반군과 모노이드
정의 1 결합법칙을 만족하는 마그마 \((A, \star)\)를 semigroup반군이라 부른다.
마그마 위에서 정의한 homomorphism과 부분구조, 몫구조들은 어떠한 변화도 필요없이 semigroup에서도 잘 정의된다. 특히 \(A\)가 semigroup이라면, \(A\)의 임의의 부분마그마 \(S\) 또한 semigroup이 된다.
정의 2 임의의 마그마 \((A,\star)\)에 대하여, 어떤 \(e\in A\)가 모든 \(x\in A\)에 대하여
\[x\star e=e\star x=x\]를 만족한다면, \(e\)를 항등원identity element이라 부른다.
임의의 마그마 \(A\)는 많아야 하나의 항등원을 갖는다. 만일 \(e\)와 \(e'\)가 모두 \(A\)의 항등원이라면,
\[e=e\star e'=e'\star e=e'\]가 되기 때문이다.
한편, 집합 \(A\)의 임의의 원소는 singleton \(\ast\)에서 \(A\)로의 함수와 같은 것이다. ([범주론] §표현가능한 함자, ⁋예시 2) 이 관점을 적용하면, \(e:\ast\rightarrow A\)가 항등원인 것은 다음의 diagram
이 commute하는 것이다.
정의 3 Semigroup \((A,\star)\)이 항등원을 갖는다면 이를 monoid모노이드라 부른다.
집합 \(A\)와 그 위에 정의된 연산 \(\star\), 그리고 \(\star\)에 대한 항등원 \(e\)가 모두 있어야 monoid가 잘 정의되므로, monoid를 나타낼 때에는 \((A,\star, e)\)와 같은 쌍으로 표기한다. 위의 논의로부터 monoid는 \(\Set\)에서의 monoid object인 것을 알 수 있다. ([[범주론] §모노이드 대상, ⁋정의 1)
Monoid homomorphism과 submonoid를 정의할 때는 주의가 필요하다. 가령 두 개의 monoid \((A,\star,e)\), \((A',\star',e')\)에 대하여, magma homomorphism \(f:A\rightarrow A'\)는 항등원을 보존할 필요가 없으므로 monoid homomorphism은 항등원 \(e\)의 데이터 또한 보존하는 것으로 정의된다.
정의 4 두 monoid \((A, \star, e)\), \((A',\star', e')\)에 대하여, \(f(e)=e'\)를 만족하는 magma homomorphism을 monoid homomorphism모노이드 준동형사상이라 부른다.
이렇게 정의한 monoid와 monoid homomorphism들은 category를 이룬다.
명제 5 Monoid들을 대상으로, monoid homomorphism을 morphism으로 갖는 category \(\Mon\)이 존재한다.
증명
임의의 monoid homomorphism \(f:M_1\rightarrow M_2\), \(g:M_2\rightarrow M_3\)이 주어졌다 하자. 그럼 §대수적 구조, ⁋명제 7에 의하여 \(g\circ f\)는 magma homomorphism이다. 한편 다음의 식
\[(g\circ f)(e_1)=g(f(e_1))=g(e_2)=e_3\]으로부터 \(g\circ f\)는 monoid homomorphism 또한 된다는 것도 안다.
이제 monoid homomorphism들은 함수들이므로 이들의 합성은 결합법칙을 만족한다. 또, 임의의 monoid \(M\)에 대하여 항등함수 \(\id_M\)은 항상 monoid homomorphism이다.
또, monoid의 부분마그마 역시 항등원을 포함할 필요가 없으므로 아래와 같이 새로운 정의가 필요하다.
정의 6 Monoid \((A,\star, e)\)의 submonoid부분모노이드는 항등원 \(e\)를 포함하는 \(A\)의 부분마그마를 의미한다.
그러나 여전히 monoid \((A,\star,e)\)의 submonoid들의 family \((S_i)\)가 주어졌다 하면, 교집합 \(S=\bigcap S_i\)가 다시 submonoid가 된다. 모든 \(i\)에 대하여 \(e\in S_i\)이고 따라서 \(e\in S\)이기 때문이다.
