제곱근확대체
우리가 생각할 수 있는 가장 separable하지 않은 extension은, 당연히, $p$-radical extension이다. 이러한 이유로 $p$-radical extension은 종종 purely inseparable extension이라 부르기도 한다. 이번 글에서는 우선, $p$-radical extension과 separable extension의 관계에 대해 살펴보고, 이를 separable degree를 사용하여 설명할 것이다.
우선 다음의 보조정리를 보이자.
보조정리 1 Characteristic $p\neq 0$의 field $\mathbb{K}$에 대하여, finite degree $\mathbb{K}$-algebra $A$가 étale인 것과 $A=\mathbb{K}[A^p]$인 것이 동치이다. 뿐만 아니라, 이 경우 $(a_i)$가 $A$의 $\mathbb{K}$-basis라면 $(a_i^p)$들도 그러하다.
증명
$\mathbb{K}$의 algebraic closure $\overline{\mathbb{K}}$를 생각하자. 그럼 임의의 $u,v\in \Hom_\Alg{\mathbb{K}}(A, \overline{\mathbb{K}})$에 대하여, 만일 $u,v$를 subalgebra $\mathbb{K}[A^p]$로 제한한 것이 같다면 다음의 식
\[u(x)^p=u(x^p)=v(x^p)=v(x)^p\]가 모든 $x\in A$에 대해 성립하므로 정의에 의하여 다음의 부등식
\[[A:\mathbb{K}]_s\leq[\mathbb{K}[A^p]:\mathbb{K}]_s\]이 성립함을 안다. 만일 $A$가 étale $\mathbb{K}$-algebra라면 §에탈대수, ⁋명제 13의 부등식과 그 등호조건에 의하여 다음의 식
\[[A:\mathbb{K}]=[A:\mathbb{K}]_s\leq[\mathbb{K}[A^p]:\mathbb{K}]_s\leq [\mathbb{K}[A^p]:\mathbb{K}]\]이 성립하고, 자명하게 $\mathbb{K}[A^p]\subset A$는 일반적인 경우에 대해 성립하므로 $A=\mathbb{K}[A^p]$가 성립한다.
이제 거꾸로 $A=\mathbb{K}[A^p]$임을 가정하고 $A$가 étale임을 보이자. 이를 위해서는 뒤의 조건을 보이면 충분하다. $(a_i)$가 $A$의 $\mathbb{K}$-basis라 가정하면, $(a_i^p)$들이 $\mathbb{K}[A^p]$를 $\mathbb{K}$-벡터공간으로서 생성하는 것은 §체, ⁋명제 12의 결과이고, 그럼 주어진 가정 $A=\mathbb{K}[A^p]$로부터 $(a_i^p)$들은 $A$를 생성하기도 한다.
이제 §분리가능확대체, ⁋정리 7의 결과를 사용하기 위해, $\overline{\mathbb{K}}\otimes_\mathbb{K}A$가 reduced임을 보이자. 만일 어떤 $u\in\overline{\mathbb{K}}\otimes_\mathbb{K}A$에 대하여 $u^2=0$이라 가정하면 $u^p=0$이고, 이로부터 만일 $u=\sum \lambda_i\otimes a_i$라 쓴다면
\[0=u^p=\sum_{i\in I} (\lambda_i\otimes a_i)^p=\sum_{i\in I} \lambda_i^p\otimes a_i^p\]이고 따라서 각각의 $\lambda_i^p$들이 $0$이어야 한다. $\overline{\mathbb{K}}$는 (당연히) reduced이므로 $\lambda_i$들은 모두 $0$이어야 하고, 따라서 $u=0$이므로 이로부터 원하는 결과를 얻는다.
명제 2 Characteristic exponent $p$를 갖는 field $\mathbb{K}$와, algebraic extension $\mathbb{L}/\mathbb{K}$를 생각하자. 또, $\mathbb{L}=\mathbb{K}(S)$이도록 하는 부분집합 $S$를 생각하자. 만일 $\mathbb{L}/\mathbb{K}$가 separable이라면, 임의의 $n\geq 0$에 대하여 $\mathbb{L}=\mathbb{K}(S^{p^n})$이 성립한다. 거꾸로, 만일 $\mathbb{L}/\mathbb{K}$가 finite degree extension이고 $\mathbb{L}=\mathbb{K}(S^p)$라면 $\mathbb{L}/\mathbb{K}$가 separable이다.
