차원의 정의
앞으로의 몇 개의 글에서 우리는 ring의 차원을 정의하고, 그 성질들을 살펴본다. 차원의 정의 자체는 어렵지 않다.
정의 1 Ring \(A\)의 Krull dimension크룰 차원은 \(A\)의 prime ideal들의 descending chain
\[\mathfrak{p}_r\supseteq \mathfrak{p}_{r-1}\supseteq\cdots\supseteq \mathfrak{p}_1\supseteq \mathfrak{p}_0\]의 length \(r\)들의 supremum으로 정의하고, 이를 \(\dim A\)로 적는다. 만일 이러한 \(r\)이 존재하지 않는다면 \(\dim A=\infty\)로 정의한다.
간단히 ring \(A\)의 Krull dimension을 \(A\)의 dimension이라 부른다. 예를 들어, field \(\mathbb{K}\)는 유일한 prime ideal \((0)\)을 가지므로 \(\mathbb{K}\)는 항상 \(0\)차원이다.
더 일반적으로 다음을 정의한다.
정의 2 Ring \(A\)의 ideal \(\mathfrak{a}\)에 대하여, \(\mathfrak{a}\)의 dimension은
\[\dim \mathfrak{a}=\dim A/\mathfrak{a}\]으로 정의한다.
\(A\)의 prime ideal \(\mathfrak{p}\)에 대하여, \(\mathfrak{p}\)의 codimension여차원 \(\codim \mathfrak{p}\)는 \(A_\mathfrak{p}\)의 차원으로 정의하며, 일반적인 ideal \(\mathfrak{a}\)의 경우 \(\codim \mathfrak{a}\)는 \(\mathfrak{a}\)를 포함하는 prime ideal들의 codimension들의 minimum으로 정의한다.
마지막으로, 임의의 \(A\)-module \(M\)에 대하여 \(M\)의 dimension과 codimension을 \(\ann(M)\)의 dimension과 codimension으로 각각 정의한다.
다소 주의할 사항으로, 위의 정의를 따르면 \(\mathfrak{a}\)는 먼저 정의한 ideal로서의 dimension과, 이를 \(A\)-module로 봤을 때의 dimension의 두 가지 정의를 갖게 되는데, 이 두 정의가 주는 값이 다를 수 있다. 따라서 \(\dim \mathfrak{a}\)라는 표기법을 사용할 때에는 정의 2에서 먼저 정의한 것과 같이 \(A\)의 ideal로서의 dimension만 의미하기로 한다.
그럼 §국소화, ⁋명제 8에 의하여 \(\codim \mathfrak{p}\)는 prime ideal \(\mathfrak{p}\)로부터 시작하는 decreasing chain
\[\mathfrak{p}=\mathfrak{p}_r\supseteq \mathfrak{p}_{r-1}\supseteq\cdots\supseteq \mathfrak{p}_1\supseteq \mathfrak{p}_0\]의 길이의 supremum과 같다. 따라서 다음의 부등식
\[\dim \mathfrak{a}+\codim \mathfrak{a}\leq \dim A\]이 성립한다. 그 이름과 다르게 일반적으로 반대방향 부등식은 성립하지 않는다.
한편, local ring \((A, \mathfrak{m})\)에 대하여, \(\dim A\)를 주는 prime ideal들의 chain에는 항상 시작 부분에 \(\mathfrak{m}\)을 끼워넣을 수 있으므로 반드시 \(\dim A=\codim \mathfrak{m}\)이 성립한다.
차원의 계산
일반적으로 차원을 다를 때에는 ring \(A\)가 noetherian인 경우를 주로 다루게 된다. 가장 큰 이유 중 하나는 정리 7이 noetherian ring에서만 성립하기 때문이다. 본격적으로 차원을 계산하기 전에, 간단한 예시를 먼저 살펴보자.
우선 우리는 §조르단-횔더 정리, ⁋정리 4의 첫째 조건과 셋째 조건 사이의 동치를 통해 \(0\)차원의 noetherian ring들이 어떠한 것인지는 정확히 알고 있다.
따름정리 3 Noetherian ring \(A\)에 대하여, \(\dim A =0\)인 것과 \(A\)가 artinian인 것이 동치이다.
한편, 우리는 다음 명제에 의하여, 일반적으로 \(\phi:A \rightarrow B\)가 integral이면 dimension이 변하지 않는다는 것을 안다.
