지난 글에서 각각 $n$차원, $m$차원인 두 $\mathbb{k}$-벡터공간 $V,W$에 대하여 $\Hom(V,W)$는 $mn$차원 $\mathbb{k}$-벡터공간이 된다는 것을 살펴보았다. 또 $m\times n$ 행렬들의 공간 $\Mat_{m\times n}(\mathbb{k})$ 또한 $mn$차원의 $\mathbb{k}$-벡터공간이다. 그럼 §동형사상, ⁋따름정리 4로부터 이 두 벡터공간이 isomorphic하다는 것을 안다.

이번 글에서 증명할 선형대수학의 기본정리1는 이들이 단순히 같은 차원을 갖는 벡터공간이기 때문에 isomorphic할 뿐만 아니라, 이들 사이의 자연스러운 isomorphism이 존재하여 이 둘이 실제로 같은 공간이라는 것을 증명한다. 이 자연스럽다는 말의 뜻은 다음 글에서 조금 더 자세히 살펴본다.

기본정리: 유클리드 공간

§선형사상들의 공간에서 우리는 다음의 식

\[\begin{aligned}L(x_1)&=\alpha_{11}y_1+\alpha_{21}y_2+\cdots+\alpha_{m1}y_m\\L(x_2)&=\alpha_{12}y_1+\alpha_{22}y_2+\cdots+\alpha_{m2}y_m\\&\phantom{a}\vdots\\L(x_n)&=\alpha_{1n}y_1+\alpha_{2n}y_2+\cdots+\alpha_{mn}y_m\end{aligned}\]

을 만족하는 linear map $L$을 다음의 대응

\[v=\sum_{i=1}^n v_ix_i\quad\mapsto\quad \sum_{j=1}^m\left(\sum_{i=1}^n\alpha_{ji}v_i\right)y_j=L(v)\tag{1}\]

으로 이해하기로 하였다. 특히 만일 $V=\mathbb{k}^n$, $W=\mathbb{k}^m$이고, 이들 각각에 standard basis $\mathcal{E}_n=\{e_1,\ldots, e_n\},\mathcal{E}_m=\{e_1,\ldots,e_m\}$가 주어졌다 하면 위의 대응은

\[\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\\vdots\\v_n\end{pmatrix}\quad\mapsto\quad\begin{pmatrix}\sum_{i=1}^n\alpha_{1i}v_i\\\sum_{i=1}^n\alpha_{2i}v_i\\\vdots\\\sum_{i=1}^n\alpha_{mi}v_i\end{pmatrix}\]

으로 쓸 수 있다. 그런데 우변은 정확히 행렬과 벡터의 곱

\[\begin{pmatrix}\alpha_{11}&\alpha_{12}&\cdots&\alpha_{1n}\\\alpha_{21}&\alpha_{22}&\cdots&\alpha_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\alpha_{m1}&\alpha_{m2}&\cdots&\alpha_{mn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\\vdots\\v_n\end{pmatrix}\tag{2}\]

과 동일한 모양이다. 위의 식에서의 $m\times n$ 행렬을 $\mathcal{E}_n,\mathcal{E}_m$에 대한 $L$의 행렬표현이라 부르고, 이를 $[L]^{\mathcal{E}_n}_{\mathcal{E}_m}$로 적는다.

반대로 $m\times n$ 행렬은 똑같은 방식으로 linear map을 지정해준다는 것을 확인할 수 있다.

예시 1 유클리드 $n$-공간 $\mathbb{k}^n$과, 행렬 $A\in\Mat_{m\times n}(\mathbb{k})$를 생각하자. 임의의 $x\in\mathbb{k}^n$에 대하여, $L_A(x)$를 다음의 식

\[L_A(x)=Ax\]

으로 정의하면, $L_A$는 $\mathbb{k}^n$에서 $\mathbb{k}^m$으로의 linear map이 된다.