증명
언제나 그렇듯 $p=1$인 경우는 증명할 것이 없다. 따라서 $p\neq 1$인 경우만 보면 충분하다.
우선 $\mathbb{L}=\mathbb{K}(S)$라 가정하면
\[\mathbb{K}(\mathbb{L}^p)=\mathbb{K}(\mathbb{K}(S)^p)=\mathbb{K}(\mathbb{K}^p(S^p))=\mathbb{K}(S^p)\]이므로 $\mathbb{K}(S^p)=\mathbb{K}(\mathbb{L}^p)=\mathbb{K}[\mathbb{L}^p]$이 성립한다. 우선 위의 보조정리 1를 $A=\mathbb{L}$에 적용하면 $\mathbb{L}/\mathbb{K}$가 finite degree extension인 경우는 이것이 $\mathbb{L}$가 étale $\mathbb{K}$-algebra인 것과 동치이므로 자명하다. 이제 $\mathbb{L}/\mathbb{K}$가 infinite degree인 경우에도, $\mathbb{L}/\mathbb{K}$의 임의의 finite degree subextension $\mathbb{L}’/\mathbb{K}$은 separable이므로 앞선 논의에 의해
\[\mathbb{L}'=\mathbb{K}[(\mathbb{L}')^p]=\subseteq \mathbb{K}[\mathbb{L}^p]\]이 성립하고, $\mathbb{K}[\mathbb{L}^p]$는 $\mathbb{L}’/\mathbb{K}$들의 union으로 원하는 등식을 얻는다. 임의의 $n$에 대한 등식은 단순한 귀납법이다.
이로부터 다음 두 따름정리를 얻는다.
따름정리 3 Perfect field $\mathbb{K}$의 임의의 algebraic extension은 perfect이다.
이에 대한 증명은 명제 2로부터 거의 자명하다.
뿐만 아니라 다음이 성립한다.
따름정리 4 Field $\mathbb{K}$의 algebraic closure $\overline{\mathbb{K}}$와 이 안에서의 perfect closure $\mathbb{K}^{p^{-\infty}}$에 대하여, $\overline{\mathbb{K}}/\mathbb{K}$의 subextension $\mathbb{L}/\mathbb{K}$가 separable인 것과 $\mathbb{K}^{p^{-\infty}}$가 linearly disjoint한 것이 동치이다.
증명
언제나와 마찬가지로 $\mathbb{L}/\mathbb{K}$가 finite degree인 상황을 생각하면 충분하다. $\mathbb{L}/\mathbb{K}$의 basis $(x_i)$가 주어졌다 하면, $\mathbb{L}$이 $\mathbb{K}^{p^{-\infty}}$와 linearly disjoint인 것은 $(x_i)$가 모든 $\mathbb{K}^{p^{-n}}$과 linearly disjoint인 것과 동치이므로, 이는 임의의 family $(a_i)$와 임의의 $n$에 대하여
\[\sum x_i a_i^{p^{-n}}=0\implies a_i=0\]이 항상 성립해야 한다는 것과 같은 말이다. 이제 양 변에 $p^n$-th power를 취하면, 이로부터 $x_i^{p^n}$들이 free여야 한다는 것을 알고, 따라서 이들이 $\mathbb{L}$의 basis를 정의해야 한다는 것을 알 수 있으며 그 역 또한 성립한다. 차원을 생각하면 이는 $\mathbb{L}=\mathbb{K}(\mathbb{L}^p)$인 것과 동치이므로, 명제 2로부터 원하는 결과를 얻는다.
분리가능폐포
한편 algebraic closure 혹은 perfect closure 등과 마찬가지로 separable closure 또한 정의할 수 있다. 그럼 §체, ⁋정리 15에서의 perfect closure가 algebraic closure에 대한 relative perfect closure와 같듯, separable closure 또한 relative separable closure를 먼저 정의한 후, algebraic closure 안에서의 relative separable closure를 (absolute) separable closure라 정의하는 것이 자연스러울 것이다.
명제 5 Field extension $\mathbb{L}/\mathbb{K}$에 대하여, $\mathbb{L}_s$를 $\mathbb{K}$에 대해 algebraic, separable한 원소들의 모임이라 하자. 그럼 $\mathbb{L}_s$는 $\mathbb{L}/\mathbb{K}$의 subextension이며, 뿐만 아니라 $\mathbb{L}$에 속하고 separable인 algebraic extension 중 가장 큰 것이다.
