K

Grad. student in mathematics

우리는 지금까지 category \(\Ab\)에 대해 그렇게까지 큰 관심을 기울이지 않았는데, 이번 글에서는 abelian group들에 대해 살펴본다.

가환군들의 합

우선, §제한합, ⁋정리 2에서 보인 weak direct product의 universal property는 특히 group \(H\)가 abelian group일 경우 잘 적용된다.

정리 1 Abelian group들의 family \((G_i)\)가 주어졌다 하고, \(\prod^w G_i\)와 inclusion map들 \(\iota_i\)를 생각하자. 그럼 임의의 abelian group \(H\)와 group homomorphism들 \(f_i:G_i\rightarrow H\)에 대하여, \(f_i=f\circ\iota_i\)이도록 하는 유일한 group homomorphism \(f:\prod^wG_i\rightarrow H\)가 존재한다.

따라서, 적어도 abelian group들 사이에서는 weak direct product \(\prod^w G_i\)가 coproduct가 된다. 이를 다음과 같이 부르기로 한다.

정의 2 Abelian group들의 family \((G_i)\)와, 이들의 weak direct product \(\prod^w G_i\), 그리고 inclusion map들 \(\iota_i\)가 주어졌다 하자. 그럼 \(\prod^w G_i\)와 \(\iota_i\)들을 묶어 \(G_i\)들의 direct sum직합이라 부르고 이를 \(\bigoplus G_i\)로 표현한다.

약간의 표기법의 남용을 통해 \(\iota_i(G_i)\)와 \(G_i\)를 같은 것으로 보면, \(\bigoplus G_i\)의 임의의 원소는 다음 식

\[x=\sum_{i\in I} x_i,\qquad\text{$x_i\in G_i$, $x_i=0$ for all but finitely many $i$}\]

으로 쓸 수 있다. 이러한 상황에서 \(x_i\neq 0\)을 만족하는 \(I\)의 부분집합을 \(x\)의 support지지집합라 부르고 \(\supp(x)\)로 적고, 위의 조건이 성립하면 family \((x_i)\)가 finitely supported라 부른다.

Abelianization

이제 다음을 정의하자.

정의 3 임의의 group \(G\)와 \(G\)의 두 subgroup \(H_1,H_2\)에 대하여, \([H_1,H_2]\)를 다음의 commutator교환자들

\[[h_1,h_2]=h_1^{-1}h_2^{-1}h_1h_2,\qquad h_1\in H_1,h_2\in H_2\]

로 생성된 \(G\)의 subgroup으로 정의한다.

특별히 우리가 이번 글에서 관심을 가지는 것은 \(H_1=H_2=G\)일 때이다. 만일 \(G\)가 abelian group이었다면, 모든 \(x,y\in G\)에 대하여 \(x^{-1}y^{-1}xy=e\)이므로 \([G,G]=\{e\}\)이다. 따라서 \([G,G]\)는 \(G\)가 abelian group이 되는 것으로부터 얼마나 떨어져 있는지를 나타낸다고 생각할 수 있다.

한편 다음이 성립한다.

명제 4 임의의 group \(G\)에 대하여, commutator subgroup \([G,G]\)는 \(G\)의 normal subgroup이다.

증명

임의의 \(x,y\in G\)와 \(g\in G\)에 대하여,

\[g(x^{-1}y^{-1}xy)g^{-1}=(gx^{-1}g^{-1})(gy^{-1}g^{-1})(gxg^{-1})(gyg^{-1})=(gxg^{-1})^{-1}(gyg^{-1})^{-1}(gxg^{-1})(gyg^{-1})\in [G,G]\]

이므로 자명하다.

따라서, \(G/[G,G]\)가 잘 정의된다. 이는 \(x^{-1}y^{-1}xy\)꼴의 원소를 모두 \(e\)로 취급하겠다는 것이므로, \(G/[G,G]\)는 abelian group이 된다. 우리의 convention에 따르면 abelian group의 연산은 \(+\)로 적는 것이 맞으나, \(G/[G,G]\)는 동시에 \(G\)로부터 연산을 물려받으므로 이렇게 쓰면 혼동의 여지가 있을 수 있다. 따라서 \(G/[G,G]\)의 연산은 \(+\)가 아닌 곱셈으로 적기로 한다.