$\mathbb{k}^n$에서 $\mathbb{k}^m$으로의 임의의 linear map $L$이 주어졌다 하자. 어렵지 않게 $L=L_{[L]^{\mathcal{E}_n}_{\mathcal{E}_m}}$임을 확인할 수 있다. 따라서 다음의 대응이 존재한다.

\[\{\text{linear maps from $\mathbb{k}^n$ to $\mathbb{k}^m$}\}\longleftrightarrow\Mat_{m\times n}(\mathbb{k})\]

더 정확하게 말하자면 $L\mapsto [L]^{\mathcal{E}_n}_{\mathcal{E}_m}$, 그리고 $A\mapsto L_A$ (예시 1의 정의)이 서로의 역함수가 되는 전단사함수가 된다.

그런데 왼쪽의 집합은 $\Hom(\mathbb{k}^n, \mathbb{k}^m)$와 같으므로, 이 대응이 전단사인 linear map, 곧 isomorphism이 되는지를 확인해볼 수 있다. 이에 대한 답은 그렇다는 것이며, 이 다음의 정리 3과 함께 이 결과를 선형대수학의 기본정리라 부른다.

정리 2 $\Hom(\mathbb{k}^n,\mathbb{k}^m)\cong\Mat_{m\times n}(\mathbb{k})$

증명

주어진 함수 $L\mapsto[L]^{\mathcal{E}_n}_{\mathcal{E}_m}$가 linear임을 보여야 한다.

$L_1,L_2$가 모두 $\Hom(\mathbb{k}^n,\mathbb{k}^m)$의 원소라 하자. 그럼 각각의 $e_i\in\mathcal{E}_n$에 대하여,

\[\begin{aligned}L_1(e_1)&=\alpha_{1,1}e_1+\alpha_{2,1}e_2+\cdots+\alpha_{m,1}e_m\\L_1(e_2)&=\alpha_{1,2}e_1+\alpha_{2,2}e_2+\cdots+\alpha_{m,2}e_m\\&\vdots\\L_1(e_n)&=\alpha_{1,n}e_1+\alpha_{2,n}e_2+\cdots+\alpha_{m,n}e_m\end{aligned}\]

그리고

\[\begin{aligned}L_2(e_1)&=\beta_{1,1}e_1+\beta_{2,1}e_2+\cdots+\beta_{m,1}e_m\\L_2(e_2)&=\beta_{1,2}e_1+\beta_{2,2}e_2+\cdots+\beta_{m,2}e_m\\&\vdots\\L_2(e_n)&=\beta_{1,n}e_1+\beta_{2,n}e_2+\cdots+\beta_{m,n}e_m\end{aligned}\]

이도록 하는 스칼라들의 family $(\alpha_{i,j})$, $(\beta_{i,j})$들이 존재한다. 이제,

\[\begin{aligned}(L_1+L_2)(e_1)&=(\alpha_{1,1}+\beta_{1,1})e_1+(\alpha_{2,1}+\beta_{2,1})e_2+\cdots+(\alpha_{m,1}+\beta_{m,1})e_m\\(L_1+L_2)(e_2)&=(\alpha_{1,2}+\beta_{1,2})e_1+(\alpha_{2,2}+\beta_{2,2})e_2+\cdots+(\alpha_{m,2}+\beta_{m,2})e_m\\&\vdots\\(L_1+L_2)(e_n)&=(\alpha_{1,n}+\beta_{1,n})e_1+(\alpha_{2,n}+\beta_{2,n})e_2+\cdots+(\alpha_{m,n}+\beta_{m,n})e_m\end{aligned}\]

이고, 따라서 $L_1+L_2$의 행렬표현 $[L_1+L_2]^{\mathcal{E}_n}_{\mathcal{E}_m}$은 정확히 $[L_1]^{\mathcal{E}_n}_{\mathcal{E}_m}+[L_2]^{\mathcal{E}_n}_{\mathcal{E}_m}$이 된다. 이와 유사하게 스칼라곱에 대한 것도 성립한다.

뿐만 아니라 행렬들의 곱 또한 $\Hom(\mathbb{k}^n,\mathbb{k}^m)$에서 특별한 의미를 갖는다.