명제 4 \(\phi: A \rightarrow B\)가 integral이라 하자. 그럼 \(\ker\phi\)를 포함하는 \(A\)의 임의의 prime ideal \(\mathfrak{p}\)에 대하여, \(\mathfrak{p}=\phi^{-1} \mathfrak{q}\)이도록 하는 \(B\)의 prime ideal \(\mathfrak{q}\)이 존재한다. 뿐만 아니라, \(B\)의 임의의 ideal \(\mathfrak{b}\)에 대하여 \(\dim \mathfrak{b}=\dim \phi^{-1} \mathfrak{b}\)이다.
증명
첫 번째 결과는 단순히 §정수적 확장과 아이디얼, ⁋명제 1이다. 두 번째 결과의 경우, \(\dim \mathfrak{b}\geq \dim \phi^{-1}\mathfrak{b}\)는 §정수적 확장과 아이디얼, ⁋명제 1의 두 번째 결과에 의해 성립하고, 반대방향 부등식은 §정수적 확장과 아이디얼, ⁋따름정리 4에 의해 성립한다.
이제 우리는 관심을 돌려 1차원에서 일어나는 일들을 살펴본다. 그 전에 다소 기술적인 다음의 정의를 내린다.
정의 5 Prime ideal \(\mathfrak{p}\subseteq A\)에 대하여, \(\mathfrak{p}\)의 \(n\)th symbolic power \(\mathfrak{p}^{(n)}\)을 다음 식
\[\mathfrak{p}^{(n)}=\{a\in A\mid\text{$ba\in \mathfrak{p}^n$ for some $b\in A\setminus \mathfrak{p}$}\}\]으로 정의한다.
정의에 의해 \(\mathfrak{p}^{(n)}\)은 localization \(A \rightarrow A_\mathfrak{p}\)을 통해 ideal \((\mathfrak{p}A_\mathfrak{p})^n\)을 \(A\)로 옮겨온 것이다. 그럼 \(\mathfrak{p}\) 바깥에 있는 원소들은 modulo \(\mathfrak{p}^({n})\)으로 non-zerodivisor가 되며, \(\mathfrak{p}^{(n)}A_\mathfrak{p}=(\mathfrak{p}A_\mathfrak{p})^n\)임이 자명하다. 또, symbolic power들의 descending chain
\[A=\mathfrak{p}^{(0)}\supseteq \mathfrak{p}=\mathfrak{p}^{(1)}\supseteq \mathfrak{p}^{(2)}\supseteq \mathfrak{p}^{(3)}\supseteq\cdots\]이 존재한다.
이제 다음 정리를 보일 수 있다.
정리 6 (Codimension one Principal Ideal Theorem) Noetherian ring \(A\)와 임의의 \(a\in A\)에 대하여, \(\mathfrak{p}\)가 principal ideal \(\mathfrak{a}=(a)\)를 포함하는 prime ideal들 중 minimal인 것이라 하자. 그럼 \(\codim \mathfrak{p}\leq 1\)이다.
증명
임의의 prime ideal \(\mathfrak{q}\subsetneq \mathfrak{p}\)에 대하여 \(\codim \mathfrak{q}=0\)임을 보이면 충분하며, 이는 다시 §국소화, ⁋명제 8에 의하여 \(\dim A_\mathfrak{q}=0\)임을 보이면 된다.
