를 \(\Mat_n(\mathbb{R})\)의 원소로 보았을 때의 tangent space와 동일하고, 따라서 \(\Mat_n(\mathbb{R})\)과 같다.
Tangent covector
임의의 manifold \(M\)과 \(C^\infty\) 함수 \(f:M\rightarrow\mathbb{R}\)이 주어졌다 하자. 그럼 임의의 점 \(p\in M\)마다 differential \(df_p:T_pM\rightarrow T_{f(p)}\mathbb{R}\)이 잘 정의된다. 앞선 명제 4에 의하여, 1차원 \(\mathbb{R}\)-벡터공간으로서 \(\mathbb{R}\)과 그 tangent space \(T_{f(p)}\mathbb{R}\) 사이의 isomorphism이 존재한다. 그럼 이제
\[T_pM\overset{df_p}{\longrightarrow}T_{f(p)}\mathbb{R}\overset{\sim}{\longrightarrow}\mathbb{R}\]에 의하여 \(df_p\)를 \((T_pM)^\ast\)의 원소로 볼 수 있다.
정의 6 Manifold \(M\)과 한 점 \(p\in M\)에 대하여, \(\mathbb{R}\)-벡터공간 \(T_pM\)의 dual space \((T_pM)^\ast\)를 cotangent space여접공간라 부르고 간단하게 \(T_p^\ast M\)으로 적는다. \(T_p^\ast M\)의 원소들을 tangent covector 혹은 간단하게 covector라 부른다.
따라서 앞선 논의는 임의의 \(C^\infty\) 함수 \(f:M\rightarrow\mathbb{R}\)이 tangent covector를 하나 지정한다고 요약할 수 있다.
한편, \(T_p^\ast M\)은 벡터공간 \(T_pM\)의 dual space이고, \(T_pM\)은 유한차원 \(\mathbb{R}\)-벡터공간이므로 \(T_pM\)의 basis들이 \(T_p^\ast M\)의 dual basis를 정의한다.
\((U,\varphi)\)가 점 \(p\)를 포함하는 coordinate system이라 하고, \(\varphi=(x^i)_{i=1}^m\)이라 하자. 그럼 다음의 \(m\)개의 tangent vector들
\[\frac{\partial}{\partial x^1}\bigg|_p,\cdots\frac{\partial}{\partial x^m}\bigg|_p\]이 \(T_pM\)의 basis가 된다. 이들의 dual basis를 잠시동안 \(\xi^i \vert_p\)라 표기하자. 즉 \(\xi^i \vert_p\)는 \(T_pM\)에서 \(\mathbb{R}\)로의 linear map이며, 다음의 식
\[(\xi^i |_p)\left(\frac{\partial}{\partial x^j}\bigg|_p\right)=\delta_{ij}\tag{1}\]을 통해 유일하게 정의된다. 이 때 \(\delta_{ij}\)는 크로네커 델타를 의미한다.
명제 7 위와 같은 상황에서, \(\xi^i\vert_p=dx^i\vert_p\)이다. 즉, \((U,\varphi)\)에 의하여 생기는 \(T_pM\)의 dual basis \((\xi^i \vert_p)\)들은 사실 coordinate function들 \(x^i\)의 점 \(p\)에서의 differential과 같다.
증명
\(dx^i\)들이 위의 식 (1)을 만족한다는 것을 보이면 충분하다. 정의에 의하여,
\[dx^i|_p\left(\frac{\partial}{\partial x^j}\bigg|_p\right)=\frac{\partial}{\partial x^j}\bigg|_p x^i=\delta_{ij}\]가 성립한다.
위 증명은 우리가 tangent space를 처음 도입할 때 증명했던 §여접공간, ⁋보조정리 1을 떠올리면 좀 더 그럴듯하다. 즉 첫째 등식에서 둘째 식으로 넘어가는 것은 differential \(dx^i\vert_p\)의 정의이기도 하지만, 동시에
\[T_p^\ast M\cong (\mathfrak{m}_p/\mathfrak{m}_p^2)^{\ast\ast}\cong\mathfrak{m}_p/\mathfrak{m}^2_p\]을 통해 유한차원 \(\mathbb{R}\)-벡터공간 \(\mathfrak{m}_p/\mathfrak{m}^2_p\)의 double dual을 자기 자신과 자연스럽게 identify하는 과정이기도 한 것이다.
참고문헌
[War] Frank W. Warner. Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Graduate texts in mathematics, Springer, 2013
[Lee] John M. Lee. Introduction to Smooth Manifolds, Graduate texts in mathematics, Springer, 2012
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