심플렉스
먼저 소개할 심플렉스는 호몰로지 이론을 전개할 때 직관적인 이해에 도움을 준다.
정의 1 임의의 자연수 $k$에 대하여, 일반적인 방식으로 배열된 $k+1$개의 점 $v_0,\ldots, v_k\in\mathbb{R}^d$가 주어졌다 하자. 그럼 이들로 만들어지는 $k$-simplex$k$-심플렉스, $k$-단체는 집합 $\{v_0,\ldots, v_k\}$을 포함하는 볼록집합 중 가장 작은 것이다.
여기서 $k+1$개의 꼭짓점들이 일반적으로 배열되었다는 것은 이들 점들이 $k$차원보다 작은 임의의 초평면에 포함되지 않는 것이다. 바꿔말하면 $k$개의 벡터
\[v_1-v_0,\ldots, v_k-v_0\]이 linearly independent인 것으로도 이해할 수 있다. 예를 들어 $0$-simplex는 점이고, $1$-simplex는 두 꼭짓점을 잇는 선분, $2$-simplex는 세 점을 잇는 삼각형이며 $3$-simplex는 사면체이다.
위의 그림과 같이 $\mathbb{R}^{n+1}$에서 $n+1$개의 꼭짓점들
\[(1,0,\ldots, 0),\qquad\cdots,\qquad (0,0,\ldots,1)\]로 만들어진 $n$-simplex를 standard simplex라 부른다. 당연하게 이들 simplex들은 그 자체로는 우리의 관심대상이 아니며, 우리는 이들을 이용하여 다양체의 불변량을 계산하는 데에 관심이 있다. 이를 위해 우리는 다양체 위에 $\Delta$-complex의 구조를 정의해야 하는데, 간단하고 직관적인 예시로 다음을 보자.
예시 2 우리가 종종 생각하게 되는 예시는 (2차원) torus $T^2$이다. 이는 간단한 정의로는 product manifold $S^1\times S^1$이지만, 직관적으로 이 product manifold가 torus임을 보려면 다음 그림을 생각하면 된다.
이 그림에서 각 색깔의 선들을 화살표의 방향대로 ‘‘꼬지 않고’’ 붙이는 상상을 해보자. 가령 수평방향의 모서리들을 먼저 붙여 원기둥을 만든 후, 남은 모서리를 따라 원기둥의 밑면을 서로 붙여주면 다음과 같이 될 것이다.
이는, 만일 위의 정사각형이 네 점 $(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)$을 지나는 좌표평면 상의 점이었다 하면 이 정사각형에 다음의 동치관계
\[(x,0)\sim (x,1),\qquad (0,y)\sim(1,y)\]를 부여하여 얻어지는 quotient space이며 $S^1$이 수직선 상의 구간 $[0,1]$에 $0$과 $1$을 같은 것으로 보는 quotient topology를 주어 얻어지는 것을 생각하면 위의 정의 $T^2=S^1\times S^1$와 같은 것임을 안다. 한편 같은 모양의 그림에, 이번에는 한 변의 방향을 바꾸고 수평방향의 모서리만 붙이는 다음의 quotient space
를 생각하면 이번에 얻어지는 공간은 원기둥이 아니라 뫼비우스 띠
이다.
