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Grad. student in mathematics

이번 글에서 우리는 group의 extension에 대해 다룬다.

군의 확장

정의 1 두 group $G, F$에 대하여, $G$의 $F$에 의한 extension확장 $\mathcal{E}$는 조건 $\ker p=\im i$를 만족하는 다음의 pair

\[\mathcal{E}: F\overset{i}{\hookrightarrow}E\overset{p}{\twoheadrightarrow}G\]

을 의미한다.

이에 대한 직관은 다음의 pair

\[\mathcal{E}_0: F \rightarrow F\oplus G \rightarrow G\]

이며, 우리는 이를 trivial extension이라 부른다. 그러나 일반적으로 위의 상황에서 first isomorphism theorem에 의하여 다음의 식

\[G\cong E/\ker p=E/\im i\]

이 성립하지만, 그렇다고 하여

\[E\cong (E/i(F))\oplus i(F)\]

가 성립하는 것은 아니므로 주의할 필요가 있다. 어쨌든 이 계산으로부터 $E$가 $G$의 $F$에 의한 extension이기 위해서는 $E$의 적당한 normal subgroup $F’$가 존재하여, $F’$가 $F$와 isomorphic하고 $E/F’$는 $G$와 isomorphic한 것이 동치임을 안다.

그럼 고정된 $G$와 $F$에 대하여, $G$의 $F$에 의한 extension들을 모두 모아둔 것은 category를 이룬다. 여기에서의 morphism은 다음과 같이 주어진다.

정의 2 두 extension $\mathcal{E}_1: F \rightarrow E_1 \rightarrow G$과 $\mathcal{E}_2:F \rightarrow E_2 \rightarrow G$에 대하여, $\mathcal{E}_1$에서 $\mathcal{E}_2$로의 morphism은 다음의 diagram

morphism_of_extensions

을 commute하도록 하는 $u:E_1 \rightarrow E_2$를 의미한다.

그럼 만일 $u:E_1 \rightarrow E_2$가 group homomorphism으로서 isomorphism이라면, $u$의 inverse $u^{-1}: E_2 \rightarrow E_1$ 또한 정의 2의 조건을 만족하고 따라서 $u$는 extension들 사이의 morphism으로서 isomorphism이라는 것을 확인할 수 있다.

앞선 정의를 확장하여, 다음을 정의한다.

정의 3 $G$의 $F$에 의한 extension $\mathcal{E}:F \rightarrow E \rightarrow G$이 extension

\[\mathcal{E}_0:F \rightarrow F\oplus G \rightarrow G\]

과 isomorphic하다면, 이를 trivial extension이라고 부른다.

그럼 다음이 성립한다.

명제 4 Extension $\mathcal{E}:F \rightarrow E \rightarrow G$에 대하여, 다음이 모두 동치이다.

  1. $\mathcal{E}$가 trivial extension이다.
  2. Retraction $r: E \rightarrow F$가 존재한다.
  3. Section $s: G \rightarrow E$가 존재하여 $s(G)$가 $i(F)$의 centralizer에 포함되도록 할 수 있다.

물론 여기에서 retraction과 section은 단순한 함수가 아니라 group homomorphism을 의미한다. ([집합론] §Retraction과 section, ⁋정의 2)

명제 4의 증명

우선 첫째 조건을 가정하고 다음의 diagram

retraction_and_section

를 생각하자. 그럼 이로부터 retraction $r:E \rightarrow F$를 $\pr_1\circ u$로, $s:G \rightarrow E$를 $u^{-1}\circ\iota_2$로 정의하면 된다.

거꾸로 둘째 조건이 성립한다 가정하자. 그럼 $(r,p): E \rightarrow F\oplus G$가 주어진 extension과 $F \rightarrow F\oplus G \rightarrow G$ 사이의 isomorphism이 된다. 비슷하게 셋째 조건을 가정하자. 그럼 $s(G)$가 $i(F)$의 centralizer에 포함되므로 $F\oplus G$에서 $F$와 $G$의 weak direct product를 거친 후 $E$로 가는 morphism을 만들 수 있다.