몫구조의 경우, monoid \((A, \star,e)\)와, \(\star\)와 compatible한 동치관계 \(R\)이 주어졌다고 하면 \(A/R\)은 자연스럽게 monoid 구조를 물려받는다. 집합 \(A/R\)에서 \(e\)의 equivalence class \([e]\)를 생각하면, 임의의 \([x]\in A/R\)에 대하여
\[[x]\mathbin{\tiny\char"2606}[e]=[x\star e]=[x]=[e\star x]=[e]\mathbin{\tiny\char"2606}[x]\]가 성립하기 때문이다.
마그마 위에 항등원의 존재성을 가정하는 것은 강한 조건 중 하나이다. 예를 들어, 다음 정리는 어떠한 집합 \(X\) 위에 서로 호환되는 두 마그마와 항등원에 대한 정보를 부여하는 방법은 하나 뿐이며, 그 결과는 commutative monoid가 된다는 것을 보여준다.
정리 7 (Eckmann-Hilton) 집합 \(X\) 위에 두 연산 \(\star_1\), \(\star_2\)가 존재하여, \((X,\star_1,e_1)\), \((X,\star_2,e_2)\)가 모두 항등원을 갖는 마그마라 하자. 만일
\[(a\star_1 b)\star_2(c\star_1 d)=(a\star_2 c)\star_1(b\star_2 d)\]가 모든 \(a,b,c,d\in X\)에 대해 성립한다면, \(\star=\star_1=\star_2\), \(e=e_1=e_2\)이고 \((X,\star,e)\)는 commutative monoid이다.
증명
우선 \(e_1=e_2\)임을 보이자. 이는 다음 식
\[e_1=e_1\star_1 e_1=(e_1\star_2e_2)\star_1(e_2\star_2e_1)=(e_1\star_1 e_2)\star_2(e_2\star_1 e_1)=e_2\star_2 e_2=e_2\]에 의해 얻어진다. 이제 임의의 \(a,b\)에 대해
\[a\star_1 b=(a\star_2 e_2)\star_1(e_2\star_2b)=(a\star_1 e_2)\star_2(e_2\star_1b)=a\star_2b\]이므로 \(\star=\star_1=\star_2\)이고,
\[a\star b=(e\star a)\star(b\star e)=(e\star b)\star(a\star e)=b\star a\]그리고
\[a\star(b\star c)=(a\star 1)\star(b\star c)=(a\star b)\star(1\star c)=(a\star b)\star c\]이므로 \((X,\star,e)\)는 commutative monoid이다.
군
드디어 group을 정의한다. 이는 직관적으로 모든 원소들이 역원을 갖는 monoid라고 생각할 수 있다.
정의 8 Monoid \((A,\star,e)\)에 대하여, \(x\)가 left cancellable인 것은 임의의 \(a,b\in A\)에 대하여, \(x\star a=x\star b\)이면 \(a=b\)가 성립하는 것이다. 비슷하게, \(x\)가 right cancellable인 원소를 정의할 수 있다. 또, \(y\)의 왼쪽 역원left inverse이라는 것은 \(x\star y=e\)가 성립하는 것이다. 비슷하게, \(x\)가 \(y\)의 오른쪽 역원right inverse이라는 것을 정의할 수 있다.
만일 \(x\)가 \(y\)의 왼쪽 역원인 동시에 오른쪽 역원이라면 \(x\)를 \(y\)의 역원inverse이라고 부르고, 이 때 \(y\)는 가역invertible이라고 부른다.
일반적인 monoid는 왼쪽 역원을 갖지만 오른쪽 역원을 갖지 않을 수도 있고, 거꾸로 오른쪽 역원을 갖지만 왼쪽 역원을 갖지 않을 수도 있다. 보편적으로 \(x\)의 역원을 \(x^{-1}\)으로 적지만, 만약 연산을 \(+\)로 표기한다면 이 대신 \(-x\)와 같이 적는다. 이와 같이 역원에 기호를 주기 위해서는 역원이 유일하게 결정되어야 한다.
