K

Grad. student in mathematics

환

정의 1 Symmetric monoidal category $(\Ab,\otimes, \mathbb{Z})$의 monoid object를 ring환이라 부른다. (§가환군, ⁋정의 11)

Abelian group을 다룰 때의 convention에 따라 $A$의 연산은 $+$로 적는다. 이러한 상황에서 ring $A$의 곱셈 $\mu:A\otimes A \rightarrow A$는 $\cdot$으로 적으며, 오해의 여지가 없을 때에는 이를 생략하여 $a\cdot b$를 간단히 $ab$로 적기도 한다. 그럼

\[\Hom_\Ab(A\otimes A,A)\cong\Bilin(A,A;A)\]

으로부터 $\mu$가 bilinear라는 것을 안다. 즉

\[(a+b)c=ac+bc,\quad a(b+c)=ab+ac\]

이 성립한다. 또, $\mu$는 결합법칙을 만족하며,

\[\eta:\mathbb{Z}\rightarrow A\]

는 $1\in \mathbb{Z}$의 image를 통해 $A$의 (곱셈에 대한) 항등원 $1$을 결정한다. 즉, 집합 $A$가 ring이라는 것은 두 이항연산 $+,\cdot$과 원소 $0,1$이 존재하여, 다음 조건들이 성립하는 것이다.

  1. $(A, +, 0)$이 abelian group이다.
  2. $(A,\cdot,1)$은 monoid이다.
  3. $\cdot$과 $+$ 사이에 분배법칙이 성립한다.

저자에 따라 ring의 정의에서 곱셈에 대한 항등원의 존재성은 없을 때도 있지만, 우리는 이러한 경우를 pseudo-ring, 혹은 (ring에서 $i$가 없는) rng라 부른다. 어차피 대부분의 경우 우리는 commutative ring (with unity)을 사용하게 된다.

명제 2 Ring $A$의 임의의 원소 $x,y,z$에 대해 다음이 성립한다.

  1. $x0=0x=0$,
  2. $x(-y)=(-x)y=-(xy)$.
증명

  1. $0$은 덧셈에 대한 항등원이므로, 다음 식

    \[0x=(0+0)x=0x+0x\]

    으로부터 $0x=0$을 얻는다. 유사하게 $x0=0$을 얻을 수 있다.

  2. 1번 결과에 의하여,

    \[0=x0=x(y+(-y))=xy+x(-y)\]

    이고 따라서 $-(xy)=x(-y)$이다. 유사하게 $(-x)y=-(xy)$ 또한 얻는다.

일반적으로 정의 1에서 우리는 $0\neq 1$임을 가정하지는 않지만, 만일 $0=1$이라면 명제 2의 1번에 의해, 임의의 $x\in A$에 의해

\[x=x\cdot 1=x\cdot 0=0\]

이 성립할 것이므로 $A=\{0\}$이어야 한다. 이러한 ring을 zero ring이라 부른다.

환 준동형사상

정의 3 두 ring $A,B$에 대하여, 함수 $f:A \rightarrow B$가 ring homomorphism환 준동형사상이라는 것은 임의의 $x,y$에 대하여

\[f(x+y)=f(x)+f(y),\quad f(xy)=f(x)f(y),\quad f(1)=1\]

이 성립하는 것이다.

이를 morphism으로 하여,

  • Ring들의 category $\Ring$,
  • Rng들의 category $\Rng$,
  • Commutative ring들의 category $\cRing$

등이 정의된다. $\Ring$과 $\cRing$에서는 $\mathbb{Z}$가 initial object, $\{0\}$이 terminal object이며, $\Rng$에서는 $\{0\}$이 zero object이다.

정의에 의하여 ring homomorphism $f:A\rightarrow B$은 두 abelian group $(A,+,0)$, $(B,+,0)$ 사이의 group homomorphism이기도 하다. 그럼 ring homomorphism $f$의 kernel $\ker f$는 이 group homomorphism의 kernel로 정의된다. 즉 $\ker f=f^{-1}(0)$이다. 그럼 §준동형사상, ⁋명제 4에 의하여 $f$가 단사인 것은 $\ker f=\{0\}$인 것과 동치이다.

