가군의 직접곱과 직합, 텐서곱

가군의 직접곱과 직합

Category \(\lMod{A}\)는 bicomplete category이다. 이를 보이기 위해서는 \(\lMod{A}\)에서의 임의의 product와 coproduct를 만들어야 하는데, 이를 보이기 위해서는 \(\Ab\)에서의 product와 coproduct 위에 자연스러운 \(A\)-action이 존재한다는 것을 보이면 된다.

\(A\)-module들의 family \((M_i)_{i\in I}\)이 주어졌다 하자. 그럼 \(\prod M_i\) 위에서의 action은 다음의 식

\[A\otimes\left(\prod_{i\in I}M_i\right)\overset{\id_A\otimes\pr_i}{\longrightarrow} A\otimes M_i \overset{\rho_i}{\longrightarrow} M_i\]

을 통해 \(A\otimes\left(\prod M_i\right) \rightarrow M_i\)를 정의한 후, \(\Ab\)에서의 product의 universal property를 이용해 \(A\otimes\left(\prod M_i\right) \rightarrow \prod M_i\)를 만들고 이것이 action의 조건을 만족함을 보이면 된다.

Coproduct의 경우, \(A\otimes-\)은 \(\Ab\)에서 \(\Ab\)로의 left adjoint이므로 colimit을 보존하고, 따라서

\[A\otimes\left(\bigoplus_{i\in I} M_i\right)\cong\bigoplus_{i\in I}(A\otimes M_i)\overset{\bigoplus \rho_i}{\longrightarrow} \bigoplus_{i\in I}M_i\]

를 통해 \(\bigoplus M_i\) 위에서의 action이 정의된다. Equalizer와 coequalizer의 경우, 두 module homomorphism \(u,v:M \rightarrow N\)에 대하여

\[\Eq(u,v)=\{x\in M\mid u(x)=v(x)\}\]

그리고

\[\CoEq(u,v)=N/N',\qquad N'=\langle u(x)-v(x)\rangle\rangle\]

을 통해 정의할 수 있다. 즉 다음이 성립한다.

정리 1 \(\lMod{A}\)는 bicomplete category이며, 특히 \(A\)-module들의 family \((M_i)\)의 product는 이들의 direct product, coproduct는 이들의 direct sum으로 주어진다.

그럼 direct product는 kernel을, direct sum은 cokernel을 각각 보존한다. ([범주론] §극한, ⁋명제 10) 추가로 이들은 다음의 명제 또한 만족한다.

명제 2 두 \(A\)-module들의 family \((M_i)_{i\in I},(N_i)_{i\in I}\)와 이들 사이의 linear map들 \(u_i: M_i \rightarrow N_i\)가 주어졌다 하고, 이들이 유도하는 함수 \(\bigoplus u_i:\bigoplus M_i \rightarrow \bigoplus N_i\)와 \(\prod u_i: \prod M_i \rightarrow \prod N_i\)를 생각하자. 그럼 다음이 성립한다.

1. 만일 \(u_i\)들 각각이 surjective라면 \(\prod u_i\)도 surjective이고, 그 역도 성립한다.
2. 만일 \(u_i\)들 각각이 injective라면 \(\bigoplus u_i\)도 injective이고, 그 역도 성립한다.

이에 대한 증명은 \(\prod u_i\)와 \(\bigoplus u_i\)를 직접 좌표별로 써서 얻어진다. 특히 이 명제에 의해 direct product는 cokernel 또한 보존하고, direct sum은 kernel 또한 보존한다는 것을 알 수 있다.

앞서 우리는 임의의 \(M,N\in\lMod{A}\)에 대하여 \(\Hom_{\lMod{A}}(M,N)\)이 abelian group이 된다는 것을 살펴보았다. 어렵지 않게 이 덧셈이 합성에 대해 잘 행동하고, category \(\lMod{A}\)는 zero module \(0\)을 zero object로 갖는 additive category가 된다는 것을 확인할 수 있다. ([범주론] §아벨 카테고리, ⁋정의 1)

뿐만 아니라 \(\lMod{A}\)는 abelian category가 된다. ([범주론] §아벨 카테고리, ⁋정의 7) 이를 확인하기 위해서는 임의의 monomorphism \(u:M \rightarrow N\)은 그 cokernel \(N \rightarrow N/M\)의 kernel과 같고, 임의의 epimorphism \(v:M \rightarrow N\)은 그 kernel \(\ker v\)의 cokernel \(M \rightarrow M/\ker v\)과 같다는 것을 확인하면 된다.

