Presheaf는 국소적인 정보들을 모두 갖고 있지만, 이를 붙여서 대역적인 정보를 얻어내는 방법이 없으므로 local-to-global property를 기대할 수 없다. Sheaf는 presheaf들 가운데에서 §준층, ⁋보조정리 1과 같은 gluing condition을 만족하는 것들을 의미한다.
정의 1 위상공간 $X$ 위에 정의된 presheaf $\mathscr{F}$가 sheaf층이라는 것은 다음 두 조건이 성립하는 것이다.
- (Identity axiom) 임의의 열린집합 $U$와 open covering $\{U_i\}_{i\in I}$에 대하여, 만일 $f,g\in\mathscr{F}(U)$가 모든 $i\in I$에 대해 $f\vert_{U_i}=g\vert_{U_i}$를 만족한다면 $f=g$이다.
- (Gluability axiom) 임의의 열린집합 $U$와 open covering $\{U_i\}_{i\in I}$에 대하여, $f_i\in\mathscr{F}(U_i)$들이 주어졌다 하고, 이들이 모든 $i,j$에 대하여 $f_i\vert_{U_i\cap U_j}=f_j\vert_{U_i\cap U_j}$를 만족한다 하자. 그럼 어떠한 $f\in \mathscr{F}(U)$가 존재하여, 모든 $i$에 대해 $f\vert_{U_i}=f_i$이다.
가령, §준층, ⁋보조정리 1에 의하여, 위상공간 $X$ 위에서 정의된 $Y$로의 연속함수들의 presheaf는 sheaf가 된다. (§준층, ⁋예시 3)
고정된 위상공간 $X$에 대하여, $\mathcal{A}$-valued sheaf들의 category $\Sh(X,\mathcal{A})$는 그 대상들이 sheaf인 $\PSh(X,\mathcal{A})$의 full subcategory로 정의한다. 즉 inclusion functor $\Sh(X, \mathcal{A})\hookrightarrow \PSh(X,\mathcal{A})$가 forgetful functor이다.
이제 sheaf의 stalk에 대해 살펴보자.
명제 2 위상공간 $X$와 그 위에 정의된 sheaf $\mathscr{F}$, 그리고 $X$의 임의의 열린집합 $U$에 대하여 다음의 함수
\[\mathscr{F}(U) \rightarrow \prod_{x\in U} \mathscr{F}_x\]는 단사함수이다.
증명
주어진 함수는 $f\mapsto (f_x)_{x\in U}$이다. 따라서 두 $f,g\in \mathscr{F}(U)$가 모든 $x\in U$에 대해 $f_x=g_x$를 만족한다면 $f=g$라는 것을 보이면 충분하다.
§준층, §§줄기에서 살펴본 stalk $\mathscr{F}_x$의 표현으로부터, 각각의 $x\in U$마다 열린집합 $x\in V_x\subseteq U$가 존재하여 $f\vert_{V_x}=g\vert_{V_x}$임을 안다. 이러한 $V_x$들의 모임은 $U$의 open covering이고 따라서 정의 1의 첫 번째 조건으로부터 $f=g$임을 안다.
$\mathscr{F}$를 $X$에서 $Y$로의 연속함수들의 sheaf라 하면, 위의 명제는 대략적으로 모든 점에서 함숫값이 같은 두 연속함수는 같다는 것을 의미한다. 한편 각 점들에서 함숫값을 임의로 정해준다고 해서 얻어지는 함수가 연속일리는 당연히 없으므로, 위의 함수가 전사함수가 되지 않는 것은 자명하다.
정의 3 위상공간 $X$와 그 위에 정의된 sheaf $\mathscr{F}$, 그리고 $X$의 임의의 열린집합 $U$에 대하여, 집합 $\prod_{x\in U} \mathscr{F}_x$의 원소 $(s_x)_{x\in U}$가 compatible한 germ들로 이루어져 있다는 것은 각각의 $x\in U$마다 적당한 열린근방 $V_x\subseteq U$가 존재하여, $s_x=[(\tilde{s}_x, V_x)]$라 하였을 때 다음 식
\[(\tilde{s}_x)_y=s_y\in \mathscr{F}_y\]이 모든 $y\in V_x$에 대해 성립하는 것이다.
만일 $(s_x)_{x\in U}$가 compatible한 germ들로 이루어져 있다면, 임의의 $x_1,x_2\in U$에 대하여 $\mathscr{F}(V_{x_1}\cap V_{x_2})$의 두 원소
\[\tilde{s}_{x_1}\vert_{V_{x_1}\cap V_{x_2}},\quad \tilde{s}_{x_2}\vert_{V_{x_1}\cap V_{x_2}}\]는 명제 2에 의해 같은 원소가 된다. 따라서, 정의 1의 두 번째 조건을 사용하면 적절한 $\tilde{s}\in \mathscr{F}(U)$를 찾아 이 원소의 stalk이 $s_x$가 되도록 할 수 있다.