이제 \(A_\mathfrak{p}\)에서 \(\mathfrak{p}A_\mathfrak{p}\)는 유일한 maximal ideal이므로, \(\mathfrak{p}\)는 ideal들 \(\mathfrak{q}A_\mathfrak{p}\), \((\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(n)}\), \(\mathfrak{a}A_\mathfrak{p}\)가 이 maximal ideal에 포함된다. 특히 우리는 다음의 두 chain
\[\mathfrak{a}A_\mathfrak{p}\subseteq (\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(n)}+\mathfrak{a}A_\mathfrak{p}\subseteq \mathfrak{p}A_\mathfrak{p},\qquad \mathfrak{q}A_\mathfrak{p}\subseteq \mathfrak{p}A_\mathfrak{p}\]을 얻는다. 한편 \(\mathfrak{p}A_\mathfrak{p}\)가 \(\mathfrak{a}A_\mathfrak{p}\)를 포함하는 prime ideal들 중 minimal하므로, §조르단-횔더 정리, ⁋따름정리 8에 의하여 \(A_\mathfrak{p}/\mathfrak{a}A_\mathfrak{p}\)는 artinian이다. 이로부터 symbolic power들로 이루어진 descending chain
\[(\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(1)}+\mathfrak{a}A_\mathfrak{p}\supseteq (\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(2)}+\mathfrak{a}A_\mathfrak{p}\supseteq\cdots\]이 멈춰야 한다는 것을 안다. 따라서 \((\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(n)}+\mathfrak{a}A_\mathfrak{p}= (\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(n+1)}+\mathfrak{a}A_\mathfrak{p}\)라 하자. 그럼
\[(\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(n)}\subseteq (\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(n)}+\mathfrak{a}A_\mathfrak{p}= (\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(n+1)}+\mathfrak{a}A_\mathfrak{p}\]이므로, 임의의 \(f\in (\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(n)}\)는 다음의 꼴
\[f=\alpha a+g,\qquad g\in (\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(n+1)}=(\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(n)}\]로 적을 수 있고 이로부터 \(\alpha a\in (\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(n)}\)이어야 한다. 그런데 이 표현에서 \(\mathfrak{p}\)는 \(\mathfrak{a}\)를 포함하는 prime들 중 minimal한 것이므로, \(a\not\in \mathfrak{q}\)이고 따라서 \(\alpha\in (\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(n)}\)이어야 한다. 즉, 다음의 식
\[(\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(n)}=\mathfrak{a}(\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(n)}+(\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(n+1)}\]이 성립한다. 이제 이들을 \(A_\mathfrak{p}/(\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(n+1)}\)로 보내면
\[(\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(n)}=\mathfrak{a}(\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(n)}\pmod{\mathfrak{q}^{(n+1)}}\]이고, \(a\in \mathfrak{p}A_\mathfrak{p}=J(A_\mathfrak{p})\)이므로 §정수적 확장, ⁋보조정리 8에 의하여 \((\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(n)}=0\pmod{(\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(n+1)}}\)이다. 즉, \((\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(n)}=(\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(n+1)}\)이다. 이제 이 식을 \(\mathfrak{q}\)에서 localize하면
\[(\mathfrak{q}A_\mathfrak{q})^{n+1}=(\mathfrak{q}A_\mathfrak{q})^{n}\]이고, \(\mathfrak{q}A_\mathfrak{q}=J(A_\mathfrak{q})\)이므로 \((\mathfrak{q}A_\mathfrak{q})^{n}=0\)이다. 이제 §조르단-횔더 정리, ⁋따름정리 8의 둘째 조건과 셋째 조건의 동치로부터 \(A_\mathfrak{q}=A_\mathfrak{q}/(0)\)가 artinian이고, 따라서 따름정리 3으로부터 \(\dim A_\mathfrak{q}=0\)임을 안다.
이제 이를 이용해서 귀납적으로 다음을 보일 수 있다.
정리 7 (Principal Ideal Theorem) Noetherian ring \(A\)와 임의의 \(a_1,\ldots, a_c\in A\)에 대하여, \(\mathfrak{p}\)가 \(a_1,\ldots, a_c\)를 포함하는 prime ideal들 중 minimal인 것이라 하자. 그럼 \(\codim \mathfrak{p}\leq c\)이다.
즉, noetherian ring의 임의의 prime ideal은 descending chain condition을 만족하며, 이 때 \(\mathfrak{p}\)에서 시작하는 chain의 길이는 \(\mathfrak{p}\)의 generator의 개수보다 작거나 같다. 그럼에도 불구하고 무한한 차원을 갖는 noetherian ring이 존재한다. ([Nag, Appendix, Example 1])
한편 정리 7은 다음과 같은 역 또한 존재한다.
따름정리 8 Noetherian ring \(A\)에서, codimension \(c\)의 prime ideal \(\mathfrak{p}\)는 \(c\)개의 원소로 생성되는 어떠한 ideal을 포함하는 prime ideal들 중 minimal한 것이다.
증명
주장과 같이 \(\mathfrak{p}\)가 codimension \(c\)라 하자. 우리는 (\(0\)개의 원소로 생성되는) zero ideal \((0)\)으로부터 시작하여, 원소들 \(x_1,\ldots, x_r\)을 귀납적으로 택하여 원하는 ideal을 만들 것이다. 이제 \(0\leq r< c\)를 만족하는 \(r\)에 대하여, \(x_1,\ldots, x_r\)로 생성되는 ideal을 만들었다 하자. 그럼 우리는 ideal \((x_1,\ldots, x_r)\)을 포함하는 prime ideal들 중 어느 것에도 속하지 않는 적당한 \(x_{r+1}\in \mathfrak{p}\)를 택해야 한다.
