주의 이번 글에서 \(A\)는 항상 commutative ring이다.
우리는 [대수적 구조] §대수, ⁋정의 7에서 임의의 (commutative) ring \(A\)에 대하여 polynomial algebra \(A[\x_i]_{i\in I}\)를 정의하였다. 이는 \(A\)-algebra 구조를 갖지만, 어차피 \(A[\x_i]_{i\in I}\) 위에 정의된 \(A\)의 스칼라곱은 \(A[\x_i]_{i\in I}\)를 ring으로 보았을 때, inclusion \(A\hookrightarrow A[\x_i]_{i\in I}\)으로부터 오는 것이므로 \(A[\x_i]_{i\in I}\)의 성질을 살펴보기 위해서는 \(A[\x_i]_{i\in I}\)를 ring으로 생각하는 것만으로 충분하다.
다항식의 차수
다항식들을 본격적으로 다루기 전에, 이들을 다루기 위한 도구들을 먼저 정의하자. 우선 \(A\) 위에서 정의된 다항식들은 polynomial ring \(P=A[\x_i]_{i\in I}\)의 원소들을 의미한다. 이 때, \(\mathbb{N}^{(I)}\)를 \(I\)에서 \(\mathbb{N}\)으로 가는 finitely supported function들의 모임
\[\mathbb{N}^{(I)}=\{\nu:I \rightarrow \mathbb{N}\mid\text{$f(i)=0$ for all but finitely many $i\in I$}\}\]으로 정의하자. 그럼 임의의 \(\nu\in \mathbb{N}^{(I)}\)에 대하여,
\[\x^\nu=\prod_{i\in I} \x_i^{\nu_i}\]으로 두면 \(\x^\nu\)는 \(P\)의 원소이다. 우리는
\[a\x^\nu\]꼴의 원소들을 단항식이라 부른다. 그럼 임의의 다항식 \(u\)는 단항식들의 유한합
\[u(\x)=\sum_{\nu\in \mathbb{N}^{(I)}} a_\nu \x^\nu,\qquad\text{$\alpha_\nu=0$ for all but finitely many $\nu$}\]으로 나타낼 수 있다.
한편 임의의 \(\nu\in \mathbb{N}^{(I)}\)에 대하여
\[\lvert\nu\rvert=\sum_{i\in I} \nu_i\]으로 정의하면, \(P=A[\x_i]_{i\in I}\)를 \(\mathbb{N}\)-graded ring
\[P=\bigoplus_{n\in \mathbb{N}}\bigoplus_{\lvert\nu\rvert=n}(A[\x_i]_{i\in I})_\nu=\bigoplus_{n\in \mathbb{N}} P_n\]으로 생각할 수 있다. 이 때, 각각의 \(n\)에 대하여, \(P_n\)의 원소들을 degree \(n\)의 homogeneous polynomial동차다항식이라 부른다. 또, 임의의 다항식 \(u\in P\)에 대하여, 이 homogeneous decomposition에서 degree \(n\)에 해당하는 \(u\)의 성분을 \(u_n\)으로 적기도 한다.
정의 1 Polynomial ring \(P=A[\x]_{i\in I}\)의 임의의 원소
\[u(\x)=\sum_{\nu\in \mathbb{N}^{(I)}} a_\nu \x^\nu,\qquad\text{$\alpha_\nu=0$ for all but finitely many $\nu$}\]가 주어졌다 하자. 그럼 \(u_n\neq 0\)을 만족하는 가장 큰 \(n\)을 \(u\)의 degree라 부르고 \(\deg(u)\)와 같이 표기한다. 정의에 의하여 상수항만을 가지는 다항식의 차수는 \(0\)이지만, 특별히 \(P\)의 덧셈에 대한 항등원 \(0\)에 대하여는 \(\deg(0)=-\infty\)로 정의한다.
그럼 다음 명제가 성립하는 것이 당연하다.
명제 2 두 다항식 \(u,v\)에 대하여 다음이 성립한다.
-
만일 \(\deg (u)\neq\deg(v)\)라면 \(p+q\neq 0\)이고 등식
\[\deg(u+v)=\sup(\deg(u), \deg(v))\]이 성립한다. 만일 \(\deg(u)=\deg(v)\)라면 부등식 \(\deg(u+v)\leq\deg(u)\)이 성립한다.
-
부등식 \(\deg(uv)\leq\deg(u)+\deg(v)\)이 성립한다.
