K

Grad. student in mathematics

케일리-해밀턴 정리

우선 일반화된 Cayley-Hamilton 정리를 먼저 언급하고 시작한다.

정리 1 Ring \(A\)와 ideal \(\mathfrak{a}\subseteq A\)를 고정하고, \(M\)이 \(n\)개의 원소들 \(e_1,\ldots,e_n\)으로 생성되는 \(A\)-module이라 하자. 그럼 임의의 \(u\in\End_\rMod{A}(M)\)에 대하여, 만일 \(u(M)\subseteq \mathfrak{a}M\)이 성립한다면 다음의 monic polynomial

\[p(\x)=\x^n+p_1\x^{n-1}+\cdots+p_n,\qquad p_k\in \mathfrak{a}^k\]

이 존재하여 \(p(u)=0\)인 것과 동치이다.

증명

[다중선형대수학] §행렬식, ⁋명제 9에서 \(M\)은 free module일 필요가 없다.

그럼 다음이 성립한다.

명제 2 Ring \(A\)에 대하여, ideal \(\mathfrak{a}\subseteq A[\x]\)이 주어졌다 하고, \(B=A[\x]/\mathfrak{a}\), 그리고 \(\x+\mathfrak{a}\in B\)를 \(b\)로 표기하자. 그럼 다음이 성립한다.

  1. \(B\)가 \(A\)-module로서 \(n\)개 이하의 원소로 생성되는 것과 \(\mathfrak{a}\)가 \(n\)차 이하의 monic polynomial을 포함하는 것이 동치이다. 이 때, \(B\)는 \(1,b,\cdots,b^{n-1}\)로 생성된다.
  2. \(B\)가 \(A\)-module로서 free module인 것은 \(\mathfrak{a}\)가 monic polynomial로 생성되는 것과 동치이다. 이 때 \(1,b,\cdots,b^{n-1}\)가 \(B\)의 basis가 된다.
증명
  1. 한쪽 방향은 자명하다. 거꾸로 \(B\)가 \(A\)-module로서 \(n\)개의 원소로 생성된다 하자. 이제 \(B\)의 원소에 \(b\)를 곱하여 얻어지는 \(A\)-module endomorphism \(b:B \rightarrow B\)를 생각하자. Ideal \(A\)에 대해 정리 1을 적용하면 이 endomorphism이 \(n\)차 monic polynomial \(p(x)\)를 만족한다는 것을 알고, 이것은 원소로서 \(b\)를 대입해도 \(0\)이 되어야 한다. 따라서 \(b\)의 정의에 의하여 \(p(\x)\in \mathfrak{a}\)임을 안다.
  2. 우선 \(\mathfrak{a}\)가 차수 \(n\)의 monic polynomial로 생성된다 하자. 그럼 방금 전의 결과에 의해 \(B\)가 \(1,b,\ldots, b^{n-1}\)에 의해 생성된다는 것을 안다. 이제 이들이 일차독립임을 보이면 충분하다. \(A\)-module \(B\)에서 \(\sum_{i=0}^{n-1} a_i b^i=0\)이라 하면, \(q(\x)=\sum_{i=0}^{n-1}a_i\x^i\)가 \(\mathfrak{a}\)에 석해야 하고, 차수 때문에 \(q=0\)이어야 한다.
    반대로 \(B\)가 rank \(n\)의 free \(A\)-module이라 하면 \(B\)를 \(n\)개의 원소로 생성할 수 있으며, 다시 방금 전의 결과로부터 \(\mathfrak{a}\)가 \(n\)차 monic polynomial \(p\)를 포함하며, 이로부터 \(1,b,\ldots, b^{n-1}\)이 \(B\)의 basis가 되는 것까지 유도할 수 있다. 남은 것은 \(p\)가 \(\mathfrak{a}\)를 생성하는 것을 보이는 것인데, 이는 임의의 \(f\in \mathfrak{a}\)가 주어졌다 하고 이를 \(p\)로 나눈 나머지 \(r\)을 생각하면 된다. 두 다항식 \(f\)와 \(p\)가 모두 \(\mathfrak{a}\)에 속하므로, 이 나머지 또한 \(B\)로 보내면 \(0\)이 되어야 한다. 그런데 이는 다항식 \(r(\x)\)에 \(\x=b\)를 대입한 것과 같고, 이는 \(B\)의 basis \(1,\ldots, b^{n-1}\)의 일차결합이라 생각하면 \(r\)의 계수들이 모두 \(0\)이어야 한다는 것을 안다.

