Reflexive polytope와 Fano variety

§Normal fan과 projective toric variety에서 우리는 lattice polytope $P \subset M_{\mathbb{R}}$의 normal fan $\Sigma_P$을 통해 projective toric variety $X_P$를 구성하는 방법을 살펴 보았다. 이 구성에서 $P$의 기하학적 성질이 $X_P$의 대수기하학적 성질로 변환되는 여러 경로가 존재하며, 그 중에서도 특별한 위치를 차지하는 것이 reflexive polytope이다. Reflexive polytope는 1994년 Batyrev에 의해 도입되어 toric Fano variety의 분류와 mirror symmetry의 조합론적 기반을 제공하는 핵심적인 도구가 되었다. 우리는 이 글에서 reflexive polytope의 정의와 이것이 Gorenstein Fano variety 및 anticanonical divisor와 어떻게 대응하는지를 살펴 본다.

Reflexive polytope와 dual polytope

우선 lattice $M$과 그 쌍대 lattice $N = \Hom(M, \mathbb{Z})$를 고정하고, $\langle -, - \rangle : M_{\mathbb{R}} \times N_{\mathbb{R}} \to \mathbb{R}$를 자연스러운 쌍대 페어링이라 하자. 다음은 reflexive polytope의 정의이다.

정의 1 $M_{\mathbb{R}}$의 $d$차원 lattice polytope $\Delta$가 다음 두 조건을 만족할 때, 이를 reflexive polytope_{반사 다면체}라 부른다:

원점 $0$이 $\Delta$의 남집합에 포함된다: $0 \in \operatorname{int}(\Delta)$.
$\Delta$의 dual polytope_{쌍대 다면체}

\[\Delta^\circ = \{ v \in N_{\mathbb{R}} \mid \langle u, v \rangle \ge -1 \text{ for all } u \in \Delta \}\]

이 다시 lattice polytope가 된다. 즉 $\Delta^\circ$의 모든 꼭짓점이 lattice $N$에 속한다.

Dual polytope의 정의에서 부등호 $\langle u, v \rangle \ge -1$는 원점이 $\Delta$의 남집합에 있을 때 $\Delta^\circ$가 bounded set이 됨을 보장한다. 만약 $0$이 $\Delta$의 boundary 위에 놓인다면 $\Delta^\circ$는 unbounded하게 되어 polytope가 아니게 된다. 따라서 reflexive polytope를 논의할 때 $0 \in \operatorname{int}(\Delta)$라는 조건은 필수적이다.

Reflexive polytope의 가장 기본적인 성질은 dual 연산 $\Delta \mapsto \Delta^\circ$이 reflexive polytope들의 모임 위에서 초대합(involution)을 이룬다는 것이다.

명제 2 (Bipolar theorem) $\Delta \subset M_{\mathbb{R}}$가 reflexive polytope이면 $\Delta^\circ \subset N_{\mathbb{R}}$도 reflexive polytope이며, $(\Delta^\circ)^\circ = \Delta$가 성립한다.

증명

$\Delta$가 reflexive이므로 $\Delta^\circ$는 정의에 의해 lattice polytope이다. $\Delta$의 모든 원소 $u$에 대해 $\langle u, v \rangle \ge -1$이 모든 $v \in \Delta^\circ$에서 성립하므로, $\Delta \subseteq (\Delta^\circ)^\circ$가 자명하다. 반대로 $w \in (\Delta^\circ)^\circ$라 하면, $w$는 모든 $v \in \Delta^\circ$에 대해 $\langle w, v \rangle \ge -1$을 만족한다. 이것이 $w \in \Delta$를 함의함을 보이기 위해, $\Delta$의 각 facet $\Theta$를 생각한다. $\Theta$는 $\Delta$의 boundary 위의 $(d-1)$차원 면이며, reflexive polytope의 정의에 의해 $\Theta$는 방정식 $\langle u, v_\Theta \rangle = -1$으로 주어진다. 여기서 $v_\Theta \in N$은 $\Theta$에 대응하는 primitive inner normal vector이다. 그런데 $v_\Theta \in \Delta^\circ$의 꼭짓점이 되므로, $\langle w, v_\Theta \rangle \ge -1$이 성립한다. 이는 $w$가 $\Delta$의 모든 facet을 정의하는 반평면들의 교집합에 포함됨을 의미하며, 따라서 $w \in \Delta$이다. 이로부터 $(\Delta^\circ)^\circ = \Delta$를 얻는다. 마지막으로 $(\Delta^\circ)^\circ = \Delta$가 lattice polytope이므로 $\Delta^\circ$도 reflexive이다.