이 명제의 둘째 조건이 등식이 아닌 이유는 \(A\)에 있다. 이를 더 자세하게 살펴보기 위해 하나의 변수로만 이루어진 polynomial ring \(A[\x]\)를 생각하자. 그럼 \(A[\x]\)의 임의의 다항식은
\[u(\x)=\sum_{i=0}^n a_i\x^i\qquad\text{($a_n\neq 0$)}\]의 꼴로 적을 수 있으며, 이 때 \(a_n\x^n\)을 다항식 \(p\)의 leading term, 그 계수 \(a_n\)을 다항식 \(p\)의 leading coefficient라 부른다. 만일 \(p\)의 leading coefficient가 \(1\)이라면 \(p\)를 monic polynomial이라 부른다.
이제 임의의 두 (일변수)다항식
\[u(\x)=\sum_{i=0}^n a_i\x^i,\qquad v(\x)=\sum_{j=0}^m b_j \x^j\]에 대하여 이들의 곱은 명시적으로 다음의 식
\[u(\x)v(\x)=\sum_{k=0}^{n+m}\left(\sum_{i=0}^k a_ib_{k-i}\right)\x^k\]으로 주어지며, 따라서 최고차항의 계수는 \(a_nb_m\)이다. 그러나 만일 \(A\)가 integral domain이 아니라면, 두 개의 nonzero element \(a_n\), \(b_m\)을 곱한 것이 \(0\)이 될 수 있으므로 \(uv\)가 \(m+n\)차 다항식이 되지 않을 수 있다. 이 논의를 이용하면 다음을 얻는다.
보조정리 3 Integral domain \(A\)에 대하여, 다음이 성립한다.
- 임의의 \(u,v\in A[\x]\)에 대하여, \(\deg(uv)=\deg(u)+\deg(v)\)이다.
- \(A[\x]\)의 unit은 정확히 \(A\)의 unit과 같다.
- \(A[\x]\)는 integral domain이다.
이제 다시 일반적인 경우를 생각하자. 임의의 두 다항식 \(u,v\in A[\x_i]_{i\in I}\)가 주어졌다 하면, 이들 다항식에서 등장하는 미지수는 어차피 유한하므로 \(uv\)를 계산할 때에는 \(A[\x_i]_{i\in I}\) 대신, 유한집합 \(J\subset I\)를 택하여 이를 \(A[\x_j]_{j\in J}\)를 보아도 충분하다. 그럼 이 때 \(A[\x_j]_{j\in J}\)가 integral domain인 것은 보조정리 3과 다음의 isomorphism
\[A[\x_1,\x_2]\cong (A[\x_1])[\x_2]\]에 의해 따라온다. 즉 다음이 성립한다.
명제 4 Integral domain \(A\)와 polynomial ring \(P=A[\x_i]_{i\in I}\)에 대하여 다음이 성립한다.
- 임의의 \(u,v\in P\)에 대해 \(\deg(uv)=\deg(u)+\deg(v)\)이다.
- \(P\)의 unit은 정확히 \(A\)의 unit과 같다.
- \(P\)는 integral domain이다.
일변수다항식
우리는 이제 일변수다항식에 대해 조금 더 자세히 살펴본다.
명제 5 \(A[\x]\)의 \(m\)차 다항식 \(u(\x)\), \(n\)차 다항식 \(v(\x)\)이 주어졌다 하고, \(v\)의 leading coefficient를 \(b_n\)이라 하자. \(k=\sup(m-n+1,0)\)이라 하면, 다음의 식
\[b_n^k u=qv+r,\qquad \deg r < n\]을 만족하는 \(q,r\in A[\x]\)가 존재한다.
증명
만일 \(n>m\)이라면 \(k=0\)이고, 이 때 주어진 식은 \(q=0\), \(r=u\)로 두면 성립하므로 이 경우에는 보일 것이 없다. 따라서 \(n\leq m\)이라 가정하자.