정수적 확장

앞서 우리는 \(A\)-algebra \(E\)는 ring homomorphism \(\phi:A \rightarrow E\)와 동일한 데이터로 구성되어 있는 것을 살펴보았다. 더 정확히는 ring homomorphism \(\phi:A \rightarrow E\)는 restriction of scalar를 통해 \(E\)-module \(E\) 위에 \(A\)-module 구조 \(\phi^\ast E\)를 주는 것이며, 이 때의 \(A\)-module 구조가 (\(E\)의 곱셈에 commutativity에 의하여) \(E\)의 곱셈구조를 보존하여 이를 \(A\)-algebra로도 볼 수 있는 것이다.

한편 임의의 ring homomorphism의 합성은 ring homomorphism으로, 우리는 \(A\)-algebra \(E\)에 대해 다음의 식

\[A\overset{\phi}{\rightarrow}E\hookrightarrow E[\x]\]

으로 정의된 ring homomorphism이 \(E[\x]\)에 \(A\)-algebra 구조를 주는 것을 안다. 따라서 [대수적 구조] §대수, ⁋명제 8에 의해 유일한 \(A\)-algebra homomorphism \(\phi[\x]:A[\x]\rightarrow E[\x]\)가 정의되며, 구체적으로 이는 임의의 다항식

\[p(\x)=a_n\x^n+\cdots+a_0\in A[\x]\]

을 받아 다음의 식

\[(\phi[\x](p))(\x)=\phi(a_n)\x^n+\cdots+\phi(a_0)\in E[\x]\]

으로 주어진 다항식을 내놓는 함수이다.

정의 3 Ring homomorphism \(\phi:A\rightarrow E\)가 주어졌다 하자.

  1. 만일 \(\phi\)가 injective라면 \(E\)를 \(A\)의 extension확장이라 부른다.
  2. \(E\)의 원소 \(x\)가 \(\phi\)에 대해 integral정수적이라는 것은 적당한 monic polynomial \(p\in A[\x]\)가 존재하여 \((\phi\[\x\](p))(x)=0\)인 것이다. \(E\)의 모든 원소가 \(\phi\)에 대해 integral이라면, \(\phi\)를 integral homomorphism정수적 준동형사상이라 부른다. 만일 extension \(\phi\)가 integral homomorphism이라면, \(E\)를 \(A\)의 integral extension정수적 확장이라 부른다.
  3. \(E\)의 원소 중, \(\phi\)에 대해 integral인 원소를 모두 모은 것을 \(E\)에서의 \(A\)의 integral closure정수적 폐포 혹은 \(E\) 안에서의 \(A\)의 normalization정규화라 부른다. 만일 \(A\)가 integral domain이라면, \(\Frac(A)\) 안에서의 \(A\)의 integral closure를 별다른 수식어 없이 \(A\)의 normalization이라 부른다. Integral domain \(A\)가 normal domain정규정역인 것은 \(A\)의 normalization이 자기 자신인 것이다.
  4. \(A\)-module \(\phi^\ast E\)가 finitely generated \(A\)-module이라면, \(\phi: A \rightarrow E\)를 finite homomorphism유한 준동형사상이라 부른다.
  5. \(A\)-module \(\phi^\ast E\)가 $A$-algebra로서 finitely generated라면, \(\phi: A \rightarrow E\)를 finite type homomorphism유한형 준동형사상이라 부른다.

문맥상 structure morphism \(\phi: A \rightarrow E\)가 명확할 경우, \(x\)가 \(\phi\)에 대해 integral이라는 말 대신 \(x\)가 \(A\)에 대해 integral이라는 표현을 사용하기도 한다. 비슷하게, 이런 경우에는 \(\phi\)가 integral homomorphism이라는 말 대신 \(E\)가 \(A\)에 대해 integral이라 말한다.

