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Grad. student in mathematics

이번 글에서 우리는 group의 extension에 대해 다룬다.

군의 확장

정의 1 두 group \(G, F\)에 대하여, \(G\)의 \(F\)에 의한 extension확장 \(\mathcal{E}\)는 조건 \(\ker p=\im i\)를 만족하는 다음의 pair

\[\mathcal{E}: F\overset{i}{\hookrightarrow}E\overset{p}{\twoheadrightarrow}G\]

을 의미한다.

이에 대한 직관은 다음의 pair

\[\mathcal{E}_0: F \rightarrow F\oplus G \rightarrow G\]

이며, 우리는 이를 trivial extension이라 부른다. 그러나 일반적으로 위의 상황에서 first isomorphism theorem에 의하여 다음의 식

\[G\cong E/\ker p=E/\im i\]

이 성립하지만, 그렇다고 하여

\[E\cong (E/i(F))\oplus i(F)\]

가 성립하는 것은 아니므로 주의할 필요가 있다. 어쨌든 이 계산으로부터 \(E\)가 \(G\)의 \(F\)에 의한 extension이기 위해서는 \(E\)의 적당한 normal subgroup \(F'\)가 존재하여, \(F'\)가 \(F\)와 isomorphic하고 \(E/F'\)는 \(G\)와 isomorphic한 것이 동치임을 안다.

그럼 고정된 \(G\)와 \(F\)에 대하여, \(G\)의 \(F\)에 의한 extension들을 모두 모아둔 것은 category를 이룬다. 여기에서의 morphism은 다음과 같이 주어진다.

정의 2 두 extension \(\mathcal{E}_1: F \rightarrow E_1 \rightarrow G\)과 \(\mathcal{E}_2:F \rightarrow E_2 \rightarrow G\)에 대하여, \(\mathcal{E}_1\)에서 \(\mathcal{E}_2\)로의 morphism은 다음의 diagram

morphism_of_extensions

을 commute하도록 하는 \(u:E_1 \rightarrow E_2\)를 의미한다.

그럼 만일 \(u:E_1 \rightarrow E_2\)가 group homomorphism으로서 isomorphism이라면, \(u\)의 inverse \(u^{-1}: E_2 \rightarrow E_1\) 또한 정의 2의 조건을 만족하고 따라서 \(u\)는 extension들 사이의 morphism으로서 isomorphism이라는 것을 확인할 수 있다.

앞선 정의를 확장하여, 다음을 정의한다.

정의 3 \(G\)의 \(F\)에 의한 extension \(\mathcal{E}:F \rightarrow E \rightarrow G\)이 extension

\[\mathcal{E}_0:F \rightarrow F\oplus G \rightarrow G\]

과 isomorphic하다면, 이를 trivial extension이라고 부른다.

그럼 다음이 성립한다.

명제 4 Extension \(\mathcal{E}:F \rightarrow E \rightarrow G\)에 대하여, 다음이 모두 동치이다.

  1. \(\mathcal{E}\)가 trivial extension이다.
  2. Retraction \(r: E \rightarrow F\)가 존재한다.
  3. Section \(s: G \rightarrow E\)가 존재하여 \(s(G)\)가 \(i(F)\)의 centralizer에 포함되도록 할 수 있다.

물론 여기에서 retraction과 section은 단순한 함수가 아니라 group homomorphism을 의미한다. ([집합론] §Retraction과 section, ⁋정의 2)

명제 4의 증명

우선 첫째 조건을 가정하고 다음의 diagram

retraction_and_section

를 생각하자. 그럼 이로부터 retraction \(r:E \rightarrow F\)를 \(\pr_1\circ u\)로, \(s:G \rightarrow E\)를 \(u^{-1}\circ\iota_2\)로 정의하면 된다.

거꾸로 둘째 조건이 성립한다 가정하자. 그럼 \((r,p): E \rightarrow F\oplus G\)가 주어진 extension과 \(F \rightarrow F\oplus G \rightarrow G\) 사이의 isomorphism이 된다. 비슷하게 셋째 조건을 가정하자. 그럼 \(s(G)\)가 \(i(F)\)의 centralizer에 포함되므로 \(F\oplus G\)에서 \(F\)와 \(G\)의 weak direct product를 거친 후 \(E\)로 가는 morphism을 만들 수 있다.

