차원의 정의
앞으로의 몇 개의 글에서 우리는 ring의 차원을 정의하고, 그 성질들을 살펴본다. 차원의 정의 자체는 어렵지 않다.
정의 1 Ring \(A\)의 Krull dimension크룰 차원은 \(A\)의 prime ideal들의 descending chain
\[\mathfrak{p}_r\supseteq \mathfrak{p}_{r-1}\supseteq\cdots\supseteq \mathfrak{p}_1\supseteq \mathfrak{p}_0\]의 length \(r\)들의 supremum으로 정의하고, 이를 \(\dim A\)로 적는다. 만일 이러한 \(r\)이 존재하지 않는다면 \(\dim A=\infty\)로 정의한다.
간단히 ring \(A\)의 Krull dimension을 \(A\)의 dimension이라 부른다. 예를 들어, field \(\mathbb{K}\)는 유일한 prime ideal \((0)\)을 가지므로 \(\mathbb{K}\)는 항상 \(0\)차원이다.
더 일반적으로 다음을 정의한다.
정의 2 Ring \(A\)의 ideal \(\mathfrak{a}\)에 대하여, \(\mathfrak{a}\)의 dimension은
\[\dim \mathfrak{a}=\dim A/\mathfrak{a}\]으로 정의한다.
\(A\)의 prime ideal \(\mathfrak{p}\)에 대하여, \(\mathfrak{p}\)의 codimension여차원 \(\codim \mathfrak{p}\)는 \(A_\mathfrak{p}\)의 차원으로 정의하며, 일반적인 ideal \(\mathfrak{a}\)의 경우 \(\codim \mathfrak{a}\)는 \(\mathfrak{a}\)를 포함하는 prime ideal들의 codimension들의 minimum으로 정의한다.
마지막으로, 임의의 \(A\)-module \(M\)에 대하여 \(M\)의 dimension과 codimension을 \(\ann(M)\)의 dimension과 codimension으로 각각 정의한다.
다소 주의할 사항으로, 위의 정의를 따르면 \(\mathfrak{a}\)는 먼저 정의한 ideal로서의 dimension과, 이를 \(A\)-module로 봤을 때의 dimension의 두 가지 정의를 갖게 되는데, 이 두 정의가 주는 값이 다를 수 있다. 따라서 \(\dim \mathfrak{a}\)라는 표기법을 사용할 때에는 정의 2에서 먼저 정의한 것과 같이 \(A\)의 ideal로서의 dimension만 의미하기로 한다.
그럼 §국소화, ⁋명제 8에 의하여 \(\codim \mathfrak{p}\)는 prime ideal \(\mathfrak{p}\)로부터 시작하는 decreasing chain
\[\mathfrak{p}=\mathfrak{p}_r\supseteq \mathfrak{p}_{r-1}\supseteq\cdots\supseteq \mathfrak{p}_1\supseteq \mathfrak{p}_0\]의 길이의 supremum과 같다. 따라서 다음의 부등식
\[\dim \mathfrak{a}+\codim \mathfrak{a}\leq \dim A\]이 성립한다. 그 이름과 다르게 일반적으로 반대방향 부등식은 성립하지 않는다.
한편, local ring \((A, \mathfrak{m})\)에 대하여, \(\dim A\)를 주는 prime ideal들의 chain에는 항상 시작 부분에 \(\mathfrak{m}\)을 끼워넣을 수 있으므로 반드시 \(\dim A=\codim \mathfrak{m}\)이 성립한다.
차원의 계산
일반적으로 차원을 다를 때에는 ring \(A\)가 noetherian인 경우를 주로 다루게 된다. 가장 큰 이유 중 하나는 정리 7이 noetherian ring에서만 성립하기 때문이다. 본격적으로 차원을 계산하기 전에, 간단한 예시를 먼저 살펴보자.
우선 우리는 §조르단-횔더 정리, ⁋정리 4의 첫째 조건과 셋째 조건 사이의 동치를 통해 \(0\)차원의 noetherian ring들이 어떠한 것인지는 정확히 알고 있다.
