임의의 유한군 \(G\)가 주어졌을 때 이를 잘 살펴보는 방법 중 하나는 그 유한차원 representation
\[\rho:G\rightarrow \Aut(V)\]을 보는 것이다. \(V\)의 basis를 선택하고 나면 \(\rho\)에 의한 \(G\)의 image를 다루는 것은 선형대수에 불과하므로 우리는 \(G\)의 구조를 훨씬 쉽게 알아낼 수 있다.
Lie group의 경우 이러한 표현론적 관점은 더 도움이 되는데, Lie group은 \(\GL(n;\mathbb{R})\)이나 \(\Diff(M)\)과 같이, 본질적으로 다른 대상 위에 작용하는 것이기 때문이다.
다만 [표현론] §유한군의 표현론, ⁋정의 1에서처럼 \(G\)의 representation theory를 정의하면 Lie group \(G\) 위에 있는 smooth structure는 놓치게 되므로, 다음과 같이 정의해주어야 한다.
정의 1 Lie group \(G\)에 대하여, \(G\)의 representation표현은 유한차원 벡터공간 \(V\)와, smooth map
\[\rho:G\rightarrow \Aut(V)\]이 주어진 것이다.
만일 \(G\)를 discrete topology와 자명한 smooth structure가 주어진 Lie group으로 본다면 이 정의는 [표현론] §유한군의 표현론, ⁋정의 1의 일반화라 생각할 수도 있다. 비슷하게 [표현론] §유한군의 표현론, §§표현론의 기본 개념들에 있는 모든 정의를 Lie group에 대해서도 할 수 있다.
이 글에서 중요한 역할을 했던 것은 group \(G\)가 유한군이라는 사실이었다. 가령 \(G\)의 모든 원소에 대해 평균을 내는 아이디어는 이러한 사실을 바탕으로 했다. 이를 Lie group으로 일반화하기 위해서는 \(G\)에 어떠한 종류의 유한성을 강제해야 한다.
우리는 따라서 \(G\)가 compact Lie group인 경우를 종종 다루게 된다. 이 경우, locally compact Hausdorff space로서 \(G\) 위에는 Haar measure가 존재하며 따라서 \(G\)의 원소들에 대한 합을 \(G\) 전체에 대한 적분으로 바꿔 쓸 수 있다. 물론 이를 위해서는 \(\delta_x\) 함수를 잘 정의하고, 함수공간을 적당한 공간으로 일반화하는 작업을 거쳐야 하지만 이러한 작업은 우리의 현재 목적이 아니므로 생략하기로 혼다. 중요한 것은 리 군의 표현론 또한 유한군의 표현론과 같은 방법론을 통해 접근할 수 있다는 것이다. 특히 임의의 finite-dimensional representation은 irreducible decomposition들의 direct sum으로 나타낼 수 있다.
한편, 유한차원 representation \(G\rightarrow\Aut(V)\)가 주어졌다 할 때, 가장 좋은 점은 이들의 image \(\rho(g)\)들을 (basis의 선택을 통해) 행렬로 생각할 수 있다는 것이다. 따라서 이를 통해 우리는 행렬과 선형사상에 대한 우리의 도구들을 사용하여 이를 탐구할 수 있다.
선형대수에서 가장 중요한 도구 중 하나는 대각화이다. 따라서 우리는 주어진 Lie group action \(\rho:G \rightarrow \Aut(V)\)에 대하여, \(V\)의 basis를 적당히 택하여 \(\rho(g)\)의 행렬표현을 대각행렬로 만드는 데에 관심이 있다. 만일 \(G\)가 유한군이었다면, 각각의 \(g\)에 대해 이러한 basis를 찾아줄 수 있었겠지만 현재는 \(G\)가 무한하므로 이러한 일을 하기 힘들다. 따라서 우리는 simultaneously diagonalizable인 원소들에 자연스럽게 관심을 갖게 된다. 그런데 [선형대수학] §고유공간분해, ⁋명제 10은 두 diagonalizable matrix가 simultaneously diagonalizable일 필요충분조건은 이들이 commute하는 것임을 알고 있으므로, 다음 정의를 내리는 것이 합당하다.
정의 2 Compact, connected Lie group \(G\)에 대하여, \(G\)의 subgroup \(T\)가 maximal torus라는 것은 \(T\)가 torus이고, 포함관계에 대하여 maximal인 것이다.
Lie algebra \(\mathfrak{g}\)의 임의의 원소 \(X\)를 택한 후, 이 방향으로의 exponential map이 그리는 one-parameter subgroup의 closure가 torus가 된다. 따라서 maximal torus의 존재성은 [집합론] §선택공리, ⁋정리 4에 의해 자명하다.
주의할 것은, 위에서 생각하는 one-parameter group \(\exp(tX)\)가 1차원 torus를 만들 것이라는 착각을 하기 쉬운데 이것이 항상 그렇지는 않다는 것이다. 가령 2차원 torus
\[T^2\cong \mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2\]을 생각하면, quotient를 취하기 전 \((1,\sqrt{2})\) 방향으로의 one-parameter subgroup은 \(T^2\) 전체를 조밀하게 덮고, 이 image의 closure가 바로 \(T^2\) 전체가 된다. 이렇게
\[T=\overline{\langle t\rangle}\]을 만족하는 \(t\in T\)를 \(T\)의 generator라 부른다.