이제 \((x_1,\ldots, x_r)\)을 포함하는 minimal prime ideal들이 \(\mathfrak{q}_1,\ldots, \mathfrak{q}_s\)라 하자. 정리 7에 의하여 각 \(\mathfrak{q}_i\)의 codimension은 \(\leq r\)이고, \(r< c\)이므로 이들의 codimension은 모두 \(< c\)이다. 따라서 \(\mathfrak{p}\)는 이들 중 어느 것과도 같을 수 없고, 특히 \(\mathfrak{p}\not\subseteq \bigcup_{i=1}^s \mathfrak{q}_i\)이다. 그러므로 우리는 \(x_{r+1}\in \mathfrak{p}\setminus \bigcup_{i=1}^s \mathfrak{q}_i\)를 택할 수 있다.
이제 귀납적으로 \(\mathfrak{p}\)에 속하는 \(c\)개의 원소 \(x_1,\ldots, x_c\)를 얻는다. 그럼 ideal \((x_1,\ldots, x_c)\)를 포함하는 minimal prime ideal \(\mathfrak{q}\)를 택하면, 정리 7에 의하여 \(\codim \mathfrak{q}\leq c\)이다. 한편 \(\mathfrak{q}\subseteq \mathfrak{p}\)이고 \(\codim \mathfrak{p}=c\)이므로, 반드시 \(\mathfrak{q}=\mathfrak{p}\)이어야 한다.
만일 위의 따름정리에서 \(\codim \mathfrak{p}=0\)이라면, \(\mathfrak{p}\)는 \(0\)개의 원소로 생성되는 ideal, 즉 zero ideal을 포함하는 minimal prime이다. 이제 §동반소아이디얼, ⁋정리 7에 의하여 이러한 prime ideal은 zerodivisor로만 이루어져 있다. 이를 정리 6과 종합하면, 만일 \(\mathfrak{p}\)가 non-zerodivisor \(a\)를 포함하는 minimal prime ideal이라면 \(\codim \mathfrak{p}=1\)이어야 함을 안다.
특별히, non-zerodivisor \(a\)를 포함하는 minimal prime \(\mathfrak{p}\)에 대하여
\[\dim A/\mathfrak{p}A+\codim \mathfrak{p}=\dim \mathfrak{p}+\codim \mathfrak{p}\leq \dim A\]이고, \(\codim \mathfrak{p}=1\)이므로
\[\dim A/\mathfrak{p}A\leq\dim A-1\]이 성립한다.
특별히 noetherian local ring \((A, \mathfrak{m})\)에 대하여는 \(\dim A=\codim \mathfrak{m}\)이 성립함을 살펴보았다. 따라서 \(\codim \mathfrak{m}=d\)이므로, 따름정리 8에 의해 \(\mathfrak{m}\)은 \(d\)개 이상의 원소로 생성되어야 한다.
등급환에서의 차원
Graded ring \(R = \bigoplus_{d \ge 0} R_d\)에서 차원을 계산할 때 유용한 성질들을 살펴보자. 우선 다음 정리를 기억하자. (§등급환의 국소화)
정의 9 Graded ring \(R\)의 ideal \(\mathfrak{a}\)가 homogeneous동차라는 것은 \(\mathfrak{a}\)가 homogeneous element들로 생성되는 것이다. Prime ideal \(\mathfrak{p}\)가 homogeneous prime ideal이라는 것은 \(\mathfrak{p}\)가 homogeneous ideal이면서 prime인 것이다.
Graded ring에서 핵심적인 관찰은 irrelevant ideal \(\mathfrak{m} = \bigoplus_{d > 0} R_d\)를 포함하는 prime ideal들이 항상 homogeneous라는 것이다.
명제 10 Graded ring \(R\)에서 irrelevant ideal \(\mathfrak{m} = \bigoplus_{d > 0} R_d\)를 포함하는 prime ideal \(\mathfrak{p}\)는 homogeneous이다.
증명
\(\mathfrak{p}\)가 prime ideal이고 \(\mathfrak{m} \subseteq \mathfrak{p}\)라 하자. \(\mathfrak{p}\)의 homogenization
\[\mathfrak{p}^* = \{x \in \mathfrak{p} \mid x \text{ homogeneous}\}\]를 생각하자. 이것이 graded prime ideal이 되는 것은 정의에 의해 바로 보일 수 있다. 핵심은 \(\mathfrak{p} = \mathfrak{p}^*\)라는 것이다. 우선 \(\mathfrak{m} \subseteq \mathfrak{p}^* \subseteq \mathfrak{p}\)임은 자명하므로, \(x \in \mathfrak{p}\)를 가정하고 \(x\in \mathfrak{p}^\ast\)임을 보이자.