정리 3 세 유클리드 공간들 $\mathbb{k}^n,\mathbb{k}^m,\mathbb{k}^k$가 주어졌다 하자. 그럼 임의의 $L_1:\mathbb{k}^n\rightarrow \mathbb{k}^m$, $L_2:\mathbb{k}^m\rightarrow \mathbb{k}^k$에 대하여 항상

\[[L_2\circ L_1]^{\mathcal{E}_n}_{\mathcal{E}_k}=[L_2]^{\mathcal{E}_m}_{\mathcal{E}_k}[L_1]^{\mathcal{E}_n}_{\mathcal{E}_m}\]

이 성립한다. 즉, linear map의 합성은 행렬의 곱과 같다.

증명

좌변의 $[L_2\circ L_1]^{\mathcal{E}_n}_{\mathcal{E}_k}$을 결정하기 위해서는 $L_2\circ L_1$에 의해 $\mathcal{E}_n$의 원소 $e_i$들이 어디로 옮겨지는지만 확인하면 된다. $L_1$, $L_2$가 다음의 식

\[[L_1]^{\mathcal{E}_n}_{\mathcal{E}_m}=\begin{pmatrix}\alpha_{1,1}&\alpha_{1,2}&\cdots&\alpha_{1,n}\\\alpha_{2,1}&\alpha_{2,2}&\cdots&\alpha_{2,n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\alpha_{m,1}&\alpha_{m,2}&\cdots&\alpha_{m,n}\end{pmatrix},\quad[L_2]^{\mathcal{E}_m}_{\mathcal{E}_k}=\begin{pmatrix}\beta_{1,1}&\beta_{1,2}&\cdots&\beta_{1,m}\\\beta_{2,1}&\beta_{2,2}&\cdots&\beta_{2,m}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\beta_{k,1}&\beta_{k,2}&\cdots&\beta_{k,m}\end{pmatrix}\]

으로 주어졌다 하자. 약간의 계산을 하면,

\[\begin{aligned}(L_2\circ L_1)(e_i)&=L_2(\alpha_{1,i}e_1+\cdots+\alpha_{m,i}e_m)\\&=\alpha_{1,i}L_2(e_1)+\alpha_{2,i}L_2(e_2)+\cdots+\alpha_{m,i}L(e_m)\\&=\alpha_{1,i}(\beta_{1,1}e_1+\beta_{2,1}e_2+\cdots+\beta_{k,1}e_k)\\&\phantom{==}+\alpha_{2,i}(\beta_{1,2}e_1+\beta_{2,2}e_2+\cdots+\beta_{k,2}e_k)\\&\phantom{===}+\cdots\\&\phantom{====}+\alpha_{m,i}(\beta_{1,m}e_1+\beta_{2,m}e_2+\cdots+\beta_{k,m}e_k)\end{aligned}\]

이제 위 식을 $\mathbb{k}^k$의 basis $e_1,\ldots, e_k$들끼리 묶으면,

\[(L_2\circ L_1)(e_i)=\left(\sum_{l=1}^m\alpha_{l,i}\beta_{1,l}\right)e_1+\cdots+\left(\sum_{l=1}^m\alpha_{l,i}\beta_{k,l}\right)e_k.\]

$[L_2\circ L_1]^{\mathcal{E}_n}_{\mathcal{E}_k}$의 $i$번째 열은 $e_i$가 $L_2\circ L_1$에 의해 옮겨지는 벡터이므로, 행렬 $[L_2\circ L_1]^{\mathcal{E}_n}_{\mathcal{E}_k}$의 $i$열, $j$행은 이 벡터의 $j$번째 성분 $\sum_{l=1}^m\alpha_{l,i}\beta_{j,l}$이 된다. 이제 §행렬, ⁋정의 3 직후의 계산으로부터 이것이 두 행렬 $[L_2]_{\mathcal{E}_k}^{\mathcal{E}_m}$, $[L_1]_{\mathcal{E}_m}^{\mathcal{E}_n}$의 곱의 $(i,j)$ 성분이라는 것을 안다.

