K

Grad. student in mathematics

환Permalink

정의 1 Symmetric monoidal category (Ab,⊗,Z)(\Ab,\otimes, \mathbb{Z})의 monoid object를 ring환이라 부른다. (§가환군, ⁋정의 11)

Abelian group을 다룰 때의 convention에 따라 AA의 연산은 ++로 적는다. 이러한 상황에서 ring AA의 곱셈 μ:A⊗A→A\mu:A\otimes A \rightarrow A는 ⋅\cdot으로 적으며, 오해의 여지가 없을 때에는 이를 생략하여 α⋅β\alpha\cdot \beta를 간단히 αβ\alpha\beta로 적기도 한다. 그럼

Hom⁡Ab(A⊗A,A)≅Bilin⁡(A,A;A)\Hom_\Ab(A\otimes A,A)\cong\Bilin(A,A;A)

으로부터 μ\mu가 bilinear라는 것을 안다. 즉

(α+β)γ=αγ+βγ,α(β+γ)=αβ+αγ(\alpha+\beta)\gamma=\alpha\gamma+\beta\gamma,\quad \alpha(\beta+\gamma)=\alpha\beta+\alpha\gamma

이 성립한다. 또, μ\mu는 결합법칙을 만족하며,

η:Z→A\eta:\mathbb{Z}\rightarrow A

는 1∈Z1\in \mathbb{Z}의 image를 통해 AA의 (곱셈에 대한) 항등원 11을 결정한다. 즉, 집합 AA가 ring이라는 것은 두 이항연산 +,⋅+,\cdot과 원소 0,10,1이 존재하여, 다음 조건들이 성립하는 것이다.

  1. (A,+,0)(A, +, 0)이 abelian group이다.
  2. (A,⋅,1)(A,\cdot,1)은 monoid이다.
  3. ⋅\cdot과 ++ 사이에 분배법칙이 성립한다.

저자에 따라 ring의 정의에서 곱셈에 대한 항등원의 존재성은 없을 때도 있지만, 우리는 이러한 경우를 pseudo-ring, 혹은 (ring에서 ii가 없는) rng라 부른다. 어차피 대부분의 경우 우리는 commutative ring (with unity)을 사용하게 된다.

명제 2 Ring AA의 임의의 원소 α,β\alpha,\beta에 대해 다음이 성립한다.

  1. α0=0α=0\alpha0=0\alpha=0,
  2. α(−β)=(−α)β=−(αβ)\alpha(-\beta)=(-\alpha)\beta=-(\alpha\beta).
증명

  1. 00은 덧셈에 대한 항등원이므로, 다음 식

    0α=(0+0)α=0α+0α0\alpha=(0+0)\alpha=0\alpha+0\alpha

    으로부터 0α=00\alpha=0을 얻는다. 유사하게 α0=0\alpha0=0을 얻을 수 있다.

  2. 1번 결과에 의하여,

    0=α0=α(β+(−β))=αβ+α(−β)0=\alpha0=\alpha(\beta+(-\beta))=\alpha\beta+\alpha(-\beta)

    이고 따라서 −(αβ)=α(−β)-(\alpha\beta)=\alpha(-\beta)이다. 유사하게 (−α)β=−(αβ)(-\alpha)\beta=-(\alpha\beta) 또한 얻는다.

일반적으로 정의 1에서 우리는 0≠10\neq 1임을 가정하지는 않지만, 만일 0=10=1이라면 명제 2의 1번에 의해, 임의의 α∈A\alpha\in A에 의해

α=α⋅1=α⋅0=0\alpha=\alpha\cdot 1=\alpha\cdot 0=0

이 성립할 것이므로 A={0}A=\{0\}이어야 한다. 이러한 ring을 zero ring이라 부른다.

환 준동형사상Permalink

정의 3 두 ring A,BA,B에 대하여, 함수 ϕ:A→B\phi:A \rightarrow B가 ring homomorphism환 준동형사상이라는 것은 임의의 x,yx,y에 대하여

ϕ(α+β)=ϕ(α)+ϕ(β),ϕ(αβ)=ϕ(α)ϕ(β),ϕ(1)=1\phi(\alpha+\beta)=\phi(\alpha)+\phi(\beta),\quad \phi(\alpha\beta)=\phi(\alpha)\phi(\beta),\quad \phi(1)=1

이 성립하는 것이다.

이를 morphism으로 하여,

  • Ring들의 category Ring\Ring,
  • Rng들의 category Rng\Rng,
  • Commutative ring들의 category cRing\cRing

등이 정의된다. Ring\Ring과 cRing\cRing에서는 Z\mathbb{Z}가 initial object, {0}\{0\}이 terminal object이며, Rng\Rng에서는 {0}\{0\}이 zero object이다.

