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Grad. student in mathematics

우리는 앞서 differential form들의 모임이 \(C^\infty(M)\)-algebra가 된다는 것을 확인했다. 대수적으로 이 모임의 아이디얼을 생각할 수 있으며, 뿐만 아니라 이 모임 \(\Omega^\ast(M)\)은 dg-algebra였으므로 정확한 맥락에서는 지금 정의할 differential ideal을 생각하는 것이 더 자연스럽다.

미분 아이디얼의 정의

우선 다음 정의부터 시작한다.

정의 1 Manifold \(M\) 위에 정의된 \(k\)차원 distribution \(\mathcal{D}\)를 생각하자. \(l\)-form \(\omega\)가 \(\mathcal{D}\)를 annihilate한다는 것은 각각의 \(p\in M\)에 대하여

\[\omega_p(v_1,\ldots, v_l)=0,\qquad v_i\in\mathcal{D}(p)\]

이 성립하는 것이다. 더 일반적으로, 임의의 form \(\omega\)가 \(\mathcal{D}\)를 annihilate한다는 것은 \(\omega\)의 homogeneous part들이 각각 \(\mathcal{D}\)를 annihilate하는 것이다.

이 때, \(\mathcal{D}\)를 annihilate하는 differential form들의 모임을

\[\mathcal{I}(\mathcal{D})=\{\omega\in\Omega^\ast(M)\mid\text{$\omega$ annihilates $\mathcal{D}$}\}\]

으로 정의한다.

명제 2 Manifold \(M\) 위에 정의된 \(k\)차원 distribution \(\mathcal{D}\)를 생각하자.

  1. \(\mathcal{I}(\mathcal{D})\)는 \(\Omega^\ast(M)\)의 ideal이다.
  2. \(\mathcal{I}(\mathcal{D})\)는 국소적으로 \(m-k\)개의 1-form들로 생성된다.
  3. 만일 \(\mathcal{I}\)가 위의 두 조건을 만족하는 ideal이라면, 유일한 \(k\)차원 distribution \(\mathcal{D}\)가 존재하여 \(\mathcal{I}=\mathcal{I}(\mathcal{D})\)이도록 할 수 있다.
증명

첫째 주장은 정의로부터 자명하다.

둘째 주장을 보이기 위해, \(p\in M\)이라 하자. 그럼 \(p\) 근방에서 \(\mathcal{D}\)를 생성하는 independent한 벡터장들 \(X_{m-k+1},\ldots, X_m\)이 존재한다. 이제 이 집합에 벡터장들 \(X_1,\ldots, X_{m-k}\)를 추가하여 \(\{X_1,\ldots, X_m\}\)이 \(p\)의 근방 \(U\)에서 tangent space들의 local basis가 된다고 하자. 그럼 이들의 dual을 취하여 \(1\)-form들 \(\omega_1,\ldots, \omega_m\)을 얻을 수 있으며, 이 때

\[\omega_i(X_j)=\delta_{ij}\]

이므로 \(\omega_1,\ldots,\omega_{m-k}\)들이 원하는 \(1\)-form들이 된다는 것을 쉽게 보일 수 있다.

셋째 주장은 위의 증명들을 거꾸로 뒤집으면 된다.

\(\Omega^\ast(M)\)는 differential graded algebra이므로, ideal들 또한 differential \(d:\Omega^\ast(M)\rightarrow\Omega^\ast(M)\)에 대해서도 닫혀있는 것들에 관심을 가지는 것이 자연스럽다.

정의 3 \(\Omega^\ast(M)\)의 ideal \(\mathcal{I}\)가 differential ideal미분 아이디얼이라는 것은 \(\mathcal{I}\)가 \(d\)에 대하여 닫혀있는 것이다.

Differential ideal과 프로베니우스 정리

이제 우리는 앞선 글에서 살펴본 프로베니우스 정리를 differential form의 언어로 서술한다. 이는 별다른 것은 아니고, 벡터장에 대한 것을 그 dual \(1\)-form들에 대한 것으로 바꾸는 것에 불과하다.

명제 4 Manifold \(M\) 위에 정의된 distribution \(\mathcal{D}\)에 대하여, \(\mathcal{D}\)가 involutive인 것과 \(\mathcal{I}(\mathcal{D})\)가 differential ideal인 것이 동치이다.

