스펙트럼 열

우리는 앞선 글에서 \(\Ext\)와 \(\Tor\)의 balancing을 증명하며, filtration과 이를 이용한 귀납법을 유용하게 사용하였다. 이는 이번 글에서 다룰 spectral sequence의 원시적인 형태라 생각할 수 있다. Spectral sequence는 filtration이 주어진 cochain complex의 cohomology를, 단계적으로 page를 거쳐 근사하는 체계적인 방법이다. 이러한 데이터를 공식적으로 정의하자.

스펙트럼 열

정의 1 Spectral sequence_{스펙트럼 열}는 다음과 같은 데이터의 모임이다.

1. Bigraded object \(E_r=(E_r^{p,q})_{p,q}\),
2. \(E_r\) 위의 bidegree \((r,1-r)\) differential \(d_r:E_r^{p,q}\rightarrow E_r^{p+r, q-r+1}\) (즉, \(d_r^2=0\))

각 \(r\)에 대하여, bigraded complex \((E_r^{p,q}, d_r)\)을 \(r\)번째 page라고 부른다. 이 때 이들 두 데이터는 다음의 식

\[E_{r+1}^{p,q}\cong \frac{\ker(d_r^{p,q}: E_r^{p,q}\rightarrow E_r^{p+r,q-r+1})}{\im(d_r^{p-r,q+r-1}: E_r^{p-r, q+r-1}\rightarrow E_r^{p,q})}\]

을 통해 연결된다.

\(E_r\) page의 원소들을 평면 상의 점 \((p,q)\)로 시각화한다면, \(d_r^{p,q}\)는 점 \((p,q)\)에서 \((p+r, q-r+1)\)로 가는 것이며 이러한 점들이 cochain complex를 구성한다. 특히 \(E_{r+1}^{p,q}\)는 이러한 관점에서 \((p,q)\)를 지나는 cochain complex의 \((p,q)\) 점에서의 cohomology로 생각할 수 있다.

우리의 경험을 바탕으로 spectral sequence를 어떠한 double complex의 total complex라 본다면, 이들 각각의 page들의 differential은 total complex에서의 differential, 즉

\[d^n:\bigoplus_{p+q=n}C^{p,q}\rightarrow \bigoplus_{p+q=n+1}C^{p+q}\]

의 각 성분을 세밀하게 분석하는 것처럼 생각할 수 있다. 우리는 이를 분석하여, 최종적으로는 이 total complex의 homology를 계산하는 것이 주된 목적이었는데, 이를 위해 우리는 앞서 §Ext와 Tor, ⁋명제 3의 증명에서 total complex \(A^\bullet=\Tot(K)^\bullet\)의 horizontal/vertical degree를 이용하여 filtration을 정의했었다. 따라서 우리는 더 일반적으로 filtered complex의 개념을 도입해야 한다.

여과열

위에서 언급한 것과 같이, 다음의 정의 2는 이보다 아주 일반화된 버전이라 생각할 수 있지만, 어쨌든 complex를 더 세밀하게 쪼갠다는 철학 자체는 동일한 것으로 보아도 좋다.

정의 2 Cochain complex \(A^\bullet\) 위의 decreasing filtration_{감소 여과} \(F\)는 다음 조건

\[\cdots \supset F^{p-1}A^\bullet \supset F^pA^\bullet \supset F^{p+1}A^\bullet \supset \cdots\]

을 만족하는 subcomplex들의 열 \((F^p A^\bullet)_p\)이다. 이 때, (decreasing) filtration이 주어진 cochain complex를 filtered complex라 부르고, \((A^\bullet, F)\)로 표기한다.

특히 \(F^p A^\bullet\)이 \(A^\bullet\)의 subcomplex라는 가정으로부터 \(F^pA^\bullet\)은 \(A^\bullet\)으로부터 differential을 잘 물려받고 이에 대한 cohomology 또한 잘 정의된다. 어쨌든 직관적으로 \(p\)가 증가함에 따라 \(F^p A^\bullet\)은 점점 더 작아지며, 각 단계에서 새로운 정보가 추가되는 것으로 이해할 수 있다. 우리는 위의 §Ext와 Tor, ⁋명제 3의 증명에서 귀납법을 적용하기 위해 \(F^{p+1}A^\bullet/F^pA^\bullet\)을 생각하여 이를 원래의 double complex \(K^{p, \bullet-p}\)로 생각하였는데, 일반적인 경우에도 이 정보는 정확히 \(p\)번째 filtration을 담는다는 점에서 중요하다. 이렇게 얻어진 cochain complex

\[\gr^p A^\bullet = F^p A^\bullet / F^{p+1} A^\bullet\]

를 \(F\)에 대한 associated graded complex라 부른다. 이 때 이 complex의 differential은 물론 원래의 cochain complex \(A^\bullet\)에서의 differential로부터 오는 것이다.