자유가군

§가군, ⁋예시 5에서 우리는 ring \(A\)가 \(A\)-module의 구조를 가진다는 것을 살펴보았다. 그럼 임의의 \(A\)-module homomorphism \(u:A \rightarrow M\)는 \(u(1)\)에 의해 유일하게 결정된다. 임의의 \(\alpha\in A\)에 대하여,

\[u(\alpha)=u(\alpha\cdot 1)=\alpha\cdot u(1)\]

이기 때문이다. 바꾸어 말하면 다음의 isomorphism

\[\Hom_A(A, M)\cong\Hom_\Set(\ast, U(M))\]

이 성립한다. 여기서 \(U:\lMod{A} \rightarrow \Set\)은 forgetful functor이다. 즉 \(A\)는 forgetful functor \(U\)의 representation이라 할 수 있다.

한편 앞서 \(\lMod{R}\)이 coproduct \(\bigoplus\)를 갖는다는 것을 확인하였으므로, \(U\)의 left adjoint \(F: \Set \rightarrow \lMod{A}\)가 존재한다면 다음의 식

\[F(X)=F\left(\coprod_{x\in X} \{x\}\right)\cong\bigoplus_{x\in X} F(\{x\})\]

이 성립해야 하고, 위의 representation을 이용하면 \(F(X)=\bigoplus_{x\in X}Ax\)로 정의해야 한다는 것을 안다. 즉 다음이 성립한다.

명제 3 Forgetful functor \(U:\lMod{A} \rightarrow\Set\)과 위에서 정의한 free functor \(F:\Set \rightarrow\lMod{A}\)에 대하여, adjunction \(F\dashv U\)가 존재한다.

임의의 집합 \(X\)에 대하여, \(F(X)\)와 isomorphic한 \(A\)-module들을 free \(A\)-module_{자유 \(A\)-가군}이라 부른다.

가군의 텐서곱

한편 우리는 \(A\)-module들의 텐서곱 또한 정의할 수 있다. 우선 다음 정의부터 시작한다.

정의 4 Ring \(A\)와 right \(A\)-module \(M\), left \(A\)-module \(N\)이 주어졌다 하자. 그럼 임의의 abelian group \(L\)에 대하여, 함수 \(f:M\times N \rightarrow L\)이 \(A\)-balanced라는 것은 \(f\)가 abelian group들 사이의 함수로서 bilinear이고, 추가로 다음 식

\[f(x\alpha, y)=f(x,\alpha y)\]

이 성립하는 것이다.

고정된 \(M\in\obj(\rMod{A}),N\in\obj(\lMod{A})\)에 대하여, 집합 \(\Balan_A(M,N;L)\)를 다음 식

\[\Balan_A(M,N;L)=\{\text{$A$-balanced maps from $M\times N$ to $L$}\}\]

으로 정의하자. 그럼 다음 정리가 성립한다.

정리 5 Functor \(\Balan_A(M,N;-):\lMod{\mathbb{Z}}=\Ab\rightarrow\Set\)은 representable functor이다.

증명

Free abelian group \(F(M\times N)\)의 subgroup \(M'\)를

\[M'=\left\langle (x, y_1+y_2)-(x,y_1)-(x,y_2), (x_1+x_2,y)-(x_1,y)-(x_2,y), (\alpha x,y)-(x,\alpha y)\right\rangle\]

으로 정의하자. 그럼 free group의 universal property에 의하여, 임의의 함수 \(f:M\times N \rightarrow L\)이 주어질 때마다 group homomorphism \(\hat{f}:F(M\times N)\rightarrow L\)이 존재하고, \(f\)가 \(A\)-balanced라면 이 \(\hat{f}\)의 kernel이 \(M'\)를 포함하므로 \(\hat{f}\)가 \(F(M\times N)/M'\)에서 \(L\)로의 group homomorphism을 정의한다.

Isomorphism \(\Balan_A(M,N;L)\cong\Hom_\Ab(F(M\times N)/M',L)\)의 naturality는 추가적으로 보여야 하긴 하지만, 단순한 계산이므로 생략한다.

이렇게 얻어진 representation을 \(M\otimes_AN\)으로 적는다. 그럼 다음이 성립한다.

정리 6 (\(\otimes\dashv\Hom\)) Adjunction

\[\Hom_\mathbb{Z}(M\otimes_A N, L)\cong\Hom_{\rMod{A}}(M,\Hom_\mathbb{Z}(N, L))\cong\Hom_{\lMod{A}}(N,\Hom_\mathbb{Z}(M, L))\]

이 존재한다.

