심플렉스 호몰로지
$\Delta$-complex 구조가 주어진 위상공간 $X$를 생각하자. 그럼 $k$-simplex들로 생성된 free abelian group을 $\Delta_k(X)$으로 적는다. 즉
\[\Delta_k(X)=\{\sigma_\alpha\mid\Delta^{n(\alpha)}\rightarrow X\mid n(\alpha)=k\}\cdot\mathbb{Z}\]이다.1
Abelian group을 다룰 때의 convention을 따라 $\Delta_k(X)$의 연산은 덧셈으로 주어진 것으로 생각한다.
§심플렉스 복합체에서 살펴봤듯, $k$-simplex $[v_0,\ldots, v_k]$의 boundary는 다음 $(k-1)$-simplex들
\[[v_1,v_2,\ldots, v_k],\quad[v_0,v_2,\ldots, v_k],\quad\cdots,[v_0,v_1,\ldots\hat{v}_i,\ldots,v_k],\quad\cdots,\quad[v_0,v_1,\ldots, v_{k-1}]\]로 이루어진다. 만일 $[v_0,\ldots, v_k]$의 boundary를 이들의 합처럼 생각한다면, 우리는 $\Delta_k(X)$에서 $\Delta_{k-1}(X)$로의 함수를 얻는다. 만일 boundary map $\partial_k$을 이들 simplex들의 단순한 합이 아니라, 다음의 식
\[\partial_k(\sigma_\alpha|_{[v_0,\ldots,v_k]})=\sum_{i=0}^n(-1)^i\sigma_\alpha|_{[v_0,\ldots, \hat{v}_i,\ldots,v_k]}\tag{1}\]으로 정의할 경우 $(\Delta_k(X),\partial_k)$가 chain complex를 이룬다는 사실이 잘 알려져 있다.
명제 1 $(\Delta_k(X),\partial_k)$는 chain complex이다. ([호몰로지 대수학] §호몰로지, ⁋정의 1)
증명
임의의 $\sigma_\alpha\in \Delta_k(X)$에 대하여,
\[\partial_k(\sigma_\alpha|_{[v_0,\ldots,v_k]})=\sum_{i=0}^n(-1)^i\sigma_\alpha|_{[v_0,\ldots, \hat{v}_i,\ldots,v_k]}\]이므로
\[\partial_{k-1}\partial_k(\sigma_\alpha|_{[v_0,\ldots,v_k]})=\sum_{j < i}(-1)^{i+j}\sigma_\alpha|_{[v_0,\ldots, \hat{v}_j,\ldots\hat{v}_i,\ldots,v_k]}+\sum_{j > i}(-1)^{i+j-1}\sigma_\alpha|_{[v_0,\ldots, \hat{v}_i,\ldots\hat{v}_j,\ldots,v_k]}\]이고, 따라서 첫째 합과 둘째 합이 서로 상쇄되어 사라진다.
이렇게 얻어지는 chain complex $(\Delta_k(X),\partial_k)$의 $n$번째 호몰로지를 $n$번째 simplicial homology$n$번째 심플렉스 호몰로지라 부르고, $H_n^\Delta(X)$로 적는다. ([호몰로지 대수학] §호몰로지, ⁋정의 3)
예시 2 2차원 토러스 $T^2$는 다음 사각형과 같이 나타낼 수 있었다. (§심플렉스 복합체, ⁋예시 3)
오른쪽에 나열된 순서대로, $2$-simplex를 각각 $L$, $U$, $1$-simplex를 각각 $a,b,c$, 그리고 $0$-simplex를 $p$라 하자. 두 $1$-simplex $b,c$에는 방향이 주어져 있지만 $a$에는 방향이 주어져 있지 않으므로 임의로 $a$가 왼쪽 아래에서 오른쪽 위를 향하도록 하자. 그럼 다음의 그림
과 같이 $U$의 꼭짓점 $v_0,v_1,v_2$가 주어졌다 생각하면
\[a=[v_1,v_2],\quad b=[v_0,v_2],\quad c=[v_0,v_1]\]이라 할 수 있다. 비슷하게, 다음의 그림
과 같이 $L$의 꼭짓점 $v_0,v_1,v_2$가 주어졌다 생각하면 $L$에서는
\[a=[v_0,v_1],\quad b=[v_0,v_2],\quad c=[v_1,v_2]\]인 것으로 생각할 수 있다.