\(m\)에 대한 귀납법을 사용한다. \(u\)의 leading coefficient를 \(a_m\)이라 하자. 만일
\[v(\x)=\sum_{j=0}^n b_j\x^j\]라면, 적당한 \(m\)차 미만의 다항식 \(u_1\in A[\x]\)이 존재하여
\[b_n^k u(\x)=b_n^{k-1}a_m\x^{m-n}v(\x)+b_n^{k-1}v_1(\x)\]이라 쓸 수 있다. 이 식은 \(v(\x)\)에 \(a_m\x^{m-n}\)을 곱하여 leading term을 \(b_n u\)의 leading term과 같게 맞춰주어
\[b_nu(\x)=a_m\x^{m-n}v(\x)+u_1(\x)\]을 얻은 후, 양 변에 \(b_n^{k-1}\)을 곱한 것에 불과하다. 이제 귀납적 가정에 의하여, 우리는 적당한 다항식 \(q_1,r\in A[\x]\)이 존재하여 다음 식
\[b_n^{k-1}u_1(\x)=q_1(\x)v(\x)+r(\x),\qquad \deg(r) < n\]이 성립하도록 할 수 있다. 이제 이를 다시 앞선 식에 대입하면
\[b_n^k u(\x)=(b_n^{k-1}a_m\x^{m-n}+q_1(\x))v(\x)+r(\x)\]을 얻는다.
여기서 등장하는 계수 \(b_n^k\)는 \(v\)에서 차수를 하나씩 올려가며 \(u\)와 최고차항을 맞춰줄 때 생기는 것으로, 가령 \(b_n\)이 invertible하다면 위의 식을 만족하는 \(q\)와 \(r\)은 유일하게 결정됨을 확인할 수 있다. 특히 만일 \(A\)의 임의의 nonzero element가 invertible이라면, 즉 \(A=\mathbb{K}\)라면 우리는 위와 같은 상황에서
\[u=qv+r,\qquad \deg r < n\]을 만족하는 \(q,r\)을 유일하게 결정할 수 있다. 뿐만 아니라, 이 경우 polynomial ring \(\mathbb{K}[\x]\)는 보조정리 3에 의하여 integral domain이고, 따라서 \(N:\mathbb{K}[\x] \rightarrow \mathbb{Z}^{\geq0}\)를
\[N: u\mapsto \deg(u)\qquad \text{단, $N(0)=0$}\]으로 주면 \(\mathbb{K}[\x]\)가 Euclidean domain임을 안다.
명제 6 임의의 field \(\mathbb{K}\)에 대하여, \(\mathbb{K}[\x]\)는 Euclidean domain이다.
특히 Euclidean domain 위에서는 최대공약수의 개념이 잘 정의되며, 이와 관련하여 Bézout lemma 또한 성립한다. (§정역, ⁋정리 7)
앞서 \(\mathbb{K}[\x]\)에서 \(\mathbb{K}\)의 임의의 (non-zero) 원소들의 image가 \(\mathbb{K}[\x]\)의 unit인 것을 살펴보았다. (보조정리 3) 한편 Euclidean domain에서 어떠한 원소가 다른 한 원소를 나누는지의 여부는 Euclidean algorithm을 돌려서 알아낼 수 있으므로, 상수가 아닌 임의의 \(u\in \mathbb{K}[\x]\)가 irreducible인 것은 \(u\)가 \(\deg(v)<\deg(u)\)를 만족하는 임의의 \(v\in \mathbb{K}[\x]\)에 의해 나누어떨어지지 않는 것과 동치이다.
한편 \(\mathbb{K}[\x]\)는 UFD이며, 따라서 \(\mathbb{K}[\x]\)의 irreducible element 등을 정의할 수 있다. 한편 \(\mathbb{K}[\x]\)의 unit은 정확히 \(\mathbb{K}\)의 unit과 동일하므로, 임의의 irreducible polynomial \(u\)는 (정의에 의해) \(\deg(u)\geq 1\)을 만족하며, \(u\)가 irreducible이므로 만일 \(v\mid u\)라면 \(v\)는 상수 다항식이거나 \(u\)의 상수배이다. 특히, 임의의 두 irreducible polynomial은 서로의 상수배여야만 하므로, 서로 다른 두 monic irreducible polynomial은 서로소이다. 이와 같이 \(A[\x]\)의 임의의 다항식은, leading coefficient와 monic irreducible polynomial의 곱으로 유일하게 나타낼 수 있다.
명제 7 임의의 다항식 \(u\in A[\x]\)와 \(a\in A\)에 대하여, \(u(\x)\)를 \(\x-a\)로 나눈 나머지는 \(u(a)\)이다. 따라서, \(u\)가 근 \(a\)를 갖는 것과 \(\x-a\)가 \(A[\x]\) 안에서 \(u\)의 약수인 것이 동치이다.