위의 예시에서, 평면 위에 그려진 사각형들을 대각선을 따라 두 개의 삼각형으로 나누면 이 사각형들은 두 $2$-simplex들을 이어붙인 것으로 생각할 수 있고, 이를 위와 마찬가지 방법으로 quotient space 위에 옮겨주면 예시 2의 공간들을 simplex들을 이어붙여 만든 것으로 이해할 수 있다. 이 예시에서 볼 수 있듯 $2$-simplex를 붙일 때에는 변의 방향(더 일반적으로, $n$-simplex를 붙일 때에는 $(n-1)$-simplex의 방향)이 중요한데, 이는 꼭짓점들 사이의 total order를 주면 결정된다. 가령, 꼭짓점 $v_0,\ldots, v_k$으로 만들어진 $k$-simplex를 index의 순서대로 나열된 것을 양의 방향이라 한다면, 여기에서 odd permutation을 취해 얻어지는 $v_1,v_0,v_2,\ldots,v_k$는 음의 방향이 되는 식이다. 우리는 이렇게 index 순서에 맞게 향이 주어진 simplex를 $[v_0,\ldots, v_k]$로 적는다. 이 표기법 하에서, $k$-simplex의 한 꼭짓점을 잊어버려 생기는 $(k-1)$-simplex는 원래의 $k$-simplex의 한 면으로 보든, 다음의 $(k-1)$-simplex
\[[v_0,\ldots,\hat{v}_i,\ldots, v_k]=[v_0,\ldots, v_{i-1},v_{i+1},\ldots, v_k]\]로 보든 그 방향은 같게 된다.
정의 3 위상공간 $X$에 대하여, 이 위에 주어진 $\Delta$-complex 구조는 다음과 같이 정의된 함수 $\sigma_\alpha:\Delta^{n(\alpha)}\rightarrow X$들의 모임이다.
- $\sigma_\alpha$를 $\interior(\Delta^{n(\alpha)})$로 제한한 것이 단사이며, $X$의 임의의 점 $x$에 대해 $x\in \sigma_\alpha(\interior(\Delta^{n(\alpha)}))$를 만족하는 $\alpha$가 정확하게 하나 존재한다.
- $\sigma_\alpha$를 $\Delta^{n(\alpha)}$의 한 면으로 제한한 $\sigma_\alpha|_{\Delta^{n(\alpha)-1}}:\Delta^{n(\alpha)-1}\rightarrow X$ 또한 이 함수들의 모임에 속한다.
- $A\subseteq X$가 $X$에서 열린집합인 것과, 각각의 $\alpha$에 대하여 $\sigma_\alpha^{-1}(A)$가 $\Delta^{n(\alpha)}$에서 열린집합인 것이 동치이다.
가령 standard simplex $\Delta^2$는 자명하게 $\Delta$-complex 구조를 갖는데, 명시적으로 이 구조를 주는 함수들은
\[\operatorname{id}_{\Delta^2}:\Delta^2\rightarrow\Delta^2\]와, $1$-simplex $\Delta^1$을 각 변으로 보내는 세 개의 함수 $\sigma^1_1,\sigma^1_2,\sigma^1_3$, 그리고 $0$-simplex $\Delta^0$을 각 꼭짓점으로 보내는 세 개의 함수 $\sigma_1^0,\sigma_2^0,\sigma_3^0$으로 이루어진다.
예시 4 예를 들어, 2차원 torus $T^2$는 다음의 그림
과 같이 나타날 수 있으며, 이 그림은 동시에 $T^2$에 $\Delta$-complex의 구조를 준다.
심플렉스 호몰로지
이제 우리는 위에서 정의한 $\Delta$-complex 구조를 사용하여 위상공간의 불변량을 정의한다. 더 구체적으로 이는 simplex들의 formal sum들이 이루는 group을 통해 정의될 것이다. 그런데 이쯤에서 지적할 미묘한 문제가 있는데, 이것이 위상공간 $X$의 불변량이 되기 위해서는 $\Delta$-complex 구조의 선택에 의존하지 않아야 한다는 것이다.
가령 예시 2의 사각형을 더 잘게 쪼개어 위의 그림과 같이 더 많은 2-simplex들을 만들었을 때, 이로부터 새로 생기는 회색 $1$-simplex들은 어떠한 방식으로든 서로를 상쇄해야 할 것이다. 즉, $\Delta$-complex를 택할 때에는 이들의 방향을 알맞게 맞추어 붙여줘야 하지만, 불변량을 계산할 때는 부호를 반대로 바꾸어 더해주어야 한다. 이를 염두에 두면 다음의 계산이 조금 더 와닿을 것이다.
