K

Grad. student in mathematics

환

정의 1 Symmetric monoidal category $(\Ab,\otimes, \mathbb{Z})$의 monoid object를 ring환이라 부른다. (§가환군, ⁋정의 11)

Abelian group을 다룰 때의 convention에 따라 $A$의 연산은 $+$로 적는다. 이러한 상황에서 ring $A$의 곱셈 $\mu:A\otimes A \rightarrow A$는 $\cdot$으로 적으며, 오해의 여지가 없을 때에는 이를 생략하여 $\alpha\cdot \beta$를 간단히 $\alpha\beta$로 적기도 한다. 그럼

\[\Hom_\Ab(A\otimes A,A)\cong\Bilin(A,A;A)\]

으로부터 $\mu$가 bilinear라는 것을 안다. 즉

\[(\alpha+\beta)\gamma=\alpha\gamma+\beta\gamma,\quad \alpha(\beta+\gamma)=\alpha\beta+\alpha\gamma\]

이 성립한다. 또, $\mu$는 결합법칙을 만족하며,

\[\eta:\mathbb{Z}\rightarrow A\]

는 $1\in \mathbb{Z}$의 image를 통해 $A$의 (곱셈에 대한) 항등원 $1$을 결정한다. 즉, 집합 $A$가 ring이라는 것은 두 이항연산 $+,\cdot$과 원소 $0,1$이 존재하여, 다음 조건들이 성립하는 것이다.

  1. $(A, +, 0)$이 abelian group이다.
  2. $(A,\cdot,1)$은 monoid이다.
  3. $\cdot$과 $+$ 사이에 분배법칙이 성립한다.

저자에 따라 ring의 정의에서 곱셈에 대한 항등원의 존재성은 없을 때도 있지만, 우리는 이러한 경우를 pseudo-ring, 혹은 (ring에서 $i$가 없는) rng라 부른다. 어차피 대부분의 경우 우리는 commutative ring (with unity)을 사용하게 된다.

명제 2 Ring $A$의 임의의 원소 $\alpha,\beta$에 대해 다음이 성립한다.

  1. $\alpha0=0\alpha=0$,
  2. $\alpha(-\beta)=(-\alpha)\beta=-(\alpha\beta)$.
증명

  1. $0$은 덧셈에 대한 항등원이므로, 다음 식

    \[0\alpha=(0+0)\alpha=0\alpha+0\alpha\]

    으로부터 $0\alpha=0$을 얻는다. 유사하게 $\alpha0=0$을 얻을 수 있다.

  2. 1번 결과에 의하여,

    \[0=\alpha0=\alpha(\beta+(-\beta))=\alpha\beta+\alpha(-\beta)\]

    이고 따라서 $-(\alpha\beta)=\alpha(-\beta)$이다. 유사하게 $(-\alpha)\beta=-(\alpha\beta)$ 또한 얻는다.

일반적으로 정의 1에서 우리는 $0\neq 1$임을 가정하지는 않지만, 만일 $0=1$이라면 명제 2의 1번에 의해, 임의의 $\alpha\in A$에 의해

\[\alpha=\alpha\cdot 1=\alpha\cdot 0=0\]

이 성립할 것이므로 $A=\{0\}$이어야 한다. 이러한 ring을 zero ring이라 부른다.

환 준동형사상

정의 3 두 ring $A,B$에 대하여, 함수 $\phi:A \rightarrow B$가 ring homomorphism환 준동형사상이라는 것은 임의의 $x,y$에 대하여

\[\phi(\alpha+\beta)=\phi(\alpha)+\phi(\beta),\quad \phi(\alpha\beta)=\phi(\alpha)\phi(\beta),\quad \phi(1)=1\]

이 성립하는 것이다.

이를 morphism으로 하여,

  • Ring들의 category $\Ring$,
  • Rng들의 category $\Rng$,
  • Commutative ring들의 category $\cRing$

등이 정의된다. $\Ring$과 $\cRing$에서는 $\mathbb{Z}$가 initial object, $\{0\}$이 terminal object이며, $\Rng$에서는 $\{0\}$이 zero object이다.