증명
우선 separable extension의 임의의 원소는 separable이므로 (§분리가능확대체, ⁋명제 12), separable인 $\mathbb{L}$의 subextension은 항상 $\mathbb{L}$에 포함된다. 한편, 역으로 separable element들로만 생성되는 algebraic extension은 마찬가지로 §분리가능확대체, ⁋명제 12에 의해 separable이므로, $\mathbb{K}(\mathbb{L}_s)$는 그 자체로 separable extension이며 다시 위의 주장에 의해 $\mathbb{K}(\mathbb{L}_s)\subseteq \mathbb{L}_s$가 성립한다. 즉, $\mathbb{K}(\mathbb{L}_s)=\mathbb{L}_s$가 성립하고 따라서 명제 2로부터 원하는 결과를 얻는다.
위에서 언급한 것과 같이, $\mathbb{L}_s$를 ($\mathbb{L}/\mathbb{K}$에서의) relative separable algebraic closure라 부른다.
이 글의 핵심 결과는 임의의 algebraic extension은 항상 (relative separable closure에 해당하는) separable한 부분과, inseparable한 부분으로 완전하게 나뉜다는 것이다. 이는 다음과 같이 확인할 수 있다.
정리 6 Algebraic extension $\mathbb{L}/\mathbb{K}$와, 명제 5에서 정의한 $\mathbb{L}_s$에 대하여, 다음이 성립한다.
- $\mathbb{L}/\mathbb{L}_s$는 $p$-radical extension이다.
- Subextension $\mathbb{M}/\mathbb{K}$에 대하여, $\mathbb{L}/\mathbb{M}$이 $p$-radical이라 하자. 그럼 $\mathbb{M}$은 $\mathbb{L}_s$를 포함한다.
- $\mathbb{L}_s$는 $\mathbb{L}$의 subextension 중, $\mathbb{K}$에 대해 separable이고, 자신에 대해서는 $\mathbb{L}$이 $p$-radical이도록 하는 유일한 것이다.
증명
우선 첫 번째 주장의 경우, $\ch(\mathbb{K})=0$인 경우는 자명하므로 $\ch(\mathbb{K})=p>0$인 경우를 생각하자. 이제 $x\in \mathbb{L}$와 그 minimal polynomial $f$를 생각하면, 적당한 $m\geq 0$이 존재하여 $f\in\mathbb{K}[\x^{p^m}]$이지만 $f\not\in \mathbb{K}[\x^{p^{m+1}}]$이도록 할 수 있으며, 이 때 $f(\x)=g(\x^{p^m})$이도록 하는 다항식 $g$를 택할 수 있다. 그런데 $f$는 irreducible이므로, $g$ 또한 그러하고 따라서 $g$는 $\mathbb{K}$의 원소 $x^{p^m}$의 minimal polynomial이 된다. 이제 §분리가능확대체, ⁋명제 10의 마지막 동치조건으로부터 $g$는 separable이고, 따라서 $x^{p^m}$은 $\mathbb{L}_s$에 속한다. 따라서 $x$는 $\mathbb{L}/\mathbb{L}_s$에서 $p$-radical extension이고 이로부터 원하는 결과를 얻는다.
한편 둘째 가정을 만족하는 subextension $\mathbb{M}/\mathbb{K}$가 주어졌다 하고, $x\in \mathbb{L}_s$라 하자. 그럼 $x$는 $\mathbb{K}$에 대해 separable이므로, $\mathbb{M}$에 대해서도 separable이다. 그런데 $\mathbb{L}/\mathbb{M}$이 $p$-radical이므로 $x$는 $\mathbb{M}$에 대해 $p$-radical이다. 다시 §분리가능확대체, ⁋명제 10의 마지막 동치조건에서 $x$의 minimal polynomial은 $\mathbb{K}[\x^p]$에 속해야 하지만, 동시에 $x$가 $p$-radical이라는 조건으로부터 $x$의 height $e$에 대하여 $\x^{p^e}-x^{p^e}$가 $x$의 minimal polynomial이어야 한다. 따라서 $e=0$이고 $\x-x$가 $x$의 minimal polynomial이어야 하므로 $x\in \mathbb{M}$이어야 한다.
마지막 주장은 명제 5의 유일성으로부터 얻어진다.
