군들의 곱
우리는 임의의 category \(\mathcal{A}\)에서 product를 정의하는 방법을 알고 있다. ([범주론] §극한, ⁋예시 6) 다음 보조정리는 category \(\Grp\)의 임의의 product가 항상 존재한다는 것을 보여준다.
보조정리 1 \(\Grp\)은 cartesian monoidal category이다.
증명
우선 \(\Set\)에서 product의 universal property을 만족하는 곱집합 \(\prod_{i\in I} G_i\)는 이미 [집합론] §집합의 곱, ⁋정의 1에서 정의했다. 표기상의 편의를 위해 \(\prod_{i\in I}G_i\)의 원소 \(f:I\rightarrow \bigcup G_i\)를 순서쌍 \((a_i)_{i\in I}\)으로 표기하기로 한다.
이제 집합 \(\prod_{i\in I}G_i\)의 임의의 두 원소 \(x=(x_i)_{i\in I},y=(y_i)_{i\in I}\)에 대하여,
\[xy=(x_i)_{i\in I}(y_i)_{i\in I}=(x_iy_i)_{i\in I}\]으로 정의하자. 그럼 \(\prod_{i\in I}G_i\)는 이 연산에 대해 group의 구조를 가지며, 항등원은 \((e_i)_{i\in I}\)이고 \(x=(x_i)_{i\in I}\)의 역원은 \((x_i^{-1})_{i\in I}\)인 것을 알 수 있다. 또, 임의의 \(j\in I\)에 대하여
\[\pr_j(xy)=\pr_j(x_iy_i)_{i\in I}=x_jy_j=\pr_j(x)\pr_j(y)\]이므로 \(\pr_j\)가 group homomorphism이다.
이제 이렇게 정의한 \((G=\prod_{i\in I}G_i,(\pr_i)_{i\in I})\)가 universal property를 만족하는 것을 증명하자. 이를 위해서는 곱집합의 universal property로 얻어지는 함수 \(f:H\rightarrow G\)가 group homomorphism이라는 것만 보이면 충분하다. 이제 임의의 \(x,y\in H\)와 임의의 \(i\in I\)에 대하여,
\[f(xy)=(f_i(xy))_{i\in I}=(f_i(x)f_i(y))_{i\in I}=(f_i(x))_{i\in I}(f_i(y))_{i\in I}=f(x)f(y)\]이므로 \(f\)는 group homomorphism이 되고 따라서 위의 \((G=\prod_{i\in I}G_i,(\pr_i)_{i\in I})\)가 universal property를 만족한다.
다음 따름정리들 또한 product의 universal property에 의해 자명하다.
따름정리 2 Group들의 family \((G_i)\)에 대하여, 이들 family의 product는 유일한 isomorphism에 대해 유일하게 결정된다.
증명
임의의 category의 terminal object는 유일한 isomorphism에 대하여 유일하게 결정된다.
따름정리 3 \((G_i)\), \((H_i)\)가 동일한 집합 \(I\)를 index set으로 갖는 group들의 family이고, 각각의 \(i\)마다 group homomorphism \(f_i:G_i\rightarrow H_i\)가 주어졌다 하자. 그럼 다음의 diagram
을 commute하도록 하는 유일한 group homomorphism \(f:\prod G_i\rightarrow\prod H_i\)이 존재한다. 이 때 \(\ker f=\prod\ker f_i\)이고, \(\im f=\prod\im f_i\)이다.
증명
\(\prod H_i\)는 주어진 조건을 만족하는 cone들의 모임의 terminal object이다. ([범주론] §극한, §§극한의 보편성질) 이렇게 정의되는 commutative diagram에 의하여
\[x\in\ker f\iff f(x)=e\iff \forall i(\pr_i^H(f(x))=e_i)\iff \forall i((f_i\circ \pr_i^G)(x)=e_i)\iff \forall i(\pr_i^G(x)\in\ker f_i)\]이므로 \(\ker f=\prod\ker f_i\)가 성립한다.
이와 유사하게, \(y\in\prod H_i\)에 대해 \(y\in\im f\)인 것은 \(y=f(x)\)인 \(x\in H_i\)가 존재하는 것과 동치이고, 이러한 \(x\)에 대하여
\[\pr_i^H(y)=\pr_i^H(f(x))=f_i(\pr_i^G(x))\in\im f_i\]이므로 \(\im f=\prod\im f_i\) 또한 성립한다.
따름정리 4 Group들의 family \((G_i)_{i\in I}\)가 주어졌다 하자. 각각의 \(i\in I\)에 대하여 \(H_i\)들이 \(G_i\)의 normal subgroup이라면, \(\prod H_i\)도 \(\prod G_i\)의 normal subgroup이고 그 quotient group은 \(\prod (G_i/H_i)\)와 같다.
증명
Canonical homomorphism들 \(p_i:G_i\rightarrow G_i/H_i\)들에 따름정리 3를 적용하면 된다.
\(p_i\circ\pr_i\)들 각각은 전사인 homomorphism들의 합성이므로 전사이고 따라서 앞선 따름정리에 의해 \(\im p\)는 \(\prod(G_i/H_i)\)와 같다. 또, \(p_i\)들 각각의 kernel은 \(H_i\)와 같다. 따라서 first isomorphism theorem에 의하여
\[\biggl(\prod_{i\in I} G_i\biggr)\bigg/\biggl(\prod_{i\in I}H_i\biggr)\cong\prod_{i\in I} (G_i/H_i)\]가 성립한다.
물론, \(H_i\)들이 \(G_i\)들의 normal이 아닌 subgroup이더라도 \(\prod H_i\)는 \(\prod G_i\)의 subgroup이 된다.
따름정리 5 Group들의 family \((G_i)_{i\in I}\)가 주어졌다 하자. 만일 각각의 \(i\in I\)에 대하여 \(H_i\leq G_i\)라면, \(\prod H_i\)는 \(\prod G_i\)의 subgroup이다.
증명
Inclusion homomorphism들 \(\iota_i:H_i\hookrightarrow G_i\)에 따름정리 3를 적용하면, \(\iota\)는 단사이고 \(\prod H_i\)는 정확히 \(\iota\)의 image이므로 \(\prod G_i\)의 subgroup이다.
부분곱
위의 따름정리들은 다음의 상황에서 특히 유용하다.
\((G_i)_{i\in I}\)가 group들의 family라 하고, \(I\)의 부분집합 \(J\)를 생각하자. 그럼 product \(\prod_{j\in J}G_j\)가 잘 정의된다. 한편, 다음의 식
\[G_i'=\begin{cases} G_i&i\in J\\ \{e\}&i\not\in J\end{cases}\]으로 정의된 group들의 family \((G_i')\), 그리고 \(G_i'\)에서 \(G_i\)로의 group homomorphism들
\[f_i=\begin{cases} \id_{G_i}&i\in J\\ \iota_i&i\not\in J\end{cases}\]을 생각하자. 그럼 어렵지 않게 \(\prod_{i\in I}G_i'\cong\prod_{j\in J}G_j\)임을 보일 수 있으며, 따라서 따름정리 4에 의하여 다음의 식
\[\biggl(\prod_{i\in I}G_i\biggr)\bigg/\biggl(\prod_{j\in J}G_j\biggr)\cong\prod_{i\in I\setminus J} G_i\]이 성립함을 확인할 수 있다.
참고문헌
[Bou] Bourbaki, N. Algebra I. Elements of Mathematics. Springer. 1998.
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