정의에 의하여 ring homomorphism $\phi:A\rightarrow B$은 두 abelian group $(A,+,0)$, $(B,+,0)$ 사이의 group homomorphism이기도 하다. 그럼 ring homomorphism $\phi$의 kernel $\ker f$는 이 group homomorphism의 kernel로 정의된다. 즉 $\ker \phi=\phi^{-1}(0)$이다. 그럼 §준동형사상, ⁋명제 4에 의하여 $\phi$가 단사인 것은 $\ker \phi=\{0\}$인 것과 동치이다.

가환군 위에 정의된 자유환

정의에 의해 ring은 abelian group이고, ring homomorphism은 abelian group들 사이의 homomorphism이기도 하다. 즉 forgetful functor $U:\Ring \rightarrow \Ab$이 존재하며, 이는 단순히 곱셈구조를 잊어버리는 functor이다. 이 functor는 right adjoint이며, 그 left adjoint $F: \Ab \rightarrow \Ring$은 다음의 graded abelian group

\[F(G)=\bigoplus_{n\geq 0} G^{\otimes n}\]

으로 주어진다. 여기서 $G^{\otimes n}$의 원소 $\alpha_n$은 다음의 꼴

\[\alpha_n=\sum_{i\in I} \alpha^i_{n1}\otimes\cdots\otimes \alpha^i_{nn},\qquad \text{$\alpha_{nj}^i\in A$, $I$ finite}\]

로 쓸 수 있으며, $F(G)$의 원소들은

\[(\alpha_0,\alpha_1,\ldots )=(\alpha_0,0,\ldots)+(0,\alpha_1,\ldots)+\cdots,\qquad \text{$\alpha_n=0$ for all but finitely many $n$}\]

의 꼴이다. 그런데 $\alpha_n$들 각각은 이들을 이루는 $\alpha^i_{n1}\otimes\cdots \alpha^i_{nn}$들이 몇 개의 원소의 텐서곱으로 이루어졌는지를 보면 어떠한 $G^{\otimes n}$에 들어있는지를 알 수 있으므로, 표기법을 남용하여 $(0,\ldots, 0, \alpha_n,0,\ldots)$을 $\alpha_n$으로 적어도 되고, 그럼 $F(G)$의 임의의 원소는

\[\sum_{i\in I} \alpha_{i1}\otimes \cdots\otimes \alpha_{in_i}\]

의 꼴로 쓸 수 있다. 이제 $F(G)$ 위에 곱셈을 정의해야 하는데, 곱셈이 잘 정의된다면 분배법칙에 의하여

\[\left(\sum_{i\in I} \alpha_{i1}\otimes \cdots\otimes \alpha_{in_i}\right)\left(\sum_{j\in J} \beta_{j1}\otimes \cdots\otimes \beta_{jn_j}\right)=\sum_{(i,j)\in I\times J}(\alpha_{i1}\otimes\cdots \otimes \alpha_{in_i})(\beta_{j1}\otimes\cdots\otimes \beta_{jn_j})\]

가 성립해야 한다. 거꾸로 이야기하면 $\alpha_{i1}\otimes\cdots \otimes \alpha_{in_i}$와 $\beta_{j1}\otimes\cdots\otimes \beta_{jn_j}$의 곱들만 정의하면 위의 식을 통해 $F(G)$의 모든 원소들의 곱이 정의된다. 그리고 우리는

\[(\alpha_{i1}\otimes\cdots \otimes \alpha_{in_i})(\beta_{j1}\otimes\cdots\otimes \beta_{jn_j})=\alpha_{i1}\otimes\cdots\otimes \alpha_{in_i}\otimes \beta_{j1}\otimes\cdots \beta_{jn_j}\]

으로 정의한다. Coherence theorem에 의해 이것이 $F(G)$ 위에 ring의 구조를 정의하는 것을 알 수 있으며, $F(G)$의 덧셈에 대한 항등원은 $0=(0,0,\ldots)$, 곱셈에 대한 항등원은 $1=(1,0,\ldots)$이 된다. 어렵지 않게 $G\mapsto F(G)$의 functoriality를 증명할 수 있으며, 여기에 더해 다음이 성립한다.