정의에 의하여 ring homomorphism ϕ:A→B\phi:A\rightarrow B은 두 abelian group (A,+,0)(A,+,0), (B,+,0)(B,+,0) 사이의 group homomorphism이기도 하다. 그럼 ring homomorphism ϕ\phi의 kernel ker⁡f\ker f는 이 group homomorphism의 kernel로 정의된다. 즉 ker⁡ϕ=ϕ−1(0)\ker \phi=\phi^{-1}(0)이다. 그럼 §준동형사상, ⁋명제 4에 의하여 ϕ\phi가 단사인 것은 ker⁡ϕ={0}\ker \phi=\{0\}인 것과 동치이다.

가환군 위에 정의된 자유환Permalink

정의에 의해 ring은 abelian group이고, ring homomorphism은 abelian group들 사이의 homomorphism이기도 하다. 즉 forgetful functor U:Ring→AbU:\Ring \rightarrow \Ab이 존재하며, 이는 단순히 곱셈구조를 잊어버리는 functor이다. 이 functor는 right adjoint이며, 그 left adjoint F:Ab→RingF: \Ab \rightarrow \Ring은 다음의 graded abelian group

F(G)=⨁n≥0G⊗nF(G)=\bigoplus_{n\geq 0} G^{\otimes n}

으로 주어진다. 여기서 G⊗nG^{\otimes n}의 원소 αn\alpha_n은 다음의 꼴

αn=∑i∈Iαn1i⊗⋯⊗αnni,αnji∈A, I finite\alpha_n=\sum_{i\in I} \alpha^i_{n1}\otimes\cdots\otimes \alpha^i_{nn},\qquad \text{$\alpha_{nj}^i\in A$, $I$ finite}

로 쓸 수 있으며, F(G)F(G)의 원소들은

(α0,α1,…)=(α0,0,…)+(0,α1,…)+⋯ ,αn=0 for all but finitely many n(\alpha_0,\alpha_1,\ldots )=(\alpha_0,0,\ldots)+(0,\alpha_1,\ldots)+\cdots,\qquad \text{$\alpha_n=0$ for all but finitely many $n$}

의 꼴이다. 그런데 αn\alpha_n들 각각은 이들을 이루는 αn1i⊗⋯αnni\alpha^i_{n1}\otimes\cdots \alpha^i_{nn}들이 몇 개의 원소의 텐서곱으로 이루어졌는지를 보면 어떠한 G⊗nG^{\otimes n}에 들어있는지를 알 수 있으므로, 표기법을 남용하여 (0,…,0,αn,0,…)(0,\ldots, 0, \alpha_n,0,\ldots)을 αn\alpha_n으로 적어도 되고, 그럼 F(G)F(G)의 임의의 원소는

∑i∈Iαi1⊗⋯⊗αini\sum_{i\in I} \alpha_{i1}\otimes \cdots\otimes \alpha_{in_i}

의 꼴로 쓸 수 있다. 이제 F(G)F(G) 위에 곱셈을 정의해야 하는데, 곱셈이 잘 정의된다면 분배법칙에 의하여

(∑i∈Iαi1⊗⋯⊗αini)(∑j∈Jβj1⊗⋯⊗βjnj)=∑(i,j)∈I×J(αi1⊗⋯⊗αini)(βj1⊗⋯⊗βjnj)\left(\sum_{i\in I} \alpha_{i1}\otimes \cdots\otimes \alpha_{in_i}\right)\left(\sum_{j\in J} \beta_{j1}\otimes \cdots\otimes \beta_{jn_j}\right)=\sum_{(i,j)\in I\times J}(\alpha_{i1}\otimes\cdots \otimes \alpha_{in_i})(\beta_{j1}\otimes\cdots\otimes \beta_{jn_j})

가 성립해야 한다. 거꾸로 이야기하면 αi1⊗⋯⊗αini\alpha_{i1}\otimes\cdots \otimes \alpha_{in_i}와 βj1⊗⋯⊗βjnj\beta_{j1}\otimes\cdots\otimes \beta_{jn_j}의 곱들만 정의하면 위의 식을 통해 F(G)F(G)의 모든 원소들의 곱이 정의된다. 그리고 우리는

(αi1⊗⋯⊗αini)(βj1⊗⋯⊗βjnj)=αi1⊗⋯⊗αini⊗βj1⊗⋯βjnj(\alpha_{i1}\otimes\cdots \otimes \alpha_{in_i})(\beta_{j1}\otimes\cdots\otimes \beta_{jn_j})=\alpha_{i1}\otimes\cdots\otimes \alpha_{in_i}\otimes \beta_{j1}\otimes\cdots \beta_{jn_j}