Weight decomposition
우리의 주장은 \(\rho(T)\)가 simultaneously diagonalizable이라는 것이다. 이를 위해서는 \(\rho(T)\)의 각각의 원소들이 diagonalizable인 것을 보이면 충분하다. 이를 위해 임의의 finite-dimensional representation \(\rho:G\rightarrow \Aut(V)\)을 생각하고 이를 maximal torus \(T\)로 제한한 representation \(\rho\vert_T\)을 생각하자. 가장 먼저 확인할 수 있는 것은 \(T\)가 compact Lie group이라는 사실이다. 따라서 [표현론] §유한군의 표현론, ⁋명제 6과 [표현론] §유한군의 표현론, ⁋보조정리 8이 모두 성립한다.
보다 자세하게 이들을 하나하나 써 보면, 우선 \(\rho\vert_T\)가 unitary representation이라는 사실로부터 우리는 다음의 irreducible decomposition
\[V=\bigoplus_i V_i\]을 생각할 수 있다. 여기에서 각각의 \(V_\lambda\)는 irreducible \(T\)-representation들이다. 한편, \(T\)가 abelian이므로 임의의 \(t\in T\)에 대하여, \(\rho(t)\)은 \(T\)-action과 모두 commute하고, 따라서 각각의 \(V_i\)로 제한하였을 때 \(\rho(t)\)는 \(T\)-automorphism이다. 이제 [표현론] §유한군의 표현론, ⁋보조정리 8의 두 번째 결과에 의하여 \(\rho(t)\)는 상수배
\[\rho(t)(v)=\lambda_i(t)v\qquad \lambda_i(t)\in \mathbb{C}^\times\]로 주어진다. 그런데 이제 \(V_i\) 위에서 \(T\)가 상수배들로 작용한다면, \(V_i\)의 임의의 부분공간은 \(T\)-invariant일 것이며 따라서 \(V_i\)가 irreducible이기 위해서는 반드시 \(\dim V_i=1\)이어야만 한다.
이제 \(\dim V_i=1\)이므로 \(\Aut(V_i)\cong \mathbb{C}^\times\)이고, 우리는 위의 \(\lambda_i: T\rightarrow \mathbb{C}^\times\)가 정확하게 \(\rho\)의 character에 해당하고, 따라서 irreducible decomposition이 직접적으로 character \(\lambda_i\)에 의해 parametrize되는 것으로 생각할 수 있다. 즉 다음의 식
\[V=\bigoplus_\lambda V_\lambda;\qquad V_\lambda=\{t\cdot v=\lambda(t)v\text{ for all $t\in T$}\}\]을 통해 irreducible decomposition이 주어진 것으로 생각하자. 그럼 각각의 \(t\in T\)에 대하여, \(\rho(t)\)는 바로 이 decomposition에 의하여 대각화되고, 각각의 eigenspace \(V_\lambda\)에 해당하는 고유값은 \(\lambda(t)\)이다. 이와 다른 \(t\)의 선택은 위의 decomposition은 그대로 두고, 각각의 eigenspace \(V_\lambda\)에 해당하는 고유값만 바뀌는 것이다.
직관적으로 \(t\mapsto e^{2\pi i\lambda_i(X)}\)를 각속도 \(\lambda_i(X)\)를 갖는 각운동이라 생각할 수 있고, 이러한 관점을 도입하면 우리는 각각의 \(X\in \mathfrak{t}\)가 주어졌을 때, 이 방향으로의 각속도 \(\lambda_i(X)\)가 얼마인지를 통해 이 torus action을 설명할 수 있다는 것을 안다. 이 때 각각의 \(\lambda_i\)들을 우리는 weight라 부른다. 그럼 우리는 각각의 weight \(\lambda_i\)마다 적당한 \(V_i\)가 존재하여, 이 위에서는 torus action이 \(t\cdot v=\rchi_{\lambda_i}(t)v\)로 작동하는 것을 안다. 이러한 \(V_i\)를 weight space라 부른다.
예시 3 특별한 예시로, 1차원 torus
\[S^1\cong T \cong \mathbb{R}/\mathbb{Z}\]을 생각하면, \(S^1\)은 다음의 집합
\[S^1=\left\{e^{2\pi i t}\mid t\in \mathbb{R}/\mathbb{Z}\right\}\]으로 생각할 수 있다. 이제 이 집합이 2차원 벡터공간 \(\mathbb{C}^2\) 위에 다음의 식
\[e^{2\pi i t}\cdot (z_1,z_2)=(e^{4\pi i t}z_1, e^{-2\pi i t}z_2)\]으로 act한다고 하자. 이 action은 작위적으로 보이지만, 위에서 살펴본 것과 같이 임의의 torus \(T\)와 임의의 representation \(V\)가 주어졌다면 \(V\)의 irreducible decomposition을 생각하고 각각의 irreducible component의 basis \(e_i\)들을 택하면 모든 torus action은 (적당한 basis의 선택에 의해) 이러한 꼴로 나타나는 것을 안다.
이를 행렬로 나타내면, 위의 action은 \(\GL(2;\mathbb{C})\)의 원소(들의 family)
\[\begin{pmatrix}e^{4\pi i t}&0\\0&e^{-2\pi i t}\end{pmatrix}\]로 나타낼 수 있다. 이 때 이 행렬의 trace \(e^{4\pi i t}+e^{-2\pi i t}\)가 바로 이 representation의 character이다.