명제 4 위에서 정의한 $F$와, forgetful functor $U:\Ring \rightarrow \Ab$에 대하여, $F\dashv U$이다.

증명

임의의 ring $A$와 abelian group $G$가 주어졌다 하자. 그럼

\[\Hom_\Ring(F(G), A)\cong \Hom_\Ab(G, U(A))\]

을 증명해야 한다. 임의의 ring homomorphism $\phi: F(G) \rightarrow A$에 대하여, inclusion $i:G\hookrightarrow F(G)$를 합성하면 abelian group homomorphism $\phi\circ i:G \rightarrow U(A)$을 얻는다.

거꾸로 임의의 abelian group homomorphism $f:G \rightarrow U(A)$이 주어졌다 하면 다음 식

\[\sum_{i\in I} \alpha_{i1}\otimes \cdots\otimes \alpha_{in_i}\mapsto \sum_{i\in I} f(\alpha_{i1})\otimes \cdots\otimes f(\alpha_{in_i})\]

이 ring homomorphism $\phi:F(G) \rightarrow A$를 정의한다.

이렇게 정의한 두 방향의 함수들 $\Hom_\Ring(F(G), A) \rightarrow\Hom_\Ab(G, U(A))$과 $\Hom_\Ab(G, U(A))\rightarrow \Hom_\Ring(F(G), A)$이 서로의 inverse가 되고, 이 bijection이 natural이라는 것을 확인할 수 있다.

부분환과 아이디얼

정의 5 Ring $(A,+,-,\cdot,0,1)$의 부분집합 $S$가 subring부분환이라는 것은 $(S,+,-,\cdot,0,1)$가 ring의 구조를 갖는 것이다.

한편, 다음이 성립한다.

명제 6 임의의 ring homomorphism $\phi:A \rightarrow B$에 대하여, $\ker \phi$는 $A$의 subring이다.

증명

$\ker \phi$는 abelian group $(A,+,0)$의 subgroup임을 확인하였으므로, $\ker \phi$가 곱셈에 대해 닫혀있음을 보이면 충분하다. 그런데 임의의 $\alpha,\beta\in\ker \phi$에 대하여,

\[\phi(\alpha\beta)=\phi(\alpha)\phi(\beta)=0\cdot 0=0\]

이므로 $\alpha\beta\in\ker \phi$가 성립한다.

위의 증명을 잘 살펴보면, 두 원소 $\alpha,\beta$ 중 히니민 $\ker \phi$에 속하더라도 $\alpha\beta$가 $\ker \phi$에 속한다는 것을 확인할 수 있다. 이를 다음과 같이 정의한다.

정의 7 Ring $A$가 주어졌다 하자. 그럼 $\mathfrak{a}\subseteq A$가 left ideal왼쪽 아이디얼 (resp. right ideal오른쪽 아이디얼)이라는 것은 $\mathfrak{a}$가 $(A,+,0)$의 subgroup이며, 임의의 $x\in\mathfrak{a}$와 $\alpha\in A$에 대하여 $\alpha x\in\mathfrak{a}$ (resp. $x\alpha\in\mathfrak{a}$)가 성립하는 것이다.

만일 $\mathfrak{a}$가 left ideal인 동시에 right ideal이라면 이를 two-sided ideal양쪽 아이디얼이라 부른다.

