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Grad. student in mathematics

기본적으로 어떤 분야가 수학의 한 갈래라면 당연하게 갖고 있는 개념들이 있다. 우리가 다루고자 하는 대상들과, 이 대상들 사이의 사상들이 그러하다. 범주론은 이러한 구조를 추상화하여 살펴보는 학문이므로, 각 분야의 특정한 정리들이 범주론에서의 예시가 될 수 있다. 그렇다고 해서 범주론을 공부하기 위해 이 분야들을 모두 공부해야 한다는 뜻은 아니며, 우리는 최대한 건조하게 범주론을 공부하고 대부분의 예시는 해당하는 분야를 공부할 때 따로 공부하는 것을 목표로 한다.

범주의 정의와 예시

정의 1 Category범주 $\mathcal{A}$는 다음과 같은 데이터로 이루어진다.

  • 대상object들의 모임 $\obj(\mathcal{A})$,
  • 정의역domain $A_1\in\obj(\mathcal{A})$에서 공역codomain $A_2\in\obj(\mathcal{A})$로의 morphism사상들의 모임 $\Hom_\mathcal{A}(A_1,A_2)$,

  • 두 morphism $f\in\Hom_\mathcal{A}(A_1,A_2)$, $g\in\Hom_\mathcal{A}(A_2,A_3)$의 합성composition

    \[\circ:\Hom_\mathcal{A}(A_1,A_2)\times\Hom_\mathcal{A}(A_2,A_3)\rightarrow\Hom_\mathcal{A}(A_1,A_3);\qquad (f,g)\mapsto g\circ f\]

추가적으로, 이들은 다음의 조건을 만족한다.

  • Morphism들의 합성은 결합법칙을 만족한다. 즉, $(f\circ g)\circ h=f\circ(g\circ h)$가 성립한다.

  • 각각의 $A\in\obj(\mathcal{A})$마다 $\id_A\in\Hom_\mathcal{A}(A,A)$가 존재하여, 모든 $f\in\Hom_\mathcal{A}(A,A_1)$ 그리고 모든 $g\in\Hom_\mathcal{A}(A_2,A)$에 대하여

    \[f\circ{\id_A}=f,\qquad {\id_A}\circ g=g\]

    이 성립한다.

지금까지 우리가 알고 있던 많은 것들이 이 언어로 쓰여질 수 있다. 가령 집합들의 category $\Set$은 다음과 같은 데이터로 이루어진다.

비슷한 방식으로 다음이 모두 category의 예시가 되는 것을 볼 수 있다.

예시 2 (Concrete categories) 다음은 모두 category의 예시들이다.

  • 집합들과 함수들의 category $\Set$
  • Monoid들과 monoid homomorphism들의 category $\Mon$
  • Group들과 group homomorphism들의 category $\Grp$
  • Abelian group들과 group homomorphism들의 category $\Ab$
  • Ring들과 ring homomorphism들의 category $\Ring$
  • Field들과 field extension들의 category $\Field$
  • Left, right $G$-set들과 $G$-set homomorphism들의 category $\lset{G},\rset{G}$
  • Left, right $R$-module들과 $R$-module homomorphism들의 category $\lMod{R},\rMod{R}$
  • $k$-벡터공간들과 linear map들의 category $\Vect_k$
  • 유한차원 $k$-벡터공간들과 linear map들의 category $\FVect_k$
  • 위상공간들과 연속함수들의 category $\Top$
  • $C^k$-manifold들과 $C^k$-map들의 category $\Man^k$
  • $R$-module들의 chain complex와 chain map들의 category $\Ch(R)$
  • Pointed set들과 pointed function들의 category $\Set_\ast$
  • Pointed topological space들과 pointed continuous map들의 category $\Top_\ast$

여기서 pointed set은 집합 $S$와, $S$의 원소 $x$가 고정된 쌍 $(S,x)$를 뜻하며, $(S,x)$에서 $(S’,x’)$로의 pointed function은 $f:S \rightarrow S’$ 가운데 $f(x)=x’$를 만족하는 것이다. 이와 비슷하게 pointed topological space와 pointed continuous map을 정의할 수 있다.

위의 예시에서의 모든 category의 대상들은 집합 위에 추가적인 구조를 부여한 것이다. 이러한 꼴의 category를 concrete category라 부른다. Category들 중에서는 concrete category가 아닌 것들도 많이 존재한다.