정의 5 Manifold \(M\)과 submanifold \(\Phi:N\rightarrow M\)에 대하여, \(N\)이 ideal \(\mathcal{I}\)의 integral manifold인 것은 임의의 \(\omega\in\mathcal{I}\)에 대하여 \((d\Phi)^\ast(\omega)\equiv 0\)이 성립하는 것이다.

그럼 이러한 조건에서 프로베니우스 정리는 다음과 같이 쓸 수 있다.

정리 6 \(m\)차원 manifold \(M\)과, \(m-k\)개의 independent 1-form들로 생성된 differential ideal \(\mathcal{I}\)가 주어졌다 하자. 그럼 각각의 \(p\in M\)마다, \(p\)를 지나는 \(\mathcal{I}\)의 integral manifold가 존재하며, 이 때 integral manifold는 \(k\)차원이다.

그래프와 differential form

다음 정리는 리 군과 리 대수 사이의 관계를 탐구하는 데에 중요하게 사용된다.

정리 7 두 manifold \(M^m,N^n\)이 주어졌다 하고, \(\pi_1:N\times M\rightarrow N\)과 \(\pi_2:N\times M\rightarrow M\)이 각각 canonical projection이라 하자. 또, \(M\)에서 정의된 1-form들의 모임이 basis \(\{\omega_1,\ldots,\omega_m\}\)을 갖는다 가정하자.

  1. 임의의 \(f:N\rightarrow M\)에 대하여, \(\graph(f)\)는 다음의 집합

    \[\{(d(f\circ \pi_1))^\ast(\omega_i)-(d\pi_2)^\ast(\omega_i)\mid i=1,\ldots, m\}\]

    으로 생성되는 ideal \(\mathcal{I}\)의 integral manifold이다.

  2. \(N\) 위의 1-form들 \(\alpha_1,\ldots,\alpha_m\)에 대하여, 다음의 집합

    \[\{(d\pi_1)^\ast(\alpha_i)-(d\pi_2)^\ast(\omega_i)\mid i=1,\ldots,m\}\]

    으로 생성되는 ideal이 differential ideal이라 가정하자. 그럼 임의의 \(q_0\in N,p_0\in M\)이 주어질 때마다, \(q_0\)의 적당한 열린근방 \(U\)와, \(f(q_0)=p_0\)을 만족하는 \(C^\infty\) 함수 \(f:U\rightarrow M\)이 존재하여

    \[(df)^\ast(\omega_i)=\alpha_i|_U\]

    가 성립하도록 할 수 있다.

증명

간단히 흐름만 소개한다.

  1. 우선 §미분다양체의 예시들, ⁋예시 5를 따라 다음의 집합

    \[\graph(f)=\{(p,q)\mid f(p)=q\}\]

    이 \(N\times M\)의 submanifold가 된다는 것을 보인다. 이 때 inclusion map은 자연스러운 함수

    \[\iota:\graph(f)\rightarrow N\times M;\qquad (p,q)\mapsto (p,q)\]

    로 주어진다. 이제 \(\mathcal{I}\)가 이를 integral manifold로 갖는다는 것을 증명하려면 주어진 form들

    \[\mu_i:=(d(f\circ\pi_1))^\ast(\omega_i)-(d\pi_2)^\ast(\omega_i)\]

    이 \((d\iota)^\ast(\omega_i)=0\)을 만족한다는 것을 보여야 한다. 이는

    \[(d\iota)^\ast(\mu_i)=(d(\pi_1\circ\iota))^\ast(df)^\ast(\omega_i)-(d(\pi_2\circ\iota))^\ast(\omega_i)=(df)^\ast(\omega_i)-(df)^\ast(\omega_i)=0\]

    으로부터 분명하다.

  2. 주어진 form들의 집합으로 생성되는 ideal을 \(\mathcal{I}\)라 하자. 그럼 프로베니우스 정리에 의하여, \(\mathcal{I}\)는 \((m+n)-m=c\)차원의 integral manifold \(I\)를 갖는다. 이후, 임의의 점 \(q\in I\)에 대하여, \(d\pi_1\)을 \(I_q\)로 제한한 것이 전단사함수임을 보이면 된다.

참고문헌

[War] Frank W. Warner. Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Graduate texts in mathematics, Springer, 2013
[Lee] John M. Lee. Introduction to Smooth Manifolds, Graduate texts in mathematics, Springer, 2012

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