한편, 임의의 abelian group \(H\)에 대하여, 만일 group homomorphism \(f:G\rightarrow H\)가 주어졌다면 임의의 \(x,y\in G\)에 대해 다음 식

\[e=f(x)^{-1}f(y)^{-1}f(x)f(y)=f(x^{-1}y^{-1}xy)\]

이 성립하므로, \([G,G]\leq\ker f\)이다. 이제 §군 동형사상, ⁋명제 3에 의하여 다음을 얻는다.

명제 5 임의의 group \(G\)와 quotient homomorphism \(p:G\rightarrow G/[G,G]\)를 생각하자. 그럼 임의의 abelian group \(H\)와 group homomorphism \(f:G \rightarrow H\)에 대하여, \(f=\bar{f}\circ p\)를 만족하는 \(\bar{f}:G/[G,G]\rightarrow H\)가 존재한다.

특히, 임의의 group homomorphism \(f:G\rightarrow H\)가 주어졌다 하자. 그럼 합성 \(G\rightarrow H\rightarrow H/[H,H]\)에 의해 group \(G\)로부터 abelian group \(H/[H,H]\)로의 group homomorphism을 얻고, 명제 5에 의하여 이는 \(G/[G,G]\)에서 \(H/[H,H]\)로의 group homomorphism을 유도한다.

정의 6 임의의 group \(G\)에 대하여, quotient group \(G/[G,G]\)를 \(G\)의 abelianization이라 부르고 \(G^\ab\)으로 표기한다.

그럼 앞선 논증은 이것이 functor \(\ab:\Grp\rightarrow\Ab\)를 정의한다는 것을 보여준다. 뿐만 아니라 다음이 성립한다.

명제 7 Forgetful functor \(U:\Ab \rightarrow \Grp\)과 abelianization functor \(\ab:\Grp \rightarrow \Ab\)에 대하여, adjunction \(\ab\dashv U\)가 존재한다.

이에 대한 증명은 이미 위에서 완료하였다.

자유가환군

앞선 글의 말미에서 우리는 free group \(F(X)\)를 free product

\[{\prod_{x\in X}}^\ast \mathbb{Z}\]

으로 해석할 수 있었다. 그런데 \(\Ab\)는 이미 coproduct \(\bigoplus\)를 갖는다는 것을 알고 있으므로, 동일한 논증을 통해 forgetful functor \(U:\Ab \rightarrow \Set\)의 left adjoint \(F_\Ab:\Set\rightarrow \Ab\)를 다음 식

\[F_\Ab(X)=F_\Ab\left(\coprod_{x\in X} \{x\}\right)\cong \coprod_{x\in X} F_\Ab(\ast)=\bigoplus_{x\in X} \mathbb{Z}\]

을 통해 얻을 수 있다. 이렇게 얻어지는 \(F_\Ab(X)\)를 free abelian group이라 정의한다. 즉 다음 명제가 성립한다.

명제 8 Forgetful functor \(U:\Ab \rightarrow \Set\)의 left adjoint \(F_\Ab:\Set \rightarrow\Ab\)가 존재한다.

가환군 \(\Hom_\Ab(G,H)\)

임의의 abelian group \(G,H\)에 대하여, \(\Hom_\Ab(G,H)\)는 \(G\)에서 \(H\)로의 group homomorphism들의 집합이다. 그런데 이 집합에는 흥미로운 성질이 있는데, 바로 \(\Hom_\Ab(G,H)\)는 이미 abelian group이라는 것이다. 이는 \(\Grp\)에서는 성립하지 않는 결과이다.

명제 9 임의의 abelian group \(G,H\)에 대해 \(\Hom_\Ab(G,H)\)는 abelian group이다.

증명

임의의 \(f,g:G \rightarrow H\)에 대하여, \(f+g\)를

\[(f+g)(x)=f(x)+g(x)\qquad\text{for all $x\in G$}\]

으로 정의하면 된다.

\(\Hom_\Ab(-,-)\)는 원래 \(\Ab^\op\times \Ab\)에서 \(\Set\)으로의 bifunctor로 정의되었지만, 이 명제에 의해 실은 이를 \(\Ab\)로의 bifunctor로 볼 수도 있다. 즉 \(\Hom_\Ab(-,-)\)를 internal \(\Hom\)과 비슷한 것으로 생각할 수 있다. 그러나 지금까지 갖고 있는 언어로만 보았을 때 이는 불가능하다.