임의의 finite homomorphism은 그 정의에 의해 finite type homomorphism이다. 한편 finite homomorphism \(\phi: A \rightarrow E\)에 대하여, \(x\times-: E \rightarrow E\)는 \(A\)-algebra endomorphism이므로 정리 1을 적용하면 \(x\)가 \(\phi\)에 대해 integral임을 안다. 즉, finite homomorphism은 integral이기도 하다. 다음 보조정리는 이 역을 보여준다.

보조정리 4 Ring homomorphism \(\phi\)가 finite인 것은 \(\phi\)가 integral homomorphism of finite type인 것과 동치이다.

증명

한쪽 방향은 위에서 보였다. 이제 역으로 \(E\)가 유한히 많은 integral element들에 의해 생성된다면, \(E\)가 \(A\)-module로서도 유한하게 생성된다는 것을 보여야 한다. 이를 위해 \(E\)의 (\(A\)-algebra로서의) generator들의 개수에 대한 induction을 사용하자. 만일 \(E\)가 \(A\)-algebra로서 \(n\)개의 integral element \(x_1,\ldots, x_n\)들로 생성된다 하면, 이들 중 \(n-1\)개의 원소들 \(x_1,\ldots, x_{n-1}\)로 생성되는 \(E\)의 \(A\)-subalgebra \(E'\)를 생각할 수 있고 이는 귀납적 가정에 의하여 \(A\)-module로서 유한하게 생성된다. \(E'\)의 (\(A\)-module로서의) generator들을 \(\{s_i\}\)라 하자. 그럼 \(x_n\)은 \(A\)에 대해 integral이므로 \(E'\)에 대해서도 integral이고, 따라서 \(E'\)-module로서 \(E\)는 유한하게 생성되어야 한다. 이 원소들을 \(\{t_j\}\)라 하면, \(\{s_i t_j\}\)가 \(E\)를 \(A\)-module로서 유한하게 생성하는 것을 알 수 있다.

한편 \(E\)가 \(A\)에 대하여 integral인 것과, \(E\)의 각각의 원소들이 integral인 것이 서로 관계가 있기를 기대하는 것이 자연스럽다. 이를 위해 우선 다음 보조정리를 보인다.

보조정리 5 Ring homomorphism \(\phi: A \rightarrow E\)와 \(E\)의 원소 \(x\)가 주어졌다 하자. 그럼 \(x\)가 \(A\)에 대해 integral인 것은, 적당한 \(E\)-module \(N\)과 \(N\)의 \(R\)-submodule \(M\)이 존재하여, \(M\)은 \(E\)의 어떠한 nonzero element에 대해서도 annihilate되지 않으며 포함관계 \(xM\subseteq M\)이 성립하는 것과 동치이다.

증명

우선 \(x\)가 \(A\)에 대하여 integral이라 하자. 그럼 \(N=E\)로 잡으면 \(M=A[x]\)는 명제 2에 의하여 finitely generated인 것을 안다. 반대방향은 명제 2의 증명과 마찬가지로 \(x\)를 곱하는 것을 \(M\)의 endomorphism으로 본 후 정리 1을 적용하면 된다.

다음 정리는 기대하는 것이 당연한 성질이지만, 보조정리 5 없이 이를 정의로부터 바로 증명하는 것은 거의 불가능하다.

정리 6 \(A\)-algebra \(E\)에 대하여, \(E\) 안에서 \(A\)의 integral closure는 다시 \(A\)-algebra이다.

증명

두 원소 \(x,y\in E\)가 \(A\)에 대하여 integral이라 하자. 그럼 \(x+y\)와 \(xy\)가 \(A\)에 대하여 integral임을 보여야 한다. 이제 \(M=A[x]\), \(M'=A[y]\)이 \(E\)의 두 submodule이라 하고, 이들의 원소들의 곱 \(xx'\)들로 생성되는 \(E\)의 subalgebra를 \(MM'\)을 생각하면 \(M,M'\) 각각이 finitely generated이므로 \(MM'\) 또한 finitely generated이다. 이제

\[(xx')MM'=(xM)(x'M)\subseteq MM',\qquad (x+x')MM'\subseteq xMM'+M(x'M')\subseteq MM'\]

이므로 보조정리 5를 이용하면 원하는 결과를 얻는다.

