K

Grad. student in mathematics

극한 범주의 정의

우선 다음 정의부터 시작한다. 임의의 두 category $\mathcal{A},\mathcal{B}$에 대하여, functor $\mathcal{A}\rightarrow \mathcal{B}$가 constant functor라는 것은 $\mathcal{A}$의 모든 대상이 $\mathcal{B}$의 고정된 대상 $B$로 옮겨지고, 모든 morphism은 $\id_B$로 옮겨지는 것을 의미한다. 약간의 abuse of notation을 통해 위의 constant functor를 $B:\mathcal{A}\rightarrow \mathcal{B}$로 적기도 한다.

정의 1 Category $\mathcal{A}$에서 정의된 diagram $F:\mathcal{I}\rightarrow \mathcal{A}$를 생각하자. 대상 $A\in \mathcal{A}$와, constant functor $A: \mathcal{I}\rightarrow \mathcal{A}$에 대하여, natural transformation $\lambda:A \Rightarrow F$를 $F$ 위에서의 cone$F$ 위에서의 뿔이라 부르고, $A$를 이 cone의 꼭짓점apex, 그리고 각각의 $\lambda_i:A \rightarrow F(i)$들을 leg다리라 부른다. $\mathcal{A}^\op$에서의 cone을 cocone이라 부른다.

임의의 diagram $F:\mathcal{I}\rightarrow \mathcal{A}$을 고정하자. 꼭짓점 $A$를 가지는 $F$ 위에서의 cone과 morphism $A’ \rightarrow A$가 주어졌다 하면, 이를 통해 자연스럽게 꼭짓점 $A’$를 가지는 $F$ 위에서의 cone을 정의할 수 있다. 따라서

\[\Cone(A, F)=\{\text{cones over $F$ with apex $A$}\}\]

으로 정의하면, $\Cone(-,F)$는 $\mathcal{A}$에서 $\Set$으로의 contravariant functor가 된다. $\mathcal{I}$가 poset $(\mathbb{Z},\leq)$로 만들어진 category일 때 정의 1을 그려보면 다음과 같다.

Cone

각 삼각형들이 모두 commute한다는 것이 $\lambda$가 natural transformation이라는 것에 의해 얻어진다. 이제 morphism $A’ \rightarrow A$가 주어졌다면, $\Cone(A’,F)$는 아래 그림과 같이 정의된다.

Functoriality_of_cone

따라서, contravariant functor $\Cone(-,F): \mathcal{A}\rightarrow \Set$이 representable할 경우, 이 functor의 representation을 $F$의 limit으로 정의한다.

정의 2 Functor $\Cone(-,F)$의 representation $\lambda:\lim F \Rightarrow F$를 $F$의 limit극한이라 부른다.

비슷하게 $F$ 위에서의 cocone이 주어지면 이를 통해 covariant functor $\Cone(F,-):\mathcal{A}\rightarrow \Set$을 정의할 수 있고, 이 functor의 representation을 colimit이라 부른다.

극한의 보편성질

한편, 우리는 §표현가능한 함자, ⁋명제 7에서 representation을 universal property를 이용해 표현하는 방법을 살펴보았다. 우리 상황에 이를 적용하기 위해 functor $\Cone(-,F):\mathcal{A}\rightarrow \Set$의 category of elements를 생각하면,

  • $\int\Cone(-,F)$의 대상들은 pair $(B, \mu)$이다. 여기서 $B$는 $\mathcal{A}$의 대상이고, $\mu\in\Cone(B,F)$이다.
  • $\int\Cone(-,F)$의 morphism $(B,\mu)\rightarrow (B’,\mu’)$은 조건 $\Cone(f,F)(\mu)=\mu’$를 만족하는 $f:B’ \rightarrow B$이다.

즉 $\int\Cone(-,F)$는 (임의의 꼭짓점을 가질 수 있는) cone들의 category로 생각할 수 있다. 이제 §표현가능한 함자, ⁋명제 7의 dual 버전을 생각하면 $F$의 limit $\lambda:\lim F\Rightarrow F$는 $\int\Cone(-,F)$의 terminal object이다. 가령 앞선 예시의 경우로 이를 조금 더 풀어 써 보면, 다음의 commutative diagram

universal_property-1

이 주어질 때마다 유일한 $f:B \rightarrow\lim F$가 존재하여 다음 diagram을 commute하게 해야한다.

universal_property-2

물론 일반적으로 어떤 diagram의 limit (혹은 colimit)이 존재한다는 보장은 없다.