예시 10 \(\Ab\)는 \(\times\)에 대해 cartesian monoidal category이다. 그러나 \(\Hom_\Ab(-,-)\)는 이 구조에 대해 internal \(\Hom\)으로 생각할 수 없다. 즉

\[\Hom_\Ab(G\times H, A)\cong \Hom_\Ab(G,\Hom_\Ab(H,A))\]

이 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어, \(G=\mathbb{Z}\)라 하면 위의 식은

\[\Hom_\Ab(\mathbb{Z}\times H,A)\cong \Hom_\Ab(\mathbb{Z},\Hom_\Ab(H,A))\cong \Hom_\Ab(H,A)\tag{1}\]

이 될텐데, 이 식은 거의 대부분 거짓일 것이다. (가령 \(H=\{e\}\)를 넣어보면 된다.)

따라서, \(\Hom_\Ab(-,-)\)를 internal \(\Hom\)으로 생각하기 위해서는 \(\Ab\) 위에 새로운 symmetric monoidal category 구조를 주어야 한다. 또 위의 식 (1)로부터 힌트를 얻으면 \(\mathbb{Z}\)가 이 monoidal product의 unit처럼 행동해야 한다는 것도 추측할 수 있다.

텐서곱

예시 10에서의 식이 성립할 수 없는 근본적인 이유는 꽤나 간단하다. \(\Set\)에서 위의 isomorphism이 성립했던 이유는 임의의 함수 \(f:A\times B \rightarrow C\)에 대하여, \(A\)의 원소 혹은 \(B\)의 원소를 하나 고정하고 나면 남는 것이 \(B\) 혹은 \(A\)에서 \(C\)로의 함수가 되었기 때문이다.

반면, group homomorphism \(f:G\times H \rightarrow A\)의 첫 번째 혹은 두 번째 성분을 고정한 것이 group homomorphism이 되도록 하는 \(f\)는 오직 zero map 뿐이다. 임의의 \(x\in G\)에 대하여 \(f(x, -)\)이 group homomorphism이라면 \(f(x,0)=0\)이어야 하고, 비슷하게 임의의 \(y\in H\)에 대해 \(f(0,y)=0\)이어야 하므로 이를 \(f\)가 group homomorphism이라는 조건

\[f(x+0,0+y)=f(x,0)+f(0,y)\]

에 대입하면 \(f(x,y)=0\)이 모든 \((x,y)\in G\times H\)에 대해 성립해야 하기 때문이다.

위의 논증을 살펴보면, \(f\)의 source의 하나의 성분을 고정했을 때 나오는 함수가 group homomorphism임을 요구하는 것이 꽤나 자연스러워 보인다.

정의 11 두 abelian group \(G,H\)에 대하여, 함수 \(f:G\times H \rightarrow A\)가 bilinear쌍선형이라는 것은 다음 두 식

\[f(x,y_1+y_2)=f(x,y_1)+f(x,y_2),\qquad f(x_1+x_2,y)=f(x_1,y)+f(x_2,y)\]

이 항상 성립하는 것이다.

이제 고정된 \(G,H\in\obj(\Ab)\)에 대하여, 집합 \(\Bilin(G,H;A)\)을 다음 식

\[\Bilin(G,H;A)=\{\text{bilinear maps from $G\times H$ to $A$}\}\]

으로 정의하자. 위의 논증에 의해 예시 10의 첫 번째 식의 좌변을 \(\Bilin(G,H;A)\)로 바꾼다면 isomorphism

\[\Bilin(G,H;A)\cong \Hom_\Ab(G,\Hom_\Ab(H,A))\]

을 얻는다는 것을 확인할 수 있다. 뿐만 아니라, \(\Bilin(G,H;-)\)이 \(\Ab\)에서 \(\Set\)으로의 representable functor가 된다는 것을 확인할 수 있다.

정리 12 \(\Bilin(G,H;-)\)는 representable이다.

증명

Free abelian group \(F_\Ab(G\times H)\)의 subgroup \(S\)를

\[S=\left\langle (x, y_1+y_2)-(x,y_1)-(x,y_2), (x_1+x_2,y)-(x_1,y)-(x_2,y)\mathop{\big\vert}x,x_1,x_2\in G, y,y_1,y_2\in H\right\rangle\]

으로 정의하자. 그럼 free abelian group의 universal property에 의하여, 임의의 함수 \(f:G\times H \rightarrow A\)가 주어질 때마다 group homomorphism \(\hat{f}:F_\Ab(G\times H)\rightarrow A\)가 존재하고, \(f\)가 bilinear라면 이 \(\hat{f}\)의 kernel이 \(S\)를 포함하므로 \(\hat{f}\)가 \(F_\Ab(G\times H)/S\)에서 \(A\)로의 group homomorphism을 정의한다.