으로 정의한다. Coherence theorem에 의해 이것이 F(G)F(G) 위에 ring의 구조를 정의하는 것을 알 수 있으며, F(G)F(G)의 덧셈에 대한 항등원은 0=(0,0,…)0=(0,0,\ldots), 곱셈에 대한 항등원은 1=(1,0,…)1=(1,0,\ldots)이 된다. 어렵지 않게 G↦F(G)G\mapsto F(G)의 functoriality를 증명할 수 있으며, 여기에 더해 다음이 성립한다.

명제 4 위에서 정의한 FF와, forgetful functor U:Ring→AbU:\Ring \rightarrow \Ab에 대하여, F⊣UF\dashv U이다.

증명

임의의 ring AA와 abelian group GG가 주어졌다 하자. 그럼

Hom⁡Ring(F(G),A)≅Hom⁡Ab(G,U(A))\Hom_\Ring(F(G), A)\cong \Hom_\Ab(G, U(A))

을 증명해야 한다. 임의의 ring homomorphism ϕ:F(G)→A\phi: F(G) \rightarrow A에 대하여, inclusion i:G↪F(G)i:G\hookrightarrow F(G)를 합성하면 abelian group homomorphism ϕ∘i:G→U(A)\phi\circ i:G \rightarrow U(A)을 얻는다.

거꾸로 임의의 abelian group homomorphism f:G→U(A)f:G \rightarrow U(A)이 주어졌다 하면 다음 식

∑i∈Iαi1⊗⋯⊗αini↦∑i∈If(αi1)⊗⋯⊗f(αini)\sum_{i\in I} \alpha_{i1}\otimes \cdots\otimes \alpha_{in_i}\mapsto \sum_{i\in I} f(\alpha_{i1})\otimes \cdots\otimes f(\alpha_{in_i})

이 ring homomorphism ϕ:F(G)→A\phi:F(G) \rightarrow A를 정의한다.

이렇게 정의한 두 방향의 함수들 Hom⁡Ring(F(G),A)→Hom⁡Ab(G,U(A))\Hom_\Ring(F(G), A) \rightarrow\Hom_\Ab(G, U(A))과 Hom⁡Ab(G,U(A))→Hom⁡Ring(F(G),A)\Hom_\Ab(G, U(A))\rightarrow \Hom_\Ring(F(G), A)이 서로의 inverse가 되고, 이 bijection이 natural이라는 것을 확인할 수 있다.

부분환과 아이디얼Permalink

정의 5 Ring (A,+,−,⋅,0,1)(A,+,-,\cdot,0,1)의 부분집합 SS가 subring부분환이라는 것은 (S,+,−,⋅,0,1)(S,+,-,\cdot,0,1)가 ring의 구조를 갖는 것이다.

한편, 다음이 성립한다.

명제 6 임의의 ring homomorphism ϕ:A→B\phi:A \rightarrow B에 대하여, ker⁡ϕ\ker \phi는 AA의 subring이다.

증명

ker⁡ϕ\ker \phi는 abelian group (A,+,0)(A,+,0)의 subgroup임을 확인하였으므로, ker⁡ϕ\ker \phi가 곱셈에 대해 닫혀있음을 보이면 충분하다. 그런데 임의의 α,β∈ker⁡ϕ\alpha,\beta\in\ker \phi에 대하여,

ϕ(αβ)=ϕ(α)ϕ(β)=0⋅0=0\phi(\alpha\beta)=\phi(\alpha)\phi(\beta)=0\cdot 0=0

이므로 αβ∈ker⁡ϕ\alpha\beta\in\ker \phi가 성립한다.

위의 증명을 잘 살펴보면, 두 원소 α,β\alpha,\beta 중 히니민 ker⁡ϕ\ker \phi에 속하더라도 αβ\alpha\beta가 ker⁡ϕ\ker \phi에 속한다는 것을 확인할 수 있다. 이를 다음과 같이 정의한다.

정의 7 Ring AA가 주어졌다 하자. 그럼 a⊆A\mathfrak{a}\subseteq A가 left ideal왼쪽 아이디얼 (resp. right ideal오른쪽 아이디얼)이라는 것은 a\mathfrak{a}가 (A,+,0)(A,+,0)의 subgroup이며, 임의의 x∈ax\in\mathfrak{a}와 α∈A\alpha\in A에 대하여 αx∈a\alpha x\in\mathfrak{a} (resp. xα∈ax\alpha\in\mathfrak{a})가 성립하는 것이다.