이 action의 weight space는 \(\span(e_1), \span(e_2)\)임이 자명하며, 가령 \(\span(e_1)\)에 해당하는 weight는 다음의 식
\[\rchi_{\lambda_1}(\exp (X))=e^{2\pi i \lambda_1(X)}\qquad\text{for all $X\in \mathfrak{t}$}\]을 만족하는 linear functional \(\lambda_1:\mathfrak{t}\rightarrow \mathbb{C}\)으로 주어진다. 이는 당연히 \(1\in \mathbb{R}\)을 \(2\)로 보내는 \(\lambda_1(t)=2t\)에 의해 정의되며 따라서 이 weight space에 해당하는 weight는 (약간의 abuse of notation을 통해) \(2\)라 할 수 있다. 이 때 \(\lambda\)가 위의 식을 만족하기 위해서는, \(e^{2\pi i}=1\)이므로, 반드시 \(\lambda(1)\in \mathbb{\mathbb{Z}}\)여야 한다.
더 일반적으로 만일 \(r\)차원 torus의 action이 주어졌다면 \(\mathfrak{t}\)는 \(\mathbb{R}^r\)일 것이며, 이 때 torus \(T\)를
\[T^r=\left\{(e^{2\pi i t_1}, \ldots e^{2\pi i t_r})\mid t_i\in \mathbb{R}/\mathbb{Z}\right\}\]으로 쓴다면 그 Lie algebra \(\mathfrak{t}\cong \mathbb{R}^r\) 중 weight가 될 수 있는 것은 \(\mathbb{Z}^r\)에 속하는 원소이며 따라서 weight \(\lambda\)는 다음의 \(r\)-tuple
\[\lambda=(n_1, \ldots, n_r)\]로 주어질 것이다. 명시적으로 이 weight는 임의의 \(X=(x_1,\ldots, x_r)\in \mathfrak{t}\)가 주어졌을 때 \(n_1x_1+\cdots+n_rx_r\)을 내놓는 linear functional이다.
선형대수학에서의 eigenspace decomposition에서와 마찬가지로, 각각의 weight에 대한 중복도가 \(1\)일 필요는 없다. 가령 다음의 torus action
\[e^{2\pi i t}\cdot(z_1, z_2)=(e^{4\pi i t}z_1, e^{4\pi i t} z_2)\]를 생각하면 이번에는 2차원 공간 \(\mathbb{C}^2\) 위에서 \(T\)가 weight \(2\)를 갖는 것처럼 행동하기 때문이다. 이와 같이 서로 같은 weight \(\lambda\)들을 갖는 성분들을 한데 모아 이를 \(V_\lambda\)라 하면, 우리는 weight space decomposition \(V=\bigoplus V_\lambda\)를 얻는다. 지금까지의 논의를 엄밀하게 정의로 적으면 다음과 같다.
정의 4 Torus \(T\)와 complex \(T\)-module \(V\)가 주어졌다 하자. Irreducible character \(\rchi_\lambda: T \rightarrow S^1\)와 그에 해당하는 linear functional \(\lambda:\mathfrak{t}\rightarrow\mathbb{C}\)에 대하여, \(\lambda\)가 \(V\)의 weight이라는 것은 다음 집합
\[V_\lambda=\left\{v\in V\mid t\cdot v=\rchi_\lambda(t)v\text{ for all $t\in T$}\right\}\]이 nontrivial인 것이다. 이 때, \(V_\lambda\)를 \(\lambda\)의 weight space라 하며, decomposition
\[V=\bigoplus_\lambda V_\lambda\]을 \(V\)의 weight decomposition이라 부른다.
극대 원환면
우리는 이 섹션에서 compact connected Lie group \(G\)의 임의의 원소는 항상 어떠한 maximal torus에 포함되어 있고, 또 모든 maximal torus는 서로 conjugate이라는 것을 보인다.
우리의 주장은 compact connected Lie group \(G\)와 그 maximal torus \(T\)에 대하여, 다음의 map
\[q: G/T\times T\rightarrow G; \qquad (g,t)\mapsto gtg^{-1}\]이 surjective라는 것이다. 그럼 특히 임의의 다른 torus \(T'\)와 그 generator \(t'\)에 대하여 \(gtg^{-1}=t'\)을 만족하는 \(t\in T\)를 찾을 수 있을 것이고, \(T\)와 \(T'\)의 maximality를 각각 사용하면 위에서 언급한 두 주장이 증명될 것이다.
우리는 이 map이 surjective라는 것 뿐만 아니라, 명시적인 mappuing degree까지 구해줄 수 있다. 이를 위해 다음을 정의하자.
정의 5 Compact, connected Lie group \(G\)와 maximal torus \(T\), 그리고 \(T\)의 normalizer
\[N=\{g\in G\mid gTg^{-1}=T\}\]에 대하여, group \(W=N/T\)를 \(G\)의 Weyl group바일 군으로 정의한다.
그럼 다음이 성립한다.
명제 6 Weyl group \(W=N/T\)는 항상 유한하다.