Filtration에 대한 가장 중요한 것은 filtered complex \(A^\bullet\)가 주어졌을 때, filtration이 cohomology 레벨에서도 자연스럽게 정의된다는 것이다. 이 filtration을 사용하여 filtered complex로부터 유도된 spectral sequence의 수렴을 정의할 것이다.

정의 3 Filtered complex \((A^\bullet, F)\)가 주어졌다 하자. 그럼 inclusion \(F^pA^\bullet\rightarrow A^\bullet\)의 cohomology 레벨에서의 image를

\[F^p H^n = \operatorname{im}\bigl(H^n(F^p A^\bullet) \to H^n(A^\bullet)\bigr)\]

로 정의한다.

이 filtration은 \(F^p A^\bullet\)에 포함된 cocycle들이 유도하는 cohomology class들로 이루어진다. \(p\)가 증가하면 \(F^p A^\bullet\)이 작아지므로 \(F^p H^n\)도 작아진다.

스펙트럼 열의 수렴

이제 우리는 spectral sequence의 convergence에 대해 설명한다. 직관적으로 spectral sequence의 각 page \(E_r^{p,q}\)는 \(r\)이 증가함에 따라 점진적으로 정제되는 대상이므로, 우리는 이 근사가 최종적으로 어떠한 것에 수렴하는지를 살펴보아야 한다. 따라서 우선 다음을 정의한다.

정의 4 Spectral sequence \(\{E_r^{p,q}, d_r\}\)가 regular하다는 것은, 각 \((p,q)\)에 대해 충분히 큰 \(r\)에서 \(E_r^{p,q} = E_{r+1}^{p,q}\)이 성립하는 것이다. 이때 안정화된 값을 \(E_\infty^{p,q}\)로 정의한다.

Regularity는 spectral sequence의 page가 각 bidegree에서 더 이상 변하지 않는다는 의미이므로, 다음의 정의를 가능하게 해 준다.

정의 5 Spectral sequence \(\{E_r^{p,q}, d_r\}\)가 filtered graded object \((H^n, F)\)에 수렴한다는 것은, 각 \((p,q)\)에 대해

\[E_\infty^{p,q} \cong F^p H^{p+q} / F^{p+1} H^{p+q} = \gr^p H^{p+q}\]

이 성립하는 것이다. 기호로는 \(E_r^{p,q} \Rightarrow H^{p+q}\)로 쓴다.

역시 우리가 알고 있는 예시인 double complex의 total complex를 생각하면, 이는 double complex에서 수평방향 filtration을 걸어서 \(p\)를 \(0\)으로 보냈을 때, total complex의 homology가 나오던 것을 일반화한 것이라 생각할 수 있다.

만일 각 \(n\)에 대해 \(\bigcap_p F^p H^n = 0\) (Hausdorff 조건), \(\bigcup_p F^p H^n = H^n\) (exhaustive 조건), 그리고 spectral sequence가 regular하다면 각 \(\gr^p H^{p+q}\)의 정보를 모아서 \(H^n\)을 유일하게 재구성할 수 있다. 이 세 조건을 갖춘 경우 spectral sequence가 \((H^n, F)\)에 strongly converge한다고 한다. 반면, 이 세 조건 중 하나라도 충족되지 않으면 weakly converge한다고 하며, 이 때에는 \(E_\infty^{p,q}\)만으로는 \(H^n\)을 유일하게 결정할 수 없다.

일반적으로 spectral sequence의 regularity는 항상 성립하는 것은 아니다. 그러나 만일 모든 \(r\)에 대하여, \(E_r^{p,q}\)들이 1사분면에만 존재한다면, 즉 오직 \(p,q\geq 0\)일 때만 \(E_r^{p,q}\neq 0\)일 수 있다면 \(d_r\)을 충분히 취했을 때 점이 2사분면 혹은 4사분면 방향으로 나가버려 \(0\)으로 가게 되므로 항상 regular하게 된다. 즉 다음이 성립한다.

명제 6 First quadrant spectral sequence, 즉 \(p < 0\) 또는 \(q < 0\)인 \((p,q)\)에 대해 \(E_r^{p,q} = 0\)인 spectral sequence는 항상 regular하다. 또한, 이러한 spectral sequence가 \(E_r^{p,q} \Rightarrow H^{p+q}\)로 수렴할 때, 각 \((p,q)\)에 대해 충분히 큰 \(r\)에서 \(E_r^{p,q} = E_\infty^{p,q}\)이 성립한다.

