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Grad. student in mathematics

기본적으로 어떤 분야가 수학의 한 갈래라면 당연하게 갖고 있는 개념들이 있다. 우리가 다루고자 하는 대상들과, 이 대상들 사이의 사상들이 그러하다. 범주론은 이러한 구조를 추상화하여 살펴보는 학문이므로, 각 분야의 특정한 정리들이 범주론에서의 예시가 될 수 있다. 그렇다고 해서 범주론을 공부하기 위해 이 분야들을 모두 공부해야 한다는 뜻은 아니며, 우리는 최대한 건조하게 범주론을 공부하고 대부분의 예시는 해당하는 분야를 공부할 때 따로 공부하는 것을 목표로 한다.

범주의 정의와 예시

정의 1 Category범주 $\mathcal{A}$는 다음과 같은 데이터로 이루어진다.

  • 대상object들의 모임 $\obj(\mathcal{A})$,
  • 정의역domain $A_1\in\obj(\mathcal{A})$에서 공역codomain $A_2\in\obj(\mathcal{A})$로의 morphism사상들의 모임 $\Hom_\mathcal{A}(A_1,A_2)$,

  • 두 morphism $f\in\Hom_\mathcal{A}(A_1,A_2)$, $g\in\Hom_\mathcal{A}(A_2,A_3)$의 합성composition

    \[\circ:\Hom_\mathcal{A}(A_1,A_2)\times\Hom_\mathcal{A}(A_2,A_3)\rightarrow\Hom_\mathcal{A}(A_1,A_3);\qquad (f,g)\mapsto g\circ f\]

추가적으로, 이들은 다음의 조건을 만족한다.

  • Morphism들의 합성은 결합법칙을 만족한다. 즉, $(f\circ g)\circ h=f\circ(g\circ h)$가 성립한다.

  • 각각의 $A\in\obj(\mathcal{A})$마다 $\id_A\in\Hom_\mathcal{A}(A,A)$가 존재하여, 모든 $f\in\Hom_\mathcal{A}(A,A_1)$ 그리고 모든 $g\in\Hom_\mathcal{A}(A_2,A)$에 대하여

    \[f\circ{\id_A}=f,\qquad {\id_A}\circ g=g\]

    이 성립한다.

지금까지 우리가 알고 있던 많은 것들이 이 언어로 쓰여질 수 있다. 가령 집합들의 category $\Set$은 다음과 같은 데이터로 이루어진다.

비슷한 방식으로 다음이 모두 category의 예시가 되는 것을 볼 수 있다.

예시 2 (Concrete categories) 다음은 모두 category의 예시들이다.

  • 집합들과 함수들의 category $\Set$
  • Monoid들과 monoid homomorphism들의 category $\Mon$
  • Group들과 group homomorphism들의 category $\Grp$
  • Abelian group들과 group homomorphism들의 category $\Ab$
  • Ring들과 ring homomorphism들의 category $\Ring$
  • Field들과 field extension들의 category $\Field$
  • Left, right $G$-set들과 $G$-set homomorphism들의 category $\lset{G},\rset{G}$
  • Left, right $R$-module들과 $R$-module homomorphism들의 category $\lMod{R},\rMod{R}$
  • $k$-벡터공간들과 linear map들의 category $\Vect_k$
  • 유한차원 $k$-벡터공간들과 linear map들의 category $\FVect_k$
  • 위상공간들과 연속함수들의 category $\Top$
  • $C^k$-manifold들과 $C^k$-map들의 category $\Man^k$
  • $R$-module들의 chain complex와 chain map들의 category $\Ch(R)$
  • Pointed set들과 pointed function들의 category $\Set_\ast$
  • Pointed topological space들과 pointed continuous map들의 category $\Top_\ast$

여기서 pointed set은 집합 $S$와, $S$의 원소 $x$가 고정된 쌍 $(S,x)$를 뜻하며, $(S,x)$에서 $(S’,x’)$로의 pointed function은 $f:S \rightarrow S’$ 가운데 $f(x)=x’$를 만족하는 것이다. 이와 비슷하게 pointed topological space와 pointed continuous map을 정의할 수 있다.