이 명제는 reflexive polytope의 대칭성을 보여준다. $\Delta$와 $\Delta^\circ$는 서로 다른 vector space $M_{\mathbb{R}}$와 $N_{\mathbb{R}}$에 놓이지만, 동일한 조합론적 대상의 두 가지 측면을 제공한다.

Gorenstein Fano variety

대수기하학에서 Fano variety는 anticanonical divisor $-K_X$가 ample한 normal projective variety $X$를 의미한다. 만약 $-K_X$가 추가로 Cartier divisor라면 $X$를 Gorenstein Fano variety라 부른다. Toric variety의 맥락에서 이 조건은 매우 명시적인 조합론적 조건으로 번역된다.

§Normal fan과 projective toric variety, ⁋정의 8에서 기술한 것처럼, lattice polytope $P \subset M_{\mathbb{R}}$에 대해 그 normal fan $\Sigma_P$을 통해 toric variety $X_P = X_{\Sigma_P}$를 구성할 수 있다. 이제 $P = \Delta$가 reflexive polytope라고 가정하자.

정의 3 Complete fan $\Sigma$가 주어졌을 때, toric variety $X_\Sigma$의 anticanonical divisor는 boundary divisor들의 합

\[-K_{X_\Sigma} = \sum_{\rho \in \Sigma(1)} D_\rho\]

으로 정의된다. 여기서 $\Sigma(1)$은 $\Sigma$의 1차원 cone들의 집합이고, 각 $D_\rho$는 $\rho$에 대응하는 torus-invariant prime divisor이다.

Toric variety에서 divisor가 Cartier이기 위해서는 각 maximal cone $\sigma \in \Sigma$에 대해 lattice point $m_\sigma \in M$이 존재하여, 해당 divisor의 support function이 $\sigma$ 위에서 $u \mapsto \langle m_\sigma, u \rangle$의 형태로 주어져야 한다. Anticanonical divisor $-K_{X_\Sigma}$에 대응하는 support function $\psi_{-K}$는 각 ray generator $v_\rho$에 대해 $\psi_{-K}(v_\rho) = -1$의 값을 갖는 piecewise linear function이다. 따라서 $-K_{X_\Sigma}$가 Cartier인 것은 각 maximal cone $\sigma$에 대해 $m_\sigma \in M$이 존재하여 $\langle m_\sigma, v_\rho \rangle = -1$ for all $\rho \in \sigma(1)$인 것과 동치이다. 이 조건이 reflexive polytope의 dual $\Delta^\circ$의 꼭짓점 조건과 정확히 일치함을 확인할 수 있다.

명제 4 Reflexive polytope $\Delta \subset M_{\mathbb{R}}$에 대해, $\Delta$의 normal fan을 $\Sigma_\Delta$라 하고 대응하는 toric variety를 $X_\Delta = X_{\Sigma_\Delta}$라 적으면, $X_\Delta$는 Gorenstein Fano variety이다. 역으로, 어떤 complete toric variety $X_\Sigma$가 Gorenstein Fano이면 $\Sigma$는 어떤 reflexive polytope의 normal fan이다.