따름정리 3 Noetherian ring \(A\)에 대하여, \(\dim A =0\)인 것과 \(A\)가 artinian인 것이 동치이다.
한편, 우리는 다음 명제에 의하여, 일반적으로 \(\phi:A \rightarrow B\)가 integral이면 dimension이 변하지 않는다는 것을 안다.
명제 4 \(\phi: A \rightarrow B\)가 integral이라 하자. 그럼 \(\ker\phi\)를 포함하는 \(A\)의 임의의 prime ideal \(\mathfrak{p}\)에 대하여, \(\mathfrak{p}=\phi^{-1} \mathfrak{q}\)이도록 하는 \(B\)의 prime ideal \(\mathfrak{q}\)이 존재한다. 뿐만 아니라, \(B\)의 임의의 ideal \(\mathfrak{b}\)에 대하여 \(\dim \mathfrak{b}=\dim \phi^{-1} \mathfrak{b}\)이다.
증명
첫 번째 결과는 단순히 §정수적 확장과 아이디얼, ⁋명제 1이다. 두 번째 결과의 경우, \(\dim \mathfrak{b}\geq \dim \phi^{-1}\mathfrak{b}\)는 §정수적 확장과 아이디얼, ⁋명제 1의 두 번째 결과에 의해 성립하고, 반대방향 부등식은 §정수적 확장과 아이디얼, ⁋따름정리 4에 의해 성립한다.
이제 우리는 관심을 돌려 1차원에서 일어나는 일들을 살펴본다. 그 전에 다소 기술적인 다음의 정의를 내린다.
정의 5 Prime ideal \(\mathfrak{p}\subseteq A\)에 대하여, \(\mathfrak{p}\)의 \(n\)th symbolic power \(\mathfrak{p}^{(n)}\)을 다음 식
\[\mathfrak{p}^{(n)}=\{a\in A\mid\text{$ba\in \mathfrak{p}^n$ for some $b\in A\setminus \mathfrak{p}$}\}\]으로 정의한다.
정의에 의해 \(\mathfrak{p}^{(n)}\)은 localization \(A \rightarrow A_\mathfrak{p}\)을 통해 ideal \((\mathfrak{p}A_\mathfrak{p})^n\)을 \(A\)로 옮겨온 것이다. 그럼 \(\mathfrak{p}\) 바깥에 있는 원소들은 modulo \(\mathfrak{p}^({n})\)으로 non-zerodivisor가 되며, \(\mathfrak{p}^{(n)}A_\mathfrak{p}=(\mathfrak{p}A_\mathfrak{p})^n\)임이 자명하다. 또, symbolic power들의 descending chain
\[A=\mathfrak{p}^{(0)}\supseteq \mathfrak{p}=\mathfrak{p}^{(1)}\supseteq \mathfrak{p}^{(2)}\supseteq \mathfrak{p}^{(3)}\supseteq\cdots\]이 존재한다.
이제 다음 정리를 보일 수 있다.
정리 6 (Codimension one Principal Ideal Theorem) Noetherian ring \(A\)와 임의의 \(a\in A\)에 대하여, \(\mathfrak{p}\)가 principal ideal \(\mathfrak{a}=(a)\)를 포함하는 prime ideal들 중 minimal인 것이라 하자. 그럼 \(\codim \mathfrak{p}\leq 1\)이다.
증명
임의의 prime ideal \(\mathfrak{q}\subsetneq \mathfrak{p}\)에 대하여 \(\codim \mathfrak{q}=0\)임을 보이면 충분하며, 이는 다시 §국소화, ⁋명제 8에 의하여 \(\dim A_\mathfrak{q}=0\)임을 보이면 된다.
