원환면의 작용

임의의 유한군 $G$가 주어졌을 때 이를 잘 살펴보는 방법 중 하나는 그 유한차원 representation

\[\rho:G\rightarrow \Aut(V)\]

을 보는 것이다. $V$의 basis를 선택하고 나면 $\rho$에 의한 $G$의 image를 다루는 것은 선형대수에 불과하므로 우리는 $G$의 구조를 훨씬 쉽게 알아낼 수 있다.

Lie group의 경우 이러한 표현론적 관점은 더 도움이 되는데, Lie group은 $\GL(n;\mathbb{R})$이나 $\Diff(M)$과 같이, 본질적으로 다른 대상 위에 작용하는 것이기 때문이다.

다만 [표현론] §유한군의 표현론, ⁋정의 1에서처럼 $G$의 representation theory를 정의하면 Lie group $G$ 위에 있는 smooth structure는 놓치게 되므로, 다음과 같이 정의해주어야 한다.

정의 1 Lie group $G$에 대하여, $G$의 representation_표현은 유한차원 벡터공간 $V$와, smooth map

\[\rho:G\rightarrow \Aut(V)\]

이 주어진 것이다.

만일 $G$를 discrete topology와 자명한 smooth structure가 주어진 Lie group으로 본다면 이 정의는 [표현론] §유한군의 표현론, ⁋정의 1의 일반화라 생각할 수도 있다. 비슷하게 [표현론] §유한군의 표현론, §§표현론의 기본 개념들에 있는 모든 정의를 Lie group에 대해서도 할 수 있다.

이 글에서 중요한 역할을 했던 것은 group $G$가 유한군이라는 사실이었다. 가령 $G$의 모든 원소에 대해 평균을 내는 아이디어는 이러한 사실을 바탕으로 했다. 이를 Lie group으로 일반화하기 위해서는 $G$에 어떠한 종류의 유한성을 강제해야 한다.

우리는 따라서 $G$가 compact Lie group인 경우를 종종 다루게 된다. 이 경우, locally compact Hausdorff space로서 $G$ 위에는 Haar measure가 존재하며 따라서 $G$의 원소들에 대한 합을 $G$ 전체에 대한 적분으로 바꿔 쓸 수 있다. 물론 이를 위해서는 $\delta_x$ 함수를 잘 정의하고, 함수공간을 적당한 공간으로 일반화하는 작업을 거쳐야 하지만 이러한 작업은 우리의 현재 목적이 아니므로 생략하기로 혼다. 중요한 것은 리 군의 표현론 또한 유한군의 표현론과 같은 방법론을 통해 접근할 수 있다는 것이다. 특히 임의의 finite-dimensional representation은 irreducible decomposition들의 direct sum으로 나타낼 수 있다.

한편, 유한차원 representation $G\rightarrow\Aut(V)$가 주어졌다 할 때, 가장 좋은 점은 이들의 image $\rho(g)$들을 (basis의 선택을 통해) 행렬로 생각할 수 있다는 것이다. 따라서 이를 통해 우리는 행렬과 선형사상에 대한 우리의 도구들을 사용하여 이를 탐구할 수 있다.

선형대수에서 가장 중요한 도구 중 하나는 대각화이다. 따라서 우리는 주어진 Lie group action $\rho:G \rightarrow \Aut(V)$에 대하여, $V$의 basis를 적당히 택하여 $\rho(g)$의 행렬표현을 대각행렬로 만드는 데에 관심이 있다. 만일 $G$가 유한군이었다면, 각각의 $g$에 대해 이러한 basis를 찾아줄 수 있었겠지만 현재는 $G$가 무한하므로 이러한 일을 하기 힘들다. 따라서 우리는 simultaneously diagonalizable인 원소들에 자연스럽게 관심을 갖게 된다. 그런데 [선형대수학] §고유공간분해, ⁋명제 10은 두 diagonalizable matrix가 simultaneously diagonalizable일 필요충분조건은 이들이 commute하는 것임을 알고 있으므로, 다음 정의를 내리는 것이 합당하다.