증명
정의에 의해 \(N\)은 \(T\) 위에 conjugation action
\[N\rightarrow\Aut(T);\qquad n\mapsto (t\mapsto ntn^{-1})\]으로 작용한다. 그런데 \(\Aut(T)\)는 torus \(T=\mathbb{R}^k/\mathbb{Z}^k\)의 lattice가 어디로 옮겨지는지에 의해 결정되고, 이는 \(\GL(k;\mathbb{Z})\)에 \(\Ad(n)\)을 통해 담겨있다. 즉 이 action은 \(N\)에서 \(\GL(k;\mathbb{Z})\)로의 연속함수로 생각할 수 있다. 그런데 \(\GL(k;\mathbb{Z})\)는 discrete이므로 \(N\)의 identity component \(N_0\)을 생각하면 \(N_0\)은 모두 항등행렬로 옮겨져야 한다. 즉, \(N_0\)은 \(T\) 위에 자명하게 작용한다.
이제 임의의 1-parameter subgroup \(\alpha:\mathbb{R}\rightarrow N_0\)에 대하여, \(\alpha(\mathbb{R})\cdot T=T\)가 성립해야 하고, 이로부터 \(\alpha(\mathbb{R})\subset T\)여야 함을 안다. 그런데 [미분다양체] §벡터장, ⁋정리 6에 의하여 이들은 \(N_0\)에서 항등원의 어떠한 열린근방을 덮으며, 따라서 \(N_0\)을 생성한다. 즉 \(N_0=T\)이다.
따라서 \(N/T\)는 정확하게 \(N\)의 connected component의 개수이며, \(N\)은 compact Lie group \(G\)의 closed subspace로서 마찬가지로 compact이므로 이것이 무한할 수 없다.
이제 우리의 주장은 다음과 같다.
보조정리 7 Compact, connected Lie group \(G\), maximal torus \(T\)와 함수
\[q:G/T\times T\rightarrow G;\qquad (gT, s)\mapsto gsg^{-1}\]에 대하여, \(q\)의 mapping degree는 \(\lvert W\rvert\)이다.
증명
Mapping degree를 계산하기 위해서는 regular value 하나를 선택한 후 그 preimage를 모두 찾고, 각각의 preimage에서의 differential의 sign을 계산하면 된다.
이를 위해 먼저 \(T\)의 generator \(t\)를 하나 택하고 그 preimage \(q^{-1}(t)\)를 생각하자. 임의의 \((gT,s)\in G/T\times T\)에 대하여, \(q(gT,s)=t\)라는 것은 \(gsg^{-1}=t\)라는 것이다. 한편 \(g^{-1}tg=s\in T\)이고,
\[\overline{\langle s\rangle}=g^{-1}\overline{\langle t\rangle}g=g^{-1}Tg\]인데, \(s\in T\)이므로 \(g^{-1}Tg\subseteq T\)이다. 그런데 conjugation을 취하는 것은 homeomorphism이므로 \(g^{-1}Tg\)는 \(T\)와 isomorphic한 torus이고, 이로부터 \(g^{-1}Tg=T\)이며 \(g\in N=N_G(T)\)인 것을 안다. 또한 \(s=g^{-1}tg=(gT)\cdot t\)이므로,
\[q^{-1}(t)=\{(gT, (gT)\cdot t)\mid gT\in W\}\]이다. 여기서 \(W\)가 \(N/T\)로 정의된 Weyl group이며, 우리는 \(q^{-1}(t)\)가 \(W\)와 일대일 대응됨을 안다.
따라서 남은 것은 이들이 모두 같은 sign을 가져서 mapping degree가 정확히 \(\lvert W\rvert\)로 나온다는 것을 보이는 것이다. 이를 위해 \(G/T\times T\)와 \(G\)의 tangent space를 모두 \(\mathfrak{g}\)와 동일시한다. 구체적으로, Lie algebra \(\mathfrak{g}\)를 \(\mathfrak{t}\)와 그 orthogonal complement \(\mathfrak{f}=\mathfrak{t}^\perp\)의 direct sum
\[\mathfrak{g}=\mathfrak{t}\oplus\mathfrak{f}\]으로 분해하면, 원점 근처에서 \(T\)의 tangent space는 \(\mathfrak{t}\)이고 \(G/T\)의 tangent space는 \(\mathfrak{f}\)로 주어진다. 따라서 \(G/T\times T\)의 tangent space는 \(\mathfrak{t}\oplus\mathfrak{f}\cong\mathfrak{g}\)이다.
