분해차수

우리가 생각할 수 있는 가장 separable하지 않은 extension은, 당연히, $p$-radical extension이다. 이러한 이유로 $p$-radical extension은 종종 purely inseparable extension이라 부르기도 한다. 이번 글에서는 우선, $p$-radical extension과 separable extension의 관계에 대해 살펴보고, 이를 separable degree를 사용하여 설명할 것이다.

우선 다음이 성립한다.

명제 1 Characteristic exponent $p$를 갖는 field $\mathbb{K}$와, algebraic extension $\mathbb{L}/\mathbb{K}$를 생각하자. 또, $\mathbb{L}=\mathbb{K}(S)$이도록 하는 부분집합 $S$를 생각하자. 만일 $\mathbb{L}/\mathbb{K}$가 separable이라면, 임의의 $n\geq 0$에 대하여 $\mathbb{L}=\mathbb{K}(S^{p^n})$이 성립한다. 거꾸로, 만일 $\mathbb{L}/\mathbb{K}$가 finite degree extension이고 $\mathbb{L}=\mathbb{K}(S^p)$라면 $\mathbb{L}/\mathbb{K}$가 separable이다.

증명

언제나 그렇듯 $p=1$인 경우는 증명할 것이 없다. 따라서 $p\neq 1$인 경우만 보면 충분하다.

우선 §체, ⁋명제 12로부터 $\mathbb{K}(S^p)=\mathbb{K}(\mathbb{L}^p)=\mathbb{K}[\mathbb{L}^p]$이 성립한다. 이제 $