이제 \(A_\mathfrak{p}\)에서 \(\mathfrak{p}A_\mathfrak{p}\)는 유일한 maximal ideal이므로, \(\mathfrak{p}\)는 ideal들 \(\mathfrak{q}A_\mathfrak{p}\), \((\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(n)}\), \(\mathfrak{a}A_\mathfrak{p}\)가 이 maximal ideal에 포함된다. 특히 우리는 다음의 두 chain
\[\mathfrak{a}A_\mathfrak{p}\subseteq (\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(n)}+\mathfrak{a}A_\mathfrak{p}\subseteq \mathfrak{p}A_\mathfrak{p},\qquad \mathfrak{q}A_\mathfrak{p}\subseteq \mathfrak{p}A_\mathfrak{p}\]을 얻는다. 한편 \(\mathfrak{p}A_\mathfrak{p}\)가 \(\mathfrak{a}A_\mathfrak{p}\)를 포함하는 prime ideal들 중 minimal하므로, §조르단-횔더 정리, ⁋따름정리 8에 의하여 \(A_\mathfrak{p}/\mathfrak{a}A_\mathfrak{p}\)는 artinian이다. 이로부터 symbolic power들로 이루어진 descending chain
\[(\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(1)}+\mathfrak{a}A_\mathfrak{p}\supseteq (\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(2)}+\mathfrak{a}A_\mathfrak{p}\supseteq\cdots\]이 멈춰야 한다는 것을 안다. 따라서 \((\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(n)}+\mathfrak{a}A_\mathfrak{p}= (\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(n+1)}+\mathfrak{a}A_\mathfrak{p}\)라 하자. 그럼
\[(\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(n)}\subseteq (\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(n)}+\mathfrak{a}A_\mathfrak{p}= (\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(n+1)}+\mathfrak{a}A_\mathfrak{p}\]이므로, 임의의 \(f\in (\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(n)}\)는 다음의 꼴
\[f=\alpha a+g,\qquad g\in (\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(n+1)}=(\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(n)}\]로 적을 수 있고 이로부터 \(\alpha a\in (\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(n)}\)이어야 한다. 그런데 이 표현에서 \(\mathfrak{p}\)는 \(\mathfrak{a}\)를 포함하는 prime들 중 minimal한 것이므로, \(a\not\in \mathfrak{q}\)이고 따라서 \(\alpha\in (\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(n)}\)이어야 한다. 즉, 다음의 식
\[(\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(n)}=\mathfrak{a}(\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(n)}+(\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(n+1)}\]이 성립한다. 이제 이들을 \(A_\mathfrak{p}/(\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(n+1)}\)로 보내면
\[(\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(n)}=\mathfrak{a}(\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(n)}\pmod{\mathfrak{q}^{(n+1)}}\]이고, \(a\in \mathfrak{p}A_\mathfrak{p}=J(A_\mathfrak{p})\)이므로 §정수적 확장, ⁋보조정리 8에 의하여 \((\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(n)}=0\pmod{(\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(n+1)}}\)이다. 즉, \((\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(n)}=(\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(n+1)}\)이다. 이제 이 식을 \(\mathfrak{q}\)에서 localize하면
\[(\mathfrak{q}A_\mathfrak{q})^{n+1}=(\mathfrak{q}A_\mathfrak{q})^{n}\]이고, \(\mathfrak{q}A_\mathfrak{q}=J(A_\mathfrak{q})\)이므로 \((\mathfrak{q}A_\mathfrak{q})^{n}=0\)이다. 이제 §조르단-횔더 정리, ⁋따름정리 8의 둘째 조건과 셋째 조건의 동치로부터 \(A_\mathfrak{q}=A_\mathfrak{q}/(0)\)가 artinian이고, 따라서 따름정리 3으로부터 \(\dim A_\mathfrak{q}=0\)임을 안다.
이제 이를 이용해서 귀납적으로 다음을 보일 수 있다.
정리 7 (Principal Ideal Theorem) Noetherian ring \(A\)와 임의의 \(a_1,\ldots, a_c\in A\)에 대하여, \(\mathfrak{p}\)가 \(a_1,\ldots, a_c\)를 포함하는 prime ideal들 중 minimal인 것이라 하자. 그럼 \(\codim \mathfrak{p}\leq c\)이다.