위의 예시에서의 모든 category의 대상들은 집합 위에 추가적인 구조를 부여한 것이다. 이러한 꼴의 category를 concrete category라 부른다. Category들 중에서는 concrete category가 아닌 것들도 많이 존재한다.

예시 3 임의의 preordered set $(S,\preceq)$를 다음과 같은 과정을 통해 category로 생각할 수 있다. ([집합론] §순서관계의 정의, ⁋정의 7)

  • $\obj(S)=S$이다.
  • 임의의 $x,y\in S$에 대하여, 만일 $x\preceq y$라면 유일한 morphism $x \rightarrow y$가 존재하고, 그렇지 않다면 $\Hom_S(x,y)$는 공집합이다.

두 morphism $x \rightarrow y$와 $y \rightarrow z$의 합성은 morphism $x \rightarrow z$로 주어진다. 이 때 morphism $x \rightarrow z$가 존재한다는 것은 $\preceq$의 transitivity로부터 나온다. 그럼

\[((x \rightarrow y) \rightarrow z)\rightarrow w=x \rightarrow y \rightarrow z \rightarrow y=x \rightarrow (y \rightarrow (z \rightarrow w))\]

으로부터 결합법칙이 나온다. 또, $\preceq$의 reflexivity에 의하여 임의의 $x\in S$에 대해 $\Hom_\mathcal{S}(x,x)$는 유일한 morphism $x \rightarrow x$를 가지며 이것이 $\id_x$의 역할을 하는 것을 확인할 수 있다.

앞선 정의에서 $\obj(\mathcal{A})$를 대상들의 집합 대신, 모임이라 지칭한 것은 이들의 모임이 실제로 집합이 되지 않을 수도 있기 때문이다. 보통은 이러한 대상들을 class클래스라 부른다. 모든 집합은 class지만, class들 중에서는 집합이 아닌 것들이 존재한다.

정의 4 Category $\mathcal{A}$가 주어졌다 하자.

  • $\mathcal{A}$가 small category작은 범주라는 것은 $\mathcal{A}$에 속하는 모든 morphism들의 모임 $\Hom(\mathcal{A})$이 집합인 것이다.
  • $\mathcal{A}$가 locally small category국소적으로 작은 범주라는 것은 임의의 대상 $A_1,A_2\in\mathcal{A}$가 고정될 때마다 $\Hom_\mathcal{A}(A_1,A_2)$가 집합인 것이다.

정의에 의하여 임의의 small category는 locally small이기도 하다. 또, 임의의 small category $\mathcal{A}$에 대하여 $\obj(\mathcal{A})$는 반드시 집합이다. 이는 임의의 $A\in\obj(\mathcal{A})$에 대하여, $\id_A$는 항상 $\mathcal{A}$의 morphism이 되며, 따라서 $\obj(\mathcal{A})$를 집합 $\Hom(\mathcal{A})$의 부분집합으로 생각할 수 있기 때문이다.

예시들을 소개할 때 우리는 이러한 부분을 신경쓰지 않았으며, 앞으로도 그럴 것이다. 다만 안전을 위해 앞으로 나오는 category는 모두 locally small인 것으로 가정한다.

정의 5 Category $\mathcal{C}$에 대하여, $\mathcal{C}$의 subcategory부분범주라는 것은 $\mathcal{C}$의 대상들과 morphism들의 subcollection으로 이루어진 데이터가 그 자체로 category가 되는 것이다.

동형사상

일반적으로 우리가 수학적인 대상들을 배우고 나면, 이들 대상을 언제 같은 것으로 볼 수 있는지를 신경쓴다.

정의 6 임의의 category $\mathcal{A}$가 주어졌다 하고, $A_1,A_2\in\obj(\mathcal{A})$라 하자. $A_1$과 $A_2$가 isomorphic동형이라는 것은 $f\in\Hom_\mathcal{A}(A_1,A_2)$, $g\in\Hom_\mathcal{A}(A_2,A_1)$가 존재하여 두 조건

\[f\circ g=\id_{A_2},\qquad g\circ f=\id_{A_1}\]

가 성립하는 것이다. 이 때, $f$와 $g$를 isomorphism동형사상이라 부르고 이들을 각각의 inverse역사상라 부른다.