$\Delta$-complex 구조가 주어진 위상공간 $X$를 생각하고, $k$-simplex들로 생성된 free abelian group $\Delta_k(X)$를 생각하자. 즉
\[\Delta_k(X)=\{\sigma_\alpha:\Delta^{n(\alpha)}\rightarrow X\text{ $k$-simplex}\mid n(\alpha)=k\}\cdot\mathbb{Z}\]이다. Abelian group을 다룰 때의 convention을 따라 $\Delta_k(X)$의 연산은 덧셈으로 주어진 것으로 생각한다. 앞서 살펴봤듯, $k$-simplex $[v_0,\ldots, v_k]$의 boundary는 다음 $(k-1)$-simplex들
\[[v_1,v_2,\ldots, v_k],\quad[v_0,v_2,\ldots, v_k],\quad\cdots,[v_0,v_1,\ldots\hat{v}_i,\ldots,v_k],\quad\cdots,\quad[v_0,v_1,\ldots, v_{k-1}]\]로 이루어진다. 만일 $[v_0,\ldots, v_k]$의 boundary를 이들의 합처럼 생각한다면, 우리는 $\Delta_k(X)$에서 $\Delta_{k-1}(X)$로의 함수를 얻는다. 만일 boundary map $\partial_k$을 이들 simplex들의 단순한 합이 아니라, 다음의 식
\[\partial_k(\sigma_\alpha|_{[v_0,\ldots,v_k]})=\sum_{i=0}^n(-1)^i\sigma_\alpha|_{[v_0,\ldots, \hat{v}_i,\ldots,v_k]}\tag{1}\]으로 정의할 경우 $(\Delta_k(X),\partial_k)$가 chain complex를 이룬다는 사실이 잘 알려져 있다. 이 식 우변의 부호는, 위에서 지적했듯, $X$ 안에서 맞닿아있는 simplex들이 서로를 상쇄하도록 설정된 것이다.
명제 5 $(\Delta_k(X),\partial_k)$는 chain complex이다. ([호몰로지 대수학] §호몰로지, ⁋정의 1)
증명
임의의 $\sigma_\alpha\in \Delta_k(X)$에 대하여,
\[\partial_k(\sigma_\alpha|_{[v_0,\ldots,v_k]})=\sum_{i=0}^n(-1)^i\sigma_\alpha|_{[v_0,\ldots, \hat{v}_i,\ldots,v_k]}\]이므로
\[\partial_{k-1}\partial_k(\sigma_\alpha|_{[v_0,\ldots,v_k]})=\sum_{j < i}(-1)^{i+j}\sigma_\alpha|_{[v_0,\ldots, \hat{v}_j,\ldots\hat{v}_i,\ldots,v_k]}+\sum_{j > i}(-1)^{i+j-1}\sigma_\alpha|_{[v_0,\ldots, \hat{v}_i,\ldots\hat{v}_j,\ldots,v_k]}\]이고, 따라서 첫째 합과 둘째 합이 서로 상쇄되어 사라진다.
이렇게 얻어지는 chain complex $(\Delta_k(X),\partial_k)$의 $n$번째 호몰로지를 $n$번째 simplicial homology$n$번째 심플렉스 호몰로지라 부르고, $H_n^\Delta(X)$로 적는다. ([호몰로지 대수학] §호몰로지, ⁋정의 3)
예시 6 2차원 토러스 $T^2$를 위의 예시 7과 같이 나타내고, 오른쪽에 나열된 순서대로 $2$-simplex를 각각 $L$, $U$, $1$-simplex를 각각 $a,b,c$, 그리고 $0$-simplex를 $p$라 하자. 두 $1$-simplex $b,c$에는 이미 방향이 주어져 있으므로, 이들이 simplex가 되기 위해서는 $a$가 왼쪽 아래에서 오른쪽 위로의 방향을 가져야 한다. 이제
과 같이 $U$의 꼭짓점 $v_0,v_1,v_2$가 주어졌다 생각하면
\[a=[v_0,v_2],\quad b=[v_1,v_2],\quad c=[v_0,v_1]\]이라 할 수 있다. 비슷하게, 다음의 그림
과 같이 $L$의 꼭짓점 $v_0,v_1,v_2$가 주어졌다 생각하면 $L$에서는
\[a=[v_0,v_2],\quad b=[v_0,v_1],\quad c=[v_1,v_2]\]인 것으로 생각할 수 있다.