이에 대한 증명은 당연히 Euclidean algorithm을 돌리면 되며, 이는 사실 중학교 때부터 익숙한 결과이다. 또 다른 결과로, 만일 \(u\)가 근 \(a\)를 갖는다면 \(u\)는 반드시 다음의 꼴
\[u(\x)=(\x-a)^p v(\x),\qquad v(a)\neq 0\]로 쓰여져야 하는 것을 안다. 이 때 우리는 \(p\)를 근 \(a\)의 multiplicity라 부른다. 그럼 다음이 성립한다.
명제 8 임의의 두 다항식 \(u,v\in A[\x]\)이 공통근 \(a\)를 갖는다 하고, \(u\)와 \(v\) 각각에서 \(a\)의 multiplicity가 \(p,q\)라 하자. 그럼 다음이 성립한다.
- 다항식 \(u+v\)에서 \(a\)의 multiplicity는 최소 \(\inf(p,q)\)이며, 등호는 \(p\neq q\)일 때 성립한다.
- 다항식 \(uv\)에서 \(a\)의 multiplicity는 최소 \(p+q\)이며, 등호는 \(A\)가 integral domain일 때 성립한다.
증명
\(u(\x) = (\x-a)^p u_1(\x)\), \(v(\x) = (\x-a)^q v_1(\x)\)이고 \(u_1(a) \neq 0\), \(v_1(a) \neq 0\)라고 하자. 일반성을 잃지 않고 \(p \leq q\)라고 가정하면, 다음의 식
\[u(\x) + v(\x) = (\x-a)^p (u_1(\x) + (\x-a)^{q-p}v_1(\x))\]을 얻으므로 원하는 부등식을 얻는다. 만일 여기에서 \(p < q\)였다면 \(a\)는 \(u_1(\x) + (\x-a)^{q-p}v_1(\x)\)의 근이 아니므로 원하는 결과를 얻는다.
둘째 결과의 경우, 동일한 가정 하에서
\[u(\x)v(\x) = (\x-a)^{p+q}u_1(\x)v_1(\x)\]이다. 만일 \(A\)가 integral domain이라면 \(u_1(a)v_1(a) \neq 0\)이므로 이로부터 둘째 결과를 얻는다.
더 나아가 만일 \(A\)가 integral domain이라면 귀납적으로 다음을 보일 수 있다.
명제 9 Integral domain \(A\)를 고정하자. \(A[\x]\)의 nonzero element \(u\)가 근 \(a_1,\ldots, a_r\)을 가지며, 이들의 multiplicity가 각각 \(p_1,\ldots, p_r\)이라 하자. 그럼
\[u(\x)=(\x-a_1)^{p_1}\cdots(\x-a_r)^{p_r}v(\x),\qquad v(a_1),\ldots, v(a_r)\neq0\]이도록 하는 \(v\in A[\x]\)가 존재한다.
증명
\(r\)에 대한 귀납법으로 진행한다. \(p=1\)인 경우는 자명하므로, \(u\)의 \(r\)개의 근 \(a_1,\ldots, a_r\)이 주어졌다 하고, 앞의 \(r-1\)개의 근에 귀납적 가정을 적용하여
\[u(\x)=u_1(\x)u_2(\x)=(\x-a_1)^{p_1}\cdots(\x-a_{r-1})^{p_{r-1}}u_2(\x)\]이라 적자. 그럼 \(A\)가 integral domain이라는 가정으로부터 \(u_1(a_r)\neq 0\)임을 알고 있으므로, 반드시 \(u_2(a_r)=0\)이어야 하고 \(u_2\)에서 \(a_r\)의 multiplicity가 \(p_r\)이어야 한다. 이로부터 원하는 주장을 얻는다.
특히, 임의의 integral domain \(A\)에 대하여, \(A[\x]\)의 임의의 \(n\)차 다항식은 (중복을 허용하여 셌을 때) 많아야 \(n\)개의 근을 갖는다는 것을 안다. 따라서 만일 \(n\)차 이하의 두 다항식 \(f,g\in A[\x]\)가 주어졌다 하고, 서로 다른 \(n+1\)개의 원소 \(a_1,\ldots, a_{n+1}\)에 대해 \(f(a_i)=g(a_i)\)가 성립한다 가정하면 \(f=g\)여야만 한다. 이로부터 다음의 결과를 얻는다.