위의 정의와 같은 상황에서, 두 조건

\[f\circ g'=\id_{A_2},\qquad g'\circ f=\id_{A_1}\]

을 만족하는 또 다른 $g’\in\Hom_\mathcal{A}(A_2,A_1)$가 존재한다 하자. 그럼

\[g=g\circ\id_{A_2}=g\circ(f\circ g')=(g\circ f)\circ g'=\id_{A_1}\circ g'=g'\]

으로부터 $g=g’$임을 안다. 따라서 임의의 $f\in\Hom_\mathcal{A}(A_1,A_2)$가 주어졌을 때, 정의 8의 두 조건을 만족하는 $g\in\Hom_\mathcal{A}(A_2,A_1)$는 존재한다면 유일하고, 따라서 이를 $g=f^{-1}$으로 적을 수 있다.

많은 예시에서 isomorphism은 bijective인 morphism과 같은 말이지만, 항상 그런 것은 아니다. ([위상수학] §연속함수, ⁋예시 5) 애초에 임의의 category의 morphism들이 반드시 함수라는 보장도 없으므로 morphism이 bijection이라는 것은 애초부터 말이 되지 않는다. 대신 다음을 정의한다.

정의 7 Category $\mathcal{A}$와, morphism $f:A_1\rightarrow A_2$를 생각하자.

  • $f$가 monomorphism단사사상이라는 것은 임의의 두 morphism $g_1,g_2:A_0\rightarrow A_1$가 $f\circ g_1=f\circ g_2$를 만족한다면 $g_1=g_2$가 성립하는 것이다.
  • $f$가 epimorphism전사사상이라는 것은 임의의 두 morphism $h_1,h_2:A_2\rightarrow A_3$가 $h_1\circ f=h_2\circ f$를 만족한다면 $h_1=h_2$가 성립하는 것이다.
  • $f$가 bimorphism전단사사상이라는 것은 $f$가 monomorphism이면서 epimorphism인 것이다.

명제 8 임의의 isomorphism은 bimorphism이다.

증명

$f:A_1\rightarrow A_2$가 isomorphism이라 가정하자. 만일 $g_1,g_2:A_0\rightarrow A_1$가 $f\circ g_1=f\circ g_2$를 만족한다면 다음 식

\[g_1=\id_{A_1}\circ g_1=(f^{-1}\circ f)\circ g_1=f^{-1}\circ(f\circ g_1)=f^{-1}\circ(f\circ g_2)=\id_{A_1}\circ g_2=g_2\]

로부터 $f$가 monomorphism임을 안다. 동일한 논증에 의해 $f$는 epimorphism이기도 하고 따라서 $f$는 bimorphism이다.

$\End(A)$와 $\Aut(A)$

임의의 category $\mathcal{A}$가 주어졌다 하자. 두 morphism $f\in\Hom_\mathcal{A}(A_1,A_2)$, $g\in\Hom_\mathcal{A}(A_3,A_4)$에 대하여, 합성 $g\circ f$가 잘 정의되기 위해서는 반드시 $A_2=A_3$이어야 한다. 즉 category $\mathcal{A}$의 임의의 두 morphism이 항상 합성가능한 것은 아니다.

반면 고정된 $A\in\obj(\mathcal{A})$에 대하여, $\Hom_\mathcal{A}(A,A)$의 원소들은 모두 정의역과 공역이 $A$이므로 이들은 원하는만큼 합성이 가능하다. 이러한 원소들을 endomorphism이라 부르고, 특별히 isomorphism인 endomorphism을 automorphism이라 부른다. 앞서 설명한 것과 같이 $\Hom_\mathcal{A}(A,A)$는 단순히 집합일 뿐만 아니라, 이 위에 특정한 연산 $\circ$가 주어진 대수적인 구조로 생각할 수 있다.

정의 9 임의의 category $\mathcal{A}$와 object $A\in\obj(\mathcal{A})$를 고정하자.

  • $A$에 대한 endomorphism monoid자기준동형사상 모노이드는 집합 $\End_\mathcal{A}(A)=\Hom_\mathcal{A}(A,A)$과 합성 $\circ$으로 이루어진 데이터이다.
  • $A$에 대한 automorphism group자기동형사상 군은 $\End_\mathcal{A}(A)$의 원소들 중 isomorphism만을 모아둔 집합 $\Aut_\mathcal{A}(A)$와 합성 $\circ$으로 이루어진 데이터이다.