즉, noetherian ring의 임의의 prime ideal은 descending chain condition을 만족하며, 이 때 \(\mathfrak{p}\)에서 시작하는 chain의 길이는 \(\mathfrak{p}\)의 generator의 개수보다 작거나 같다. 그럼에도 불구하고 무한한 차원을 갖는 noetherian ring이 존재한다. ([Nag, Appendix, Example 1])
한편 정리 7은 다음과 같은 역 또한 존재한다.
따름정리 8 Noetherian ring \(A\)에서, codimension \(c\)의 prime ideal \(\mathfrak{p}\)는 \(c\)개의 원소로 생성되는 어떠한 ideal을 포함하는 prime ideal들 중 minimal한 것이다.
증명
주장과 같이 \(\mathfrak{p}\)가 codimension \(c\)라 하자. 우리는 (\(0\)개의 원소로 생성되는) zero ideal \((0)\)으로부터 시작하여, 원소들 \(x_1,\ldots, x_r\)을 귀납적으로 택하여 원하는 ideal을 만들 것이다. 이제 \(0\leq r< c\)를 만족하는 \(r\)에 대하여, \(x_1,\ldots, x_r\)로 생성되는 ideal을 만들었다 하자. 그럼 우리는 ideal \((x_1,\ldots, x_r)\)을 포함하는 prime ideal들 중 어느 것에도 속하지 않는 적당한 \(x_{r+1}\in \mathfrak{p}\)를 택해야 한다. 이제 이는
만일 위의 따름정리에서 \(\codim \mathfrak{p}=0\)이라면, \(\mathfrak{p}\)는 \(0\)개의 원소로 생성되는 ideal, 즉 zero ideal을 포함하는 minimal prime이다. 이제 §동반소아이디얼, ⁋정리 7에 의하여 이러한 prime ideal은 zerodivisor로만 이루어져 있다. 이를 정리 6과 종합하면, 만일 \(\mathfrak{p}\)가 non-zerodivisor \(a\)를 포함하는 minimal prime ideal이라면 \(\codim \mathfrak{p}=1\)이어야 함을 안다.
특별히, non-zerodivisor \(a\)를 포함하는 minimal prime \(\mathfrak{p}\)에 대하여
\[\dim A/\mathfrak{p}A+\codim \mathfrak{p}=\dim \mathfrak{p}+\codim \mathfrak{p}\leq \dim A\]이고, \(\codim \mathfrak{p}=1\)이므로
\[\dim A/\mathfrak{p}A\leq\dim A-1\]이 성립한다.
특별히 noetherian local ring \((A, \mathfrak{m})\)에 대하여는 \(\dim A=\codim \mathfrak{m}\)이 성립함을 살펴보았다. 따라서 \(\codim \mathfrak{m}=d\)이므로, 따름정리 8에 의해 \(\mathfrak{m}\)은 \(d\)개 이상의 원소로 생성되어야 한다.
정의 9 Noetherian local ring \((A, \mathfrak{m})\)이 regular local ring정칙국소환이라는 것은 \(\mathfrak{m}\)이 정확히 \(d\)개의 원소로 생성될 수 있는 것이다.
그럼 §정수적 확장, ⁋보조정리 8에 의하여, \(a_1,\ldots, a_d\in \mathfrak{m}\)의 \(\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2\)에서의 image가 \(\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2\)을 \(A/\mathfrak{m}\)-벡터공간으로서 생성하는 것과 \(a_1,\ldots, a_d\)가 \(\mathfrak{m}\)을 \(A\)-module로서 생성하는 것이 동치이다. 우리는 다음 글의 마지막에서 이들에 대한 성질을 더 살펴본다.
참고문헌
[Eis] David Eisenbud. Commutative Algebra: with a view toward algebraic geometry. Springer, 1995.
[Nag] Masayoshi Nagata. Local Rings. Interscience publishers, 1962.
댓글남기기