나카야마 보조정리

이제 우리는 아주 유용한 보조정리를 증명한다. 우선 ring \(A\)의 임의의 ideal \(\mathfrak{a}\)에 대하여, \(\mathfrak{a}\)의 nilradical영근기 \(\sqrt{(0)}\)은 다음 식

\[\sqrt{(0)}=\bigcap_\text{\scriptsize$\mathfrak{p}$ prime} \mathfrak{p}\]

으로 주어지는 것을 기억하자. (§국소화의 성질들, ⁋따름정리 8) 비슷한 식으로 \(A\)의 Jacobson radical제이콥슨 근기를 다음 식

\[J(A)=\bigcap_\text{\scriptsize$\mathfrak{m}$ maximal} \mathfrak{m}\]

으로 정의한다.

나카야마 보조정리를 증명하기 위해서는 우선 다음의 보조정리를 먼저 증명해야 한다.

보조정리 7 Finitely generated \(A\)-module \(M\)과 \(A\)의 ideal \(\mathfrak{a}\)가 \(\mathfrak{a}M=M\)을 만족한다 하자. 그럼 적당한 \(a\in \mathfrak{a}\)가 존재하여 \((1-a)M=0\)이다.

증명

주어진 조건으로부터 \(M\subseteq \mathfrak{a}M\)이므로 정리 1로부터 적당한 monic polynomial

\[p(\x)=\x^n+p_1\x^{n-1}+\cdots+p_n,\qquad p_k\in \mathfrak{a}^k\]

이 존재하여 \(p(\id_M)=0\)이다. 즉,

\[(1+p_1+\cdots_p_n)M=0\]

이고 \(a=-(p_1+\cdots_p_n)\)으로 두면 원하는 결과를 얻는다.

이제 드디어 나카야마 보조정리를 말할 수 있다.

보조정리 8 (Nakayama) \(A\)의 Jacobson radical \(J(A)\)에 속하는 ideal \(\mathfrak{a}\)가 주어졌다 하고, \(M\)이 finitely generated \(A\)-module이라 하자. 그럼 다음이 성립한다.

  1. 만일 \(\mathfrak{a}M=M\)이라면 \(M=0\)이다.
  2. 만일 \(x_1,\ldots, x_n\)의 \(M/\mathfrak{a}M\)에서의 image가 \(M/\mathfrak{a}M\)을 \(A\)-module로써 생성한다면, \(x_1,\ldots, x_n\)들은 \(M\)을 \(A\)-module로써 생성한다.
증명

1번 겷과의 경우 보조정리 7으로부터 얻어지는 \(a\in \mathfrak{a}\)가 가정에 의하여 모든 maximal ideal에 속한다는 사실을 안다. 바꾸어 말하면 \(1-a\)는 어떠한 maximal ideal에도 속할 수 없으므로 \(1-a\)는 unit이다. 따라서 원하는 결과를 얻는다.

2번 결과의 경우, \(N=M/\sum_i Ax_i\)라 하자. 그럼 \(N/IN=0\)임을 보일 수 있고 1번 결과로부터 \(N=0\)임을 안다.

국소화

이제 우리는 localization과 관련된 몇몇 결과들을 살펴본다.

명제 9 Unique factorization domain은 normal domain이다.

