가군의 직접곱과 직합, 텐서곱

가군의 직접곱과 직합

Category $\lMod{A}$는 bicomplete category이다. 이를 보이기 위해서는 $\lMod{A}$에서의 임의의 product와 coproduct를 만들어야 하는데, 이를 보이기 위해서는 $\Ab$에서의 product와 coproduct 위에 자연스러운 $A$-action이 존재한다는 것을 보이면 된다.

$A$-module들의 family $(M_i)_{i\in I}$이 주어졌다 하자. 그럼 $\prod M_i$ 위에서의 action은 다음의 식

\[A\otimes\left(\prod_{i\in I}M_i\right)\overset{\id_A\otimes\pr_i}{\longrightarrow} A\otimes M_i \overset{\rho_i}{\longrightarrow} M_i\]

을 통해 $A\otimes\left(\prod M_i\right) \rightarrow M_i$를 정의한 후, $\Ab$에서의 product의 universal property를 이용해 $A\otimes\left(\prod M_i\right) \rightarrow \prod M_i$를 만들고 이것이 action의 조건을 만족함을 보이면 된다.

Coproduct의 경우, $A\otimes-$은 $\Ab$에서 $\Ab$로의 left adjoint이므로 colimit을 보존하고, 따라서

\[A\otimes\left(\bigoplus_{i\in I} M_i\right)\cong\bigoplus_{i\in I}(A\otimes M_i)\overset{\bigoplus \rho_i}{\longrightarrow} \bigoplus_{i\in I}M_i\]

를 통해 $\bigoplus M_i$ 위에서의 action이 정의된다. Equalizer와 coequalizer의 경우, 두 module homomorphism $f,g:M \rightarrow N$에 대하여

\[\Eq(f,g)=\{x\in M: f(x)=g(x)\}\]

그리고

\[\CoEq(f,g)=N/N',\qquad N'=\langle f(x)-g(x)\rangle\rangle\]

을 통해 정의할 수 있다. 즉 다음이 성립한다.

정리 1 $\lMod{A}$는 bicomplete category이며, 특히 $A$-module들의 family $(M_i)$의 product는 이들의 direct product, coproduct는 이들의 direct sum으로 주어진다.

그럼 direct product는 kernel을, direct sum은 cokernel을 각각 보존한다. ([범주론] §극한, ⁋명제 10) 추가로 이들은 다음의 명제 또한 만족한다.

명제 2 두 $A$-module들의 family $(M_i)_{i\in I},(N_i)_{i\in I}$와 이들 사이의 linear map들 $f_i: M_i \rightarrow N_i$가 주어졌다 하고, 이들이 유도하는 함수 $\bigoplus f_i:\bigoplus M_i \rightarrow \bigoplus N_i$와 $\prod f_i: \prod M_i \rightarrow \prod N_i$를 생각하자. 그럼 다음이 성립한다.

1. 만일 $f_i$들 각각이 surjective라면 $\prod f_i$도 surjective이고, 그 역도 성립한다.
2. 만일 $f_i$들 각각이 injective라면 $\bigoplus f_i$도 injective이고, 그 역도 성립한다.

이에 대한 증명은 $\prod f_i$와 $\bigoplus f_i$를 직접 좌표별로 써서 얻어진다. 특히 이 명제에 의해 direct product는 cokernel 또한 보존하고, direct sum은 kernel 또한 보존한다는 것을 알 수 있다.

앞서 우리는 임의의 $M,N\in\lMod{A}$에 대하여 $\Hom_{\lMod{A}}(M,N)$이 abelian group이 된다는 것을 살펴보았다. 어렵지 않게 이 덧셈이 합성에 대해 잘 행동하고, category $\lMod{A}$는 zero module $0$을 zero object로 갖는 additive category가 된다는 것을 확인할 수 있다. ([범주론] §아벨 카테고리, ⁋정의 1)

뿐만 아니라 $\lMod{A}$는 abelian category가 된다. ([범주론] §아벨 카테고리, ⁋정의 7) 이를 확인하기 위해서는 임의의 monomorphism $f:M \rightarrow N$은 그 cokernel $N \rightarrow N/M$의 kernel과 같고, 임의의 epimorphism $g:M \rightarrow N$은 그 kernel $\ker g$의 cokernel $M \rightarrow M/\ker g$과 같다는 것을 확인하면 된다.

