보편닫힌사상
일반적으로 연속함수 \(f_1:X_1 \rightarrow Y_1\), \(f_2: X_2 \rightarrow Y_2\)가 닫혀있다 해서 이들의 곱 \(f_1\times f_2: X_1\times X_2 \rightarrow Y_1\times Y_2\)가 닫혀있을 필요는 없다.
정의 1 연속함수 \(f:X \rightarrow Y\)가 universally closed보편닫힌사상라는 것은 임의의 위상공간 \(Z\)에 대하여, \(f\times\id_Z: X\times Z \rightarrow Y\times Z\)가 closed인 것이다.
\(Z=\{\ast\}\)로 두면 임의의 universally closed map은 closed map인 것을 보일 수 있지만, 그 역은 성립하지 않는다. 하지만 다음이 성립한다.
명제 2 만일 \(f:X \rightarrow Y\)가 연속인 단사함수라면, 다음이 모두 동치이다.
- \(f\)가 universally closed이다.
- \(f\)가 closed이다.
- \(f\)는 \(X\)와 \(f(X)\) 사이의 homeomorphism이다.
증명
위의 논증에 의해 첫 번째 조건이 성립하면 두 번째 조건이 성립하는 것은 자명하다. 한편, \(f\)가 injective이므로 \(f\)의 canonical decomposition을 생각하면 \(X\)와 \(f(X)\) 사이의 homeomorphism이 되는 것을 안다. (§열린사상과 닫힌사상, ⁋명제 5) 이제 세 번째 조건이 성립한다 가정하면, 임의의 \(Z\)에 대하여 \(f\times\id_Z\)가 \(X\times Z\)에서 \(Y\times Z\)의 닫힌집합 \(f(X)\times Z\)로의 homeomorphism이므로 원하는 결과를 얻는다.
그러나 일반적으로는 함수 \(f\)가 universally closed인 것은 직접 체크해보아야 한다. 다음 명제의 두 번째 결과는 이를 target \(Y\)에서 살펴볼 수 있다는 것을 보여준다.
명제 3 연속함수 \(f:X \rightarrow Y\)가 주어졌다 하자. 그럼 다음이 성립한다.
- 만일 \(f\)가 universally closed라면, \(Y\)의 임의의 부분집합 \(A\)에 대하여, \(f\vert_{f^{-1}(A)}: f^{-1}(A) \rightarrow A\)도 universally closed이다.
- \(Y\)의 covering \((A_i)_{i\in I}\)가 (1) locally finite closed covering이거나, (2) \((\interior A_i)_{i\in I}\)가 \(Y\)의 open covering이 된다고 하자. 만일 각각의 \(f\vert_{f^{-1}(A_i)}\)가 universally closed라면, \(f\) 또한 그러하다.
증명
우선 첫째 결과를 보이기 위해 임의의 위상공간 \(Z\)가 주어졌다 하자. 그럼 \(Y\)의 임의의 부분집합 \(A\)에 대하여
\[(f\vert_{f^{-1}(A)})\times \id_Z=(f\times\id_Z)\vert_{f^{-1}(A\times Z)}\]가 성립한다. 이제 \(f\)가 universally closed라는 가정으로부터 \(f\times\id_Z\)는 closed이고, 따라서 \((f\times\id_Z)\vert_{f^{-1}(A\times Z)}\) 또한 closed이다.
이제 두 번째 결과를 보이자. 주어진 조건을 만족하는 \((A_i)\)가 주어졌다 하면, \((A_i\times Z)\) 또한 동일한 조건을 만족한다. 이제 만일 \(f\vert_{f^{-1}(A_i)}\)들이 universally closed라면 다음의 함수들
\[(f\times\id_Z)\vert_{f^{-1}(A_i\times Z)}\]이 closed이므로, \(f\times\id_Z\) 또한 그러하다. (§열린사상과 닫힌사상, ⁋명제 3)
또, 다음이 성립한다.
명제 4 두 연속함수 \(f:X \rightarrow Y\), \(g:Y \rightarrow Z\)에 대하여 다음이 성립한다.
- 만일 \(f,g\)가 모두 universally closed라면, \(g\circ f\)도 그러하다.