이제 boundary map $\partial_2:\Delta_2(T^2)\rightarrow\Delta_1(T^2)$을 생각하면
\[\begin{aligned}\partial_2(U)&=[v_1,v_2]-[v_0,v_2]+[v_0,v_1]=b-a+c,\\ \partial_2(L)&=[v_1,v_2]-[v_0,v_2]+[v_0,v_1]=c-a+b\end{aligned}\]이다. 또, $\partial_1:\Delta_1(T^2)\rightarrow\Delta_0(T^2)$을 생각하면 이들 꼭짓점들은 모두 $T^2$에서는 같은 점 $p$에 대응되므로
\[\partial_1(a)=\partial_1(b)=\partial_1(c)=p-p=0\]가 되고, 따라서 다음 complex
\[\cdots\overset{\partial_3}{\longrightarrow}\Delta_2(T^2)=\langle L,U\rangle\overset{\partial_2}{\longrightarrow}\Delta_1(T^2)=\langle a,b,c\rangle\overset{\partial_1}{\longrightarrow}\Delta_0(T^2)=\langle p\rangle\overset{\partial_0}{\longrightarrow}0\]에서
\[\ker\partial_2=\langle L-U\rangle,\qquad\ker\partial_1=\Delta_1(T^2),\qquad\ker\partial_0=\Delta_0(T^2)\]그리고
\[\im\partial_3=0,\qquad\im\partial_2=\langle a-b-c\rangle,\qquad \im\partial_1=0\]이므로
\[H_2^\Delta(T^2)=\ker\partial_2/\im\partial_3\cong\mathbb{Z},\quad H_1^\Delta(T^2)=\ker\partial_1/\im\partial_2\cong \mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z},\quad H_0^\Delta(T^2)=\ker\partial_0/\im\partial_1\cong\mathbb{Z}\]이고, 나머지 호몰로지는 전부 $0$이다.
특이 호몰로지
위에서 정의한 심플렉스 호몰로지는 직관적으로 명확한 의미를 갖지만, 임의의 위상공간이 주어졌을 때 $X$의 호몰로지를 계산하기 위해서는 이 위에 $\Delta$-complex 구조를 주어야 한다는 점에서 그 한계가 명확하다. 설령 $X$가 topological manifold라 하여도 그 차원이 $4$ 이상이면 $X$ 위에 $\Delta$-complex 구조를 주는 것이 불가능할 수도 있다는 것이 잘 알려져 있다.
때문에 우리는 이 조건을 완화하여 새로운 호몰로지를 정의한다.
정의 7 $X$에 정의된 singular $k$-simplex특이 $k$-심플렉스는 연속함수 $\sigma:\Delta^k\rightarrow X$를 뜻한다.
앞선 글에서 정의했던 $\Delta$-complex 구조와는 다르게, singular $k$-simplex들은 $X$ 안에서 $k$-simplex의 모양을 유지할 필요가 전혀 없다. 예를 들어, $\Delta^k$의 모든 점을 하나의 점으로 보내는 함수 또한 singular $k$-simplex가 된다.
이제 $C_k(X)$를 모든 singular $k$-simplex들로 생성된 free abelian group이라 하고, $\partial_k:C_k(X)\rightarrow C_{k-1}(X)$를 위의 식 (1)과 동일한 방식으로 정의하자. 그럼 정확히 명제 5과 같은 방식으로 $(C_k(X), \partial_k)$가 chain complex가 된다는 것을 확인할 수 있으며, 이에 해당하는 호몰로지가 심플렉스 호몰로지와 동일하다는 것이 잘 알려져 있다. 직관적으로, $C_k(X)$는 $\Delta_k(X)$와는 비교도 되지 않을만큼 큰 group이지만, $\ker\partial_k/\im\partial_{k+1}$을 계산해보면 $\im\partial_{k+1}$ 또한 $\ker\partial_k$가 커지는 만큼 커지기 때문에 그 quotient는 일정하게 유지되는 것처럼 생각할 수 있다.