명제 9 Monoid \((A, \star, e)\)에 대하여, \(x\in A\)가 \(A\)의 가역인 원소라 하면 \(x\)의 역원은 유일하다.
증명
만일 \(x'\)와 \(x''\)가 \(x\)의 역원이었다면,
\[x'=x'\star e=x'\star( x\star x'')=(x'\star x)\star x''=e\star x''=x''\]이므로 \(x'=x''\)이다.
이를 이용하면 다음의 따름정리를 얻는다.
따름정리 10 Monoid \((A,\star,e)\)의 가역인 원소 \(a,b\)에 대하여 다음이 성립한다.
- $(a^{-1})^{-1}=a$
- $(a\star b)^{-1}=b^{-1}\star a^{-1}$.
증명
앞선 명제에 의하여 역원은 유일하므로, 주어진 식들의 우변이 역원의 조건을 만족한다는 것을 직접 계산하여 보이면 충분하다.
우선, \(a^{-1}\)의 역원이 \(a\)인지 살펴보자. \(a^{-1}\)의 역원은 다음의 두 식
\[a^{-1}\star x=x\star a^{-1}=e\]를 만족하는 \(x\)이다. 그런데,
\[a^{-1}\star a=a\star a^{-1}=e\]가 \(a^{-1}\)의 정의에 의해 성립하므로, \(x=a\)가 앞선 식을 만족한다. 이제 \(a^{-1}\)의 역원은 유일하므로, \(a^{-1}\)의 역원은 \((a^{-1})^{-1}\)은 반드시 \(a\)가 되어야 한다.
비슷하게, 두 번째 주장 또한 다음의 두 식으로부터 자명하게 따라온다.
\[\begin{aligned}(a\star b)\star(b^{-1}\star a^{-1})&=a\star(b\star b^{-1})\star a^{-1}=a\star e\star a^{-1}=a\star a^{-1}=e,\\(b^{-1}\star a^{-1})\star(a\star b)&=b^{-1}\star(a^{-1}\star a)\star b=b^{-1}\star e\star b=b^{-1}\star b=e.\end{aligned}\]이제 group은 다음과 같이 정의된다.
정의 10 임의의 원소가 가역인 monoid를 group군이라 부른다. 만일 \(\star\)가 교환법칙을 만족한다면, 이를 abelian group아벨군 (혹은 commutative group가환군)이라 부른다.
역원을 취하는 것은 \(G\)에서 자기자신으로의 함수1이며, 따라서 group \(G\)는 데이터 \((G,\star,e, (-)^{-1})\)로 결정된다. Inverse \((-)^{-1}\)은 다음의 diagram
으로 표현할 수 있다. 이로부터 임의의 group은 \(\Set\)에서의 group object인 것을 확인할 수 있다. ([범주론] §모노이드 대상, ⁋정의 1)
한편, monoid homomorphism \(f:G\rightarrow G'\)은 반드시 역원을 보존해야 한다.
\[f(x)\star'f(x^{-1})=f(x\star x^{-1})=f(e)=e',\qquad f(x^{-1})\star'f(x)=f(x^{-1}\star x)=f(e)=e'.\]즉 \(\Grp\)은 \(\Mon\)의 full subcategory이다. ([범주론] §함자, ⁋정의 10)
뿐만 아니라, 두 group 사이의 magma homomorphism \(f:G\rightarrow G'\)에 대하여
\[e'\star' f(e)=f(e)=f(e\star e)=f(e)\star'f(e)\]이고, 양 변의 오른쪽에 \(f(e)\)의 역원을 연산해주면 \(e'=f(e)\)를 얻는다. 즉 앞선 논증에 의해, \(\Grp\)은 \(\Magma\)의 full subcategory이기도 하다.
위의 논증에서는 다음과 같은 보조정리를 사용하였다.
보조정리 12 (Cancellation law) 임의의 invertible element는 cancellable이다.
증명
양 변의 왼쪽 혹은 오른쪽에 \(a\)의 역원을 연산해주면 된다.