그럼 $X$ 위에 정의된 presheaf $\mathscr{F}$, sheaf $\mathscr{G}$에 대하여 $\mathscr{F}$에서 $\mathscr{G}$로의 presheaf morphism $\phi$는 각 점 $x$에서의 morphism $\phi_x: \mathscr{F}_x \rightarrow \mathscr{G}_x$로 완전히 결정된다. 뿐만 아니라 다음이 성립한다.
명제 4 $X$ 위에 정의된 sheaf들 사이의 morphism $\phi:\mathscr{F}\rightarrow \mathscr{G}$이 주어졌다 하자. 그럼 $\phi$가 isomorphism인 것과 stalk들 사이의 morphism $\phi_x:\mathscr{F}_x \rightarrow \mathscr{G}_x$가 모두 isomorphism인 것이 동치이다.
증명
우선 $\phi$가 isomorphism이라면 $\phi_x$들이 isomorphism이 된다는 것은 자명하다. 따라서 반대 방향만 보이면 충분하다. 즉, $\phi_x$가 모두 isomorphism이라면 모든 열린집합 $U$에 대하여 $\phi\vert_U$가 isomorphism이라는 것을 증명해야 한다.
우선 $\phi\vert_U$가 항상 injective라는 것을 증명한다. $\phi(s)=0$을 만족하는 $s\in \mathscr{F}(U)$를 택하자. 그럼 모든 $p\in U$에 대하여
\[0=(\phi\vert_U)(s)_x=\phi_x(s_x)\]이 성립하고, stalk 레벨에서 $\phi$는 isomorphism이라 가정하였으므로 모든 $p$에 대하여 $s_x=0$이다. 즉 임의의 $p\in U$마다, $p$의 적당한 열린근방 $W\subseteq U$가 존재하여 $s\vert_W=0$이 성립한다. $W$들은 $U$를 덮으므로, identity axiom으로부터 $s=0$이어야 한다.
이제 $\phi(U)$가 surjective라는 것을 증명한다. 이를 위해 임의의 $t\in \mathscr{G}(U)$를 잡고, $(\phi\vert_U)(s)=t$를 만족하는 $s\in \mathscr{F}(U)$를 만들어야 한다. Stalk 레벨에서 $\phi$는 surjective이므로, 각각의 $p\in U$에 대하여 $\phi_x(s_x)=t_x$를 만족하는 $s_x$들이 존재한다. 그럼 $p$의 적당한 열린근방 $W\subseteq U$가 존재하여, 이 위에 정의된 section $s$의 $p\in U$에서의 germ이 $s_x$가 되도록 할 수 있다. 이제
\[(\phi\vert_W)(s)_x=\phi_x(s_x)=t_x\]이므로, 필요하다면 $W$를 더 작은 $p$의 열린근방으로 제한하여 $(\phi\vert_W)(s)=t\vert_W$이도록 할 수 있다. 우리의 주장은 이렇게 점 $p$마다 만들어낸 section들이 gluing condition을 잘 만족하므로, $U$ 전체에서 정의된 section을 만들 수 있다는 것이고, 이는 다음과 같이 증명할 수 있다. $s\in \mathscr{F}(W)$를 $p\in U$에다 위의 논증을 적용해서 얻은 section이라 하고, $s’\in \mathscr{F}(W’)$를 $p’\in U$에다 위의 논증을 적용하여 얻은 section이라 하자. 그럼 $W\cap W’$ 위에서,
\[(\phi\vert_{W\cap W'})(s\vert_{W\cap W'})=t\vert_{W\cap W'}=(\phi\vert_{W\cap W'})(s'\vert_{W\cap W'})\]이 성립하므로, $\phi\vert_{W\cap W’}$의 injectivity에 의하여 $s\vert_{W\cap W’}=s’\vert_{W\cap W’}$이 성립한다. 이러한 $s$들을 붙여 만드는 section을 $\phi$를 타고 보냈을 때 $t$가 된다는 것은 다시 $\mathscr{G}$의 identity axiom으로부터 자명하다.
층들의 가환범주
Presheaf 때와 마찬가지로, (abelian) sheaf들의 카테고리에서 diagram chasing을 하기 위해서는 sheaf들 사이의 morphism의 kernel이나 cokernel, image 등이 sheaf가 되어야 한다. 그러나 일반적으로 kernel을 제외하면 이들은 sheaf가 되지 않기 때문에 새로운 정의가 필요하다.