만일 \(i(F)\)가 \(E\)의 center \(C(E)\)에 포함되었다면, 세 번째 조건에서 \(s(G)\)와 \(i(F)\)의 관계는 무시하여도 좋을 것이다. ([대수적 구조] §군의 작용, ⁋정의 12)

정의 5 Extension \(\mathcal{E}:F \rightarrow E \rightarrow G\)가 central extension이라는 것은 \(F\)의 \(E\)에서의 image가 \(E\)의 center에 포함되는 것이다.

군의 반직접곱

한편, trivial extension이 아닌 extension이 존재하는 이유는, 위에서 보았듯 group \(G\)의 임의의 normal subgroup \(N\)에 대하여, 다음 식

\[G\cong (G/N)\oplus N\]

이 항상 성립하지는 않기 떄문이다. 그러나 그 역이 항상 성립하는 것은 아니다.

정의 6 두 group \(N,H\)와 group homomorphism \(\tau:H \rightarrow \Aut(N)\)이 주어졌다 하자. 그럼 \(N\)과 \(H\)의 \(\tau\)에 대한 semi-direct product반직접곱 \(N\rtimes_\tau H\)는 집합 \(N\times H\) 위에 다음의 연산

\[(x_1,y_1)(x_2,y_2)=(x_1\tau(y_1)(x_1), y_1y_2)\]

이 주어진 group이다.

그럼 \(N\rtimes_\tau H\)가 위의 연산에 대하여 group의 구조를 가진다는 것을 보일 수 있으며, 이 때 \(N\rtimes_\tau H\)의 항등원은 \((e_N, e_H)\)이며 \((x,y)\)의 역원은 \(\tau(y^{-1})(x^{-1}), y^{-1})\)이다. 뿐만 아니라 다음이 성립한다.

명제 7 두 함수 \(i: N \rightarrow N\rtimes_\tau H\)와 \(p: N\rtimes_\tau H\rightarrow H\)를 다음의 식

\[i(x)=(x, e_H),\qquad p(x,y)=y\]

으로 정의하자. 그럼 이 함수들은 group homomorphim이며, 이들로부터 얻어지는

\[\mathcal{E}_\tau: N \overset{i}{\rightarrow} N\rtimes_\tau H\overset{p}{\rightarrow} H\]

는 \(H\)의 \(N\)에 의한 extension이다. 뿐만 아니라, 함수 \(s: H \rightarrow N\rtimes_\tau H\)를 다음의 식

\[s(y)=(e_N, y)\]

으로 정의하면 \(s\)는 \(p\)의 section이며, 이것이 \(N\rtimes_\tau H\)의 centralizer에 포함되므로 명제 4에 의하여 \(\mathcal{E}_\tau\)는 trivial extension이다.

이에 대한 증명은 단순한 계산이다.

이번에는 위에서 살펴본 \(N,H\)가 특정한 group \(G\)의 subgroup이었다 하자. 만일 \(N\)이 \(G\)의 normal subgroup이었다면 각각의 \(h\in H\)가 정의하는 inner automorphism \(\rho_h\)는 \(N\)의 automorphism이며 따라서 \(\rho: H \rightarrow \Aut(N)\)이 정의된다. ([대수적 구조] §군의 작용, ⁋정의 10) 그럼 위의 명제로부터 다음을 얻는다.

따름정리 8 Group \(G\)와 \(G\)의 normal subgroup \(N\), \(G\)의 subgroup \(H\)가 주어졌다 하자. 만일 \(N\cap H=\{e_G\}\)이고 \(NH=G\)가 성립한다면, 다음의 식

\[N\rtimes_\rho H \rightarrow G;\qquad (x,y)\mapsto xy\]

으로 정의된 group homomorphism은 isomorphism이다.

증명

역함수를 만들어주면 충분하다. 이를 위해서는 조건 \(NH=G\)를 이용하여 \(G\)의 임의의 원소 \(g\)에 대해 \(g=xy\)를 만족하는 적당한 \(x\in N\), \(y\in H\)를 찾아야 하는데, 이는 일반적으로는 불가능하지만 \(N\)이 \(G\)의 normal subgroup이므로 가능하다. 나머지는 단순한 계산이다.

이 경우 \(G\)가 \(N\)과 \(H\)의 (internal) semi-direct product라고 말한다. External semi-direct product와 internal semi-direct product의 차이는 단순히 처음 시작을 어디서 했느냐일 뿐이며 중요한 것은 아니다.

참고문헌

[Bou] Bourbaki, N. Algebra I. Elements of Mathematics. Springer. 1998.

FTFGAG Sylow solvable S_5

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