정의 2 Compact, connected Lie group $G$에 대하여, $G$의 subgroup $T$가 maximal torus라는 것은 $T$가 torus이고, 포함관계에 대하여 maximal인 것이다.

Lie algebra $\mathfrak{g}$의 임의의 원소 $X$를 택한 후, 이 방향으로의 exponential map이 그리는 one-parameter subgroup의 closure가 torus가 된다. 따라서 maximal torus의 존재성은 [집합론] §선택공리, ⁋정리 4에 의해 자명하다.

Weight decomposition

우리의 주장은 $\rho(T)$가 simultaneously diagonalizable이라는 것이다. 이를 위해서는 $\rho(T)$의 각각의 원소들이 diagonalizable인 것을 보이면 충분하다. 이를 위해 임의의 finite-dimensional representation $\rho:G\rightarrow \Aut(V)$을 생각하고 이를 maximal torus $T$로 제한한 representation $\rho\vert_T$을 생각하자. 가장 먼저 확인할 수 있는 것은 $T$가 compact Lie group이라는 사실이다. 따라서 [표현론] §유한군의 표현론, ⁋명제 6과 [표현론] §유한군의 표현론, ⁋보조정리 8이 모두 성립한다.

보다 자세하게 이들을 하나하나 써 보면, 우선 $\rho\vert_T$가 unitary representation이라는 사실로부터 우리는 다음의 irreducible decomposition

\[V=\bigoplus_i V_i\]

을 생각할 수 있다. 여기에서 각각의 $V_\lambda$는 irreducible $T$-representation들이다. 한편, $T$가 abelian이므로 임의의 $t\in T$에 대하여, $\rho(t)$은 $T$-action과 모두 commute하고, 따라서 각각의 $V_i$로 제한하였을 때 $\rho(t)$는 $T$-automorphism이다. 이제 [표현론] §유한군의 표현론, ⁋보조정리 8의 두 번째 결과에 의하여 $\rho(t)$는 상수배

\[\rho(t)(v)=\lambda_i(t)v\qquad \lambda_i(t)\in \mathbb{C}^\times\]

로 주어진다. 그런데 이제 $V_i$ 위에서 $T$가 상수배들로 작용한다면, $V_i$의 임의의 부분공간은 $T$-invariant일 것이며 따라서 $V_i$가 irreducible이기 위해서는 반드시 $\dim V_i=1$이어야만 한다.

이제 $\dim V_i=1$이므로 $\Aut(V_i)\cong \mathbb{C}^\times$이고, 우리는 위의 $\lambda_i: T\rightarrow \mathbb{C}^\times$가 정확하게 $\rho$의 character에 해당하고, 따라서 irreducible decomposition이 직접적으로 character $\lambda_i$에 의해 parametrize되는 것으로 생각할 수 있다. 즉 다음의 식

\[V=\bigoplus_\lambda V_\lambda;\qquad V_\lambda=\{t\cdot v=\lambda(t)v\text{ for all $t\in T$}\}\]

을 통해 irreducible decomposition이 주어진 것으로 생각하자. 그럼 각각의 $t\in T$에 대하여, $\rho(t)$는 바로 이 decomposition에 의하여 대각화되고, 각각의 eigenspace $V_\lambda$에 해당하는 고유값은 $\lambda(t)$이다. 이와 다른 $t$의 선택은 위의 decomposition은 그대로 두고, 각각의 eigenspace $V_\lambda$에 해당하는 고유값만 바뀌는 것이다.

직관적으로 $t\mapsto e^{2\pi i\lambda_i(X)}$를 각속도 $\lambda_i(X)$를 갖는 각운동이라 생각할 수 있고, 이러한 관점을 도입하면 우리는 각각의 $X\in \mathfrak{t}$가 주어졌을 때, 이 방향으로의 각속도 $\lambda_i(X)$가 얼마인지를 통해 이 torus action을 설명할 수 있다는 것을 안다. 이 때 각각의 $\lambda_i$들을 우리는 weight라 부른다. 그럼 우리는 각각의 weight $\lambda_i$마다 적당한 $V_i$가 존재하여, 이 위에서는 torus action이 $t\cdot v=\rchi_{\lambda_i}(t)v$로 작동하는 것을 안다. 이러한 $V_i$를 weight space라 부른다.