- 만일 \(g\circ f\)가 universally closed이고 \(f\)가 surjective라면 \(g\)는 universally closed이다.
- 만일 \(g\circ f\)가 universally closed이고 \(g\)가 injective라면 \(f\)는 universally closed이다.
- \(g\circ f\)가 universally closed이고 \(Y\)가 Hausdorff라면 \(f\)는 universally closed이다.
증명
처음 세 결과는 모두 다음의 식
\[(g\circ f)\times\id_Z=(g\times\id_Z)\circ(f\times\id_Z)\]과 §열린사상과 닫힌사상, ⁋명제 2의 결과들로부터 자명하다.
마지막 결과의 경우, 두 함수 \(\Gamma_f: X \rightarrow X\times Y\)와 \(\Gamma_g: Y \rightarrow Z\times Y\)를 각각
\[\Gamma_f(x)=(x,f(x)),\qquad \Gamma_g(y)=(g(y), y)\]으로 정의하자. 그럼 식
\[((g\circ f)\times\id_Y)\circ\Gamma_f=\Gamma_g\circ f\]이 성립하는 것을 쉽게 확인할 수 있다. 이 때 \(\Gamma_f\)와 \(\Gamma_g\)들은 각각 \(X, Y\)에서 \(f,g\)의 graph로의 homeomorphism이다. (§곱공간, ⁋따름정리 4) 또, \(Y\)가 Hausdorff라는 가정으로부터 \(\Gamma(f)\subseteq X\times Y\)가 닫힌집합임을 안다. (§하우스도르프 공간, ⁋따름정리 7) 따라서 명제 2로부터 \(\Gamma_f\)가 universally closed인 것을 안다. 한편 어렵지 않게 universally closed map들의 곱은 universally closed인 것을 보일 수 있으므로, 이것과 명제 4를 종합하면 \((g\circ f)\times\id_Y\)가 universally closed임을 안다. 따라서 위의 식의 우변 \(\Gamma_g\circ f\) 또한 universally closed이고, \(\Gamma_g\)가 injective이므로 \(f\)는 universally closed이다.
옹골성과 보편닫힌사상
아직까지는 이 정의가 옹골성과 관련되어 있는 부분이 보이지 않는데, 이 절에서는 이들 사이의 관계를 살펴본다. 그 전에 §옹골성, ⁋보조정리 1을 사용하기 위해 filter에 대한 이야기를 조금 해야한다.
임의의 위상공간 \(X\)와 그 위의 임의의 filter \(\mathcal{F}\)가 주어졌다 하자. \(X\)에 한 점을 추가하여 만든 집합 \(X'=X\cup \{\ast_X\}\)을 생각하고, 이 위의 filter
\[\mathcal{F}'=\{F\cup\{\ast_X\}: F\in \mathcal{F}\}\]를 생각하자. 이제 \(\ast_X\)를 제외한 임의의 \(x\in X'\)에 대하여는 \(\mathcal{N}(x)=\uparrow\{x\}\)으로 정의하고, \(\mathcal{N}(\ast_X)=\mathcal{F}'\)로 정의하면 이는 §열린집합, ⁋명제 6의 네 가지 조건을 모두 만족하며 따라서 \(X'\) 위에서의 위상구조가 정의된다. 이 위상공간 \(X'\)에서, \(\ast_X\)는 \(X\)의 closure에 포함되며, \(\mathcal{F}=\mathcal{F}'\vert_X=\mathcal{N}(\ast_X)\vert_X\)임이 자명하다.
그럼 다음 보조정리를 보일 수 있다.
보조정리 5 위상공간 \(X\)에 대하여, \(f: X \rightarrow \{\ast\}\)이 universally closed라 하자. 그럼 \(X\)는 compact이다.