\(x\)를 homogeneous decomposition \(x = \sum_{d} x_d\)로 쓰자. \(x_+ = \sum_{d > 0} x_d \in \mathfrak{m} \subseteq \mathfrak{p}\)이므로, \(x_0 = x - x_+ \in \mathfrak{p}\)이다. 이제 \(x' = x - x_0 = x_+ \in \mathfrak{p}\)이고, 같은 방식으로 \(x_1 \in \mathfrak{p}\)임을 보일 수 있다. 귀납적으로 각 \(x_d \in \mathfrak{p}\)이고, 따라서 \(x \in \mathfrak{p}^*\)이다.
명제 10으로부터 irrelevant ideal \(\mathfrak{m}\)을 포함하는 prime ideal은 homogeneous하다는 것을 알았다. 반대로 \(\mathfrak{m}\)을 포함하지 않는 homogeneous prime ideal들은 \(\operatorname{Proj} R\)의 점들에 해당한다. 이제 우리는 임의의 prime ideal chain이 homogeneous prime ideal chain으로 refine 가능하다는 것을 보일 것이다.
명제 11 (Graded prime ideal로 refinement) Graded ring \(R\)의 임의의 prime ideal chain은 homogeneous prime ideal chain으로 refine할 수 있다. 즉, prime ideal chain \(\mathfrak{p}_0 \supsetneq \cdots \supsetneq \mathfrak{p}_s\)에 대하여, homogeneous prime ideal chain \(\mathfrak{p}_0^* \supsetneq \mathfrak{p}_1^* \supsetneq \cdots \supsetneq \mathfrak{p}_s^*\)가 존재한다.
증명
Prime ideal chain \(\mathfrak{p}_0 \supsetneq \mathfrak{p}_1 \supsetneq \cdots \supsetneq \mathfrak{p}_s\)을 생각하자. 각 \(\mathfrak{p}_i\)에 대하여 그 homogeneous element들로 생성된 ideal
\[\mathfrak{p}_i^* = \langle f \in \mathfrak{p}_i : f \text{는 homogeneous} \rangle\]을 정의하자. 각 \(\mathfrak{p}_i^*\)는 homogeneous prime ideal이다. 또한 \(\mathfrak{p}_i \supsetneq \mathfrak{p}_{i+1}\)이면 \(\mathfrak{p}_i^* \supseteq \mathfrak{p}_{i+1}^*\)이다.
이제 \(\mathfrak{p}_i^* \supseteq \mathfrak{p}_{i+1}^*\)가 strict inclusion임을 보이자. \(\mathfrak{p}_i \supsetneq \mathfrak{p}_{i+1}\)이므로 \(\mathfrak{p}_i \setminus \mathfrak{p}_{i+1}\)에 속하는 원소 \(f\)가 존재한다. \(f\)를 homogeneous component들의 합 \(f = f_{d_1} + \cdots + f_{d_k}\)로 쓰면, 각 \(f_{d_j}\) 중 적어도 하나는 \(\mathfrak{p}_{i+1}\)에 속하지 않는다 (그렇지 않으면 \(f \in \mathfrak{p}_{i+1}\)). 따라서 이 \(f_{d_j} \in \mathfrak{p}_i^* \setminus \mathfrak{p}_{i+1}^*\)이다.
결론적으로 \(\mathfrak{p}_0^* \supsetneq \mathfrak{p}_1^* \supsetneq \cdots \supsetneq \mathfrak{p}_s^*\)는 homogeneous prime ideal chain이다.
정칙국소환
정의 12 Noetherian local ring \((A, \mathfrak{m})\)이 regular local ring정칙국소환이라는 것은 \(\mathfrak{m}\)이 정확히 \(d\)개의 원소로 생성될 수 있는 것이다.
그럼 §정수적 확장, ⁋보조정리 8에 의하여, \(a_1,\ldots, a_d\in \mathfrak{m}\)의 \(\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2\)에서의 image가 \(\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2\)을 \(A/\mathfrak{m}\)-벡터공간으로서 생성하는 것과 \(a_1,\ldots, a_d\)가 \(\mathfrak{m}\)을 \(A\)-module로서 생성하는 것이 동치이다. 우리는 다음 글의 마지막에서 이들에 대한 성질을 더 살펴본다.
참고문헌
[Eis] David Eisenbud. Commutative Algebra: with a view toward algebraic geometry. Springer, 1995.
[Nag] Masayoshi Nagata. Local Rings. Interscience publishers, 1962.
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