편의를 위해 앞으로 left ideal에 대한 명제들 (혹은 two-sided ideal에 대한 명제들)만 증명하지만, left ideal에 대한 모든 명제들은 적절한 변형을 통해 right ideal에 대해서도 성립한다. 어차피 실제로 사용할 ring의 대부분은 commutative이므로, left ideal, right ideal, two-sided ideal의 구분이 필요하지 않다.

Left ideal들의 교집합은 left ideal이라는 것을 쉽게 증명할 수 있다. 한편, $A$의 임의의 원소 $x$에 대하여, 다음 집합

\[Ax=\{\alpha x\mid\alpha\in A\}\]

은 덧셈에 대한 subroup이며, 뿐만 아니라 임의의 $\beta\in A$와 $\alpha x\in Ax$에 대하여, $\beta(\alpha x)=(\beta\alpha)x\in Ax$이므로 $Ax$는 $A$의 left ideal이다. 이들은 사실 $x$를 포함하는 left ideal 중 가장 작은 것, 즉 $x$를 포함하는 모든 left ideal들의 교집합과 일치한다는 것을 확인할 수 있으며, 같은 논증이 right ideal과 two-sided ideal에 대해서도 적용된다.

더 일반적으로 $A$의 left ideal들의 합sum $\mathfrak{a}+\mathfrak{b}$를 다음 집합

\[\mathfrak{a}+\mathfrak{b}=\{x+y\mid x\in \mathfrak{a},y\in \mathfrak{b}\}\]

으로 정의하면 $\mathfrak{a}+\mathfrak{b}$도 다시 left ideal이 된다는 것을 알 수 있으며, 사실 이는 두 left ideal $\mathfrak{a}$와 $\mathfrak{b}$룰 포함하는 left ideal 중 가장 작은 것이다. 그럼 $A$의 임의의 원소 $x_1,\ldots, x_n$에 대하여, 다음 아이디얼

\[Ax_1+\cdots+Ax_n\]

은 $x_1,\ldots, x_n$을 포함하는 모든 left ideal들 중 가장 작은 것이다. 비슷하게

\[x_1A+\cdots+x_nA,\qquad Ax_1A+\cdots +Ax_nA\]

을 정의할 수도 있으며, 이들은 각각 $x_1,\ldots, x_n$을 포함하는 가장 작은 right ideal과 two-sided ideal들이다. 만일 $A$가 commutative라면 left ideal, right ideal과 two-sided ideal의 개념이 모두 같으므로, 이들을 뭉뚱그려 $(x_1,\ldots, x_n)$이라 적기도 한다.

한편 임의의 left ideal $\mathfrak{a}$에 대하여 $1\in\mathfrak{a}$인 것과 $\mathfrak{a}=A$인 것이 동치이다. 따라서 $\mathfrak{a}\subsetneq A$이기 위해서는 반드시 $1\not\in\mathfrak{a}$여야 한다.

정의 8 Ring $A$와 ideal $\mathfrak{m}$에 대하여, 만일 $\mathfrak{m}\subsetneq\mathfrak{a}\subsetneq A$를 만족하는 ideal $\mathfrak{a}$가 존재하지 않는다면 $\mathfrak{m}$을 maximal ideal극대 아이디얼이라 부른다.

$A$의 임의의 ideal $\mathfrak{a}$가 주어졌다 하자. 그럼 $\mathfrak{a}$를 포함하고, $A$ 자신과는 다른 $A$의 ideal들의 모임을 생각할 수 있다. 그럼 이 모임은 inductive set이므로 maximal element를 갖는다. ([집합론] §선택공리, ⁋정리 4) 어렵지 않게 이 maximal element는 maximal ideal임을 알 수 있다. 즉 다음을 얻는다.

정리 9 (Krull) Ring $A$의 ideal $\mathfrak{a}\subsetneq A$에 대하여, $\mathfrak{a}$를 포함하는 $A$의 maximal ideal $\mathfrak{m}$이 항상 존재한다.

참고문헌

[Bou] Bourbaki, N. Algebra I. Elements of Mathematics. Springer. 1998.

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