기본정리: 일반적인 경우

앞서 우리가 증명한 기본정리는 유클리드 공간에 대해서만 적용되지만, 아주 작은 수정만 있으면 일반적인 유한차원 $\mathbb{k}$-벡터공간에 대해서도 성립한다. 이 과정은 다음의 diagram으로 간단하게 요약할 수 있다.

FTLA

임의의 유한차원 $\mathbb{k}$-벡터공간 $V$와 그 basis $\mathcal{B}=\{x_1,\ldots, x_n\}$에 대해 정의된 좌표표현은 다음의 isomorphism

\[v=\sum_{i=1}^n v_ix_i\mapsto [v]_\mathcal{B}=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\\vdots\\v_n\end{pmatrix}\in\mathbb{k}^n\]

이다. 비슷하게 또 다른 유한차원 $\mathbb{k}$-벡터공간 $W$과 그 basis $\mathcal{C}=\{y_1,\ldots, y_m\}$가 주어졌다 하고, linear map $L:V\rightarrow W$가 다음의 식

\[\begin{aligned}L(x_1)&=\alpha_{1,1}y_1+\alpha_{2,1}y_2+\cdots+\alpha_{m,1}y_m\\L(x_2)&=\alpha_{1,2}y_1+\alpha_{2,2}y_2+\cdots+\alpha_{m,2}y_m\\&\vdots\\L(x_n)&=\alpha_{1,n}y_1+\alpha_{2,n}y_2+\cdots+\alpha_{m,n}y_m\end{aligned}\]

에 의해 결정된다 하자. 그럼 $\mathcal{B},\mathcal{C}$에 대한 $L$의 행렬표현 $[L]^\mathcal{B}_\mathcal{C}$을 이번에는 다음의 식

\[[L]^\mathcal{B}_\mathcal{C}=\begin{pmatrix}\alpha_{1,1}&\alpha_{1,2}&\cdots&\alpha_{1,n}\\\alpha_{2,1}&\alpha_{2,2}&\cdots&\alpha_{2,n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\alpha_{m,1}&\alpha_{m,2}&\cdots&\alpha_{m,n}\end{pmatrix}\]

으로 정의한다. 이제 식 (2)와 식 (1)을 비교해보면 임의의 $v\in V$에 대해, $L(v)$의 $\mathcal{C}$에 대한 좌표표현은 다음의 식

\[[L(v)]_\mathcal{C}=[L]^\mathcal{B}_\mathcal{C}[v]_\mathcal{B}\tag{3}\]

으로 주어진다는 것을 확인할 수 있다.

그럼 정리 2에 대한 일반적인 버전은 다음의 정리로 주어진다.

정리 4 $\Hom(V,W)\cong \Mat_{m\times n}(\mathbb{k})$.

증명

$V$, $W$의 기저 $\mathcal{B}$, $\mathcal{C}$를 각각 고정하자. 함수 $L\mapsto[L]^\mathcal{B}_\mathcal{C}$가 linear임을 보여야 한다.

$L_1,L_2$가 모두 $\Hom(V,W)$의 원소라 하자. 그럼 각각의 $x_i\in\mathcal{B}$에 대하여,

\[\begin{aligned}L_1(x_1)&=\alpha_{1,1}y_1+\alpha_{2,1}y_2+\cdots+\alpha_{m,1}y_m\\L_1(x_2)&=\alpha_{1,2}y_1+\alpha_{2,2}y_2+\cdots+\alpha_{m,2}y_m\\&\vdots\\L_1(x_n)&=\alpha_{1,n}y_1+\alpha_{2,n}y_2+\cdots+\alpha_{m,n}y_m\end{aligned}\]

그리고

\[\begin{aligned}L_2(x_1)&=\beta_{1,1}y_1+\beta_{2,1}y_2+\cdots+\beta_{m,1}y_m\\L_2(x_2)&=\beta_{1,2}y_1+\beta_{2,2}y_2+\cdots+\beta_{m,2}y_m\\&\vdots\\L_2(x_n)&=\beta_{1,n}y_1+\beta_{2,n}y_2+\cdots+\beta_{m,n}y_m\end{aligned}\]