만일 a\mathfrak{a}가 left ideal인 동시에 right ideal이라면 이를 two-sided ideal양쪽 아이디얼이라 부른다.

편의를 위해 앞으로 left ideal에 대한 명제들 (혹은 two-sided ideal에 대한 명제들)만 증명하지만, left ideal에 대한 모든 명제들은 적절한 변형을 통해 right ideal에 대해서도 성립한다. 어차피 실제로 사용할 ring의 대부분은 commutative이므로, left ideal, right ideal, two-sided ideal의 구분이 필요하지 않다.

Left ideal들의 교집합은 left ideal이라는 것을 쉽게 증명할 수 있다. 한편, AA의 임의의 원소 xx에 대하여, 다음 집합

Ax={αx∣α∈A}Ax=\{\alpha x\mid\alpha\in A\}

은 덧셈에 대한 subroup이며, 뿐만 아니라 임의의 β∈A\beta\in A와 αx∈Ax\alpha x\in Ax에 대하여, β(αx)=(βα)x∈Ax\beta(\alpha x)=(\beta\alpha)x\in Ax이므로 AxAx는 AA의 left ideal이다. 이들은 사실 xx를 포함하는 left ideal 중 가장 작은 것, 즉 xx를 포함하는 모든 left ideal들의 교집합과 일치한다는 것을 확인할 수 있으며, 같은 논증이 right ideal과 two-sided ideal에 대해서도 적용된다.

더 일반적으로 AA의 left ideal들의 합sum a+b\mathfrak{a}+\mathfrak{b}를 다음 집합

a+b={x+y∣x∈a,y∈b}\mathfrak{a}+\mathfrak{b}=\{x+y\mid x\in \mathfrak{a},y\in \mathfrak{b}\}

으로 정의하면 a+b\mathfrak{a}+\mathfrak{b}도 다시 left ideal이 된다는 것을 알 수 있으며, 사실 이는 두 left ideal a\mathfrak{a}와 b\mathfrak{b}룰 포함하는 left ideal 중 가장 작은 것이다. 그럼 AA의 임의의 원소 x1,…,xnx_1,\ldots, x_n에 대하여, 다음 아이디얼

Ax1+⋯+AxnAx_1+\cdots+Ax_n

은 x1,…,xnx_1,\ldots, x_n을 포함하는 모든 left ideal들 중 가장 작은 것이다. 비슷하게

x1A+⋯+xnA,Ax1A+⋯+AxnAx_1A+\cdots+x_nA,\qquad Ax_1A+\cdots +Ax_nA

을 정의할 수도 있으며, 이들은 각각 x1,…,xnx_1,\ldots, x_n을 포함하는 가장 작은 right ideal과 two-sided ideal들이다. 만일 AA가 commutative라면 left ideal, right ideal과 two-sided ideal의 개념이 모두 같으므로, 이들을 뭉뚱그려 (x1,…,xn)(x_1,\ldots, x_n)이라 적기도 한다.

한편 임의의 left ideal a\mathfrak{a}에 대하여 1∈a1\in\mathfrak{a}인 것과 a=A\mathfrak{a}=A인 것이 동치이다. 따라서 a⊊A\mathfrak{a}\subsetneq A이기 위해서는 반드시 1∉a1\not\in\mathfrak{a}여야 한다.

정의 8 Ring AA와 ideal m\mathfrak{m}에 대하여, 만일 m⊊a⊊A\mathfrak{m}\subsetneq\mathfrak{a}\subsetneq A를 만족하는 ideal a\mathfrak{a}가 존재하지 않는다면 m\mathfrak{m}을 maximal ideal극대 아이디얼이라 부른다.

AA의 임의의 ideal a\mathfrak{a}가 주어졌다 하자. 그럼 a\mathfrak{a}를 포함하고, AA 자신과는 다른 AA의 ideal들의 모임을 생각할 수 있다. 그럼 이 모임은 inductive set이므로 maximal element를 갖는다. ([집합론] §선택공리, ⁋정리 4) 어렵지 않게 이 maximal element는 maximal ideal임을 알 수 있다. 즉 다음을 얻는다.

정리 9 (Krull) Ring AA의 ideal a⊊A\mathfrak{a}\subsetneq A에 대하여, a\mathfrak{a}를 포함하는 AA의 maximal ideal m\mathfrak{m}이 항상 존재한다.

참고문헌

[Bou] Bourbaki, N. Algebra I. Elements of Mathematics. Springer. 1998.

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