자유가군

§가군, ⁋예시 5에서 우리는 ring $A$가 $A$-module의 구조를 가진다는 것을 살펴보았다. 그럼 임의의 $A$-module homomorphism $f:A \rightarrow M$는 $f(1)$에 의해 유일하게 결정된다. 임의의 $\alpha\in A$에 대하여,

\[f(\alpha)=f(\alpha\cdot 1)=\alpha\cdot f(1)\]

이기 때문이다. 바꾸어 말하면 다음의 isomorphism

\[\Hom_A(A, M)\cong\Hom_\Set(\ast, U(M))\]

이 성립한다. 여기서 $U:\lMod{A} \rightarrow \Set$은 forgetful functor이다. 즉 $A$는 forgetful functor $U$의 representation이라 할 수 있다.

한편 앞서 $\lMod{R}$이 coproduct $\bigoplus$를 갖는다는 것을 확인하였으므로, $U$의 left adjoint $F: \Set \rightarrow \lMod{A}$가 존재한다면 다음의 식

\[F(X)=F\left(\coprod_{x\in X} \{x\}\right)\cong\bigoplus_{x\in X} F(\{x\})\]

이 성립해야 하고, 위의 representation을 이용하면 $F(X)=\bigoplus_{x\in X}Ax$로 정의해야 한다는 것을 안다. 즉 다음이 성립한다.

명제 3 Forgetful functor $U:\lMod{A} \rightarrow\Set$과 위에서 정의한 free functor $F:\Set \rightarrow\lMod{A}$에 대하여, adjunction $F\dashv U$가 존재한다.

임의의 집합 $X$에 대하여, $F(X)$와 isomorphic한 $A$-module들을 free $A$-module_{자유 $A$-가군}이라 부른다.

가군의 텐서곱

한편 우리는 $A$-module들의 텐서곱 또한 정의할 수 있다. 우선 다음 정의부터 시작한다.

정의 4 Ring $A$와 right $A$-module $M$, left $A$-module $N$이 주어졌다 하자. 그럼 임의의 abelian group $L$에 대하여, 함수 $f:M\times N \rightarrow L$이 $A$-balanced라는 것은 $f$가 abelian group들 사이의 함수로서 bilinear이고, 추가로 다음 식

\[f(x\alpha, y)=f(x,\alpha y)\]

이 성립하는 것이다.

고정된 $M\in\obj(\rMod{A}),N\in\obj(\lMod{A})$에 대하여, 집합 $\Balan_A(M,N;L)$를 다음 식

\[\Balan_A(M,N;L)=\{\text{$A$-balanced maps from $M\times N$ to $L$}\}\]

으로 정의하자. 그럼 다음 정리가 성립한다.

정리 5 Functor $\Balan_A(M,N;-):\lMod{\mathbb{Z}}=\Ab\rightarrow\Set$은 representable functor이다.

증명

Free abelian group $F(M\times N)$의 subgroup $M’$를

\[M'=\left\langle (x, y_1+y_2)-(x,y_1)-(x,y_2), (x_1+x_2,y)-(x_1,y)-(x_2,y), (\alpha x,y)-(x,\alpha y)\right\rangle\]

으로 정의하자. 그럼 free group의 universal property에 의하여, 임의의 함수 $f:M\times N \rightarrow L$이 주어질 때마다 group homomorphism $\hat{f}:F(M\times N)\rightarrow L$이 존재하고, $f$가 $A$-balanced라면 이 $\hat{f}$의 kernel이 $M’$를 포함하므로 $\hat{f}$가 $F(M\times N)/M’$에서 $L$로의 group homomorphism을 정의한다.

Isomorphism $\Balan_A(M,N;L)\cong\Hom_\Ab(F(M\times N)/M’,L)$의 naturality는 추가적으로 보여야 하긴 하지만, 단순한 계산이므로 생략한다.

이렇게 얻어진 representation을 $M\otimes_AN$으로 적는다. 그럼 다음이 성립한다.

정리 6 ($\otimes\dashv\Hom$) Adjunction

\[\Hom_\mathbb{Z}(M\otimes_A N, L)\cong\Hom_{\rMod{A}}(M,\Hom_\mathbb{Z}(N, L))\cong\Hom_{\lMod{A}}(N,\Hom_\mathbb{Z}(M, L))\]

이 존재한다.