어렵지 않게 $\End(A)$와 $\Aut(A)$가 대수적으로 정의된 monoid와 group의 조건을 만족하는 것을 알 수 있다. ([대수적 구조] §반군, 모노이드, 군, ⁋정의 3과 ⁋정의 11) 범주론에서는 monoid와 group을 다음과 같이 정의할 수 있다.

정의 10 대상이 하나 뿐인 category를 monoid라 부른다. 모든 morphism이 isomorphism인 monoid를 group이라 부른다.

더 일반적으로 다음을 정의할 수 있다.

정의 11 모든 morphism이 isomorphism인 category를 groupoid준군라 부른다.

이는 그저 group의 모든 성질들이 성립하지만, group operation이 모든 원소들에 대해 정의되는 대신 특정한 원소들의 쌍에 대해서만 정의되어도 충분하다는 뜻이다.

카테고리의 예시들

이제 이미 존재하는 category로부터 새로운 category들을 만드는 방법을 살펴본다.

예시 12 두 category $\mathcal{A},\mathcal{B}$가 주어졌다 하자. 이들의 product category곱 카테고리 $\mathcal{A}\times \mathcal{B}$는 다음의 데이터로 이루어진다.

  • $\obj(\mathcal{A}\times \mathcal{B})$의 대상들은 쌍 $(A,B)$의 꼴이다.
  • 임의의 $(A_1,B_1),(A_2,B_2)\in\obj(\mathcal{A}\times \mathcal{B})$에 대하여, $\Hom_{\mathcal{A}\times \mathcal{B}}((A_1,B_1),(A_2,B_2))$는 $f\in\Hom_\mathcal{A}(A_1,A_2),g\in\Hom_\mathcal{B}(B_1,B_2)$에 대해 $(f,g)$의 꼴이다.
  • 임의의 $A\times B\in \mathcal{A}\times \mathcal{B}$에 대하여, $A\times B$에서의 identity는 $(\id_A,\id_B)$로 주어진다.
  • 임의의 $(f_1,g_1):(A_1,B_1)\rightarrow(A_2,B_2)$, $(f_2,g_2):(A_2,B_2)\rightarrow(A_3,B_3)$에 대해, 이들의 합성은 $(f_2\circ f_1,g_2\circ g_1)\in\Hom((A_1,B_1),(A_3,B_3))$으로 주어진다.

예시 13 Category $\mathcal{A}$가 주어졌다 하고, $A\in\obj(\mathcal{A})$를 고정하자.

  • $\mathcal{A}$의 slice category over $A$$A$ 위에서의 조각 범주 $A_{/\mathcal{A}}$는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
    • $\mathcal{A}_{/A}$의 object들은 $\mathcal{A}$의 morphism들 $f:A_1\rightarrow A$이다.
    • 임의의 $(A_1\overset{f_1}{\longrightarrow}A)\in\obj(\mathcal{A}_{/A})$와 $(A_2\overset{f_2}{\longrightarrow}A)\in\obj(\mathcal{A}_{/A})$에 대하여, $f_1$에서 $f_2$로의 morphism은 $f_1=g\circ f_2$가 성립하도록 하는 $g:A_1\rightarrow A_2$이다.
  • $\mathcal{A}$의 slice category under $A$$A$ 위에서의 쌍대 조각 범주 ${}_{A/}\mathcal{A}$는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
    • ${}_{A/}\mathcal{A}$의 object들은 $\mathcal{A}$의 morphism들 $f:A\rightarrow A_1$이다.
    • 임의의 $(A\overset{f_1}{\longrightarrow}A_1)\in\obj({}_{A/}\mathcal{A})$와 $(A\overset{f_2}{\longrightarrow}A_2)\in\obj({}_{A/}\mathcal{A})$에 대하여, $f_1$에서 $f_2$로의 morphism은 $f_2=g\circ f_1$가 성립하도록 하는 $g:A_1\rightarrow A_2$이다.

참고문헌

[Rie] Emily Riehl. Category Theory in Context. Dover Publications, 2016.

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