이도록 하는 스칼라들의 family $(\alpha_{i,j})$, $(\beta_{i,j})$들이 존재한다. 이제,

\[\begin{aligned}(L_1+L_2)(x_1)&=(\alpha_{1,1}+\beta_{1,1})y_1+(\alpha_{2,1}+\beta_{2,1})y_2+\cdots+(\alpha_{m,1}+\beta_{m,1})y_m\\(L_1+L_2)(x_2)&=(\alpha_{1,2}+\beta_{1,2})y_1+(\alpha_{2,2}+\beta_{2,2})y_2+\cdots+(\alpha_{m,2}+\beta_{m,2})y_m\\&\vdots\\(L_1+L_2)(x_n)&=(\alpha_{1,n}+\beta_{1,n})y_1+(\alpha_{2,n}+\beta_{2,n})y_2+\cdots+(\alpha_{m,n}+\beta_{m,n})y_m\end{aligned}\]

일 것이고, 따라서 $L_1+L_2$의 행렬표현 $[L_1+L_2]^\mathcal{B}_\mathcal{C}$은 정확히 $[L_1]^\mathcal{B}_\mathcal{C}+[L_2]^\mathcal{B}_\mathcal{C}$이 된다. 이와 유사하게 스칼라곱에 대한 것도 성립한다.

정리 3 또한 비슷한 일반화를 갖는다.

정리 5 세 개의 $\mathbb{k}$-벡터공간 $V_1,V_2,V_3$와 이들 각각의 basis $\mathcal{B}_1=\{x_1,\ldots,x_n\}$, $\mathcal{B}_2=\{y_1,\ldots, y_m\}$, $\mathcal{B}_3=\{z_1,\ldots, z_k\}$가 주어졌다 하자. 그럼 임의의 $L_1:V_1\rightarrow V_2$, $L_2:V_2\rightarrow V_3$에 대하여 항상

\[[L_2\circ L_1]^{\mathcal{B}_1}_{\mathcal{B}_3}=[L_2]^{\mathcal{B}_2}_{\mathcal{B}_3}[L_1]^{\mathcal{B}_1}_{\mathcal{B}_2}\]

이 성립한다. 즉, linear map의 합성은 행렬의 곱과 같다.

증명

좌변의 $[L_2\circ L_1]^{\mathcal{B}_1}_{\mathcal{B}_3}$을 결정하기 위해서는 $L_2\circ L_1$에 의해 $\mathcal{B}_1$의 원소들이 어디로 옮겨지는지만 확인하면 된다. $L_1$, $L_2$가 다음의 식

\[[L_1]^{\mathcal{B}_1}_{\mathcal{B}_2}=\begin{pmatrix}\alpha_{1,1}&\alpha_{1,2}&\cdots&\alpha_{1,n}\\\alpha_{2,1}&\alpha_{2,2}&\cdots&\alpha_{2,n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\alpha_{m,1}&\alpha_{m,2}&\cdots&\alpha_{m,n}\end{pmatrix},\quad[L_2]^{\mathcal{B}_2}_{\mathcal{B}_3}=\begin{pmatrix}\beta_{1,1}&\beta_{1,2}&\cdots&\beta_{1,m}\\\beta_{2,1}&\beta_{2,2}&\cdots&\beta_{2,m}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\beta_{k,1}&\beta_{k,2}&\cdots&\beta_{k,m}\end{pmatrix}\]

으로 주어졌다 하자. 약간의 계산을 하면,

\[\begin{aligned}(L_2\circ L_1)(x_i)&=L_2(\alpha_{1,i}y_1+\cdots+\alpha_{m,i}y_m)\\&=\alpha_{1,i}L_2(y_1)+\alpha_{2,i}L_2(y_2)+\cdots+\alpha_{m,i}L(y_m)\\&=\alpha_{1,i}(\beta_{1,1}z_1+\beta_{2,1}z_2+\cdots+\beta_{k,1}z_k)\\&\phantom{==}+\alpha_{2,i}(\beta_{1,2}z_1+\beta_{2,2}z_2+\cdots+\beta_{k,2}z_k)\\&\phantom{===}+\cdots\\&\phantom{====}+\alpha_{m,i}(\beta_{1,m}z_1+\beta_{2,m}z_2+\cdots+\beta_{k,m}z_k)\end{aligned}\]