만일 $i(F)$가 $E$의 center $C(E)$에 포함되었다면, 세 번째 조건에서 $s(G)$와 $i(F)$의 관계는 무시하여도 좋을 것이다. ([대수적 구조] §군의 작용, ⁋정의 12)

정의 5 Extension $\mathcal{E}:F \rightarrow E \rightarrow G$가 central extension이라는 것은 $F$의 $E$에서의 image가 $E$의 center에 포함되는 것이다.

군의 반직접곱

한편, trivial extension이 아닌 extension이 존재하는 이유는, 위에서 보았듯 group $G$의 임의의 normal subgroup $N$에 대하여, 다음 식

\[G\cong (G/N)\oplus N\]

이 항상 성립하지는 않기 떄문이다. 그러나 그 역이 항상 성립하는 것은 아니다.

정의 6 두 group $N,H$와 group homomorphism $\tau:H \rightarrow \Aut(N)$이 주어졌다 하자. 그럼 $N$과 $H$의 $\tau$에 대한 semi-direct product반직접곱 $N\rtimes_\tau H$는 집합 $N\times H$ 위에 다음의 연산

\[(x_1,y_1)(x_2,y_2)=(x_1\tau(y_1)(x_1), y_1y_2)\]

이 주어진 group이다.

그럼 $N\rtimes_\tau H$가 위의 연산에 대하여 group의 구조를 가진다는 것을 보일 수 있으며, 이 때 $N\rtimes_\tau H$의 항등원은 $(e_N, e_H)$이며 $(x,y)$의 역원은 $\tau(y^{-1})(x^{-1}), y^{-1})$이다. 뿐만 아니라 다음이 성립한다.

명제 7 두 함수 $i: N \rightarrow N\rtimes_\tau H$와 $p: N\rtimes_\tau H\rightarrow H$를 다음의 식

\[i(x)=(x, e_H),\qquad p(x,y)=y\]

으로 정의하자. 그럼 이 함수들은 group homomorphims이며, 이들로부터 얻어지는

\[\mathcal{E}_\tau: N \overset{i}{\rightarrow} N\rtimes_\tau H\overset{p}{\rightarrow} H\]

는 $H$의 $N$에 의한 extension이다. 뿐만 아니라, 함수 $s: H \rightarrow N\rtimes_\tau H$를 다음의 식

\[s(y)=(e_N, y)\]

으로 정의하면 $s$는 $p$의 section이며, 따라서 명제 4에 의하여 $\mathcal{E}_\tau$는 trivial extension이다.

이에 대한 증명은 단순한 계산이다.

이번에는 위에서 살펴본 $N,H$가 특정한 group $G$의 subgroup이었다 하자. 만일 $N$이 $G$의 normal subgroup이었다면 각각의 $h\in H$가 정의하는 inner automorphism $\rho_h$는 $N$의 automorphism이며 따라서 $\rho: H \rightarrow \Aut(N)$이 정의된다. ([대수적 구조] §군의 작용, ⁋정의 10) 그럼 위의 명제로부터 다음을 얻는다.

따름정리 8 Group $G$와 $G$의 normal subgroup $N$, $G$의 subgroup $H$가 주어졌다 하자. 만일 $N\cap H=\{e_G\}$이고 $NH=G$가 성립한다면, 다음의 식

\[N\rtimes_\rho H \rightarrow G;\qquad (x,y)\mapsto xy\]

으로 정의된 group homomorphism은 isomorphism이다.

증명

역함수를 만들어주면 충분하다. 이를 위해서는 조건 $NH=G$를 이용하여 $G$의 임의의 원소 $g$에 대해 $g=xy$를 만족하는 적당한 $x\in N$, $y\in H$를 찾아야 하는데, 이는 일반적으로는 불가능하지만 $N$이 $G$의 normal subgroup이므로 가능하다. 나머지는 단순한 계산이다.

이 경우 $G$가 $N$과 $H$의 (internal) semi-direct product라고 말한다. External semi-direct product와 internal semi-direct product의 차이는 단순히 처음 시작을 어디서 했느냐일 뿐이며 중요한 것은 아니다.

참고문헌

[Bou] Bourbaki, N. Algebra I. Elements of Mathematics. Springer. 1998.

FTFGAG Sylow solvable S_5

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