부분공간

부분공간의 정의

대수적인 구조를 다룰 때와 마찬가지로, 집합 \(X\) 위에 위상구조를 준 후에는 이 구조가 부분집합 \(A\subseteq X\)에는 어떠한 방식으로 제한되는지를 살펴보는 것이 자연스럽다. 가장 먼저 드는 생각은 \(X\)의 열린집합들 가운데, \(A\)에 포함된 열린집합들만 추려 이들을 위상공간 \(A\)의 열린집합들로 정의하는 것이다. 그러나 이 시도는 실패할 수밖에 없는데, \(A\)가 \(X\)에서 열린집합이 아니라면, 전체집합 \(A\)부터가 이 모임에 속하지 않기 때문이다.

정의 1 위상공간 \((X,\mathcal{T})\)와, \(X\)의 부분집합 \(A\)가 주어졌다 하자. 이 때, \(\iota:A\hookrightarrow X\)에 의해 \(A\) 위에 정의되는 initial topology를 \(A\) 위에 정의된 부분위상_{subspace topology}이라 부른다.

\(X\)의 임의의 열린집합 \(U\)에 대하여, \(\iota^{-1}(U)=U\cap A\)이고, 임의의 열린집합들의 family \((U_i)_{i\in I}\)에 대해

\[\iota^{-1}\left(\bigcup_{i\in I} U_i\right)=\left(\bigcup_{i\in I} U_i\right)\cap A=\bigcup_{i\in I} (U_i\cap A)=\bigcup_{i\in I} \iota^{-1}(U)\]

그리고 열린집합들의 유한한 family \((U_i)_{i\in I}\)에 대하여

\[\iota^{-1}\left(\bigcap_{i\in I} U_i\right)=\left(\bigcap_{i\in I} U_i\right)\cap A=\bigcap_{i\in I} (U_i\cap A)=\bigcap_{i\in I} \iota^{-1}(U)\]

이 성립하므로 §Initial topology와 final topology, ⁋명제 2에 의하여 부분위상 \(\mathcal{T}_A\)는 다음의 식

\[\mathcal{T}_A=\{U\cap A\mid U\in\mathcal{T}\}\]

으로 주어진다는 것을 알 수 있다. [Mun]과 같은 책에서는 아예 이를 부분공간의 정의로 삼기도 한다. 이로부터 만약 \(A\subseteq B\subseteq X\)라면, \(A\)를 \(X\)의 부분공간으로 생각하든, 혹은 부분위상이 주어진 \(B\subseteq X\)의 부분공간으로 생각하든 동일한 공간이 된다는 것을 알 수 있다.

부분공간을 다룰 때 주의해야 하는 것은 어떤 집합이 \(\mathcal{T}_A\)에서 열린집합이라 하더라도 \(\mathcal{T}\)에서는 열린집합이 아닐 수 있다는 것이다.

이러한 상황은 \(A\)가 열린집합이었다면 쉽게 해결된다.

보조정리 2 위상공간 \(X\)의 부분공간 \(A\)에 대하여, \(A\)의 모든 열린집합이 \(X\)에서도 열린집합일 필요충분조건은 \(A\)가 \(X\)의 열린집합인 것이다.

증명

\(A\)는 \(A\)에서 열린집합이므로 한쪽 방향은 자명하다.

반대 방향의 경우, \(A\)의 임의의 열린집합을 택하면 이를 \(U\cap A\)로 쓸 수 있도록 하는 \(X\)의 열린집합 \(U\)가 존재하는데, \(A\) 또한 열린집합이므로 \(U\cap A\)도 열린집합이 된다.

어렵지 않게 부분공간 \(A\)에서의 닫힌집합은 정확하게 \(X\)의 닫힌집합 \(C\)에 대하여, \(A\cap C\)의 꼴로 나타나는 집합들임을 알 수 있다. 닫힌집합의 경우에도 위의 예시와 같은 상황이 생길 수 있는데, 이를 해결하는 방법 또한 마찬가지로 간단하다.

보조정리 3 위상공간 \(X\)의 부분공간 \(A\)에 대하여, \(A\)의 모든 닫힌집합이 \(X\)에서도 닫힌집합일 필요충분조건은 \(A\)가 \(X\)의 닫힌집합인 것이다.

증명

\(A\)는 \(A\)에서 닫힌집합이므로 한쪽 방향은 자명하다.