이제, 위 식을 $z$들끼리 묶으면,

\[(L_2\circ L_1)(x_i)=\left(\sum_{l=1}^m\alpha_{l,i}\beta_{1,l}\right)z_1+\cdots+\left(\sum_{l=1}^m\alpha_{l,i}\beta_{k,l}\right)z_k\]

앞서 우리는 $[L_2\circ L_1]^{\mathcal{B}_1}_{\mathcal{B}_3}$의 $i$번째 열은 정확히 $x_i$가 $L_2\circ L_1$이 옮겨지는 벡터의 $\mathcal{B}_3$에서의 좌표표현이라는 것을 확인했으므로, 행렬 $[L_2\circ L_1]^{\mathcal{B}_1}_{\mathcal{B}_3}$의 $i$열, $j$행은 이 벡터의 $j$번째 성분 $\sum_{l=1}^m\alpha_{l,i}\beta_{j,l}$이 된다. 앞서 정리 3에서와 마찬가지로 이 성분은 행렬곱 $[L_2]^{\mathcal{B}_2}_{\mathcal{B}_3}[L_1]^{\mathcal{B}_1}_{\mathcal{B}_2}$의 $(i,j)$번째 성분이므로 증명이 완료된다.

사실 정리 4정리 5를 증명하는 데에는 정리 2정리 3의 어떠한 결과도 사용되지 않았다. 그럼에도 불구하고 이들 정리를 별개로 서술해둔 이유는 다음 글에서 살펴본다.

기본정리의 결과들

선형대수학의 기본정리는 $V,W$에 대한 basis를 선택하기만 하면 $\Hom(V,W)$와 $\Mat_{m\times n}(\mathbb{k})$를 같은 것으로 취급할 수 있다는 것을 보여준다. 예컨대 $\Mat_{m\times n}(\mathbb{k})$의 $mn$개의 basis는 §선형사상들의 공간, ⁋명제 5에서 살펴본 $mn$개의 basis에 대응된다.

다음 따름정리 또한 기본정리의 결과이다.

따름정리 6 두 $n$차원 $\mathbb{k}$-벡터공간 $V,W$가 주어졌다 하고, 이들의 기저 $\mathcal{B},\mathcal{C}$를 고정하자. 그럼 임의의 $L\in\Hom(V,W)$에 대하여, $L^{-1}\in\Hom(W,V)$의 기저 $\mathcal{C},\mathcal{B}$에 대한 행렬표현 $[L^{-1}]^{\mathcal{C}}_{\mathcal{B}}$은 행렬 $[L]^{\mathcal{B}}_\mathcal{C}$의 역행렬과 같다.

증명

역행렬과 역함수의 유일성에 의하여 자명.

이와 같이 §행렬에서 정의한 대부분의 개념들을 $\Hom(V,W)$로 옮겨올 수 있다. 곧바로 옮겨올 수 없는 개념 중 하나는 전치행렬 $A^t$인데, 이는 다다음 글에서 쌍대공간에 대해 자세히 살펴보면 적절한 의미를 부여할 수 있다.


참고문헌

[Lee] 이인석, 선형대수와 군, 서울대학교 출판문화원, 2005.


  1. 미적분학의 기본정리, 대수학의 기본정리 등등과는 달리 선형대수학의 기본정리는 저자에 따라 전혀 다른 정리들을 의미하기도 한다. 예를 들어 [Goc]에서는 이전 글에서의 rank-nullity 정리를, Gilbert Strang의 경우 다음 글에서 다룰 직교여공간에 대한 정리들을 선형대수학의 기본정리라고 부른다. 우리는 [Lee]를 따라 이 정리를 선형대수학의 기본정리라 부르기로 한다. 

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