예시 3 임의의 preordered set $(S,\preceq)$를 다음과 같은 과정을 통해 category로 생각할 수 있다. ([집합론] §순서관계의 정의, ⁋정의 7)

  • $\obj(S)=S$이다.
  • 임의의 $x,y\in S$에 대하여, 만일 $x\preceq y$라면 유일한 morphism $x \rightarrow y$가 존재하고, 그렇지 않다면 $\Hom_S(x,y)$는 공집합이다.

두 morphism $x \rightarrow y$와 $y \rightarrow z$의 합성은 morphism $x \rightarrow z$로 주어진다. 이 때 morphism $x \rightarrow z$가 존재한다는 것은 $\preceq$의 transitivity로부터 나온다. 그럼

\[((x \rightarrow y) \rightarrow z)\rightarrow w=x \rightarrow y \rightarrow z \rightarrow y=x \rightarrow (y \rightarrow (z \rightarrow w))\]

으로부터 결합법칙이 나온다. 또, $\preceq$의 reflexivity에 의하여 임의의 $x\in S$에 대해 $\Hom_\mathcal{S}(x,x)$는 유일한 morphism $x \rightarrow x$를 가지며 이것이 $\id_x$의 역할을 하는 것을 확인할 수 있다.

앞선 정의에서 $\obj(\mathcal{A})$를 대상들의 집합 대신, 모임이라 지칭한 것은 이들의 모임이 실제로 집합이 되지 않을 수도 있기 때문이다. 보통은 이러한 대상들을 class클래스라 부른다. 모든 집합은 class지만, class들 중에서는 집합이 아닌 것들이 존재한다.

정의 4 Category $\mathcal{A}$가 주어졌다 하자.

  • $\mathcal{A}$가 small category작은 범주라는 것은 $\mathcal{A}$에 속하는 모든 morphism들의 모임 $\Hom(\mathcal{A})$이 집합인 것이다.
  • $\mathcal{A}$가 locally small category국소적으로 작은 범주라는 것은 임의의 대상 $A_1,A_2\in\mathcal{A}$가 고정될 때마다 $\Hom_\mathcal{A}(A_1,A_2)$가 집합인 것이다.

정의에 의하여 임의의 small category는 locally small이기도 하다. 또, 임의의 small category $\mathcal{A}$에 대하여 $\obj(\mathcal{A})$는 반드시 집합이다. 이는 임의의 $A\in\obj(\mathcal{A})$에 대하여, $\id_A$는 항상 $\mathcal{A}$의 morphism이 되며, 따라서 $\obj(\mathcal{A})$를 집합 $\Hom(\mathcal{A})$의 부분집합으로 생각할 수 있기 때문이다.

예시들을 소개할 때 우리는 이러한 부분을 신경쓰지 않았으며, 앞으로도 그럴 것이다. 다만 안전을 위해 앞으로 나오는 category는 모두 locally small인 것으로 가정한다.

정의 5 Category $\mathcal{C}$에 대하여, $\mathcal{C}$의 subcategory부분범주라는 것은 $\mathcal{C}$의 대상들과 morphism들의 subcollection으로 이루어진 데이터가 그 자체로 category가 되는 것이다.

동형사상

일반적으로 우리가 수학적인 대상들을 배우고 나면, 이들 대상을 언제 같은 것으로 볼 수 있는지를 신경쓴다.

정의 6 임의의 category $\mathcal{A}$가 주어졌다 하고, $A_1,A_2\in\obj(\mathcal{A})$라 하자. $A_1$과 $A_2$가 isomorphic동형이라는 것은 $f\in\Hom_\mathcal{A}(A_1,A_2)$, $g\in\Hom_\mathcal{A}(A_2,A_1)$가 존재하여 두 조건

\[f\circ g=\id_{A_2},\qquad g\circ f=\id_{A_1}\]

가 성립하는 것이다. 이 때, $f$와 $g$를 isomorphism동형사상이라 부르고 이들을 각각의 inverse역사상라 부른다.

위의 정의와 같은 상황에서, 두 조건

\[f\circ g'=\id_{A_2},\qquad g'\circ f=\id_{A_1}\]

을 만족하는 또 다른 $g’\in\Hom_\mathcal{A}(A_2,A_1)$가 존재한다 하자. 그럼

\[g=g\circ\id_{A_2}=g\circ(f\circ g')=(g\circ f)\circ g'=\id_{A_1}\circ g'=g'\]

으로부터 $g=g’$임을 안다. 따라서 임의의 $f\in\Hom_\mathcal{A}(A_1,A_2)$가 주어졌을 때, 정의 8의 두 조건을 만족하는 $g\in\Hom_\mathcal{A}(A_2,A_1)$는 존재한다면 유일하고, 따라서 이를 $g=f^{-1}$으로 적을 수 있다.