이제 boundary map $\partial_2:\Delta_2(T^2)\rightarrow\Delta_1(T^2)$을 생각하면
\[\begin{aligned}\partial_2(U)&=[v_1,v_2]-[v_0,v_2]+[v_0,v_1]=a-b+c,\\ \partial_2(L)&=[v_1,v_2]-[v_0,v_2]+[v_0,v_1]=c-b+a\end{aligned}\]이다. 또, $\partial_1:\Delta_1(T^2)\rightarrow\Delta_0(T^2)$을 생각하면 이들 꼭짓점들은 모두 $T^2$에서는 같은 점 $p$에 대응되므로
\[\partial_1(a)=\partial_1(b)=\partial_1(c)=p-p=0\]가 되고, 따라서 다음 complex
\[\cdots\overset{\partial_3}{\longrightarrow}\Delta_2(T^2)=\langle L,U\rangle\overset{\partial_2}{\longrightarrow}\Delta_1(T^2)=\langle a,b,c\rangle\overset{\partial_1}{\longrightarrow}\Delta_0(T^2)=\langle p\rangle\overset{\partial_0}{\longrightarrow}0\]에서
\[\ker\partial_2=\langle L-U\rangle,\qquad\ker\partial_1=\Delta_1(T^2),\qquad\ker\partial_0=\Delta_0(T^2)\]그리고
\[\im\partial_3=0,\qquad\im\partial_2=\langle a-b+c\rangle,\qquad \im\partial_1=0\]이므로
\[H_2^\Delta(T^2)=\ker\partial_2/\im\partial_3\cong\mathbb{Z},\quad H_1^\Delta(T^2)=\ker\partial_1/\im\partial_2\cong \mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z},\quad H_0(T^2)=\ker\partial_0/\im\partial_1\cong\mathbb{Z}\]이고, 나머지 호몰로지는 전부 $0$이다.
특이 호몰로지
위에서 정의한 심플렉스 호몰로지는 직관적으로 명확한 의미를 갖지만, 임의의 위상공간이 주어졌을 때 $X$의 호몰로지를 계산하기 위해서는 이 위에 $\Delta$-complex 구조를 주어야 한다는 점에서 그 한계가 명확하다.
우리는 이 조건을 완화하여 새로운 호몰로지를 정의한다.
정의 3 $X$에 정의된 singular $k$-simplex특이 $k$-심플렉스는 연속함수 $\sigma:\Delta^k\rightarrow X$를 뜻한다.
앞선 글에서 정의했던 $\Delta$-complex 구조와는 다르게, singular $k$-simplex들은 $X$ 안에서 $k$-simplex의 모양을 유지할 필요가 전혀 없다. 예를 들어, $\Delta^k$의 모든 점을 하나의 점으로 보내는 함수 또한 singular $k$-simplex가 된다.
이제 $C_k(X)$를 모든 singular $k$-simplex들로 생성된 free abelian group이라 하고, $\partial_k:C_k(X)\rightarrow C_{k-1}(X)$를 위의 식 (1)과 동일한 방식으로 정의하자. 그럼 정확히 명제 1과 같은 방식으로 $(C_k(X), \partial_k)$가 chain complex가 된다는 것을 확인할 수 있으며, 이에 해당하는 호몰로지가 심플렉스 호몰로지와 동일하다는 것이 잘 알려져 있다. 직관적으로, $C_k(X)$는 $\Delta_k(X)$와는 비교도 되지 않을만큼 큰 group이지만, $\ker\partial_k/\im\partial_{k+1}$을 계산해보면 $\im\partial_{k+1}$ 또한 $\ker\partial_k$가 커지는 만큼 커지기 때문에 그 quotient는 일정하게 유지되는 것처럼 생각할 수 있다.
심플렉스 호몰로지와 특이 호몰로지가 동일하다는 사실을 증명하기 위해서는 호몰로지의 언어를 조금 더 다뤄야 하므로, 그 전까지는 심플렉스 호몰로지를 $H_k^\Delta(X)$, 특이 호몰로지를 $H_k(X)$로 적기로 한다.
참고문헌
[Hat] A. Hatcher, Algebraic Topology. Cambridge University Press, 2022.
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일반적으로 호몰로지를 정의할 때에는 coefficient ring이 $\mathbb{Z}$ 뿐만 아니라, 임의의 ring이 될 수도 있다. 이는 단순히 위의 정의에서 $\mathbb{Z}$를 원하는 ring $R$로 바꾸어주면 된다. ↩
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