한편, 명제 5와 동일한 이유로 group들과 group homomorphism 또한 category를 이룬다.
명제 13 Group들을 대상으로, group homomorphism을 morphism으로 갖는 category \(\Grp\)이 존재한다. 또, abelian group들을 대상으로, group homomorphism을 morphism으로 갖는 full subcategory \(\Ab\)이 존재한다.
이들 category는 zero object \(\{e\}\)를 갖는다는 것을 확인할 수 있다. Submonoid와 마찬가지로 subgroup을 정의할 수 있다.
정의 14 Group \((G,\star, e, {}^{-1})\)의 부분집합 \(S\)가 subgroup부분군이라는 것은 \(S\)가 역원을 취하는 것에 대해 닫혀있는 submonoid인 것이다.
다음의 명제는 항등원이 존재하는지, 역원에 대해 닫혀있는지 등등을 모두 생략하고 단 하나의 기준만으로 주어진 부분집합이 subgroup인지의 여부를 알려준다.
명제 15 Group \((G, \star, e, {}^{-1})\)의 공집합이 아닌 부분집합 \(S\)가 \(G\)의 subgroup인 것은, 임의의 \(a,b\in S\)에 대해 \(a\star b^{-1}\in S\)가 항상 성립하는 것과 동치이다.
증명
만일 \(S\)가 \(G\)의 subgroup이라면, \(b\in S\)이므로 \(b^{-1}\in S\)이고, 따라서 \(a\star b^{-1}\in S\)는 자명하게 성립한다.
따라서 반대방향만 보이면 충분하다. 우선 \(S\)가 공집합이 아니므로, 어떤 \(a\in S\)가 존재하고, 그럼 \(a\star a^{-1}\in S\)이므로 \(e\in S\)이다. 이제 임의의 \(a\in S\)에 대하여, \(a^{-1}=e\star a^{-1}\in S\)가 성립한다. 또, 임의의 \(a,b\in S\)에 대하여 \(a\star b^{-1}=a\star(b^{-1})^{-1}\in S\)가 성립한다.
Group \(G\)의 subgroup들의 family \((S_i)\)에 대하여, 교집합 \(S=\bigcap S_i\)가 subgroup이다. 임의의 \(a,b\in S\)를 택하면, 모든 \(i\)에 대하여 \(ab^{-1}\in S_i\)이고 따라서 \(ab^{-1}\in S\)이기 때문이다. 특히 \(G\)의 임의의
한편 group \((G, \star, e)\)와, \(\star\)와 compatible한 동치관계 \(R\)에 대하여 \(G/R\)은 monoid 구조를 갖는다는 것을 확인했었는데, 뿐만 아니라 \(G/R\)은 group 구조 또한 가진다. 이를 확인하기 위해서는 \(G/R\)의 임의의 원소 \([x]\)가 가역이라는 것만 보이면 충분하다. 그런데
\[[x]\mathbin{\tiny\char"2606}\bigl[x^{-1}\bigr]=\bigl[x\star (x^{-1})\bigr]=[e]=\bigl[x^{-1}\star x\bigr]=\bigl[x^{-1}\bigr]\mathbin{\tiny\char"2606}[x]\]가 성립하므로, \(G/R\)의 임의의 원소는 가역임을 알 수 있다.
앞으로 일반적인 group을 다룰 때 연산은 항상 곱하기로 표기하고, 따라서 \(x\star y\)를 \(xy\)로 간단히 줄여서 적으며, \(x\)의 역원을 \(x^{-1}\), 항등원은 지금과 같이 \(e\)로 표기한다. 그러나 특별히 group \(G\)가 abelian일 경우, 연산을 더하기로 표기하며 \(x\)의 역원은 \(-x\), 항등원은 \(0\)으로 표기한다.
참고문헌
[Bou] Bourbaki, N. Algebra I. Elements of Mathematics. Springer. 1998.
-
\(G\)가 abelian group인 경우를 제외하면, \((-)^{-1}\)은 group homomorphism은 되지 않는다. ↩
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