증명

임의의 \(a/b\in \Frac(A)\)에 대하여, \(a,b\)가 coprime이고 \(a/b\)가 \(A\)의 normalization에 포함된다 하자. 그럼 적당한 monic polynomial이 존재하여

\[\left(\frac{a}{b}\right)^n+a_{n-1}\left(\frac{a}{b}\right)^{n-1}+\cdots+a_1\left(\frac{a}{b}\right)+a_0=0\]

이도록 할 수 있디. 이제 이로부터

\[\x^n+a_{n-1}b \x^{n-1}+\cdots+a_1b^{n-1}\x+a_0b^n\in A[\x]\]

은 \(\x=a\)를 넣었을 때 \(0\)이 되는 monic polynomial인 것을 안다. 즉 \(a^n\)은 \(b\)로 나누어떨어지며, 이것이 모순이 되지 않기 위해서는 \(b=1\), 즉 \(A\)가 normal domain이어야 한다.

더 일반적으로 다음이 성립한다.

명제 10 Ring \(A\subseteq B\)가 주어졌다 하고 monic polynomial \(p\in A[\x]\)가 주어졌다 하자. 만일 \(B[\x]\) 안에서 \(p=q_1q_2\)이도록 하는 monic polynomial들 \(q_1,q_2\in B[\x]\)를 찾을 수 있다면 \(q_1,q_2\)의 계수들은 \(A\)에 대해 integral이다.

증명

방정식의 해를 넣어주는 방법으로 \(B\)를 포함하는 적당한 ring \(C\)에 대하여 \(C[\x]\) 안에서는 \(q_1,q_2\)가 모두 \(\prod (x-\alpha_i)\), \(\prod(x-\beta_j)\)의 꼴로 분해되도록 할 수 있다. 그럼 정의에 의해 \(\alpha_i,\beta_j\)들은 모두 \(A\)에 대해 integral이므로, 이들로 생성되는 \(C\)의 subring \(C'\)는 integral \(A\)-algebra이다. 한편 \(p=q_1q_2\)를 전개하여 그 계수를 보면 이들이 \(C'\)에 속한다는 것을 안다.

따라서 다음이 성립한다.

따름정리 11 Normal domain \(A\)에 대하여, 임의의 monic irreducible polynomial은 prime이다.

한편 normalization은 localization과 commute하며, 그 증명 또한 자명하다.

명제 12 Ring \(A\subseteq B\)와 \(A\)의 multiplicative subset \(S\)를 고정하자. 그럼 \(A\)의 \(B\)에서의 integral closure \(A'\)에 대하여, \(S^{-1}A'\)는 \(S^{-1}A\)의 \(S^{-1}B\) 안에서의 integral closure이다.

국소화와 관련된 또 다른 결과 중 하나는 §국소화의 성질들, ⁋명제 4를 다소 강화한 것이다. 우선 ring \(A\)가 semilocal ring반국소환이라는 것은 \(A\)가 유한히 많은 maximal ideal만을 갖는 것이다. 그럼 다음이 성립한다.

명제 13 Semilocal ring \(A\)와 finitely presented \(A\)-module \(M,N\)에 대하여, 만일 \(M_\mathfrak{m}\cong N_\mathfrak{m}\)이 모든 maximal ideal \(\mathfrak{m}\)에 대해 성립한다면 \(M\cong N\)이 성립한다.

증명

우선 \(A\)의 maximal ideal들 \(\mathfrak{m}_1,\ldots, \mathfrak{m}_n\)이 주어졌다 하고, 각각의 \(k\)에 대하여 \(u_k: M_{\mathfrak{p}_k}\rightarrow N_{\mathfrak{p}_k}\)가 주어졌다 하자. 그럼 \(A_\mathfrak{p}\)는 flat \(A\)-module이고, 가정에 의해 \(M\)이 finitely presented이므로 다음의 isomorphism

\[\Hom_{A_{\mathfrak{m}_k}}( M_{\mathfrak{m}_k}, N_{\mathfrak{m}_k}) \rightarrow \Hom_A(M,N)_{\mathfrak{m}_k}\]

이 존재한다. (§국소화의 성질들, ⁋명제 5) 이 isomorphism에 의한 \(u_k\)의 image는 \(\Hom_A(M,N)\)의 원소에 \(A\setminus \mathfrak{m}_k\)의 원소를 분모에 넣어준 것이므로, 필요하다면 \(u_k\)에 이 분모를 곱해주어 \(v_k\)를 \(\Hom_A(M,N)\)의 원소로 취급할 수 있다.