한편 임의의 \(X\in\mathfrak{t}\)와 \(Y\in\mathfrak{f}\)에 대하여, \(q\)의 \((eT,t)\)에서의 differential은 다음과 같이 계산된다. 방향 \(X\)에 대하여, 즉 \(T\) 방향으로의 변화를 생각하면
\[d q_{(eT,t)}(X,0)=\frac{d}{d\epsilon}\bigg\vert_{\epsilon=0}q(eT, t\exp(\epsilon X))=\frac{d}{d\epsilon}\bigg\vert_{\epsilon=0}t\exp(\epsilon X)=X\]이다. 여기서 \(T\)가 abelian이므로 \(t\)와 \(\exp(\epsilon X)\)가 commute함을 사용하였다. 다음으로 방향 \(Y\)에 대하여, 즉 \(G/T\) 방향으로의 변화를 생각하면
\[d q_{(eT,t)}(0,Y)=\frac{d}{d\epsilon}\bigg\vert_{\epsilon=0}q(\exp(\epsilon Y)T, t)=\frac{d}{d\epsilon}\bigg\vert_{\epsilon=0}\exp(\epsilon Y)t\exp(-\epsilon Y)\]이다. 이제 \(t=\exp(H)\) (\(H\in\mathfrak{t}\))로 쓰면,
\[\exp(\epsilon Y)t\exp(-\epsilon Y)=\exp(\epsilon Y)\exp(H)\exp(-\epsilon Y)=\exp(\Ad_{\exp(\epsilon Y)}(H))=\exp(e^{\epsilon\ad_Y}H)\]이고, 따라서
\[\frac{d}{d\epsilon}\bigg\vert_{\epsilon=0}\exp(\epsilon Y)t\exp(-\epsilon Y)=\frac{d}{d\epsilon}\bigg\vert_{\epsilon=0}\exp(H+\epsilon[Y,H])=\exp(H)\cdot [Y,H]\]이다. 여기서 \(\mathfrak{t}\)가 abelian이므로 \([Y,H]\in\mathfrak{f}\)이고, \(\exp(H)=t\)이므로 이는 \(t\cdot(\Ad_t^{-1}(Y)-Y)\)로 쓸 수 있다. 정리하면, 적절한 identification 하에서
\[d q_{(eT,t)}=\begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & \Ad_t^{-1}\vert_\mathfrak{f}-I \end{pmatrix}\]이다. 여기서 첫 번째 block은 \(\mathfrak{t}\) 방향, 두 번째 block은 \(\mathfrak{f}\) 방향에 해당한다.
이제 \(\Ad_t^{-1}\vert_\mathfrak{f}-I\)가 가역이며, 모든 preimage에서 sign이 맞아떨어짐을 보인다. 만약 \((\Ad_t^{-1}-I)Y=0\)인 \(Y\in\mathfrak{f}\)가 존재한다면, \(\Ad_t(Y)=Y\)이다. 그럼 임의의 정수 \(m\)에 대하여 \(\Ad_{t^m}(Y)=Y\)이고, \(t\)가 generator라는 가정으로부터 모든 \(s\in T\)에 대하여 \(\Ad_s(Y)=Y\)이다. 이제 임의의 \(H\in\mathfrak{t}\)에 대하여,
\[[H,Y]=\frac{d}{d\epsilon}\bigg\vert_{\epsilon=0}\Ad_{\exp(\epsilon H)}(Y)=0\]이므로 \(Y\)는 \(\mathfrak{t}\)의 모든 원소와 commute한다. 그런데 \(\mathfrak{t}\)는 maximal abelian subalgebra이므로 \(Y\in\mathfrak{t}\)이고, 따라서 \(Y\in\mathfrak{f}\cap\mathfrak{t}=\{0\}\)이다. 즉 \(\Ad_t^{-1}\vert_\mathfrak{f}-I\)는 가역이다.
마지막으로, \(q^{-1}(t)\)의 모든 점에서 \(dq\)의 determinant가 같은 부호를 갖는지 확인하자. 임의의 \(w\in W\)를 택하고 이를 \(x\in N\)이 represent한다 하자. 그럼 \(q(xT,x^{-1}tx)=t\)이므로 \((xT, x^{-1}tx)\in q^{-1}(t)\)이다. 이 점에서의 differential을 계산하기 위해, \(q\)의 정의로부터
\[q(gT, s)=gsg^{-1}\]이므로, left translation by \(x\)와 conjugation by \(x\)를 고려하면
\[d q_{(xT, x^{-1}tx)}=\Ad_x\circ d q_{(eT, t)}\circ (\text{left translation})\]이다. 특히 \(\Ad_x\vert_\mathfrak{f}\)와 \(\Ad_x\vert_\mathfrak{t}\)는 모두 determinant가 \(1\)인 linear map이며 (전자는 orthogonal map이므로, 후자는 \(x\in N\)이므로 \(\Ad_x\)가 \(\mathfrak{t}\)를 보존하므로), 따라서 \(d q_{(xT, x^{-1}tx)}\)의 determinant는 \(d q_{(eT,t)}\)의 determinant와 같다.
한편 \(\det(\Ad_t^{-1}\vert_\mathfrak{f}-I)\)는 \(w\cdot t\)에 대해서도 동일하다. 실제로
\[\Ad_{wt^{-1}w^{-1}}\vert_\mathfrak{f}-I=\Ad_w\circ(\Ad_t^{-1}\vert_\mathfrak{f}-I)\circ\Ad_w^{-1}\]이므로, 이 두 operator는 similar하고 따라서 같은 determinant를 갖는다.
이상에서 \(t\)는 \(q\)의 regular value이고, \(q^{-1}(t)\)의 원소 개수는 \(\lvert W\rvert\)이며, 모든 preimage 점에서 \(dq\)의 determinant는 같은 부호를 갖는다는 것을 확인하였다. 따라서 적절한 orientation 선택 하에서 \(\deg q=\lvert W\rvert\)이다.
위에서 언급한 것과 같이, 이 보조정리로부터 이 섹션의 핵심적인 내용이 바로 따라나온다.
정리 8 Compact connected Lie group \(G\)에 대해 다음이 성립한다.
- \(G\)의 임의의 원소는 어떠한 maximal torus에 포함되어 있다.
- \(G\)의 두 maximal torus는 항상 conjugate이다.
따라서 우리는 임의의 compact connected Lie group \(G\)와 maximal torus \(T\)에 대하여, 다음의 decomposition
\[G=\bigcup_{g\in G}gTg^{-1}\]을 얻는다. 이를 Cartan decomposition이라 부른다.
