이제 우리는 몫집합 위에 위상을 정의하는 방법을 살펴본다. ([집합론] §동치관계, ⁋정의 6)
Locally closed subspace
정의 1 위상공간 \(X\)가 주어졌다 하자. 부분집합 \(A\)가 \(x\in A\)에서 locally closed라는 것은 \(X\)에서 \(x\)의 근방 \(V\)가 존재하여, \(A\cap V\)가 \(V\)에서 닫힌집합인 것이다. 만약 \(A\)가 모든 \(x\in A\)에서 locally closed라면 \(A\) 자체를 locally closed라 부른다.
명제 2 위상공간 \(X\)와 부분집합 \(A\)에 대하여 다음이 모두 동치이다.
- \(A\)가 \(X\)에서 locally closed이다.
- \(A\)은 \(X\)의 열린집합과 닫힌집합의 교집합이다.
- \(A\)은 자기 자신의 (\(X\)에서의) closure \(\cl A\)에 대하여 열린집합이다.
증명
우선 \(A\)가 locally closed라 하고, 임의의 \(x\in A\)에 대하여 정의 1의 조건을 만족하는 \(X\)에서의 \(x\)의 열린근방을 \(V_x\)라 하자. 그럼 \(U=\bigcup_{x\in A} V_x\)는 열린집합이다. 또, §부분공간, ⁋명제 6 (1)을 적용하면 \(A\)는 \(U\)에서 닫힌집합임을 안다. 따라서 \(X\)의 적당한 닫힌집합 \(C\)에 대하여 \(A=U\cap C\)이므로 둘째 조건이 성립한다.
이제 \(X\)의 열린집합 \(U\)와 닫힌집합 \(C\)에 대하여 \(A=U\cap C\)가 성립한다고 가정하자. 그럼 \(\cl A\subseteq C\)이므로,
\[A\subseteq U\cap\cl A\subseteq U\cap C=A\]가 성립하고, 특히 \(A=U\cap\cl A\)이다. 이로부터 \(A\)가 \(\cl A\)의 열린집합임을 안다.
마지막으로 만일 \(A=U\cap\cl A\)를 만족하는 \(X\)의 열린집합 \(U\)가 존재한다면, \(A\)는 집합 \(U\)의 닫힌집합이고 따라서 locally closed이다.
특히 2번 조건으로부터, 연속함수 \(f:X\rightarrow Y\)와 \(Y\)의 locally closed subset \(B\)가 주어졌다면 \(f^{-1}(B)\) 또한 \(X\)에서 locally closed임을 알 수 있다.
몫공간
정의 3 위상공간 \(X\)가 주어졌다 하고, 집합 \(X\) 위에 동치관계 \(R\)이 주어졌다 하자. 그럼 \(R\)에 의한 \(X\)의 몫공간quotient space은 canonical projection \(p:X\rightarrow X/R\)에 의해 정의되는 final topology가 주어진 공간 \(X/R\)을 의미한다.
§Initial topology와 final topology, ⁋명제 5에 의하여 \(X/R\)에서의 열린집합은 정확하게 \(p^{-1}(U)\)가 \(X\)에서 열린집합이도록 하는 집합을 의미한다.1 [집합론] §동치관계의 예시들, ⁋정의 5의 언어로 이를 풀어쓰면, \(X/R\) 위의 열린집합들은 \(R\)에 대해 saturated인 \(X\)의 열린집합에 일대일로 대응된다는 것을 확인할 수 있다.
한편 §Initial topology와 final topology, ⁋명제 6에 의하여 다음이 성립한다.
명제 4 위상공간 \(X\)와 몫공간 \(X/R\), 그리고 canonical projection \(p:X\rightarrow X/R\)이 주어졌다 하자. 임의의 위상공간 \(Y\)에 대하여, 함수 \(f:X/R\rightarrow Y\)가 연속인 것은 \(f\circ p\)가 \(X\)에서 \(Y\)로의 연속함수인 것과 동치이다.
명제 5 위상공간 \(X\)와, \(X\) 위에 정의된 두 동치관계 \(R,S\)를 생각하자. 만일 \(S\)가 \(R\)보다 세밀한 동치관계라면, \(X/S\) 위에 정의된 동치관계 \(R/S\)에 대하여 전단사함수 \((X/S)/(R/S)\rightarrow X/R\)는 homeomorphism이 된다.