그 정의 상 simplicial homology는 직접 계산을 통해 얻어질 수 있으나 $\Delta$-complex 구조를 줄 수 없는 공간에서는 정의조차 되지 않으며, 반대로 singular homology는 직접 계산하는 것이 거의 불가능하지만 모든 위상공간에 대해 정의된다는 특징이 있다. 우리는 마지않은 미래에 simplicial homology와 singular homology는 $\Delta$-complex에서는 isomorphic한 abelian group을 정의한다는 것을 증명할 것이다. 비슷한 시점에 우리는 상대적으로 간단한 위상공간 (보통 $\Delta$-complex 구조를 주는 것이 쉬운 공간)의 호몰로지로부터 복집한 위상공간(보통 $\Delta$-complex 구조가 정의되지 않거나 복잡한 공간)의 호몰로지를 계산하는 여러 방법들을 살펴볼 것이다.
따라서, 우리는 기본적으로 이론을 세우기 위해서는 singular homology $H_n(X)$를 주로 사용할 것이나, simplicial homology와 singular homology가 같다는 결과를 증명하기 전까지는 simplicial homology를 따로 구별하기 위해 이를 위한 표기 $H_n^\Delta(X)$를 버리지 않고 사용하기로 한다.
호몰로지의 성질들
위에서 언급한 것과 같이 우리는 이론전개를 위해서는 singluar homology를 사융한다. 다음은 singular homology의 간단한 성질들이다.
명제 8 위상공간 $X$를 path-component들의 disjoint union $X=\coprod X_i$로 나타냈을 때, 다음의 isomorphism
\[H_n(X)\cong \bigoplus_{i\in I} H_n(X_i)\]이 성립한다.
증명
우선 path-connected space $\Delta^k$의 continuous image는 path-connected이므로 singular simplex들의 image는 $X_i$들에 온전히 들어있다. 이로부터 $C_n(X)\cong \bigoplus_{i\in I} C_n(X_i)$임을 안다. 이 때 마찬가지 이유로 $\partial$들 또한 이 decomposition을 보존하며, direct sum은 이러한 map의 kernel과 image를 보존하므로 원하는 결과를 얻는다.
따라서 임의의 위상공간의 homology를 계산하는 것은 임의의 path-connected space의 homology를 계산하는 문제로 귀결된다. 그러나 이 또한 여전히 쉬운 문제는 아니다. 일반적인 경우의 계산은 할 수 없지만, $n=0$인 경우는 기하학적인 의미가 있다.
명제 9 Non-empty path-connected space $X$에 대하여 $H_0(X)\cong \mathbb{Z}$이다.
증명
우선 $\partial_0=0$이므로
\[H_0(X)=\ker\partial_0/\im\partial_1=C_0/\im\partial_1\]이다. Isomorphism $H_0(X)\rightarrow\mathbb{Z}$를 만들기 위해 homomorphism $\varepsilon:C_0(X)\rightarrow\mathbb{Z}$를 다음의 식
\[\varepsilon\left(\sum n_i\sigma_i\right)=\sum_i n_i\]로 정의하자. 그럼 $X$가 nonempty이므로 $\varepsilon$은 surjective이다. 따라서 first isomorphism theorem에 의하여 $\ker\varepsilon=\im\partial_1$을 보이면 충분하다. 이 때 $\ker\varepsilon$이 $\im\partial_1$을 포함하는 것은 $\partial_1$의 정의에 의해 자명하므로, 반대방향 포함관계만 보이면 충분하다. $\varepsilon\left(\sum n_i\sigma_i\right)=0$이라 가정하고, 각각의 $i$에 대하여 $0$-simplex $\sigma_i$들의 image를 $x_i$라 하자. 그럼 $X$가 path-connected라는 가정으로부터 적당한 점 $x$을 잡아 $x$부터 각각의 $x_i$로의 path들을 잡을 수 있고, 이들은 이 방향에 따라 $1$-simplex들 하나를 결정한다. 이들을 각각 $\tau_i$들이라 하면, $\partial \tau_i=\sigma_i-\sigma$이고 따라서 y6y \(\partial\left(\sum_i n_i\tau_i\right)=\sum n_i\sigma_i-\sum n_i \sigma=0\)
이므로 이로부터 원하는 결과를 얻는다.