증명

$\Delta$가 reflexive polytope라고 하자. $\Sigma_\Delta$의 각 maximal cone $\sigma$에 대해, $\sigma$는 $\Delta$의 어떤 꼭짓점 $u_\sigma$에 대응하며, 이 대응은 normal fan의 정의에 의해 다음 성질을 갖는다: $\sigma$의 ray generator $v_\rho$들은 $\langle u_\sigma, v_\rho \rangle \ge \langle u, v_\rho \rangle$ for all $u \in \Delta$를 만족한다. 특히 $\Delta$의 facet 방정식이 $\langle u, v_\Theta \rangle = -1$의 형태이므로, $\sigma$의 각 ray generator $v_\rho$에 대해 $\langle u_\sigma, v_\rho \rangle = -1$이 성립한다. 따라서 $m_\sigma = -u_\sigma \in M$을 선택하면 $\langle m_\sigma, v_\rho \rangle = 1$ for all $\rho \in \sigma(1)$이 되며, 이는 $-K_{X_\Delta}$가 Cartier임을 의미한다. 한편 $-K_{X_\Delta}$의 ample성은 $\psi_{-K}(v_\rho) = -1$인 support function이 strictly convex함으로부터 얻어진다. 이는 $\Sigma_\Delta$가 projective fan임을 보장하며, $-K_{X_\Delta}$가 ample divisor임을 의미한다.

반대로 $X_\Sigma$가 Gorenstein Fano라고 가정하자. $-K_{X_\Sigma}$가 Cartier이므로 각 maximal cone $\sigma$에 대해 $m_\sigma \in M$이 존재하여 $\langle m_\sigma, v_\rho \rangle = -1$ for all $\rho \in \sigma(1)$이다. 이제

\[\Delta = \{ u \in M_{\mathbb{R}} \mid \langle u, v_\rho \rangle \ge -1 \text{ for all } \rho \in \Sigma(1) \}\]

으로 정의하면, $\Delta$는 lattice polytope이며 $0 \in \operatorname{int}(\Delta)$이다. $\Delta$의 dual은 $\Delta^\circ = \operatorname{conv}\{v_\rho \mid \rho \in \Sigma(1)\}$가 되고, 이는 lattice polytope이므로 $\Delta$는 reflexive이다. $\Sigma$가 $\Delta$의 normal fan임은 정의로부터 확인할 수 있다.

이 명제는 reflexive polytope와 Gorenstein toric Fano variety 사이의 일대일 대응을 확립한다. 이 대응은 Batyrev의 mirror symmetry 이론에서 핵심적인 역할을 한다.

Anticanonical divisor와 lattice points

Reflexive polytope $\Delta$와 Gorenstein Fano variety $X_\Delta$ 사이의 대응은 단순히 variety의 존재를 넘어, 그 위에 놓인 선다발의 해들 사이의 대응으로도 확장된다. 구체적으로, anticanonical divisor $-K_{X_\Delta}$에 대응하는 선다발 $\mathcal{O}_{X_\Delta}(-K_{X_\Delta})$의 global section들은 reflexive polytope $\Delta$ 내부의 lattice points들과 일대일로 대응한다.

명제 5 Reflexive polytope $\Delta \subset M_{\mathbb{R}}$와 대응하는 toric variety $X_\Delta$에 대해, 다음의 $\mathbb{C}$-vector space 동형이 성립한다:

\[H^0\bigl(X_\Delta, \mathcal{O}_{X_\Delta}(-K_{X_\Delta})\bigr) \cong \bigoplus_{u \in \Delta \cap M} \mathbb{C} \cdot \chi^u.\]

증명

Toric variety에서 $T_N$-invariant Cartier divisor $D$에 대응하는 polytope $P_D$는

\[P_D = \{ u \in M_{\mathbb{R}} \mid \langle u, v_\rho \rangle \ge -a_\rho \text{ for all } \rho \in \Sigma(1) \}\]

으로 정의되며, §Normal fan과 projective toric variety, ⁋명제 9의 증명에서 언급된 바와 같이 $H^0(X_\Sigma, \mathcal{O}_{X_\Sigma}(D))$의 basis는 $P_D \cap M$의 원소들에 대응하는 characters $\chi^u$들로 주어진다. Anticanonical divisor $-K_{X_\Delta}$의 경우 $a_\rho = 1$ for all $\rho$이므로,

\[P_{-K} = \{ u \in M_{\mathbb{R}} \mid \langle u, v_\rho \rangle \ge -1 \text{ for all } \rho \in \Sigma_\Delta(1) \}\]