증명
\((X/S)/(R/S)\rightarrow X/R\)이 전단사함수가 되는 것은 [집합론] §동치관계의 예시들, ⁋정의 8에서 이미 보인 것이다. 명제 4에 의하여, 이 함수가 연속인 것은 \(X/S\rightarrow X/R\)이 연속인 것과 동치이고, 다시 이 함수의 연속성은 \(X\rightarrow X/R\)이 연속인 것으로부터 얻어진다.
이와 유사하게 \(X/R\rightarrow(X/S)/(R/S)\)의 연속성은 \(X\rightarrow(X/S)/(R/S)\)의 연속성으로부터 얻어지며, 이 함수는 두 연속함수의 합성
\[X\longrightarrow X/S\longrightarrow (X/S)/(R/S)\]과 같으므로 연속이다.
한편 위상공간 \(X,Y\)와 연속함수 \(f:X\rightarrow Y\)가 주어졌다 하고, \(f\)에 의해 정의된 동치관계 \(R\)을 생각하자. ([집합론] §동치관계, ⁋정의 5) 그럼 \(f\)의 canonical decomposition
\[X\overset{p}{\longrightarrow}X/R\overset{\bar{f}}{\longrightarrow}f(X)\overset{i}{\longrightarrow}Y\]을 생각할 수 있다. 이제 \(f(X)\)에 부분위상을 부여하면, 명제 4와 §Initial topology와 final topology, ⁋명제 3에 의하여 \(\bar{f}\)가 연속인 것은 자명하다. 또, canonical decomposition의 정의에 의하여 \(\bar{f}\)는 전단사함수이다. 일반적으로 \(\bar{f}\)가 homeomorphism이 될 필요는 없지만 (§연속함수, ⁋예시 5), 다음의 성립한다.
명제 6 위의 diagram에 대하여, 다음이 동치이다.
- \(\bar{f}\)가 \(X/R\)에서 \(f(X)\)로의 homeomorphism이다.
- \(R\)에 대해 saturated인 열린집합 \(U\subseteq X\)에 대하여, \(f(U)\)는 \(f(X)\)에서 열린집합이다.
- \(R\)에 대해 saturated인 닫힌집합 \(C\subseteq X\)에 대하여, \(f(C)\)는 \(f(X)\)에서 닫힌집합이다.
이는 두 번째 혹은 세 번째 조건이 정확히 \(\bar{f}^{-1}\) 또한 연속이라는 의미이기 때문에 자명하다.
한편, 위와 동일한 상황에서 \(f\)의
이고, 위의 식의 왼쪽에 \(\bar{f}^{-1}\), 오른쪽에 \(\bar{f}\)를 각각 합성해주면
\[(p\circ s)\circ\bar{f}=\id_{X/R}\]를 얻는다. 따라서 이 경우 \(\bar{f}\)는 homeomorphism이 된다.
몫공간과 부분공간
이제 위상공간 \(X\)와 부분집합 \(A\), \(X\) 위에 주어진 동치관계 \(R\)을 생각하자. \(p:X\rightarrow X/R\)을 canonical projection이라 하면, \(p\vert_A:A\rightarrow X/R\)의 canonical decomposition
\[A\overset{q}{\longrightarrow}A/(R|_A)\overset{\overline{(p|_A)}}{\longrightarrow} f(A)\overset{j}{\longrightarrow}X/R\]이 정의되며 위와 동일한 논증에 의해 \(\overline{(p\vert_A)}\)는 연속인 bijection이 된다. 다음 명제 또한 거의 자명하다.
명제 7 위의 decomposition에서 다음이 모두 동치이다.
- \(\overline{(p\vert_A)}\)가 homeomorphism이다.
- \(R\vert_A\)-saturated인 열린집합 \(U\subseteq A\)은 \(R\)-saturated인 \(X\)의 열린집합과 \(A\)의 교집합이다.
- \(R\vert_A\)-saturated인 닫힌집합 \(C\subseteq A\)은 \(R\)-saturated인 \(X\)의 닫힌집합과 \(A\)의 교집합이다.
-
[§부분공간]에서와 마찬가지로, [Mun]에서는 이를 몫위상의 정의로 삼는다. ↩
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