따라서 \(\otimes\)는 colimit과 commute하고, \(\Hom\)은 limit과 commute한다. 특히 abelian group들 사이의 다음의 isomorphism들

\[M\otimes_A\left(\bigoplus_{i\in I} N_i\right)\cong \bigoplus_{i\in I} M\otimes_AN_i,\qquad \left(\bigoplus_{i\in I} M_i\right)\otimes_A N\cong\bigoplus_{i\in I} M_i\otimes_AN\tag{1}\]

그리고

\[\Hom_{\lMod{A}}\left(M,\prod_{i\in I} N_i\right)\cong\prod_{i\in I}\Hom_{\lMod{A}}(M, N_i),\qquad \Hom_{\lMod{A}}\left(\bigoplus_{i\in I} M_i, N\right)\cong \prod_{i\in I}\Hom_{\lMod{A}}(M_i,N)\tag{2}\]

을 얻는다. 특별히 \(A=\mathbb{Z}\)인 경우 §가환군, §§텐서곱의 내용들을 복구하게 되는데, 위의 isomorphism들은 해당 글에서는 분량의 문제로 적지 않았던 것들이다.

가환환 위에서 정의된 가군의 텐서곱

앞서 정의한 \(M\otimes_A N\)이 \(A\)-module 구조를 갖지 않는다. 이는 \(M\otimes_A N\) 위에 \(A\)의 action을 정의한다 생각해보면, 다음 원소

\[(x\alpha)\otimes_A y=x\otimes_A(\alpha y)\]

를 \(\alpha(x\otimes_Ay)\)로 정의하는 것이 자연스럽겠지만, \((\alpha\beta)(x\otimes_Ay)\)를 계산해서 나온

\[(x\alpha\beta)\otimes_A y,\qquad x\otimes_A(\alpha\beta y)\]

가 서로 다른 원소가 될 것이기 때문이다. Tensor product의 정의에서, \(M\)은 right module로, \(N\)은 left module로 두는 것도 이와 비슷한 이유에서이다.

만일 \(M\)이 right \(A\)-module의 구조 뿐만 아니라, 이와 호환되는 left \(B\)-module 구조를 갖고 있다면 \(M\)을 \((B,A)\)-bimodule이라 부른다. 즉, 임의의 \(\alpha\in A\), \(\beta\in B\), \(x\in M\)에 대하여 다음 식

\[(\alpha\cdot_A x)\cdot_B\beta=\alpha\cdot_A(x\cdot_B\beta)\]

아 성립해야 하는 것이다. 그럼 다음 식

\[\beta(x\otimes_A y)=(\beta x)\otimes_Ay\]

이 \(M\otimes_AN\) 위에 left \(B\)-module 구조를 준다는 것을 확인할 수 있다.

우리는 대부분 \(A\)가 commutative ring인 경우에 관심이 있다. 그럼 임의의 left \(A\)-module은 right \(A\)-module이기도 하고, 그 반대도 성립한다. 뿐만 아니라, 이를 통해 임의의 left \(A\)-module을 right \(A\)-module로 보면 이 두 구조는 \((A,A)\)-bimodule의 구조를 이룬다. 따라서 \(M\otimes_AN\)에 자연스러운 \(A\)-action

\[\alpha(x\otimes_Ay)=(\alpha x)\otimes_Ay=x\otimes_A(\alpha y)\]

이 존재한다. 이 또한 적절한 functor의 representation이 된다.

정의 7 Commutative ring \(A\)와 세 \(A\)-module \(M,N,L\)이 주어졌다 하자. 그럼 함수 \(f:M\times N \rightarrow L\)이 \(A\)-bilinear라는 것은 \(f\)가 abelian group들 사이의 함수로서 bilinear이고, 추가로 다음 식

\[\alpha f(x,y)=f(\alpha x,y)=f(x,\alpha y)\]

이 성립하는 것이다.

집합 \(\Bilin_A(M,N;L)\)을 다음 식

\[\Bilin_A(M,N;L)=\{\text{$A$-bilinear maps from $M\times N$ to $L$}\}\]

으로 정의하자.

명제 8 Functor \(\Bilin_A(M,N;-):\lMod{A}\rightarrow\Set\)은 representable functor이며, 그 representation은 위에서 정의한 \(A\)-module \(M\otimes_AN\)이다.

한편 \(A\)가 일반적인 ring이라면 \(\Hom_{\lMod{A}}(M,M')\)은 \(A\)-module 구조를 갖지 않았지만, \(A\)가 commutative ring이라면 \(\Hom_{\lMod{A}}(M,M')\) 위에도 \(A\)-module 구조가 존재한다. 즉, \(\Hom_A\)는 internal \(\Hom\)이며, 따라서 정리 6의 adjunction을 더 다듬어 다음을 증명할 수 있다.

정리 9 Commutative ring \(A\)에 대하여, adjunction

\[\Hom_A(M\otimes_AN, L)\cong\Hom_A(M,\Hom_A(N,L))\cong\Hom_A(N,\Hom_A(M,L))\]

이 존재한다.

특히 위의 식들 (1), (2)가 모두 \(A\)-module들 사이의 isomorphism이 된다. 또, \((\lMod{A},\otimes_A,A)\)이 symmetric monoidal category가 된다는 것을 확인할 수 있다.