Isomorphism \(\Bilin(G,H;A)\cong\Hom_\Ab(F_\Ab(G\times H)/S,A)\)의 naturality는 추가적으로 보여야 하긴 하지만, 단순한 계산이므로 생략한다.

정의 13 정리 12의 representation을 \(G\)와 \(H\)의 tensor product텐서곱이라 부르고, \(A\otimes B\)로 적는다.

\(A\otimes B\)의 원소는 \(a\otimes b\)의 꼴의 원소들의 유한한 합으로 나타난다는 것을 알 수 있다. 그럼 \(\otimes\)가 \(\mathbb{Z}\)를 tensor unit으로 갖는 monoidal product임을 확인할 수 있다.

정리 14 \((\Ab,\otimes, \mathbb{Z})\)는 symmetric monoidal category이다.

증명

Associator \(\alpha\)와 symmetor \(\sigma\)는 \(\otimes\)의 universal property에 의해 얻어진다. \(\mathbb{Z}\)가 tensor unit이라는 것은 다음 isomorphism

\[\Hom_\Ab(\mathbb{Z}\otimes G, H)\cong\Bilin(\mathbb{Z},G;H)\cong\Hom_\Ab(\mathbb{Z},\Hom_\Ab(G,H))\cong\Hom_\Ab(G,H)\]

이 natural하다는 것으로부터 얻어진다.

특히, 임의의 \(f:A \rightarrow A'\), \(g:B \rightarrow B'\)에 대하여 \(\otimes\)는 bifunctor이므로, morphism \(f\otimes g:A\otimes B \rightarrow A'\otimes B'\)가 존재한다. 이는 \(a\otimes b\) 꼴의 원소들을 \(f(a)\otimes g(b)\)로 보내는 것을 통해 결정되는 group homomorphism이다. 종종 abelian group \(A\)의 \(n\)-fold tensor product를 생각할 일도 있는데, 이 경우

\[A^{\otimes n}=\underbrace{A\otimes\cdots\otimes A}_\text{$n$ times}\]

으로 적는다. 그럼 \(\otimes\)의 associativity에 의하여

\[A^{\otimes m}\otimes A^{\otimes n}\cong A^{\otimes(m+n)}\]

이 성립한다. 이러한 관점에서 관례적으로 \(A^{\otimes 0}\)은 \(\mathbb{Z}\)로 정의한다.

힌퍈, 이렇게 \((\Ab,\otimes, \mathbb{Z})\)를 symmetric monoidal category로 생각하고 나면, 다음이 성립한다는 것을 이미 확인하였다.

정리 15 (\(\otimes\dashv\Hom\)) Adjunction

\[\Hom_\Ab(G\otimes H, A)\cong\Hom_\Ab(G,\Hom_\Ab(H, A))\cong\Hom_\Ab(H,\Hom_\Ab(G, A))\]

이 존재한다. 따라서, \(\Hom_\Ab(-,-)\)를 \((\Ab,\otimes,\mathbb{Z})\)의 internal \(\Hom\)으로 생각할 수 있다.

등급가환군

Abelian group들의 family \((G_i)\)에 대하여, direct sum \(\bigoplus G_i\)가 잘 정의된다. 다음 정의는 다른 대수적인 구조들에서 특히 유용하게 사용된다.

정의 16 Commutative monoid \(I\)에 대하여, \(I\)로 index가 주어진 abelian group들의 family \((G_i)_{i\in I}\)를 생각하자. 이를 graded abelian group이라 부른다.

현재로서는 commutative monoid \(I\)에 대하여, \(I\)를 집합으로 생각하여 direct sum을 취한 것과 위에서 정의한 graded abelian group 사이에 차이가 없으므로 현재로서는 이 정의는 기존에 있던 개념에 새로운 이름을 붙인 것에 불과하다. 이를 정의하는 이유는 나중에 abelian group 위에 새로운 연산을 정의했을 때 이 연산과 \(I\)의 덧셈 사이의 관계를 부여하기 위한 것이다.

참고문헌

[nLab] Tensor product of abelian groups. Link

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