증명
임의의 \(X\) 위의 임의의 filter \(\mathcal{F}\)에 대하여, 위의 논증으로부터 얻어지는 \(X'\)를 생각하자. 또, \(X\times X'\)의 부분집합 \(\Delta\)를
\[\Delta=\{(x,x)\mid x\in X\}\]으로 정의하자. 그럼 \(\Delta\)의 closure \(\cl\Delta\)를 생각할 수 있으며, 이 때 \(f\)가 universally closed라는 가정으로부터 \(\cl\Delta\)의 \(f\times\id_{X'}:X\times X'\rightarrow \{\ast\}\times X'\cong X'\)에 의한 image가 닫힌집합임을 안다. 이제 이 image는 \(x\)를 포함하므로, \(\ast_X\)가 closure에 포함된다는 가정으로부터 적당한 \(x\in X\)가 존재하여 \((x,\ast_X)\in \cl\Delta\)임을 안다. 그럼 \(x\)가 \(\mathcal{F}\)의 cluster point이고, 따라서 \(\mathcal{F}\)를 포함하는 ultrafilter를 생각하면 \(x\)는 그 filter의 limit point임을 안다.
위의 보조정리는 그 역 또한 성립한다. 더 일반적으로 다음이 성립한다.
정리 6 연속함수 \(f:X \rightarrow Y\)에 대하여 다음이 동치이다.
- \(f\)가 universally closed이다.
- \(f\)가 closed이고, 각각의 \(y\in Y\)에 대하여 \(f^{-1}(y)\)가 compact이다.
증명
첫 번째 조건이 성립한다면 임의의 \(y\in Y\)에 대하여, \(f\vert_{f^{-1}(y)}\)가 universally closed임을 알고, 앞선 보조정리로부터 \(f^{-1}(y)\)가 compact라는 것을 안다. 반대방향은 universally closed map들의 곱이 universally closed라는 것을 사용하면 증명할 수 있다.
따라서, compact space의 정의를 \(f:X \rightarrow \{\ast\}\)가 universally closed이라는 것으로 했어도 되었을 것이다. 특히 다음이 성립한다.
따름정리 7 연속함수 \(f:X \rightarrow Y\)가 universally closed라면, 임의의 compact subset \(C\subseteq Y\)에 대하여 \(f^{-1}(C)\) 또한 compact이다.
증명
\(f\)가 universally closed이므로 \(f\vert_{f^{-1}(C)}\)는 universally closed이다. 한편 \(C \rightarrow\{\ast\}\)는 \(C\)가 compact라는 가정으로부터 universally closed이고, 따라서 합성 \(f^{-1}(C) \rightarrow C \rightarrow \{\ast\}\)는 universally closed이므로 \(f^{-1}(C)\)도 compact이다.
고유함수
따름정리 7의 결과를 만족하는 함수 \(f\)를 proper map고유함수라 부른다. 다음 명제는 특별한 경우에서 위의 따름정리의 역 또한 성립한다는 것을 보여준다.
명제 8 Hausdorff space들 사이의 연속함수 \(f:X \rightarrow Y\)가 주어졌다 하고, 추가로 \(Y\)가 locally compact라 가정하자. 그럼 \(f\)가 universally closed인 것과 \(f\)가 proper인 것이 동치이다.
증명
앞서 언급한 것과 같이, \(f\)가 universally closed라면 \(f\)가 proper라는 것은 따름정리 7의 결과이다.
따라서 이 명제의 핵심은 역방향이다. \(Y\)가 locally compact이므로, 적당한 compact set들 안에 포함되는 열린집합들로 이루어진 \(Y\)의 open covering \((U_i)\)가 존재한다. 그럼 \(f^{-1}(\cl U_i)\)들은 \(X\)에서 compact이고 각각의 \(f\vert_{f^{-1}(\cl U_i)}\)가 universally closed이다. 이제 명제 3으로부터 원하는 결과를 얻는다.
특히 이는 앞서 살펴본 one-point compactification에 적용하여 다음 결과를 준다.
따름정리 9 두 locally compact Hausdorff space \(X_1,X_2\)가 주어졌다 하고, 이들의 one-point compactification \(\overline{X}_i=X\cup \{\ast_i\}\)가 주어졌다 하자. 그럼 \(f:X_1: X_2\)가 universally closed인 것은 다음 식
\[\overline{f}(x)=\begin{cases}\ast_2&\text{if $x=\ast_1$}\\f(x)&\text{otherwise}\end{cases}\]으로 정의한 \(\overline{f}:\overline{X}_1 \rightarrow \overline{X}_2\)가 연속인 것과 동치이다.
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