정의 5 임의의 위상공간 $X$와 category $\mathcal{A}$에 대하여, forgetful functor $\Sh(X,\mathcal{A})\rightarrow \PSh(X,\mathcal{A})$의 left adjoint를 sheafification functor라고 부르며, $(-)^\dagger$로 표기한다.
이 정의를 완성하기 위해서는 다음 보조정리가 필요하다.
보조정리 6 $(-)^\dagger:\PSh(X,\Set) \rightarrow \Sh(X,\Set)$가 존재한다.
이에 대한 증명은 다소 길기는 하지만, 핵심은 presheaf $\mathscr{F}$로부터 compatible germ들의 sheaf를 만들어낸다고 요약할 수 있다.
보조정리 6의 증명
위에서 설명한 것과 같이, $\mathscr{F}^\dagger(U)$는
\[\mathscr{F}^\dagger(U)=\{(s_x)_{x\in U}:\text{$(s_x)\in\prod \mathscr{F}_x$ consists of compatible germs}\]으로 주어진다.
우선 $\mathscr{F}^\dagger$는 sheaf가 된다. Open covering $U=\bigcup U_i$가 주어졌다 하자. 만일 $s\in \mathscr{F}^\dagger(U)$가 모든 $i$에 대하여 $s\vert_{U_i}=0$을 만족한다면 $s=0$이다. 이는 임의의 $p\in U$에 대하여, $p\in U_i$라 한다면
\[s(p)=(s\vert_{U_i})(p)=0\]이기 때문에 자명하다. Gluability axiom은 $\mathscr{F}^\dagger$가 처음부터 함수들의 presheaf로 정의되었으므로 자명하게 만족된다. Presheaf morphism $\theta:\mathscr{F}\rightarrow \mathscr{F}^\dagger$는 당연히, 임의의 열린집합 $U$에 대하여
\[\theta\vert_U: \mathscr{F}(U) \rightarrow \mathscr{F}^\dagger(U);\qquad s\mapsto (p\mapsto s_x)\]으로 주어진다. Universal property의 경우, 임의의 morphism $\phi: \mathscr{F}\rightarrow \mathscr{G}$가 주어졌다면 각각의 열린집합 $U$에 대하여 $\psi\vert_U$를 함수 $s\in \mathscr{F}^\dagger(U)$를 받은 후 각 점 $p\in U$에 대해 위의 두 번째 조건을 만족하는 열린집합 $V$와 $t\in \mathscr{F}(V)$를 잡아서, $(\phi\vert_V)(t)\in \mathscr{G}(V)$를 대응시킨 후 이들을 붙여서 만들어낸 $U$ 위에서의 section으로 정의해주면 된다.
뿐만 아니라 위의 증명은 $\Set$을 $\Ab$나 $\Ring$ 등으로 바꾸어도 여전히 성립한다.
정의 7 $X$ 위에 정의된 sheaf $\mathscr{F}$, 그리고 sheaf morphism $\phi:\mathscr{F}\rightarrow \mathscr{G}$가 주어졌다 하자.
- $\mathscr{F}$의 subsheaf는 각각의 열린집합 $U$에 대하여, $\mathscr{F}’(U)\subseteq \mathscr{F}(U)$를 만족하는 sheaf $\mathscr{F}’$를 의미한다.
- $\phi$의 kernel은 presheaf morphism으로서의 $\phi$의 kernel이다. 만일 $\ker\phi=0$이라면 $\phi$를 injective라 부른다.
- $\phi$의 image는 presheaf morphism으로서의 $\phi$의 image에, sheafification을 적용하여 얻어진 sheaf $(U\mapsto \im\phi\vert_U)^\dagger$를 의미하며, $\phi$가 sheaf morphism일 경우 $\im\phi$는 (presheaf morphism으로서의 image presheaf가 아니라) 이런 방식으로 얻어진 sheaf인 것으로 이해한다. 이 때 $\phi$가 surjective라는 것은 $\im\phi=\mathscr{G}$인 것이다.
비슷한 방식으로 cokernel이나 quotient 등, sheaf들의 category 안에서 값을 갖지 않는 문제가 있는 것들을 모두 sheafification을 이용해서 정의할 수 있으며, 이 때 이러한 대상들이 sheaf category $\Sh(X,\mathcal{A})$에서 그에 대응되는 universal property를 만족한다는 것은 (보조정리6와 같은 construction 없이) 정의 5의 universal property만으로 보일 수 있다.
한편, 보조정리 6를 응용하면 위상공간 $X$ 위에서 정의된 임의의 sheaf $\mathscr{F}$를 묘사하기 위해서는 이 sheaf가 그 위상공간의 base $\mathcal{B}$ 위에서 어떻게 정의되는지만 알면 충분하다는 것을 보일 수 있다.