명제 10 Field \(\mathbb{K}\)의 서로 다른 \(n\)개의 원소들 \(a_1,\ldots, a_n\)을 고정하자. \(\mathbb{K}\)의 임의의 원소들 \(b_1,\ldots, b_n\)에 대하여, 각각의 \(i\)마다
\[u_i(\x)=\prod_{j\neq i}\frac{\x-a_j}{a_i-a_j}\]로 정의하자. 그럼
\[u=b_1 u_1 + \cdots + b_n u_n\]는 각각의 \(i\)에 대해 \(u(a_i)=b_i\)를 만족하는 유일한 \(n\)차 미만의 다항식이다.
증명
유일성은 위의 논증에 의해 자명하고, 남는 것은 \(u\)에 각각의 \(a_i\)를 대입하여 그 값이 \(b_i\)가 나오는 것을 확인하는 것 뿐이다.
한편, 중근을 찾아내는 방법 중 유용한 것은 주어진 다항식을 미분하는 것이다. 우리는 대수적으로 미분이 무엇인지를 정의할 수 있으나 ([다중선형대수학] §미분) 이 카테고리에서는 이러한 논의 없이 정의로서 \(D: A[\x] \rightarrow A[\x]\)를 다음의 식
\[D:\left(u(\x)=\sum_{i=0}^n a_i\x^i\right)\mapsto \left((Du)(\x)=i.a_i\x^{i-1}\right)\tag{$\ast$}\]로 정하기로 한다. 여기서 \(i.a_i\)는
\[i.a_i=\underbrace{a_i+\cdots+a_i}_\text{\scriptsize$i$ times}\]으로 정의되는 \(A\)의 원소이다. 남은 논의에서 우리가 유일하게 사용할 성질은 라이프니츠 법칙
\[D(uv)=(Du)v+u(Dv)\]이며, 이는 [다중선형대수학] §미분에서는 미분의 정의이지만 위의 식 (\(\ast\))를 정의로 받아들인다면 직접 계산을 통해 확인할 수 있다.
명제 11 임의의 다항식 \(u \in A[\x]\)에 대하여, \(u\)의 근 \(a \in A\)가 simple root이기 위한 필요충분조건은 \(a\)가 \(Du\)의 근이 아닌 것이다.
증명
\(a\)가 \(u\)의 근이라는 가정에 의해 \(u = (\x - a)v\)이도록 하는 \(v \in A[\x]\)가 존재하며, 이 때 \(a\)가 \(u\)의 simple root일 필요충분조건은 \(v(a) \neq 0\)인 것이다. 이제 \(Du = v + (\x - a)Dv\)이므로, \((Du)(a) = v(a)\)이다.
더 일반적으로, 귀납법을 사용하면 다음을 보일 수 있다.
명제 12 임의의 다항식 \(u \in A[\x]\)에 대하여, \(u\)의 근 \(a \in A\)가 multiplicity \(k\)를 가진다면, \(a\)는 \(Du\)의 multiplicity \(\geq k-1\)의 근이다. 만일 \(k \cdot 1\)이 \(A\)에서 cancellable하다면, \(a\)는 \(Du\)에 대해 order \(k-1\)을 가진다.
증명
위의 명제와 비슷하게 \(u=(\x-a)^k v\)로 두고 \(v(a)\neq 0\)이므로,
\[Du=k(\x-a)^{k-1}v+(\x-a)^k Dv=(\x - a)^{k-1}(kv + (\x - a)Dv)\]로부터 첫 번째 주장을 얻는다. 만일 \(k\cdot 1\)이 \(A\)에서 cancellable하다면, \(kv+(\x-a)Dv\)에 \(\x=a\)를 대입한 값 \(k.v(a)\)가 \(0\)이 아니게 되어 나중의 주장이 성립한다.
명제 13 Integral domain \(A\)와 집합 \(I\)가 주어졌다 하고, \((H_i)_{i\in I}\)를 \(I\)로 index된 \(A\)의 무한한 부분집합들의 family라 하자. 또, \(H=\prod_{i\in I} H_i\subseteq A^I\)라 하자. 그럼 만일 \(u\)가 \(A[\x_i]_{i\in I}\)의 non-zero element이라 하면, \(H\)와 다음의 집합
\[H_u=\{(\x_i)\in H\mid u(\x_i)\neq 0\}\]이 같은 cardinality를 갖는다.