반대 방향의 경우, \(A\)의 임의의 닫힌집합을 택하면 이를 \(U\cap A\)로 쓸 수 있도록 하는 \(X\)의 닫힌집합 \(U\)가 존재하는데, \(A\) 또한 닫힌집합이므로 \(U\cap A\)도 닫힌집합이 된다.

우리는 지금까지 모든 위상적 성질을 근방이라는 개념을 통해 정의해왔었는데, 이 또한 위의 보조정리들과 마찬가지로 올바르게 수정해줄 수 있다.

보조정리 4 위상공간 \(X\)의 부분공간 \(A\)와 임의의 \(x\in A\)에 대하여, 모든 \(A\)에서의 \(x\)의 근방이 \(X\)에서도 \(x\)의 근방일 필요충분조건은 \(A\)가 \(X\)에서 \(x\)의 근방인 것이다.

증명

\(A\)는 \(A\)에서 \(x\)의 근방이므로 한쪽 방향은 자명하다.

반대 방향의 경우, \(x\)의 \(A\)에서의 임의의 근방 \(U\)을 택하자. 그럼 \(U\)에 포함되는 \(x\)의 (\(A\)에서의) 열린근방 \(U'\)가 존재한다. 한편 \(A\)가 \(X\)에서 \(x\)의 근방이라면, \(A\)에 포함되는 (\(X\)에서의) \(x\)의 열린근방 \(V\)가 존재한다. 이제 \(U'\cap V\)는 공집합이 아닌 부분집합이고, \(U'\cap V\subseteq V\)이고 \(U'\cap V\)는 \(X\)에서 \(x\)의 열린근방이므로 \(V\)는 \(X\)에서의 \(x\)의 근방이다.

이 보조정리들을 통하여 지금까지 살펴본 개념들을 부분공간으로 제한할 수 있다.

명제 5 위상공간 \(X\)와 부분집합들 \(A\subseteq B\subseteq X\)를 생각하자. 그럼 \(B\)에 대한 \(A\)의 closure \(\cl_BA\)는

\[\cl_BA=B\cap\cl_XA\]

와 같다.

증명

임의의 \(x\in B\)에 대하여, \(x\)의 \(B\)에서의 근방은 항상 \(x\)의 \(X\)에서의 적당한 근방 \(V\)에 대하여 \(V\cap B\)의 형태로 쓰여진다. 이제 \(V\cap A=(V\cap B)\cap A\)와 §집합의 내부, 폐포, 경계, ⁋명제 6을 사용하면 원하는 결과를 얻는다.

따라서 \(A\subseteq B\subseteq X\)에 대하여, \(A\)가 \(B\)의 dense subset인 것은

\[B=\cl_BA=B\cap\cl_XA\]

인 것과 동치이고, 다시 이로부터 \(B\subseteq\cl_XA\)인 것과 동치임을 알 수 있다.

명제 6 위상공간 \(X\)와, \(X\)의 부분집합들 \((A_i)_{i\in I}\)가 주어졌다 하고, 다음 두 조건 중 하나가 성립한다 하자.

1. \(X=\bigcup_{i\in I}\interior(A_i)\)가 성립하거나,
2. \((A_i)_{i\in I}\)가 \(X\)의 locally finite, closed covering이다.

그럼 \(X\)의 임의의 부분집합 \(B\)가 \(X\)에서 열린집합 (resp. 닫힌집합)인 것은 모든 \(A_i\)에 대하여 \(B\cap A_i\)가 \(A_i\)에서 열린집합 (resp. 닫힌집합)인 것과 동치이다.

증명

우선

\[X\setminus B\cap A_i=A_i\setminus (B\cap A_i)\]

으로부터, 이 명제는 열린집합 혹은 닫힌집합 중 하나에 대해서만 보이면 충분하다. 또, \(B\)가 \(X\)에서 열린집합이라면 \(B\cap A_i\)가 \(A_i\)에서 열린집합인 것은 정의이므로, 이 명제의 핵심은 반대방향이다.