그럼 algebraic extension이 separable한 것은 base change에 대해 stable하므로, 만일 어떠한 extension의 두 subextension $\mathbb{L}/\mathbb{K}$, $\mathbb{K}’/\mathbb{K}$, 그리고 $\mathbb{L}$에서의 $\mathbb{K}$의 relative separable closure $\mathbb{L}_s$에 대하여 $\mathbb{K}’(\mathbb{L}_s)$가 $\mathbb{K}’$의 $\mathbb{K}’(\mathbb{L})$에서의 relative seprable closure가 되는 것을 확인할 수 있다. 또, relative separable closure의 유일성으로부터, finite degree extension $\mathbb{L}/\mathbb{K}$에 대하여 다음의 식
\[\mathbb{L}_s=\bigcap_{n\geq 0} \mathbb{K}(\mathbb{L}^{p^n})\]이 성립하는 것을 확인할 수 있다.
(Absolute) Separable algebraic closure를 어떻게 정의해야 하는지는 자명하다.
정의 7 Field $\mathbb{K}$가 separably closed분리가능닫힘이라는 것은 $\mathbb{K}$의 임의의 separable algebraic extension이 trivial인 것이다. Field $\mathbb{K}$의 extension $\mathbb{L}$이 separable algebraic인 동시에, $\mathbb{L}$이 separably closed라면 이를 $\mathbb{K}$의 separable algebraic closure분리가능폐포라 부른다.
그럼 임의의 separable algebraic extension은 algebraic이므로 algebraically closed field는 항상 separably closed이다. 거꾸로 임의의 perfect field $\mathbb{K}$의 임의의 algebraic extension은 separable이므로, separably closed perfect field는 algebraically closed이다.
그램 다음이 성랍한다.
명제 8 Field $\mathbb{K}$의 algebraic closure $\overline{\mathbb{K}}$를 고정하자.
- $\overline{\mathbb{K}}$에서의 relative separable algebraic closure $\overline{\mathbb{K}}_s$는 $\mathbb{K}$의 separable closure이다.
- $\mathbb{K}$의 separable algebraic closure는 isomorphism에 대하여 유일하게 결쟁된다.
증명
- $\overline{\mathbb{K}}_s$는 명제 5에 의해 separable이고, algebraic closure $\overline{\mathbb{K}}$의 subextension이므로 algebraic이다. 따라서 주장은 임의의 separable algebraic extension $\mathbb{L}/\overline{\mathbb{K}}_s$가 주어졌을 때, $\mathbb{L}$이 $\overline{\mathbb{K}}_s$의 trivial extension임을 보이면 충분하다. 이는 우선 extension $\mathbb{L}/\overline{\mathbb{K}}_s$이 algebraic이므로 유일한 $\overline{\mathbb{K}}_s$-homomorphism $u:\mathbb{L}\rightarrow\overline{\mathbb{K}}$가 존재하며 (§대수적 폐포, ⁋정리 5) 그 image $u(\mathbb{L})$은 §분리가능확대체, ⁋명제 15에 의해 separable algebraic이고, 따라서 $u(\mathbb{L})=\overline{\mathbb{K}}_s$가 성립한다.
- 마찬가지로 §대수적 폐포, ⁋정리 5를 이용하면 된다.
이로부터, separable algebraic closure는 가장 작은 separably closed algebraic extension임을 안다. 즉 $\mathbb{L}/\mathbb{K}$가 $\mathbb{K}$의 separable algebraic closure이고, field extension $\mathbb{M}/\mathbb{K}$에 대하여 $\mathbb{M}$이 separably closed라면 유일한 morphism $\mathbb{L}\rightarrow\mathbb{M}$이 존재한다.
분리가능차수
정리 6에 의해 임의의 finite degree extension $\mathbb{L}/\mathbb{K}$를 separable한 부분과 그렇지 않은 부분으로 나누어 $\mathbb{L}/\mathbb{L}_s/\mathbb{K}$와 같이 쓸 수 있다.
명제 9 위와 같은 상황에서, $[\mathbb{L}:\mathbb{K}]_s=[\mathbb{L}_s:\mathbb{K}]$이다.