증명
\(I\)가 유한집합인 경우는 귀납법으로 보일 수 있다. \(\lvert I\rvert=n\)이라 하고, \(n\)에 대한 귀납법으로 증명하자. 우선 \(n=0\)인 경우는 증명할 것이 없다. 귀납법을 사용하기 위해 표기를 단순화하여 \(I=\{1,\ldots, n\}\)이라 하고, \(J=\{1,\ldots, n-1\}\) 그리고 \(B=A[\x_i]_{i\in J}\)라 하자. 그럼 \(u\neq 0\)이므로
\[u=\sum_{k=0}^m v_k\x_n^k\]이도록 하는 \(v_k\in B\)들이 존재한다. 여기서 \(v_m\neq 0\)이다. 이제 귀납적 가정에 의하여, 집합
\[H_{v_m}=\{(\x_i)\in H\mid v_m(\x_i)\neq 0\}\]은 \(\prod_{i\in J} H_i\)와 같은 cardinality를 가진다. 이제 \(\prod_{i\in J} H_i\)의 임의의 원소 \((x_i)_{i\in J}\)에 대하여,
\[w(\x)=\sum_{k=0}^mv_k(x_1,\ldots, x_{n-1})\x_n^k\]는 \(0\)이 아닌 다항식이다. 한편, 집합
\[\{a\in H_n\mid w(a)\neq 0\}\]은, \(H_n\)이 무한집합이라는 사실과 명제 9 이후의 논증, 그리고 [집합론] §자연수와 무한집합, ⁋명제 12로부터
\[\lvert H\rvert\geq \lvert H_u\rvert\geq \lvert H_{v_m}\rvert\lvert H_n\rvert=\lvert H\rvert\]이 성립한다. \(I\)가 무한집합인 경우에는 \(u\)에 등장하는 미지수들만을 포함하는 polynomial ring을 생각하여 유한집합인 케이스로 줄일 수 있다.
특히, 만일 \(I\)가 공집합이 아니라면 \(H_u\)는 무한집합이 된다.
인수분해
임의의 ring homomorphism \(\phi:A \rightarrow B\)가 주어졌다 하면, 임의의 \(u\in A[\x_i]_{i\in I}\)는 \(\phi\)를 통해 \(B[\x_i]_{i\in I}\)의 원소로 볼 수 있다.
특별히 \(A\)가 integral domain이고 \(\phi\)가 canonical inclusion \(A \hookrightarrow \Frac(A)\)인 경우를 생각하자. 그럼 \(\Frac(A)\)는 field이므로 명제 6에 의하여 \((\Frac A)[\x]\)는 Euclidean domain이고, 따라서 임의의 \(u\in A[\x]\)를 \((\Frac A)[\x]\)로 본다면 \(u\)는 적어도 \((\Frac A)[\x]\)에서는 인수분해가 가능하다. 그렇다면 여기에서 실행한 인수분해가 \(A[\x]\)에서는 어떻게 반영되는지를 살펴보는 것이 당연한 순서일 것이다.
명제 14 (Gauss) UFD \(A\)와 그 field of fraction \(\Frac(A)\), 그리고 \(A[\x]\)의 원소 \(u\)를 생각하자. 만일 \(u\)가 \((\Frac A)[\x]\)에서 reducible이라면, \(u\)는 \(A[\x]\)에서도 reducible이다.
증명
\((\Frac A)[\x]\)의 다항식 \(u\)가 두 다항식의 곱
\[u(\x)=\tilde{v}_1(\x)\tilde{v}_2(\x),\qquad \tilde{v}_i\in (\Frac A)[\x]\]으로 나타난다 하자. 그럼 \(\tilde{v}_1\)과 \(\tilde{v}_2\)의 계수들의 최대공배수들을 양변에 곱하여, 적절한 \(a\in A\)에 대하여
\[a u(\x)=v_1(\x)v_2(\x)\]이도록 하는 \(v_i\in A[\x]\)들이 존재한다. 만일 \(a\)가 unit이라면 더 중명할 것이 없으므로, \(a\)가 unit이 아니라 가정하자. 그럼 \(a=p_1\cdots p_r\)이도록 하는 irreducible element \(p_i\in A\)들이 존재한다. 이 때, §정역, ⁋명제 17에 의하여 \((p_i)\)는 \(A\)의 prime ideal이며, 따라서
\[(A/p_iA)[\x]\cong A[\x]/P_i\]는 명제 4에 의해 integral domain이다. 따라서 등식 \(au=v_1v_2\)를 \(P_i\)로 mod out 하고 나면, \(v_1\) 혹은 \(v_2\)가 \((A/p_iA)[x]\)에서 \(0\)이 되어야 하는 것을 안다. 즉, \(v_1\) 혹은 \(v_2\) 중 하나의 계수들은 모두 \(p_i\)의 배수이며, 따라서 이 \(p_i\)를 약분하여 \(A[\x]\)의 또 다른 polynomial을 얻을 수 있다. 이제 이를 모든 \(p_i\)에 대해 적용하면 원하는 결과를 얻는다.