가환군 위에 정의된 자유환

정의에 의해 ring은 abelian group이고, ring homomorphism은 abelian group들 사이의 homomorphism이기도 하다. 즉 forgetful functor $\Ring \rightarrow \Ab$이 존재하며, 이는 단순히 곱셈구조를 잊어버리는 functor이다. 이 functor는 right adjoint이며, 그 left adjoint $F: \Ab \rightarrow \Ring$은 다음의 graded abelian group

\[F(A)=\bigoplus_{n\geq 0} A^{\otimes n}\]

으로 주어진다. 여기서 $A^{\otimes n}$의 원소 $a_n$은 다음의 꼴

\[a_n=\sum_{i\in I} a^i_{n1}\otimes\cdots\otimes a^i_{nn},\qquad \text{$a_{nj}^i\in A$, $I$ finite}\]

로 쓸 수 있으며, $F(A)$의 원소들은

\[(a_0,a_1,\ldots )=(a_0,0,\ldots)+(0,a_1,\ldots)+\cdots,\qquad \text{$a_n=0$ for all but finitely many $n$}\]

의 꼴이다. 그런데 $a_n$들 각각은 이들을 이루는 $a^i_{n1}\otimes\cdots a^i_{nn}$들이 몇 개의 원소의 텐서곱으로 이루어졌는지를 보면 어떠한 $A^{\otimes n}$에 들어있는지를 알 수 있으므로, 표기법을 남용하여 $(0,\ldots, 0, a_n,0,\ldots)$을 $a_n$으로 적어도 되고, 그럼 $F(A)$의 임의의 원소는

\[\sum_{i\in I} a_{i1}\otimes \cdots\otimes a_{in_i}\]

의 꼴로 쓸 수 있다. 이제 $F(A)$ 위에 곱셈을 정의해야 하는데, 곱셈이 잘 정의된다면 분배법칙에 의하여

\[\left(\sum_{i\in I} a_{i1}\otimes \cdots\otimes a_{in_i}\right)\left(\sum_{j\in J} b_{j1}\otimes \cdots\otimes b_{jn_j}\right)=\sum_{(i,j)\in I\times J}(a_{i1}\otimes\cdots \otimes a_{in_i})(b_{j1}\otimes\cdots\otimes b_{jn_j})\]

가 성립해야 한다. 거꾸로 이야기하면 $a_{i1}\otimes\cdots \otimes a_{in_i}$와 $b_{j1}\otimes\cdots\otimes b_{jn_j}$의 곱들만 정의하면 위의 식을 통해 $F(A)$의 모든 원소들의 곱이 정의된다. 그리고 우리는

\[(a_{i1}\otimes\cdots \otimes a_{in_i})(b_{j1}\otimes\cdots\otimes b_{jn_j})=a_{i1}\otimes\cdots\otimes a_{in_i}\otimes b_{j1}\otimes\cdots b_{jn_j}\]

으로 정의한다. Coherence theorem에 의해 이것이 $F(A)$ 위에 ring의 구조를 정의하는 것을 알 수 있으며, $F(A)$의 덧셈에 대한 항등원은 $0=(0,0,\ldots)$, 곱셈에 대한 항등원은 $1=(1,0,\ldots)$이 된다. 어렵지 않게 $A\mapsto F(A)$의 functoriality를 증명할 수 있으며, 여기에 더해 다음이 성립한다.

명제 4 위에서 정의한 $F$와, forgetful functor $U:\Ring \rightarrow \Ab$에 대하여, $F\dashv U$이다.

증명

임의의 ring $R$과 abelian group $A$가 주어졌다 하자. 그럼

\[\Hom_\Ring(F(A), R)\cong \Hom_\Ab(A, U(R))\]

을 증명해야 한다. 임의의 ring homomorphism $F(A) \rightarrow R$에 대하여, inclusion $A\hookrightarrow F(A)$을 합성하면 abelian group homomorphism $A \rightarrow U(R)$을 얻는다.

거꾸로 임의의 abelian group homomorphism $A \rightarrow U(R)$이 주어졌다 하면 다음 식

\[\sum_{i\in I} a_{i1}\otimes \cdots\otimes a_{in_i}\mapsto \sum_{i\in I} f(a_{i1})\otimes \cdots\otimes f(a_{in_i})\]

이 ring homomorphism이다.

이렇게 정의한 두 방향의 함수들 $\Hom_\Ring(F(A), R) \rightarrow\Hom_\Ab(A, U(R))$과 $\Hom_\Ab(A, U(R))\rightarrow \Hom_\Ring(F(A), R)$이 서로의 inverse가 되고, 이 bijection이 natural이라는 것을 확인할 수 있다.

부분환과 아이디얼

정의 5 Ring $(A,+,-,\cdot,0,1)$의 부분집합 $S$가 subring부분환이라는 것은 $(S,+,-,\cdot,0,1)$가 ring의 구조를 갖는 것이다.

한편, 다음이 성립한다.

명제 6 임의의 ring homomorphism $f:A \rightarrow B$에 대하여, $\ker f$는 곱셈에 대하여 닫혀있다.

증명

$\ker f$는 abelian group $(A,+,0)$의 subgroup임을 확인하였으므로, $\ker f$가 곱셈에 대해 닫혀있음을 보이면 충분하다. 그런데 임의의 $x,y\in\ker f$에 대하여,

\[f(xy)=f(x)f(y)=0\cdot 0=0\]

이므로 $xy\in\ker f$가 성립한다.