여과열과 스펙트럼 열

지금까지 우리는 double complex의 total complex를 생각하고, 여기에 연동된 spectral sequence를 생각하는 식으로 우리의 직관을 만족시켰지만 아직은 이 total complex가 정의하는 spectral sequence가 무엇인지 모른다는 점에서 그 연결고리가 다소 불명확하다. 이번 섹션에서 우리는 임의의 filtered complex로부터 spectral sequence를 구성하는 구체적인 방법을 설명한다. 특히 §Ext와 Tor, ⁋명제 3에서, 양 변의 대상들은 각각 vertical 방향, horizontal 방향으로 걸어둔 filtration이 주는 spectral sequence에 해당하는 것이며, 이것이 같은 대상에 수렴한다는 것이 해당 증명의 기본적인 아이디어이다.

Filtered complex \((A^\bullet, F)\)가 주어졌다 하자. 그럼 우리는 다음의 식

\[E_0^{p,q} = \gr^p A^{p+q} = F^p A^{p+q} / F^{p+1} A^{p+q}\]

을 통해 직접 \(E_0\) page를 구성할 수 있다. 이제 이 위의 미분을 정확하게 정의하자. 우선 filtration이 differential을 보존하므로, 이로부터

\[F^p A^{p+q}\rightarrow F^p A^{p+q+1}\]

이 정의된다. 이를 편의상 \(F^p d\)라 적자. 그럼 원하는 미분은 \(F^p d\)에 quotient

\[F^pA^{p+q+1}\rightarrow F^pA^{p+q+1}/F^{p+1}A^{p+q+1}\]

를 합성한 후, first isomorphism theorem을 사용하여 이를

\[F^p A^{p+q}/F^{p+1}A^{p+q}\rightarrow F^pA^{p+q+1}/F^{p+1}A^{p+q+1}\]

로 factor through하여 얻어진다. 이 때, first isomorphism theorem이 잘 적용된다: \(a \in F^{p+1}A^{p+q}\)이면 \(d(a) \in F^{p+1}A^{p+q+1}\)이므로 공역 몫 \(F^p A^{p+q+1}/F^{p+1}A^{p+q+1}\)에서 \(0\)으로 간다.

더 일반적으로, \(E_r\)페이지에서의 미분 \(d_r\) 또한 비슷한 방식으로 정의된다. 본질적으로 \(E_r^{p,q}\)는 \(F^pC^{p+q}\)에 여러 단계의 quotient를 취하여 만들어지는 것이므로, \(E_r^{p,q}\)의 원소는 어떠한 원소 \(x\in F^pC^{p+q}\)의 적당한 equivalence class \([x]\)로 생각할 수 있다. 이제 \(d_r^{p,q}: E_r^{p,q}\rightarrow E_r^{p+r, q-r+1}\)은 다음의 식

\[d_r^{p,q}([x])=[dx]\in E_r^{p+r, q-r+1}\tag{$\ast$}\]

로 주어진다. 물론 이 대응이 잘 정의되며 differential을 정의하는 것은 다소 복잡한 계산을 통해 보여야 하지만 (링크) 중요한 것은 \(E_r^{p,q}\)의 원소는 다음의 두 조건

• \(dx\in F^{p+r}C^{p+q+1}\)이며,
• 만일 \(x,y\in F^{p+r}C^{p+q}\)들이 \(r-1\)번째 단계의 boundary만큼만 차이난다면, \(x,y\)는 같은 것으로 취급한다.

에 의해 정의될 수 있다는 것이다. 특히 (\(\ast\))가 알려주는 것은 \(d_r\)들이 모두 본질적으로는 \(d\)와 같은 것이며, 그 index \(r\)은 filtration을 건너뛰는 정도를 측정해주는 데에만 쓰인다는 것이다. 즉 다음이 성립한다.

명제 7 Filtered complex \((A^\bullet, F)\)로부터 위에서 구성한 \(E_r^{p,q}\)와 \(d_r\)은 정의 1의 spectral sequence 조건을 만족한다. 즉

\[d_r \circ d_r = 0\]

이 성립하며, \(E_{r+1}^{p,q} \cong H(E_r, d_r)\)이다.

뿐만 아니라, 이렇게 정의된 spectral sequence는 일종의 functoriality 또한 갖는다.

명제 8 \(f : (A^\bullet, F) \to (B^\bullet, G)\)가 filtered complex 사이의 chain map이라 하자. 즉, 각 \(p\)에 대해

\[f(F^p A^\bullet) \subset G^p B^\bullet\]

이 성립한다. 그럼 \(f\)는 각 \(r\)에 대해 well-defined된 사상 \(f_r : E_r(A) \to E_r(B)\)를 유도한다.

증명

\(f\)가 chain map이므로 cocycle을 cocycle으로, boundary를 boundary로 보낸다. 또한 \(f(F^p) \subset G^p\)이므로 \(f(Z_r^{p,q}(A)) \subset Z_r^{p,q}(B)\)이고 \(f(B_r^{p,q}(A)) \subset B_r^{p,q}(B)\)이다. 따라서 \(f\)는 각 \(r\)에 대해 \(E_r\) 상에서 well-defined map을 유도한다.