Weyl group parametrization
Cartan decomposition은 \(G\)의 각 원소가 어떠한 maximal torus에 속한다는 것을 말해주지만, 이 decomposition을 더 명시적으로 기술할 수 있다. 핵심은 보조정리 7에서 정의한 map
\[q:G/T\times T\rightarrow G;\qquad (gT,t)\mapsto gtg^{-1}\]이 \(\lvert W\rvert\)-to-1 covering이라는 사실이다. 이로부터 \(G\)의 각 원소는 \(\lvert W\rvert\)개의 preimage를 가지며, 이들 간의 관계를 Weyl group이 정확히 기술해준다.
구체적으로, \(G/T\times T\) 위에 다음의 \(W\)-action을 정의하자.
\[w\cdot(gT, t)=(gw^{-1}T, wtw^{-1})\]그럼
\[q(w\cdot(gT,t))=q(gw^{-1}T, wtw^{-1})=gw^{-1}(wtw^{-1})wg^{-1}=gtg^{-1}=q(gT,t)\]이므로 \(q\)는 \(W\)-invariant이고, 따라서 orbit space \((G/T\times T)/W\)에서 \(G\)로의 함수
\[(G/T\times T)/W\rightarrow G\]을 유도한다. 보조정리 7은 이 함수가 bijection임을 증명한다.
한편, \(G\)의 conjugacy class들의 공간을 \(\Conj(G)\)라 하자. 그럼 각 conjugacy class
\[[g]=\{hgh^{-1}\mid h\in G\}\]는 \(T\)와 \(W\)를 통해 다음과 같이 기술된다.
명제 9 Maximal torus \(T\)의 두 원소가 \(G\)에서 conjugate인 것과 이들이 Weyl group action의 같은 orbit에 속하는 것이 동치이다.
증명
\(T\)의 두 원소 \(x,y\)가 서로 conjugate이라 하자. 즉 적당한 \(g\in G\)에 대하여 \(gxg^{-1}=y\)이다. 이제 \(T\)와 \(gTg^{-1}\)을 비교하면 이들은 \(y\)의 centralizer \(Z_G(y)\)의 maximal torus이다. 따라서 \(T=h(gTg^{-1})h^{-1}\)이도록 하는 \(h\in Z_G(y)\)가 존재하며, 이로부터 \((hg)x(hg)^{-1}=y\)이고 \(hg\in N_G(T)\)이다. 즉 \(y=(hgT)\cdot x\)이므로 \(x\)와 \(y\)는 같은 \(W\)-orbit에 속한다.
역으로, \(x,y\)가 같은 \(W\)-orbit에 속한다면 자명히 \(G\)에서 conjugate이다.
이로부터 각 conjugacy class \([g]\)에 대하여, \([g]\cap T\)는 정확하게 하나의 \(W\)-orbit임을 안다. 따라서 우리는 다음의 일대일대응을 얻는다.
명제 10 \(T/W\)와 \(\Conj(G)\) 사이에는 자연스러운 일대일대응이 존재한다.
이 일대일대응 하에서, \(G\) 위의 conjugation action은 \(T/W\) 위에서 자명하게 작용한다. 즉, \(G\)의 각 원소는 자신이 속한 conjugacy class를 보존한다.
Conjugation action의 분해
이제 \(G\)가 자기 자신에게 conjugation으로 작용하는 상황을 살펴보자. 이를 위해 각 \(g'\in G\)에 대하여, conjugation map
\[c_{h}:G\rightarrow G;\qquad g\mapsto hgh^{-1}\]을 정의한다. 우리의 목표는 이를 \((G/T\times T)/W\)로 옮긴 후 이것이 어떻게 작용하는지를 구체적으로 살펴보는 것이다.
먼저 다음을 관찰하자. 임의의 \((gT, t)\in G/T\times T\)와 \(h\in G\)에 대하여,
\[c_{h}(gtg^{-1})=h(gtg^{-1})h^{-1}=(hg)t(hg)^{-1}=q(hgT, t)\]이 성립한다. 즉, \((G/T\times T)/W\cong G\)를 통해 \(c_h\)를 \(G/T\times T\)로 옮겨왔을 때 \(c_h\)는 \((gT, t)\)를 \((hgT, t)\)로 보내므로, \(G/T\times T\) 위에 다음의 \(G\)-action이 정의된 것으로 생각할 수 있다.
\[h\cdot(gT,t)=(hgT,t)\]이제 이 action이 \(W\)-action과 commute하는 것은 자명하며, 따라서 \(G\)는 quotient \((G/T\times T)/W\) 위에도 잘 정의된 action을 유도한다. 이 observation으로부터 다음을 얻는다.
명제 11 Identification \((G/T\times T)/W\cong G\) 하에서, conjugation action은 다음과 같이 표현된다.
\[h\cdot[(gT,t)]=[(hgT,t)]\]즉, \(G/T\) 성분에는 left multiplication으로 작용하고, \(T\) 성분은 보존한다.
한편, 우리는 명제 10에 의하여 \(T/W\)와 \(\Conj(G)\) 사이에 일대일대응이 존재함을 안다. \(c_h\)는, 정의에 의해, \(G\)의 conjugacy class를 변화시키지 않으며 이것이 위의 명제에서 \(T\) 방향의 변화가 없는 것으로 반영된 것을 확인할 수 있다. 그 대신 conjugation action은 정확하게 \(G/T\) 위에 작용하는 것으로 생각할 수 있다.