예시 3 특별한 예시로, 1차원 torus

\[S^1\cong T \cong \mathbb{R}/\mathbb{Z}\]

을 생각하면, $S^1$은 다음의 집합

\[S^1=\left\{e^{2\pi i t}\mid t\in \mathbb{R}/\mathbb{Z}\right\}\]

으로 생각할 수 있다. 이제 이 집합이 2차원 벡터공간 $\mathbb{C}^2$ 위에 다음의 식

\[e^{2\pi i t}\cdot (z_1,z_2)=(e^{4\pi i t}z_1, e^{-2\pi i t}z_2)\]

으로 act한다고 하자. 이 action은 작위적으로 보이지만, 위에서 살펴본 것과 같이 임의의 torus $T$와 임의의 representation $V$가 주어졌다면 $V$의 irreducible decomposition을 생각하고 각각의 irreducible component의 basis $e_i$들을 택하면 모든 torus action은 (적당한 basis의 선택에 의해) 이러한 꼴로 나타나는 것을 안다.

이를 행렬로 나타내면, 위의 action은 $\GL(2;\mathbb{C})$의 원소(들의 family)

\[\begin{pmatrix}e^{4\pi i t}&0\\0&e^{-2\pi i t}\end{pmatrix}\]

로 나타낼 수 있다. 이 때 이 행렬의 trace $e^{4\pi i t}+e^{-2\pi i t}$가 바로 이 representation의 character이다.

이 action의 weight space는 $\span(e_1), \span(e_2)$임이 자명하며, 가령 $\span(e_1)$에 해당하는 weight는 다음의 식

\[\rchi_{\lambda_1}(\exp (X))=e^{2\pi i \lambda_1(X)}\qquad\text{for all $X\in \mathfrak{t}$}\]

을 만족하는 linear functional $\lambda_1:\mathfrak{t}\rightarrow \mathbb{C}$으로 주어진다. 이는 당연히 $1\in \mathbb{R}$을 $2$로 보내는 $\lambda_1(t)=2t$에 의해 정의되며 따라서 이 weight space에 해당하는 weight는 (약간의 abuse of notation을 통해) $2$라 할 수 있다. 이 때 $\lambda$가 위의 식을 만족하기 위해서는, $e^{2\pi i}=1$이므로, 반드시 $\lambda(1)\in \mathbb{\mathbb{Z}}$여야 한다.

더 일반적으로 만일 $r$차원 torus의 action이 주어졌다면 $\mathfrak{t}$는 $\mathbb{R}^r$일 것이며, 이 때 torus $T$를

\[T^r=\left\{(e^{2\pi i t_1}, \ldots e^{2\pi i t_r})\mid t_i\in \mathbb{R}/\mathbb{Z}\right\}\]

으로 쓴다면 그 Lie algebra $\mathfrak{t}\cong \mathbb{R}^r$ 중 weight가 될 수 있는 것은 $\mathbb{Z}^r$에 속하는 원소이며 따라서 weight $\lambda$는 다음의 $r$-tuple

\[\lambda=(n_1, \ldots, n_r)\]

로 주어질 것이다. 명시적으로 이 weight는 임의의 $X=(x_1,\ldots, x_r)\in \mathfrak{t}$가 주어졌을 때 $n_1x_1+\cdots+n_rx_r$을 내놓는 linear functional이다.

선형대수학에서의 eigenspace decomposition에서와 마찬가지로, 각각의 weight에 대한 중복도가 $1$일 필요는 없다. 가령 다음의 torus action

\[e^{2\pi i t}\cdot(z_1, z_2)=(e^{4\pi i t}z_1, e^{4\pi i t} z_2)\]

를 생각하면 이번에는 2차원 공간 $\mathbb{C}^2$ 위에서 $T$가 weight $2$를 갖는 것처럼 행동하기 때문이다. 이와 같이 서로 같은 weight $\lambda$들을 갖는 성분들을 한데 모아 이를 $V_\lambda$라 하면, 우리는 weight space decomposition $V=\bigoplus V_\lambda$를 얻는다. 지금까지의 논의를 엄밀하게 정의로 적으면 다음과 같다.