한편, \(\mathfrak{m}_k\)는 prime이므로, 만일 \(\bigcap_{l\neq k} \mathfrak{m}_l\subseteq \mathfrak{m}_k\)라면 어떠한 \(l\)에 대해 \(\mathfrak{m}_l\subseteq \mathfrak{m}_k\)가 되어야 하므로 모순이다. 즉, 다음의 식

\[\bigcap_{l\neq k} \mathfrak{m}_l\not\subseteq \mathfrak{m}_k\]

이 성립하고 그럼 이로부터 \(a_k\in \bigcap_{l\neq k}\mathfrak{m}_l\)이지만 \(a_k\not\in \mathfrak{m}_k\)인 \(a_k\)가 존재한다. 이렇게 만들어진 \(a_k\)들에 대하여, \(v=\sum_{k=1}^n a_kv_k\)으로 정의하면, 이것이 우리가 원하는 isomorphism이 되며 그 증명을 위해서는 §국소화의 성질들, ⁋명제 4에 의해 각각의 maximal ideal들 \(\mathfrak{m}_k\)에서의 localization을 보면 된다.

더 일반적으로 우리는 임의의 local ring \((B, \mathfrak{n})\)과 finitely generated \(B\)-module 사이의 map들 \(s,t:K \rightarrow L\)에 대하여, 만일 \(s\)가 isomorphism이고 \(t(K)\subseteq \mathfrak{n}L\)이라면 \(s+t\)도 isomorphism인 것을 보인다. 그럼 이 결과를 local ring \((A_{\mathfrak{m}_k}, \mathfrak{m}_kA_{\mathfrak{m}_k})\), 그리고 \(M_{\mathfrak{m}_k}\)에서 \(N_{\mathfrak{m}_k}\)로의 함수들 \(s=a_k v_k\)와 \(t=\sum_{l\neq k} a_lv_l\)에 적용하면 증명이 완료될 것이다.

이 주장을 증명하자. 우선 \(t\)는 \(K\)에서 \(L/\mathfrak{n}L\)로의 zero map으로 볼 수 있고, \(s\)는 \(K\)에서 \(L/\mathfrak{n}L\)로의 epimorphism으로 볼 수 있므로 \(s+t\) 또한 \(K\)에서 \(L/\mathfrak{n}L\)로의 epimorphism으로 볼 수 있다. 그럼 보조정리 8에 의해 \(K\)에서 \(L\)로의 morphism \(s+t\)도 epimorphism이다. 이제 isomorphism \(s\)의 inverse \(s^{-1}\)을 취하여 surjective endomorphism \(s^{-1}(s+t): K \rightarrow K\)를 생각하자. 그럼 정리 1에 의하여 \(s^{-1}(s+t)\)는 isomorphism이기도 하고, 따라서 \(s+t\)는 monomorphism이므로 원하는 결과를 얻는다.

이제 정의 3에서의 ring homomorphism들에 대한 성질들을 조금 더 살펴보자. 우선 다음의 명제부터 시작한다.

명제 14 Ring homomorphism \(\phi:A \rightarrow E\)와 \(\rho: A \rightarrow A'\)가 주어졌다 하자. \(E'=A'\otimes_AE\)라 하면, \(\rho_!\phi: A' \rightarrow E'\)에 대하여 다음이 성립한다.

  1. 만일 \(\phi\)가 integral이라면 \(\rho_!\phi\)도 integral이다.
  2. 만일 \(\phi\)가 finite이라면 \(\rho_!\phi\)도 finite이다.
증명

두 주장의 증명 모두 유사하므로 첫 번째 주장만 증명한다. \(\phi\)가 integral이라 가정하고, 이 때 \(E\)를 생성하는 integral element들을 \(x_i\)라 하자. 그럼 각각의 \(x_i\)는 적당한 monic polynomial \(p_i\in A[\x]\)를 만족한다. 따라서 각각의 \(1\otimes x_i\)는 \(E'\)를 생성하며, \((\rho\[\x\])(p_i)\)를 만족한다. 이로부터 \(E'\)가 \(A'\)에 대해 integral임을 안다.