이제 \(G/T\) 위에서의 \(G\)-action을 더 자세히 이해하기 위해, 우리는 이 공간을 Weyl group을 이용히여 다시 쓸 것이다. 우선 \(N=N(T)\)에 대하여, 다음의 projection map
\[\pi: G/T\rightarrow G/N;\qquad gT\mapsto gN\]을 생각하자. 그럼 각각의 coset \(gN\in G/N\)에 대하여, 그 fiber는
\[\pi^{-1}(gN)=\{hT\mid h\in gN\}=\{gxT\mid x\in N\}\]이며, \(g\)가 고정되어 있으므로 이 fiber는 본질적으로 \(\{xT\mid x\in N\}\), 즉 \(N/T\)와 같다. 더 나아가 위상적으로 \(\pi\)는 정확하게 \(\lvert W\rvert\)-fold covering map이라는 것을 확인할 수 있다. ([대수적 위상수학] §피복공간, ⁋정의 3) 더 정확히 이는 각 fiber가 \(W\)인 principal \(W\)-bundle이다.
예시: \(\SU(2)\)
지금까지의 논의를 compact connected Lie group
\[\SU(2)=\{A\in\GL(2;\mathbb{C})\mid A^\dagger A=I,\det A=1\}=\left\{\begin{pmatrix}\alpha&-\overline{\beta}\\\beta&\overline{\alpha}\end{pmatrix}\,\middle\vert\;\alpha,\beta\in \mathbb{C},\lvert\alpha\rvert^2+\lvert\beta\rvert^2=1\right\}\]에서 확인해보자. 우선 \(\SU(2)\)의 maximal torus를 구해야 한다. 우리의 주장은 다음 집합
\[T=\left\{\begin{pmatrix}e^{i\theta}&0\\0&e^{-i\theta}\end{pmatrix}\,\middle\vert \;\theta\in\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}\right\}\]이 \(\SU(2)\)의 (한) maximal torus라는 것이다. \(T\)가 \(1\)차원 torus인 것은 자명하므로, maximalilty만 보이면 충분하다. 이를 위해 \(T\)를 포함하는 \(\SU(2)\)의 abelian subgroup \(A\)가 주어졌다 하면, 임의의 원소
\[\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\in A\]가 \(T\)의 모든 원소와 commute해야 하므로 특히
\[\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}\]와 commute해야 하고, 이를 계산하면
\[\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ai&-bi\\ci&-di\end{pmatrix},\qquad \begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ai&bi\\-ci&-di\end{pmatrix}\]이므로 이로부터 \(b=c=0\)이어야 함을 안다. 이로부터 \(A\subset T\)임을 안다.
이제 Weyl group을 계산하기 위해 \(T\)의 normalizer \(N=N_{\SU(2)}(T)\)이 다음의 식
\[N=T\cup \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}T\]으로 주어진다는 것을 보이자. 우선 임의의 \(g\in \SU(2)\)에 대하여,
\[g=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\]라 적으면
\[g \begin{pmatrix}e^{i\theta}&0\\0&e^{-i\theta}\end{pmatrix}g^{-1} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{i\theta} & 0 \\ 0 & e^{-i\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \overline{a} & \overline{c} \\ \overline{b} & \overline{d} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lvert\alpha\rvert^2 e^{i\theta} + \lvert b\rvert^2 e^{-i\theta} & a\overline{c}e^{i\theta} + b\overline{d}e^{-i\theta} \\ c\overline{a}e^{i\theta} + d\overline{b}e^{-i\theta} & \lvert c\rvert^2 e^{i\theta} + \lvert d\rvert^2 e^{-i\theta} \end{pmatrix}\]이므로 이것이 \(T\)에 속하기 위해서는 모든 \(\theta\)에 대해
\[a\overline{c}e^{i\theta}+b\overline{d}e^{-i\theta}=0\]이 성립해야 하므로, \(a\overline{c}=0\)이고 \(b\overline{d}=0\)이어야 한다. 만일 \(a\neq 0\)이라면, \(\overline{c}=0\)이므로 \(c=0\)이어야 하고, \(ad-bc=1\)로부터 \(d=\overline{a}\)이고 따라서 \(b\overline{d}=0\)으로부터 \(b=0\)이어야 한다. 즉 이 경우 \(g\in T\)이다. 만일 \(a=0\)이라면, \(\lvert a\rvert^2+\lvert b\rvert^2=1\)이므로 \(\lvert b\rvert=1\)이고, \(ad-bc=1\)로부터 \(c=\overline{b}\)여야 하고 비슷하게 \(d=0\)이어야 함을 안다. 이로부터 \(g\)가
\[\begin{pmatrix}0&e^{i\alpha}\\ -e^{-i\alpha}&0\end{pmatrix}\]꼴이어야 하므로, 이로부터 \(N\)이 위의 식으로 주어지는 것을 확인할 수 있다. 뿐만 아니라, Weyl group \(W\cong\mathbb{Z}_2\)의 nontrivial element는 \(\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\)에 해당하며 이 원소의 \(T\)에서의 action은
\[\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}e^{i\theta}&0\\0&e^{-i\theta}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}e^{-i\theta}&0\\0&e^{i\theta}\end{pmatrix}\]이므로 torus \(S^1\) 위에서의 reflection \(\theta\mapsto -\theta\)에 해당한다.