명제 8 임의의 위상공간 $X$와 그의 base $\mathcal{B}$가 주어졌다 하고, 각각의 $B\in \mathcal{B}$마다 $\mathscr{F}(B)$ 그리고 $B_i,B_j\in \mathcal{B}$가 $B_i\subseteq B_j$를 만족할 때마다 정의된 restriction map들
\[\rho_{ji}: \mathscr{F}(B_j) \rightarrow \mathscr{F}(B_i)\]이 주어졌다 하고, 이들이 다음 두 조건
- (Identity axiom) 임의의 $B\in \mathcal{B}$와 open covering $\{B_i\in \mathcal{B}\}_{i\in I}$에 대하여, 만일 $f,g\in\mathscr{F}(B)$가 모든 $i\in I$에 대해 $f\vert_{B_i}=g\vert_{B_i}$를 만족한다면 $f=g$이다.
- (Gluability axiom) 임의의 $B\in \mathcal{B}$와 open covering $\{B_i\}_{i\in I}$에 대하여, $f_i\in\mathscr{F}(B_i)$들이 주어졌다 하고, 이들이 모든 $i,j$에 대하여 $f_i\vert_{B_i\cap B_j}=f_j\vert_{B_i\cap B_j}$를 만족한다 하자. 그럼 어떠한 $f\in \mathscr{F}(B)$가 존재하여, 모든 $i$에 대해 $f\vert_{B_i}=f_i$이다.
을 만족한다 하자. 그럼 $\mathscr{F}$는 $X$ 위의 sheaf로 유일하게 확장할 수 있다.
증명
우선
\[\mathscr{F}_x=\varinjlim_{x\in B\in \mathcal{B}} \mathscr{F}(B)\]로 둘 수 있다. 이제 임의의 열린집합 $U$에 대하여,
\[\mathscr{F}(U)=\{(s:U \rightarrow \bigcup_{x\in U} \mathscr{F}_x):s(x)\in \mathscr{F}_x,\quad\text{for $x\in U$, there exists $x\in B\subseteq U$ and $t\in \mathscr{F}(B)$ s.t. $s(x)=t_x$ for all $x\in B$}\}\]으로 정의하면 보조정리 6와 마찬가지 이유로 이것이 sheaf를 정의한다.
층들의 예시들
앞선 글에서 우리는 presheaf들의 예시를 살펴보았는데, 그 중 몇몇은 sheaf이기도 하다.
예시 9 다음은 sheaf의 예시들이다.
- Skyscraper sheaf $(i_x)_\ast\underline{A}$ (§준층, ⁋예시 5)
- $\mathscr{F}$가 sheaf라면, restriction $\mathscr{F}\vert_U$와 pushforward $f_\ast \mathscr{F}$도 sheaf이다. (§준층, ⁋예시 8)
- Constant sheaf의 sheafification $\underline{A}$ (§준층, ⁋예시 6), 그럼 $(i_x)_\ast\underline{A}$는 inclusion $i_x:\{p\}\rightarrow X$을 통해 $\{x\}$ 위의 constant sheaf $\underline{A}$를 pushforward한 것이다.
- Sheaf of sections (§준층, ⁋예시 3)
- $\mathscr{G}$가 sheaf라면 $\mathscr{Hom}(\mathscr{F},\mathscr{G})$ 또한 sheaf이다. (§준층, ⁋예시 12) 마찬가지로 sheaf들의 product도 sheaf이다.
이에 대한 증명은 별도로 적어두지는 않는다.
Inverse image sheaf
우리는 앞서 sheaf $\mathscr{F}$를 $X$의 열린집합 $U$로 restrict하는 법을 살펴봤는데, inverse image sheaf를 사용하면 이를 임의의 부분집합으로 확장할 수 있다. 우선 pushforward $f_\ast$는 presheaf morphism 또한 보존하므로, $f_\ast:\PSh(X)\rightarrow \PSh(Y)$는 functor이다.
정의 10 $f_\ast:\PSh(X) \rightarrow \PSh(Y)$의 left adjoint를 inverse image sheaf라 하고, $f^{-1}$으로 표기한다.
구체적으로 $Y$ 위에 정의된 sheaf $\mathscr{G}$에 대하여 $f^{-1}\mathscr{G}$는 임의의 열린집합 $U\subseteq X$에 대하여, presheaf $U\mapsto \varinjlim_{V\supset f(U)}\mathscr{G}(V)$의 sheafification으로 정의된다. 특별히 열린집합의 inclusion $i:U\hookrightarrow X$에 대해서는 $f^{-1}\mathscr{F}$는 정확히 $\mathscr{F}\vert_U$와 같은 것을 확인할 수 있다.
참고문헌
[Har] R. Hartshorne, Algebraic geometry. Graduate texts in mathematics. Springer, 1977.
[Vak] R. Vakil, The rising sea: Foundation of algebraic geometry. Available online.
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