또, 다음이 성립한다.

명제 15 Ring homomorphism \(\phi:A \rightarrow E\)가 주어졌다 하자. \((a_1, \ldots, a_n)=A\)라면, 다음이 성립한다.

  1. 만일 각각의 \(A_{a_i} \rightarrow E_{a_i}\)가 integral이라면, \(A \rightarrow E\)도 그러하다.
  2. 만일 각각의 \(A_{a_i} \rightarrow E_{a_i}\)가 finite이라면, \(A \rightarrow E\)도 그러하다.
증명

위와 마찬가지로, 두 주장의 증명이 유사하므로 첫 번쨰 주장만 증명한다. 임의의 \(x\in E\)에 대하여, \(A[\x]\)의 원소들 중 \(p(x)=0\)을 만족하는 다항식들의 ideal을 \(\mathfrak{A}\)라 하자. 그럼 이 다항식들의 leading coefficient들을 모은 \(A\)의 부분집합 \(\mathfrak{a}\)가 \(A\)의 ideal이 되는 것을 확인할 수 있다.

한편, 각각의 \(A_{a_i} \rightarrow E_{a_i}\)가 integral이라는 가정으로부터, \(x\)의 \(E_{a_i}\)에서의 image는 \(A_{a_i}\)에 대해 integral이고, 따라서 이 원소의 integral equation을 쓴 후, 분모에 있는 \(a_i\)의 거듭제곱들을 모두 곱해주면 우리는 임의의 \(i\)가 주어질 때마다, 적절한 \(n_i\)가 존재하여 \(a_i^{n_i}\in \mathfrak{a}\)가 성립함을 안다. 한편 식

\[1=\sum_{i=1}^n \alpha_i a_i\]

의 양 변을 충분히 많이 거듭제곱해주면 우리는 이들 \(a_i^{n_i}\)들도 unit ideal을 생성하는 것을 알고 따라서 \(1\in \mathfrak{a}\)이다. 이로부터 정의에 의해 \(x\)가 integral임을 안다.

명제 15 Ring homomorphism \(\phi: A \rightarrow E\)와 \(x\in E\)에 대하여, \(x\)가 \(\phi\)에 대해 integral인 것은, \(A\)의 임의의 prime ideal \(\mathfrak{p}\)에 대하여, \(x\)의 \(A_\mathfrak{p}\)에서의 image가 \(\phi_\mathfrak{p}: A_\mathfrak{p} \rightarrow E_\mathfrak{p}\)에 대해 integral인 것과 동치이다.

증명

한쪽 방향은 보조정리 14를 이용하면 된다. 따라서 임의의 prime ideal \(\mathfrak{p}\subset A\)에 대하여, \(x\)의 \(E_\mathfrak{p}\)에서의 image가 \(A_\mathfrak{p}\)에 대해 integral이라 하고, \(x\)가 integral임을 보이자. 이를 위해서는 \(\phi(A)\)와 \(x\)로 생성되는 \(E\)의 \(A\)-subalgebra \(E'\)를 잡은 후, \(A \rightarrow E'\)가 integral임을 보이면 된다.

우선 가정으로부터, \(E_\mathfrak{p}\)에서 다음의 식

\[x^d+\phi_\mathfrak{p}(a_{d-1})x^{d-1}+\cdots+\phi_\mathfrak{p}(a_0)=0\]

이도록 하는 \(a_i\in A_\mathfrak{p}\)들이 존재한다. 이제 \(\phi_\mathfrak{p}(a_k)\)들의 분모를 통분하면, 우리는 적절한 \(f\in A\setminus \mathfrak{p}\)에 대하여 각각의 \(a_k\)들이 모두 \(A_f\)에 속하는 것으로 볼 수 있고, 그럼 위의 방정식은 \(E_f\)에서 성립하는 식이 되고, 이로부터 \(A_f \rightarrow E_f'\)가 finite homomorphism인 것을 안다.

참고문헌

[Eis] David Eisenbud. Commutative Algebra: with a view toward algebraic geometry. Springer, 1995.

댓글남기기