정의 4 Torus $T$와 complex $T$-module $V$가 주어졌다 하자. Irreducible character $\rchi_\lambda: T \rightarrow S^1$와 그에 해당하는 linear functional $\lambda:\mathfrak{t}\rightarrow\mathbb{C}$에 대하여, $\lambda$가 $V$의 weight이라는 것은 다음 집합

\[V_\lambda=\left\{v\in V\mid t\cdot v=\rchi_\lambda(t)v\text{ for all $t\in T$}\right\}\]

이 nontrivial인 것이다. 이 때, $V_\lambda$를 $\lambda$의 weight space라 하며, decomposition

\[V=\bigoplus_\lambda V_\lambda\]

을 $V$의 weight decomposition이라 부른다.

바일 군

Maximal torus의 중요성은 다음 정리에서도 나타난다.

정리 5 Compact connected Lie group $G$에 대해 다음이 성립한다.

1. $G$의 임의의 두 maximal torus는 conjugate이다.
2. $G$의 임의의 원소는 어떠한 maximal torus에 포함되어 있다.

따라서 우리는 임의의 compact connected Lie group $G$와 maximal torus $T$에 대하여, 다음의 decomposition

\[G=\bigcup_{g\in G}gTg^{-1}\]

을 얻는다. 이를 Cartan decomposition이라 부른다.

물론 이 decomposition이 완전한 것은 아니다. 가령 이는 disjoint union이 아니므로 어떤 의미에서는 완전한 decomposition이라 보기 힘들다. 이를 더 잘 쓰기 위해 다음을 정의하자.

정의 6 Compact, connected Lie group $G$와 maximal torus $T$, 그리고 $T$의 normalizer

\[N=\{g\in G\mid gTg^{-1}=T\}\]

에 대하여, group $W=N/T$를 $G$의 Weyl group_{바일 군}으로 정의한다.

정의에 의해 Weyl group은 $T$의 선택에 의존하지만 우리는 곧 maximal torus들이 서로 conjugate임을 보일 것이므로 서로 다른 $T$의 선택 또한 isomorphic한 Weyl group을 준다. 한편 torus $T$의 generator $t$를 생각하고 다음의 연속함수

\[G\rightarrow G;\qquad g\mapsto gtg^{-1}\]

를 생각하면, $N$은 정확하게 이 map에 대한 $T$의 preimage이며 따라서 compact이다. 한편, 그 정의에 의해 $N$은 torus $T$ 위에 다음의 action

\[N\times T \rightarrow T;\qquad (n,t)\mapsto ntn^{-1}\]

을 준다. 그런데 $T$는 abelian이므로, 이 action은 결과적으로 다음의 Weyl group action

\[W\times T \rightarrow T; \qquad (nT, t)\mapsto ntn^{-1}\]

을 주게 된다. 한편 torus의 automorphism은 각 lattice point가 어디로 가는지에 의해 결정되므로, 이를 고려하면 $N$의 action은 다음의 homomorphism

\[N\rightarrow\Aut(T)\cong \GL(k;\mathbb{Z})\]

을 주게 된다. 이제 $N$의 identity component $N_0$을 생각하자. 그럼 $\GL(k;\mathbb{Z})$은 discrete group이므로 $N_0$는 통째로 $\id\in \GL(k;\mathbb{Z})$로 옮겨져야 한다. 즉 $N_0$은 $T$ 위에 trivial action을 정의한다. 그럼 임의의 one-parameter subgroup $\gamma: \mathbb{R}\rightarrow N_0$에 대하여, $T$의 maximality로부터 $\gamma(\mathbb{R})T=T$이므로 특히 $\gamma(\mathbb{R})\subset T$이다. 이제 $N_0$의 원점에서의 Lie algebra들의 exponential map들 (즉 one-parameter subgroup들)은 $N_0$를 생성하므로 반드시 $T=N_0$이어야 한다. 즉, $W=N/N_0$이다. 그런데 $N$이 compact이므로 $W$도 compact이고, 따라서 $W$는 유한집합이다.