위의 증명을 잘 살펴보면, 두 원소 $x,y$ 중 히니민 $\ker f$에 속하더라도 $xy$가 $\ker f$에 속한다는 것을 확인할 수 있다. 이를 다음과 같이 정의한다.

정의 7 Ring $A$가 주어졌다 하자. 그럼 $\mathfrak{a}\subseteq A$가 left ideal왼쪽 아이디얼 (resp. right ideal오른쪽 아이디얼)이라는 것은 $\mathfrak{a}$가 $(A,+,0)$의 subgroup이며, 임의의 $a\in\mathfrak{a}$와 $x\in A$에 대하여 $xa\in\mathfrak{a}$ (resp. $ax\in\mathfrak{a}$)가 성립하는 것이다.

만일 $\mathfrak{a}$가 left ideal인 동시에 right ideal이라면 이를 two-sided ideal양쪽 아이디얼이라 부른다.

편의를 위해 앞으로 left ideal에 대한 명제들 (혹은 two-sided ideal에 대한 명제들)만 증명하지만, left ideal에 대한 모든 명제들은 적절한 변형을 통해 right ideal에 대해서도 성립한다. 어차피 실제로 사용할 ring의 대부분은 commutative이므로, left ideal, right ideal, two-sided ideal의 구분이 필요하지 않다.

Left ideal들의 교집합은 left ideal이라는 것을 쉽게 증명할 수 있다. 한편, $A$의 임의의 원소 $a$에 대하여, 다음 집합

\[Aa=\{xa:x\in A\}\]

은 덧셈에 대한 subroup이며, 뿐만 아니라 임의의 $y\in A$와 $xa\in Aa$에 대하여, $y(xa)=(yx)a\in Aa$이므로 $Aa$는 $A$의 left ideal이다. 이들은 사실 $a$를 포함하는 left ideal 중 가장 작은 것, 즉 $a$를 포함하는 모든 left ideal들의 교집합과 일치한다는 것을 확인할 수 있으며, 같은 논증이 right ideal과 two-sided ideal에 대해서도 적용된다.

더 일반적으로 $A$의 임의의 원소들 $a_1,\ldots, a_n$이 주어졌다 하자. Left ideal들의 합sum $\mathfrak{a}+\mathfrak{b}$를 다음 집합

\[\mathfrak{a}+\mathfrak{b}=\{a+b:a\in A,b\in B\}\]

으로 정의하면 $\mathfrak{a}+\mathfrak{b}$도 다시 left idealdㅣ 된다는 것을 알 수 있으며, 사실 이는 두 left ideal $\mathfrak{a}$와 $\mathfrak{b}$룰 포함하는 left ideal 중 가장 작은 것이다. 그럼 다음 아이디얼

\[Aa_1+\cdots+Aa_n\]

은 $a_1,\ldots, a_n$을 포함하는 모든 left ideal들 중 가장 작은 것이다. 비슷하게

\[a_1A+\cdots+a_nA,\qquad Aa_1A+\cdots +Aa_nA\]

을 정의할 수도 있으며, 만일 $A$가 commutative라면 이를 $(a_1,\ldots, a_n)$이라 적기도 한다.

한편 임의의 left ideal $\mathfrak{a}$에 대하여 $1\in\mathfrak{a}$인 것과 $\mathfrak{a}=A$인 것이 동치이다. 따라서 $\mathfrak{a}\subsetneq A$이기 위해서는 반드시 $1\not\in\mathfrak{a}$여야 한다.

정의 8 Ring $A$와 ideal $\mathfrak{m}$에 대하여, 만일 $\mathfrak{m}\subsetneq\mathfrak{a}\subsetneq A$를 만족하는 ideal $\mathfrak{a}$가 존재하지 않는다면 $\mathfrak{m}$을 maximal ideal극대 아이디얼이라 부른다.

$A$의 임의의 ideal $\mathfrak{a}$가 주어졌다 하자. 그럼 $\mathfrak{a}$를 포함하고, $A$ 자신과는 다른 $A$의 ideal들의 모임을 생각할 수 있다. 그럼 이 모임은 inductive set이므로 maximal element를 갖는다. ([집합론] §선택공리, ⁋정리 4) 어렵지 않게 이 maximal element는 maximal ideal임을 알 수 있다. 즉 다음을 얻는다.

정리 9 (Krull) Ring $A$의 ideal $\mathfrak{a}\subsetneq A$에 대하여, $\mathfrak{a}$를 포함하는 $A$의 maximal ideal $\mathfrak{m}$이 항상 존재한다.

참고문헌

[Bou] Bourbaki, N. Algebra I. Elements of Mathematics. Springer. 1998.

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