증명
정의에 의해 $[\mathbb{L}:\mathbb{K}]_s$는 $\mathbb{K}$의 algebraic closure $\overline{\mathbb{K}}$에 대하여, $\mathbb{L}$에서 $\overline{\mathbb{K}}$로의 $\mathbb{K}$-algebra homomorphism들의 갯수로 정의된다. 그런데 $\overline{\mathbb{K}}$는 algebraically closed field이므로 perfect field이고, 따라서 §제곱근확대체, ⁋명제 6으로부터 임의의 $\mathbb{K}$-algebra homomorphism $\mathbb{L} \rightarrow \overline{\mathbb{K}}$이 주어질 때마다 유일한 $\mathbb{L}_s\rightarrow \overline{\mathbb{K}}$이 정의되며 거꾸로 $\mathbb{K}$-algebra homomorphism $\mathbb{L}_s \rightarrow \overline{\mathbb{K}}$이 주어질 때마다 이를 $\mathbb{L}$로 제한하여 $\mathbb{L}\rightarrow\overline{\mathbb{K}}$를 얻을 수 있다. 이로부터 등식
\[[\mathbb{L}:\mathbb{K}]_s=[\mathbb{L}_s:\mathbb{K}]_s\]를 얻는다. 한편 $\mathbb{L}_s/\mathbb{K}$는 finite degree separable extension이므로 étale algebra이고, 따라서 §에탈대수, ⁋명제 13으로부터 $[\mathbb{L}_s:\mathbb{K}]_s=[\mathbb{L}_s:\mathbb{K}]$가 되어 원하는 결과를 얻는다.
따라서 $[\mathbb{L}:\mathbb{K}]_s$를 separable degree라 부르는 것이 정당하다. 뿐만 아니라, 다음 식
\[[\mathbb{L}:\mathbb{K}]=[\mathbb{L}:\mathbb{L}_s][\mathbb{L}_s:\mathbb{K}]=[\mathbb{L}:\mathbb{K}]_s[\mathbb{L}:\mathbb{L}_s]\]으로부터 우리는 extension $\mathbb{L}/\mathbb{K}$의 inseparable degree를 $[\mathbb{L}:\mathbb{K}]_i=[\mathbb{L}:\mathbb{L}_s]$으로 정의할 수 있다.
만일 $\ch\mathbb{K}=0$이라면 $[\mathbb{L}:\mathbb{K}]_i=1$이 항상 성립하며, $\ch\mathbb{K}=p$라면 $[\mathbb{L}:\mathbb{K}]_i$는 항상 $p$의 거듭제곱이다. (정리 6) 그러나 $p$-radical extension을 정의하지 않는 degree $p^e$의 다항식도 얼마든지 존재하므로 $[\mathbb{L}:\mathbb{K}]_i$의 값을 (가령) $[\mathbb{L}:\mathbb{K}]$만으로 알아내는 방법은 존재하지 않는다.
그러나 여전히 다음이 성립한다.
명제 10 Extension $\Omega/\mathbb{K}$를 고정하고, $\Omega$의 두 finite degree subextension $\mathbb{L}/\mathbb{K}$, $\mathbb{M}/\mathbb{K}$을 생각하자. 다음이 성립한다.
- 만일 $\mathbb{L}\subseteq \mathbb{M}$이라면, $[\mathbb{M}:\mathbb{K}]_s=[\mathbb{M}:\mathbb{L}]_s[\mathbb{L}:\mathbb{K}]_s$이고 $[\mathbb{M}:\mathbb{K}]_i=[\mathbb{M}:\mathbb{L}]_i[\mathbb{L}:\mathbb{K}]_i$이다.
-
$\Omega$의 임의의 subextension $\mathbb{K}’$에 대하여 다음의 식
\[[\mathbb{K}'(\mathbb{L}):\mathbb{K}']_s\leq [\mathbb{L}:\mathbb{K}]_s,\qquad [\mathbb{K}'(\mathbb{L}):\mathbb{K}']_i\leq [\mathbb{L}:\mathbb{K}]_i\]이 성립하며, 등식은 $\mathbb{K}’$와 $\mathbb{L}$이 linearly disjoint일 때 성립한다.
-
두 부등식
\[[\mathbb{K}(\mathbb{L}\cup \mathbb{M}):\mathbb{K}]_s\leq [\mathbb{L}:\mathbb{K}]_s[\mathbb{M}:\mathbb{K}]_s,\qquad [\mathbb{K}(\mathbb{L}\cup \mathbb{M}):\mathbb{K}]_i\leq [\mathbb{L}:\mathbb{K}]_i[\mathbb{M}:\mathbb{K}]_i\]이 성립하며, 등식은 $\mathbb{L},\mathbb{M}$이 linearly disjoint일 때 성립한다.
이에 대한 증명들은 거의 동어반복으로, 가령 첫째 결과의 경우 §대수적 확장, ⁋명제 2와 §에탈대수, ⁋명제 12로부터 얻어진다. 나머지 결과 또한 비슷한 결과가 extension degree와 separable degree에 대해 각각 성립하므로 inseparable degree에 대해서도 당연하게 성립하게 된다.
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