반대로 모든 $n$에 대하여 그 homology를 구할 수 있는 경우도 있는데, $X$가 point인 경우이다. 이 경우, $k$의 값에 관계없이 singular $k$-simplex $\Delta^k \rightarrow X$는 유일하게 (즉, 상수함수로) 결정되고, 이 때 식 (1)을 생각하면 $\partial_k$는 $k$가 흘수일 때는 $0$이고 짝수일 때는 $\sigma_k$를 $\sigma_{k-1}$로 보낸다. 즉 다음의 chain complex
\[\cdots\rightarrow \mathbb{Z} \overset{0}{\longrightarrow}\mathbb{Z}\overset{\approx}{\longrightarrow} \mathbb{Z}\overset{0}{\longrightarrow}\mathbb{Z}\rightarrow0\]가 singular simplex들의 chain complex이고, 따라서 다음을 얻는다.
명제 10 One-point space $X$에 대하여, $H_0(X)\cong \mathbb{Z}$이고 모른 $k>0$에 대해서는 $H_k(X)\cong 0$이다.
그러나, 물론, 가장 중요하다고 할 수도 있는 성질은 functoriality일 것이다. 그런데 우리는 이미 $\Ab$들의 chain complex들의 category $\Ch(\Ab)$에서, 각각의 $n$에 대하여 $n$번째 호몰로지를 계산하는 $H_n:\Ch(\Ab)\rightarrow \Ab$는 functor임을 안다. 따라서 합성
\[\Top \rightarrow \Ch(\Ab)\rightarrow \Ab\]이 functor임을 보이기 위해서는 $\Top \rightarrow \Ch(\Ab)$이 functor임을 보이면 충분하다.
명제 11 $\Top\rightarrow\Ch(\Ab)$는 functor이다.
증명
즉 임의의 연속함수 $f:X\rightarrow Y$에 대하여 chain map $C_\bullet(f):C_\bullet(X)\rightarrow C_\bullet(Y)$가 존재함을 보여야 한다. 당연히 $C_\bullet(f)$는 다음의 식
\[C_\bullet(f):\sigma\mapsto f\circ\sigma\]로 정의하면 되고, 핵심은 이것이 chain map임을 보이는 것이다. 이것이 chain map인 것은 임의의 $\sigma:\Delta^n \rightarrow X$에 대하여,
\[\begin{aligned}(C_\bullet(f)\circ\partial^X_n)(\sigma)&=C_\bullet(f)\left(\sum_{i=0}^n(-1)^i\sigma\vert_{[v_0,\ldots,\hat{v}_i,\ldots,v_n]}\right)=\sum_{i=0}^n(-1)^iC_\bullet(f)(\sigma\vert_{[v_0,\ldots,\hat{v}_i,\ldots,v_n]})\\&=\sum_{i=0}^n(-1)^i f\circ(\sigma\vert_{[v_0,\ldots,\hat{v}_i,\ldots,v_n]})=\sum_{i=0}^n(-1)^i (f\circ\sigma)\vert_{[v_0,\ldots,\hat{v}_i,\ldots,v_n]}\\&=\partial_n^Y(f\circ\sigma)=(\partial_n^Y\circ C_\bullet(f))(\sigma)\end{aligned}\]이므로 간단하게 증명된다.
마지막으로 다음을 정의한다.
정의 12 만일 임의의 $n$에 대하여 $H_n(X)\cong H_n(Y)$이 성립한다면, 두 공간 $X,Y$가 homologous하다 말한다.
참고문헌
[Hat] A. Hatcher, Algebraic Topology. Cambridge University Press, 2022.
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