1. \((A_i)\)들이 첫 번째 조건을 만족한다 하고, \(B\cap A_i\)가 \(A_i\)에서 열린집합임을 가정하자. \(A_i\)를 전체집합으로 보고, \(\interior A_i\)를 부분공간으로 본다면 이로부터 \(B\cap\interior A_i\)가 \(\interior A_i\)에서 열린집합임을 안다. 이제 \(\interior A_i\)는 열린집합이므로, 보조정리 2를 적용하면 \(B\cap\interior A_i\)는 \(X\)에서 열린집합임을 안다. 따라서

   \[B=B\cap X=B\cap\left(\bigcup_{i\in I} \interior A_i\right)=\bigcup_{i\in I}(B\cap\interior A_i)\]

   으로부터 \(B\)는 열린집합임을 안다.

2. 이제 \((A_i)\)가 두 번째 조건을 만족한다 하자. 이번에는 \(B\cap A_i\)들이 모두 \(A_i\)에서 닫힌집합임을 가정한다. 그럼 \(B\cap A_i\)는 보조정리 3에 의하여 \(X\)에서 닫힌 집합이다. 이제 \((B\cap A_i)\)는 locally finite인 닫힌집합들의 모임이며, \(B=\bigcup (B\cap A_i)\)이므로 §집합의 내부, 폐포, 경계, ⁋명제 4에 의하여 \(B\)는 닫힌집합이다.

부분공간과 연속함수

위상공간 \(X,Y\)와 함수 \(f:X\rightarrow Y\)가 주어졌다 하자. 그럼 \(f(X)\subseteq B\subseteq Y\)를 만족하는 집합 \(Y\)에 대하여, \(f\)의 공역을 \(B\)로 제한하여 얻어진 함수는 연속이다. 이는 정의 1과 §Initial topology와 final topology^†, ⁋명제 3에 의하여 자명하다.

이번에는 위와 같은 상황에서, \(X\)의 부분집합 \(A\)가 주어졌다 하자. 그럼 \(f:X\rightarrow Y\)를 \(A\)로 제한한 함수 \(f\vert_A\)는 \(\iota:A\hookrightarrow X\)에 대하여 \(f\circ\iota\)와 같다. 이는 연속함수 둘의 합성이므로 자명하게 \(f\vert_A\) 또한 연속임을 확인할 수 있다. 그러나 일반적으로 그 역은 성립하지 않는다.

예시 7 두 위상공간 사이의 함수 \(f:X\rightarrow Y\)가 연속이 아니라 하자. 임의의 \(x\in X\)에 대하여, \(A=\{x\}\)으로 두면 \(f\vert_A\)는 연속이다. 이는 \(Y\)의 임의의 열린집합 \(U\)에 대하여, \(f^{-1}(U)\)는 항상 공집합 혹은 \(\{x\}\)이기 때문이다.

그 대신, 만일 집합 \(A\)가 \(x\)의 근방이었다면, \(f\vert_A\)가 점 \(x\in X\)에서 연속이라는 것으로부터 \(f\)가 \(x\)에서 연속이라는 것을 유도해낼 수 있다. 보조정리 4에 의하여 \(x\)의 \(A\)에서의 근방은 항상 \(X\)에서의 근방으로 볼 수도 있기 때문이다. 이 논증을 사용하여 함수 \(f\)가 모든 점에서 연속이라는 것을 보이기 위해서는 임의의 \(x\in X\)마다 근방 \(N(x)\)를 잡아 \(f\vert_{N(x)}\)가 반드시 연속이라는 것을 증명해야 하지만, 다음 명제에 의하여 이보다 약한 정보만을 갖고서도 \(f\)가 연속이라는 것을 증명할 수 있다.

명제 8 위상공간 \(X\)와, 명제 6의 조건 중 하나를 만족하는 부분집합들의 모임 \((A_i)_{i\in I}\)가 주어졌다 하자. 그럼 위상공간 \(Y\)로의 임의의 함수 \(f:X\rightarrow Y\)가 연속인 것은 \(f\vert_{A_i}\)가 모두 연속인 것과 동치이다.

증명

\(f\vert_{A_i}\)가 모두 연속이라 가정하고 \(f\)가 연속이라는 것만 보이면 충분하다. \(Y\)의 임의의 닫힌집합 \(B\)를 택하고, \(A=f^{-1}(B)\)라 하자. \(f\vert_{A_i}\)가 모두 연속이므로, \((f\vert_{A_i})^{-1}(B)=A\cap A_i\)는 모두 닫힌집합이다. 이로부터 명제 6을 적용하면 \(A\)가 닫힌집합임을 알 수 있고, 따라서 \(f\)는 연속이다.