따라서 $\otimes$는 colimit과 commute하고, $\Hom$은 limit과 commute한다. 특히 abelian group들 사이의 다음의 isomorphism들

\[M\otimes_A\left(\bigoplus_{i\in I} N_i\right)\cong \bigoplus_{i\in I} M\otimes_AN_i,\qquad \left(\bigoplus_{i\in I} M_i\right)\otimes_A N\cong\bigoplus_{i\in I} M_i\otimes_AN\tag{1}\]

그리고

\[\Hom_{\lMod{A}}\left(M,\prod_{i\in I} N_i\right)\cong\prod_{i\in I}\Hom_{\lMod{A}}(M, N_i),\qquad \Hom_{\lMod{A}}\left(\bigoplus_{i\in I} M_i, N\right)\cong \prod_{i\in I}\Hom_{\lMod{A}}(M_i,N)\tag{2}\]

을 얻는다. 특별히 $A=\mathbb{Z}$인 경우 §가환군, §§텐서곱의 내용들을 복구하게 되는데, 위의 isomorphism들은 해당 글에서는 분량의 문제로 적지 않았던 것들이다.

가환환 위에서 정의된 가군의 텐서곱

앞서 정의한 $M\otimes_A N$이 $A$-module 구조를 갖지 않는다. 이는 $M\otimes_A N$ 위에 $A$의 action을 정의한다 생각해보면, 다음 원소

\[(x\alpha)\otimes_A y=x\otimes_A(\alpha y)\]

를 $\alpha(x\otimes_Ay)$로 정의하는 것이 자연스럽겠지만, $(\alpha\beta)(x\otimes_Ay)$를 계산해서 나온

\[(x\alpha\beta)\otimes_A y,\qquad x\otimes_A(\alpha\beta y)\]

가 서로 다른 원소가 될 것이기 때문이다. Tensor product의 정의에서, $M$은 right module로, $N$은 left module로 두는 것도 이와 비슷한 이유에서이다.

만일 $M$이 right $A$-module의 구조 뿐만 아니라, 이와 호환되는 left $B$-module 구조를 갖고 있다면 $M$을 $(B,A)$-bimodule이라 부른다. 즉, 임의의 $\alpha\in A$, $\beta\in B$, $x\in M$에 대하여 다음 식

\[(\alpha\cdot_A x)\cdot_B\beta=\alpha\cdot_A(x\cdot_B\beta)\]

아 성립해야 하는 것이다. 그럼 다음 식

\[\beta(x\otimes_A y)=(\beta x)\otimes_Ay\]

이 $M\otimes_AN$ 위에 left $B$-module 구조를 준다는 것을 확인할 수 있다.

우리는 대부분 $A$가 commutative ring인 경우에 관심이 있다. 그럼 임의의 left $A$-module은 right $A$-module이기도 하고, 그 반대도 성립한다. 뿐만 아니라, 이를 통해 임의의 left $A$-module을 right $A$-module로 보면 이 두 구조는 $(A,A)$-bimodule의 구조를 이룬다. 따라서 $M\otimes_AN$에 자연스러운 $A$-action

\[\alpha(x\otimes_Ay)=(\alpha x)\otimes_Ay=x\otimes_A(\alpha y)\]

이 존재한다. 이 또한 적절한 functor의 representation이 된다.

정의 7 Commutative ring $A$와 세 $A$-module $M,N,L$이 주어졌다 하자. 그럼 함수 $f:M\times N \rightarrow L$이 $A$-bilinear라는 것은 $f$가 abelian group들 사이의 함수로서 bilinear이고, 추가로 다음 식

\[\alpha f(x,y)=f(\alpha x,y)=f(x,\alpha y)\]

이 성립하는 것이다.

집합 $\Bilin_A(M,N;L)$을 다음 식

\[\Bilin_A(M,N;L)=\{\text{$A$-bilinear maps from $M\times N$ to $L$}\}\]

으로 정의하자.

명제 8 Functor $\Bilin_A(M,N;-):\lMod{A}\rightarrow\Set$은 representable functor이며, 그 representation은 위에서 정의한 $A$-module $M\otimes_AN$이다.

한편 $A$가 일반적인 ring이라면 $\Hom_{\lMod{A}}(M,M’)$은 $A$-module 구조를 갖지 않았지만, $A$가 commutative ring이라면 $\Hom_{\lMod{A}}(M,M’)$ 위에도 $A$-module 구조가 존재한다. 즉, $\Hom_A$는 internal $\Hom$이며, 따라서 정리 6의 adjunction을 더 다듬어 다음을 증명할 수 있다.

정리 9 Adjunction

\[\Hom_A(M\otimes_AN, L)\cong\Hom_A(M,\Hom_A(N,L))\cong\Hom_A(N,\Hom_A(M,L))\]

이 존재한다.

특히 위의 식들 (1), (2)가 모두 $A$-module들 사이의 isomorphism이 된다. 또, $(\lMod{A},\otimes_A,A)$이 symmetric monoidal category가 된다는 것을 확인할 수 있다.