Compact connected Lie group $G$에 대하여, 임의의 abelian Lie subgroup은 torus인 것을 알고 있다. 이에 우리는 대략적으로 maximal torus를 $G$의 maximal abelian subgroup과 같은 것으로 생각하지만, 이 둘이 정확히 같은 것은 아니다. 더 구체적으로 임의의 maximal torus는 maximal abelian subgroup이지만, 모든 maximal abelian subgroup이 torus인 것은 아니다. 그 대신, Weyl group action $W\times T \rightarrow T$를 생각하면 $T$가 abelian이므로 이 action은 effective action이 된다. 만일 어떠한 $gT\in W$가 모든 $t\in T$에 대하여

\[t=(gT)\cdot t=gtg^{-1}\]

을 만족한다면, $g\in Z(T)$여야 하고 $T$의 maximality에 의하여 $Z(T)=T$이기 때문이다. 다음 보조정리는 orbit space $T/W$를 구체적으로 묘사한다.

보조정리 7 Maximal torus의 두 원소가 $G$에서 conjugate인 것과 이들이 Weyl group action의 같은 orbit에 속하는 것이 동치이다.

증명

Maximal torus $T$를 고정하고, $T$의 두 원소 $x,y$가 서로 conjugate이라 하자. 즉 적당한 $g\in G$에 대하여 $gxg^{-1}=y$이다. 이제 $T$와 $gTg^{-1}$을 비교하면 이들은 $y$의 centralizer $Z(y)$의 maximal torus이다. 따라서 $T=h(gTg^{-1})h^{-1}$이도록 하는 $h\in Z(y)$가 존재하며, 이로부터 $(hg)x(hg)^{-1}-hyh^{-1}=y$이므로 $(hgT)\cdot x=y$이다.

이제 임의의 $G$의 임의의 원소는 적당한 maximal torus에 포함되어 있고, 임의의 maximal torus는 다른 maximal torus와 conjugate이므로, 임의의 $x\in G$는 항상 고정된 maximal torus $T$와 적당한 $g\in G$에 대하여 $x=gtg^{-1}$으로 쓸 수 있다. 바꾸어 말하자면, $G$의 임의의 conjugacy class $[x]\in\Conj(G)$가 주어질 때마다 여기에 속한 $t\in T$를 대응시켜줄 수 있다. 이 대응을 사용하여, 임의의 conjugacy class $[x]$를 받아 $tW\in T/W$를 대응시키는 함수를 생각하자.

명제 8 위의 함수는 잘 정의되며, $T/W$와 $\Conj(G)$ 사이의 일대일대응을 정의한다.

증명

이 함수가 잘 정의된다는 것은 위의 명제에 의하여 자명하다. 이제 이 함수가 단사임을 보이자. 즉 두 class $[x_1]$, $[x_2]$가 같은 $W$-orbit $t_1W=t_2W$으로 옮겨진다 하자. 즉 $t_1, t_2$는 $G$에서 conjugate하며, 이들 각각은 $x_1, x_2$와 conjugate이므로 원래의 class $[x_1], [x_2]$도 서로 같아야 한다. 이 함수가 전사라는 것은 그냥 임의의 $t\in T$에 대하여 $t$의 conjugacy class가 $tW$으로 옯겨지므로 자명하다.

조금 더 fancy한 언어를 사용하면 이는 다음과 같다. Lie group $G$ 위에 conjugate action을 생각하고 이를 통해 quotient topology를 주어 $G$의 conjugacy class들의 공간 $\Conj(G)$를 생각하자. 그럼 $G$ 위의 class function은 단순히 $\Conj(G)$ 위에서의 연속함수이다. 이제 이를 $T$로 제한하면 다음의 isomorphism

\[C^0(\Conj(G))\cong C^0(T)^W\]

이 주어지게 된다.