그럼 우리의 핵심적인 결과는 이러한 spectral sequence가 실제로 원래의 complex의 cohomology에 도달한다는 것이다. 우선 다음을 정의하자.

정의 9 Filtered complex \((A^\bullet, F)\)이 bounded라는 것은 각각의 \(n\)마다 \(F^pA^n=0\)을 만족하는 충분히 큰 \(p\)와, \(F^pA^n=A^n\)을 만족하는 충분히 작은 \(p\)가 존재하는 것이다.

즉 정의 2를 degree \(n\)으로 고정해두고 여기서의 filtration

\[\cdots\supset F^{p-1}A^n\supset \cdots F^p A^n \supset \cdots F^{p+1}A^n\supset\cdots\]

을 시작했을 때, 이 filtration이 bounded되는 것을 의미한다. 그럼 각각의 \((p,q)\)마다 \(F^nA^{p+q}=A^{p+q}\)이고 \(F^mA^{p+q}=0\)이도록 하는 \((m, n)\)이 존재하므로, 고정된 \((p,q)\)에 대하여, differential \(d_r\)이 이 구간을 나가버릴 정도로 \(r\)을 크게 잡으면 bounded filtered complex는 regular라는 것을 확인할 수 있다.

뿐만 아니라, 우리는 위에서 설명한 \(E_r^{p,q}\)의 원소들에 대한 설명으로부터

\[E_\infty^{p,q}\cong F^p H^{p+q}(A^\bullet)/F^{p+1}H^{p+q}(A^\bullet)\]

임을 보일 수 있고, 이로부터 다음의 결과를 얻는다.

명제 10 Bounded filtered complex \((A^\bullet, F)\)가 주어졌다 하고, 이것이 정의하는 spectral sequence \((E_r^{p,q})\)가 주어졌다 하자. 그럼 \((E_r^{p,q})\)는 정의 3의 filtered graded object \((H^\bullet, F)\)에 수렴한다. 즉 \(E_r^{p,q}\Rightarrow H^{p+q}(A^\bullet)\)이다.

이중열의 스펙트럼 열

우리는 지금까지 \(\Ext\)와 \(\Tor\)의 balancing을 증명했던 §Ext와 Tor, ⁋명제 3을 우리 이론의 motivation으로 삼았다. 우리는 이 글의 마지막을 double sequence로부터 정의되는 spectral sequence를 살펴보며 마무리한다.

예시 11 임의의 double complex \(K^{p,q}\)의 total complex \(\Tot(K)^\bullet\)을 생각하자. 이 total complex에 두 가지 방식으로 filtration을 걸 수 있다.

먼저 vertical filtration을

\[F^p_v \Tot(K)^n = \bigoplus_{j \geq p} K^{n-j, j}\]

로 정의하자. 이 filtration에 대한 associated graded object는 \(\mathrm{gr}^p_v \Tot(K)^{p+q} = K^{p,q}\)이므로, \(E_0\) page는

\[E_0^{p,q} = K^{p,q}\]

이며, \(d_0\)은 degree \((0,1)\)의 derivation이며 vertical differential \(d_v\)에 의해 주어진다. 따라서 \(E_1\) page는

\[E_1^{p,q} = H^q_v(K^{p,\bullet})\]

이며, \(E_1\) page의 \(d_1\)은 degree \((1,0)\)의 derivation이며 horizontal differential \(d_h\)에 의해 유도된다. 한편, 이번에는 horizontal filtration을

\[F^p_h \Tot(K)^n = \bigoplus_{i \geq p} K^{i, n-i}\]

로 정의하면, 마찬가지로 \(E_0\) page는

\[E_0^{p,q} = K^{p,q}\]

이며, \(d_0\)은 horizontal differential \(d_h\)에 의해 주어진다. 따라서 \(E_1\) page는

\[E_1^{p,q} = H^p_h(K^{\bullet, q})\]

이며, \(d_1\)은 vertical differential \(d_v\)에 의해 유도된다.

특별히 \(K^{p,q}\)가 first quadrant double complex라 하자. 그럼 두 filtration이 모두 bounded filtered complex를 정의하므로, 명제 10에 의해 각각의 spectral sequence는 \(H^\bullet(\Tot(K))\)에 수렴한다. 이로부터 우리는 §Ext와 Tor, ⁋명제 3의 증명을 더 fancy한 언어로 다시 복원해낼 수 있다.

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참고문헌

[GM] S. I. Gelfand, Y. I. Manin, Methods of homological algebra, Springer, 2003. [Wei] C. A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge University Press, 1994. [God] R. Godement, Topologie algébrique et théorie des faisceaux, Hermann, 1958.