이로부터 다음을 얻는다.
따름정리 15 UFD \(A\)와 그 field of fraction \(\Frac A\), 다항식 \(u(\x) \in A[\x]\)를 생각하고 \(u(\x)\)의 계수들의 최대공약수를 \(1\)이라 하자. 만약 \(u(\x)\)가 \(A[\x]\)에서 irreducible이면, \(u(\x)\)는 \((\Frac A)[\x]\)에서도 irreducible이다.
증명
명제 14에 의하여, \(u(\x)\)가 \((\Frac A)[\x]\)에서 reducible이면, \(A[\x]\)에서도 reducible하다.
반대로, \(u(\x)\)의 계수들의 최대공약수가 1이라고 하고, \(u(\x)\)가 \(A[\x]\)에서 reducible이라 하자. 즉
\[u(\x) = v_1(\x) v_2(\x)\]이라 할 수 있으며, 이 때 \(v_1(\x)\)와 \(v_2(\x)\)의 계수들의 최대공약수 역시 1이어야 하므로 특히 \(v_1,v_2\)는 둘 다 상수가 아니다. 이로부터 \(u=v_1v_2\)는 \((\Frac A)[\x]\)에서 보았을 때에도 \(u\)가 reducible이라는 것을 의미한다.
그럼 인수분해와 관련된 핵심적인 결과 중 하나는 다음의 정리이다.
정리 16 \(A\)가 UFD일 필요충분조건은 \(A[\x]\)가 UFD인 것이다.
증명
\(A[\x]\)가 UFD이면 \(A\)도 UFD임은 자명하므로, 반대방향만 보이면 충분하다.
UFD \(A\)에 대하여, \(A[\x]\)의 \(0\)이 아닌 원소를 \(u(\x)\)라 하고, \(u(\x)\)의 계수들의 최대공약수를 \(d\)라 하면 \(u(\x)=du_0(\x)\)로 두어 계수들의 최대공약수가 \(1\)인 다항식 \(u_0\in A[\x]\)를 얻어낼 수 있으므로 우리는 일반성을 잃지 않고 \(u\)의 계수들의 최대공약수가 \(1\)이라 가정할 수 있다.
명제 6에 의해 \(u\)는 \((\Frac A)[\x]\)에서 유일한 방식으로 인수분해를 할 수 있으며, 명제 14를 이 인수분해에 적용하면 우리는 \(u\)를 \(A[\x]\)에서 인수분해할 수 있다. 한편, \(u\)의 계수들의 최대공약수는 \(1\)이므로, 이렇게 얻어진 \(u\)의 factor들의 계수들의 최대공약수 또한 \(1\)이고 따라서 따름정리 15에 의해 이들은 \(A[\x]\)에서 irreducible이다. 이로부터 \(u\)의 \(A[\x]\)에서의 인수분해를 얻으며, 유일성은 이들 각각의 성분이 \((\Frac A)[\x]\)에서 해당하는 인수들의 \(\Frac A\)-multiple이라는 사실을 이용하면 자명하다.
유리식환
이제 우리는 다항식환의 변형인 유리수환과 멱급수환을 정의한다. 앞서 명제 4에서 우리는 임의의 field \(\mathbb{K}\)에 대하여, \(\mathbb{K}[\x_i]_{i\in I}\)는 integral domain이라는 것을 증명하였다. 따라서 \(\mathbb{K}[\x_i]_{i\in I}\)의 field of fraction이 잘 정의된다.
정의 17 Field \(\mathbb{K}\) 위에 정의된 polynomial ring \(\mathbb{K}[\x_i]_{i\in I}\)의 field of fraction을 field of rational functions라 부르고 \(\mathbb{K}(\x_i)_{i\in I}\)으로 적는다.