많은 예시에서 isomorphism은 bijective인 morphism과 같은 말이지만, 항상 그런 것은 아니다. ([위상수학] §연속함수, ⁋예시 5) 애초에 임의의 category의 morphism들이 반드시 함수라는 보장도 없으므로 morphism이 bijection이라는 것은 애초부터 말이 되지 않는다. 대신 다음을 정의한다.

정의 7 Category $\mathcal{A}$와, morphism $f:A_1\rightarrow A_2$를 생각하자.

  • $f$가 monomorphism단사사상이라는 것은 임의의 두 morphism $g_1,g_2:A_0\rightarrow A_1$가 $f\circ g_1=f\circ g_2$를 만족한다면 $g_1=g_2$가 성립하는 것이다.
  • $f$가 epimorphism전사사상이라는 것은 임의의 두 morphism $h_1,h_2:A_2\rightarrow A_3$가 $h_1\circ f=h_2\circ f$를 만족한다면 $h_1=h_2$가 성립하는 것이다.
  • $f$가 bimorphism전단사사상이라는 것은 $f$가 monomorphism이면서 epimorphism인 것이다.

명제 8 임의의 isomorphism은 bimorphism이다.

증명

$f:A_1\rightarrow A_2$가 isomorphism이라 가정하자. 만일 $g_1,g_2:A_0\rightarrow A_1$가 $f\circ g_1=f\circ g_2$를 만족한다면 다음 식

\[g_1=\id_{A_1}\circ g_1=(f^{-1}\circ f)\circ g_1=f^{-1}\circ(f\circ g_1)=f^{-1}\circ(f\circ g_2)=\id_{A_1}\circ g_2=g_2\]

로부터 $f$가 monomorphism임을 안다. 동일한 논증에 의해 $f$는 epimorphism이기도 하고 따라서 $f$는 bimorphism이다.

$\End(A)$와 $\Aut(A)$

임의의 category $\mathcal{A}$가 주어졌다 하자. 두 morphism $f\in\Hom_\mathcal{A}(A_1,A_2)$, $g\in\Hom_\mathcal{A}(A_3,A_4)$에 대하여, 합성 $g\circ f$가 잘 정의되기 위해서는 반드시 $A_2=A_3$이어야 한다. 즉 category $\mathcal{A}$의 임의의 두 morphism이 항상 합성가능한 것은 아니다.

반면 고정된 $A\in\obj(\mathcal{A})$에 대하여, $\Hom_\mathcal{A}(A,A)$의 원소들은 모두 정의역과 공역이 $A$이므로 이들은 원하는만큼 합성이 가능하다. 이러한 원소들을 endomorphism이라 부르고, 특별히 isomorphism인 endomorphism을 automorphism이라 부른다. 앞서 설명한 것과 같이 $\Hom_\mathcal{A}(A,A)$는 단순히 집합일 뿐만 아니라, 이 위에 특정한 연산 $\circ$가 주어진 대수적인 구조로 생각할 수 있다.

정의 9 임의의 category $\mathcal{A}$와 object $A\in\obj(\mathcal{A})$를 고정하자.

  • $A$에 대한 endomorphism monoid자기준동형사상 모노이드는 집합 $\End_\mathcal{A}(A)=\Hom_\mathcal{A}(A,A)$과 합성 $\circ$으로 이루어진 데이터이다.
  • $A$에 대한 automorphism group자기동형사상 군은 $\End_\mathcal{A}(A)$의 원소들 중 isomorphism만을 모아둔 집합 $\Aut_\mathcal{A}(A)$와 합성 $\circ$으로 이루어진 데이터이다.

어렵지 않게 $\End(A)$와 $\Aut(A)$가 대수적으로 정의된 monoid와 group의 조건을 만족하는 것을 알 수 있다. ([대수적 구조] §준군, 모노이드, 군, ⁋정의 3과 정의 10) 범주론에서는 monoid와 group을 다음과 같이 정의할 수 있다.

정의 10 대상이 하나 뿐인 category를 monoid라 부른다. 모든 morphism이 isomorphism인 monoid를 group이라 부른다.

더 일반적으로 다음을 정의할 수 있다.

정의 11 모든 morphism이 isomorphism인 category를 groupoid준군라 부른다.

참고문헌

[Rie] Emily Riehl. Category Theory in Context. Dover Publications, 2016.

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