이제 \(\SU(2)\)의 \(\mathbb{C}^2\) 위에서의 자명한 representation을 생각하면, \(\Aut(\mathbb{C}^2)=\GL(2;\mathbb{C})\)이며 따라서 representation \(\rho:\SU(2)\rightarrow \GL(2;\mathbb{C})\)는 inclusion이다. 이를 torus \(T\)로 제한한 것도 마찬가지이며, 이로부터 \(T\)의 weight는 각각 \(\theta, -\theta\), 그리고 이에 해당되는 weight space는 \(\mathbb{C}e_1\), \(\mathbb{C}e_2\)이며 weight decomposition은 \(\mathbb{C}e_1\oplus \mathbb{C}e_2\)임을 안다. 이 위에서 Weyl group은 weight를 서로 바꿔주는 것으로 작용함을 확인할 수 있다.
Weyl chamber
마지막으로 우리는 다음 글에서 다룰 root system의 motivation을 맛볼 수 있는 정의를 살펴본다. 보조정리 7에서, 우리가 \(T\)의 generator \(t\)에서의 \(q\)에 대한 preimage를 계산하고 그 개수가 \(\lvert W\rvert\)개임을 확인하였다. 이제 \(T\)위에 \(W\)가 작용한다는 것을 알게되었으므로 이 조건을 다음과 같이 쓸 수 있다.
정의 12 Maximal torus \(T\)의 원소 \(t\)가 regular라는 것은 \(wtw^{-1}=t\)를 만족하는 \(w\in W\)가 오직 \(w=e\)뿐인 것이다. 반대로, \(wtw^{-1}=t\)인 \(w\neq e\)가 존재하면 \(t\)를 singular라 한다.
즉, regular element는 Weyl group action의 stabilizer가 자명한 원소이고, singular element는 비자명한 stabilizer를 갖는 원소이다. 일반적으로 \(q\)의 mapping degree를 계산하기 위해서는 \(q\)의 regular value에서의 값을 계산해야 하는데, orbit-stabilizer theorem을 생각하면 preimage가 이와 같이 \(\lvert W\rvert\)개의 image를 가지기 위해서는 반드시 stabilizer가 trivial해야한다는 것을 안다. 이로부터 이러한 원소를 regular element라 부르는 것이 자연스럽다.
예시 13 \(\SU(2)\)의 경우, \(T=\{\text{diag}(e^{i\theta}, e^{-i\theta})\}\)이고 \(W=\mathbb{Z}_2\)가 \(\theta\mapsto -\theta\)로 작용한다. 따라서:
- Regular: \(\theta \neq 0, \pi\)인 원소들. 이들은 reflection의 fixed point가 아니다.
- Singular: \(\theta=0\) (항등원)과 \(\theta=\pi\) (\(\text{diag}(-1,-1)\)). 이들은 reflection에 의해 고정된다.
Torus \(T\cong S^1\)에서 singular 원소는 정확히 두 점이며, regular 원소들은 그 여집합이다.
일반적으로 다음이 성립한다.
명제 14 Compact connected Lie group \(G\)의 maximal torus \(T\)에 대하여:
- Regular 원소들은 \(T\)에서 dense open subset을 이룬다.
- Singular 원소들은 \(T\)에서 codimension \(\geq 1\)인 closed subset을 이룬다.
- Singular 원소들의 집합은 유한 개의 subgroup들의 합집합이다.
증명
(1)과 (2): 각 \(w\in W\), \(w\neq e\)에 대하여, fixed point set \(\{t\in T: wtw^{-1}=t\}\)는 \(T\)의 proper closed subgroup이다. Singular 원소들의 집합은 이들의 유한 합집합이므로 closed이고, 그 여집합(regular 원소들)은 dense open이다.
(3): 각 \(w\neq e\)에 대한 fixed point set이 \(T\)의 closed subgroup이고, \(W\)가 유한이므로 유한 개의 subgroup들의 합집합이다.
Singular 원소들이 \(T\)에서 형성하는 집합은 torus를 여러 조각으로 나눈다. 가령 \(\SU(2)\)의 경우, singular 원소 두 점이 \(S^1\)을 두 개의 반원으로 나눈다. 각 반원에서 Weyl group은 free action을 정의하며, Weyl group action은 이들을 서로 대응시켜주는 역할을 한다.
이 관점에서 보면, \(T\)의 regular 원소들의 quotient \(T_{\text{reg}}/W\)는 연결된 공간이며, 이를 Weyl chamber의 개념과 연결할 수 있다. \(\SU(2)\)의 경우 \(T_{\text{reg}}/W \cong (0,\pi)\)는 1차원 interval이고, 이것이 바로 1차원 Weyl chamber에 해당한다.
더 일반적인 Lie group에서는 singular 원소들이 torus를 여러 chamber들로 나누고, 각 chamber는 Weyl group action의 fundamental domain 역할을 한다. 이것이 다음 글에서 다룰 root system과 Weyl chamber의 기하적 토대가 된다.
참고문헌
[Bro] Armand Borel, Linear Algebraic Groups, Graduate texts in mathematics, Springer, 1991.
[BtD] Theodor Bröcker, Tammo tom Dieck, Representations of Compact Lie Groups, Graduate texts in mathematics, Springer, 1985.
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