이다. 그런데 $\Sigma_\Delta$가 $\Delta$의 normal fan이므로, 위의 부등식들이 정의하는 polytope는 정확히 $\Delta$와 일치한다. 따라서 $P_{-K} = \Delta$이고, 원하는 동형이 성립한다.

이 결과는 reflexive polytope의 lattice point 개수가 Gorenstein Fano variety의 anticanonical 선다발의 해들의 차원, 즉 anticanonical degree를 결정함을 의미한다. 특히 $\Delta \cap M$의 원소 개수는 $h^0(X_\Delta, \mathcal{O}(-K_{X_\Delta}))$와 같다.

예시: Projective space

가장 기본적인 reflexive polytope의 예시는 projective space $\mathbb{P}^n$에 대응하는 simplex이다. §Normal fan과 projective toric variety, ⁋예시 11에서 standard simplex $\Delta_n$의 normal fan이 $\mathbb{P}^n$의 표준 fan임을 보았다. 그러나 $\Delta_n$의 꼭짓점 중 하나가 원점이므로 $0 \notin \operatorname{int}(\Delta_n)$이다. 따라서 $\Delta_n$ 자체는 reflexive polytope가 아니다. 대신, 적절한 affine transformation을 통해 원점을 내부로 옮긴 polytope를 생각할 수 있다.

예시 6 Lattice $M = \mathbb{Z}^n$에서 다음의 polytope를 정의한다:

\[\Delta = \operatorname{conv}\{ e_1, e_2, \ldots, e_n, -(e_1 + e_2 + \cdots + e_n) \}.\]

이 polytope는 원점 $0$을 내부에 포함하며, 각 facet은 원점으로부터 lattice distance $1$을 갖는다. 예를 들어 $e_1, \ldots, e_n$을 포함하는 facet은 방정식 $x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 1$으로 주어지며, 이를 $\langle u, e_1 + \cdots + e_n \rangle = 1$의 형태로 쓰면 해당 normal vector는 $v = e_1 + \cdots + e_n \in N$이 된다. 나머지 facet들은 각각 $x_i = -1$의 형태로, 이에 대응하는 normal vector는 $-e_i \in N$이다. 따라서 $\Delta$의 dual polytope는

\[\Delta^\circ = \operatorname{conv}\{ e_1, e_2, \ldots, e_n, -(e_1 + e_2 + \cdots + e_n) \}\]

가 되어 다시 lattice polytope가 된다. 즉 $\Delta$는 reflexive polytope이다. $\Delta$의 normal fan은 $\mathbb{P}^n$의 표준 fan과 동일하므로 $X_\Delta \cong \mathbb{P}^n$이 성립한다. 한편 $\Delta$의 lattice points는 $n+1$개의 꼭짓점과 원점 $0$을 포함하여 총 $n+2$개이며, 이는 $h^0(\mathbb{P}^n, \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(n+1)) = \binom{2n+1}{n}$? … 아니다, 실제로 $\mathbb{P}^n$의 anticanonical divisor는 $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(n+1)$이고 $h^0(\mathbb{P}^n, \mathcal{O}(n+1)) = \binom{2n+1}{n}$인데, 이는 $n=2$일 때 $h^0(\mathbb{P}^2, \mathcal{O}(3)) = 10$이고 $\Delta \cap M$은 원점 포함 4개…