앞서 polynomial ring은 multidegree를 이용해 \(\mathbb{N}\)-graded ring으로 생각할 수 있다는 것을 살펴보았다. 비슷한 방식으로 \(\mathbb{K}(\x_i)_{i\in I}\) 위에도 degree를 정의하자. 자연스러운 선택은 \(\mathbb{K}(\x_i)_{i\in I}\)의 임의의 원소 \(u/v\)에 대하여
\[\deg(u/v)=\deg(u)-\deg(v)\]으로 정의하는 것이며, 이것이 잘 정의된다는 것을 확인할 수 있다. 다항식에서와 마찬가지로 \(\deg(0)=-\infty\)로 정의한다.
그럼 다음 명제는 명제 2의 analogue이다.
명제 18 두 rational fraction \(r, s\)에 대해 다음이 성립한다.
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\(\deg r \ne \deg s\)이면
\[r + s \ne 0 \quad \text{이고} \quad \deg(r + s) = \sup(\deg r, \deg s)\]이 성립한다. 만일 \(\deg r = \deg s\)이면 \(\deg(r + s) \leq \deg r\)이다.
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\(\deg(rs) = \deg r + \deg s\)이다.
증명
두 주장 모두 \(r, s \ne 0\)인 경우만 생각해도 충분하다. 따라서 \(r =u/v\), \(s = w/z\)이고 \(u, v, w, z\)가 모두 0이 아닌 다항식이라 하자. 어떠한 경우건 아이디어는 주어진 식을 먼저 계산한 후, §명제 2와 §보조정리 3을 적용하는 것이다.
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\(r + s = (uz+vw)/(vz)\)이다. 우선 \(\deg r \ne \deg s\), 즉 \(\deg u + \deg z \ne \deg w + \deg v\)라 하자. 그러면 \(uz + vw \ne 0\)이고,
\[\begin{aligned}\deg(r + s) &= \deg(uz + vw) - \deg(vz) \\ &= \sup(\deg(uz), \deg(vw)) - \deg(vz) \\ &= \sup(\deg(uz) - \deg(vz), \deg(vw) - \deg(vz)) \\ &= \sup(\deg r, \deg s).\end{aligned}\]이다. 한편 이제 \(\deg r = \deg s\), 즉 \(\deg u + \deg z = \deg w + \deg v\)라고 하고, \(r + s \ne 0\)이라면
\[\deg(r + s) = \deg(uz + vw) - \deg(vz)\leq \deg(uz) - \deg(vz) = \deg r\]이므로 주장이 성립한다.
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\(rs = (uw)/(vz)\)이고, 따라서
\[\deg(rs) = \deg(uw) - \deg(vz) = \deg u - \deg v + \deg w - \deg z = \deg r + \deg s.\]이다.
멱급수환
멱급수환은 다항식환의 또 다른 변형으로, 우리는 이제 단항식들의 무한합
\[u(\x)=\sum_{\nu\in \mathbb{N}^{(I)}} a_\nu \x^\nu,\qquad\text{$\alpha_\nu$ need not satisfy finiteness condition}\]들의 모임이다. 이를 \(A[[\x_i]]_{i\in I}\)으로 적고, ring of formal power series라 부른다.
Formal power series들은 단항식의
그리고 다음의 식
\[\omega(uv)\geq \omega(u)+\omega(v)\]이 성립한다.
Degree에 대해서는 위의 부등식이 만일 \(A\)가 integral domain이었다면 성립했었다. 이와 같이 다음이 성립한다.
명제 19 Integral domain \(A\)에 대하여 다음이 성립한다.
- \(A[[x_i]]_{i\in I}\)이 integral domain이다.
- 두 nonzero element \(u,v\in A[[x_i]]_{i\in I}\)에 대하여, \(\omega(uv)+\omega(u)+\omega(v)\)가 성립한다.
단, 다소 주의할 것은 명제 4와는 다르게 \(A[[x_i]]_{i\in I}\)의 unit은 \(A\)의 unit보다 크다는 것이다. 가령 다음의 식
\[(1-\x)\left( \sum_{n=0}^\infty \x^n\right)=1\]을 생각하면 된다. 더 일반적으로 다음이 성립한다.
명제 20 임의의 \(u\in A[[x_i]]_{i\in I}\)에 대하여, \(u\)가 \(A[[x_i]]_{i\in I}\)에서 invertible인 것과 \(u\)의 상수항이 \(A\)에서 invertible인 것이 동치이다.
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