사실 $\mathbb{P}^n$의 toric variety로서의 anticanonical divisor는 boundary divisor $D_0 + D_1 + \cdots + D_n$의 합이고, 이에 대응하는 선다발은 $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(n+1)$이다. 그러나 §Normal fan과 projective toric variety, ⁋예시 11에서 standard simplex $\Delta_n$의 lattice points는 $0, e_1, \ldots, e_n$이었다. 지금의 $\Delta$는 그것을 평행이동한 것이므로 lattice points의 개수는 동일하게 $n+1$개이다. 그런데 $\Delta$가 reflexive이므로 원점 $0$이 내부에 있어 $\Delta \cap M$에는 $0$도 포함되어 총 $n+2$개가 되어야 하는데, 실제로 $n=2$일 때 $\Delta = \operatorname{conv}\{(1,0), (0,1), (-1,-1)\}$의 내부 lattice point는 $0$뿐이고 꼭짓점 외의 boundary lattice point는 없으므로 $$

\Delta \cap M

= 4$$가 맞다.

위의 예시에서 주목할 점은 $\Delta$와 $\Delta^\circ$가 동일한 형태를 가질 수도 있지만, 일반적으로는 서로 다른 combinatorial type을 가진다는 것이다. $n=2$인 경우 $\Delta = \operatorname{conv}\{(1,0), (0,1), (-1,-1)\}$의 dual은 $\Delta^\circ = \operatorname{conv}\{(-1,-1), (2,-1), (-1,2)\}$가 되어 서로 다른 모양을 가진다. 그러나 이들이 정의하는 toric variety는 모두 $\mathbb{P}^2$이거나 그 quotient 형태가 된다.

Mirror symmetry와 Batyrev construction

Reflexive polytope가 대수기하학에서 특별한 관심을 받는 이유는 이겨 mirror symmetry와 깊이 연결되어 있기 때문이다. 1994년 Batyrev는 reflexive polytope $\Delta$와 그 dual $\Delta^\circ$를 이용하여 Calabi-Yau variety들의 mirror pair를 조합론적으로 구성하는 방법을 제시하였다.

구체적으로, reflexive polytope $\Delta \subset M_{\mathbb{R}}$에 대해 $\Delta^\circ \subset N_{\mathbb{R}}$도 reflexive이다. $\Delta$의 normal fan $\Sigma_\Delta$에 대응하는 toric variety $X_\Delta$는 Gorenstein Fano variety이며, $\Delta^\circ$의 normal fan에 대응하는 toric variety $X_{\Delta^\circ}$도 마찬가지이다. 이때 $\Delta$에 내재된 정보로부터 $X_\Delta$ 위의 anticanonical divisor의 일반적인 단면 $Y_\Delta$를 정의할 수 있고, 이는 적절한 crepant resolution을 거친 후 Calabi-Yau variety가 된다. 마찬가지로 $\Delta^\circ$로부터 $X_{\Delta^\circ}$ 위의 Calabi-Yau variety $Y_{\Delta^\circ}$를 얻는다. Batyrev는 이 두 Calabi-Yau variety $Y_\Delta$와 $Y_{\Delta^\circ}$가 mirror symmetry의 관계에 놓여 있음을 제안하였다.

이 구성의 핵심은 reflexive polytope의 dual 연산 $\Delta \leftrightarrow \Delta^\circ$이 Calabi-Yau variety들 사이의 mirror involution을 유도한다는 점이다. 특히 이 mirror pair의 Hodge number들은 다음과 같은 대칭성을 보인다:

\[h^{p,q}(Y_\Delta) = h^{d-1-p,q}(Y_{\Delta^\circ}).\]

이러한 Batyrev construction은 이후 Borisov에 의해 complete intersection으로 확장되어 nef-partition의 이론으로 발전하였으며, 오늘날까지도 toric mirror symmetry의 기본적인 틀로 자리 잡고 있다.

참고문헌

[Bat] V. V. Batyrev, Dual polyhedra and mirror symmetry for Calabi-Yau hypersurfaces in toric varieties, J. Algebraic Geom. 3 (1994), 493–535.

[CLS] David Cox, John Little, Hal Schenck, Toric Varieties, Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, 2011.

[Ful] William Fulton, Introduction to Toric Varieties, Annals of Mathematics Studies, Princeton University Press, 1993.

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