정의 3 Diagram $F:\mathcal{I}\rightarrow \mathcal{A}$이 small이라는 것은 indexing category $\mathcal{I}$가 small인 것이다. 임의의 small diagram이 항상 limit을 갖는 category $\mathcal{A}$를 complete category완비범주라 부른다. 임의의 small diagram이 항상 colimit을 갖는 category $\mathcal{A}$를 cocomplete categoory여완비범주이라 부른다. Small limit들을 보존하는 functor를 continuous functor라 부르고, small colimit들을 보존하는 functor를 cocontinuous functor라 부른다.

예시 4 $\Set$은 complete category이다. 이 사실을 증명할 때 중요하게 사용되는 것은 §표현가능한 함자, ⁋예시 2의 natural isomorphism

\[A\cong\Hom_\Set(\ast, A)\qquad\text{for all $A\in\Set$}\tag{1}\]

이다. 임의의 (small) diagram $F: \mathcal{I}\rightarrow \Set$이 주어졌다 하자. 만일 $F$의 limit이 존재한다면

\[\Cone(A,F)\cong \Hom_\Set(A,\lim F)\qquad\text{for all $A\in\Set$}\]

이고 특별히 $\Cone(\ast,F)\cong\Hom_\Set(\ast,\lim F)\cong \lim F$이므로, 남은 것은 natural transformation $\lambda:\lim F\Rightarrow F$를 찾고, 이 cone이 universal하다는 것을 보이는 것이다. Natural transformation $\lambda:\lim F\Rightarrow F$는 commuting 조건들을 만족하는 함수들 $\lambda_i:\lim F\rightarrow F(i)$들에 의해 결정되므로, 이를 위해서는 우선 $\Cone(\ast,F)$의 원소에 대해 생각할 필요가 있다.

$\Cone(\ast,F)$의 원소 $\mu:\ast\Rightarrow F$는 마찬가지로 commuting 조건들을 만족하는 leg들 $\mu_i:\ast\rightarrow F(i)$들의 모임이다. 그런데 이들 $\mu_i$들은 다시 식 (1)에 의해 $F(i)$의 원소로 취급할 수 있으므로, 각각의 $i\in\mathcal{I}$마다

\[\Cone(\ast,F)\overset{\lambda_i}{\longrightarrow}F(i);\quad (\mu:\ast\Rightarrow F)\mapsto \mu_i\in F(i)\qquad\text{for all $i\in \mathcal{I}$}\]

으로 정의해주면 이들을 모아둔 natural transformation $\lambda:\lim F\Rightarrow F$가 원하는 조건을 만족한다.

극한 범주의 예시

Category $\mathcal{I}$의 모양에 따라, limit을 다양한 이름으로 부르기도 한다.

예시 5 (Inverse limit) 특별히 $\mathcal{I}=\omega^\op$인 경우를 생각하자. 여기서 $\omega$는 ordinal $\omega$에 정의된 poset구조를 이용해서 정의된 category이며, 따라서 이 category로 index가 주어진 diagram은 다음 꼴

inverse_limit

이다. 이 diagram의 limit을 inverse limit이라 부르는데, 직관적으로 $\lim F$를 그려보면 다음 그림

inverse_limit-2

와 같이 $\lim F$가 모든 $F(i)$들보다 작은 것처럼 보이므로 이를 limit이라 부를 만하다.

예시 6 (Product) Discrete category는 morphism이 identity morphism밖에 없는 category를 일컫는다. 그럼 이 diagram의 cone들 $\lambda:A\Rightarrow F$에서 $\lambda$의 naturality는 어떠한 조건도 부여하지 않으며, 따라서 그냥 morphism들의 family $(\lambda_i:A \rightarrow F(i))_{i\in \mathcal{I}}$들이 된다. 이렇게 discrete category로 index가 주어진 diagram의 limit $\pi:\lim F\Rightarrow F$을 product곱라 부르고, $\pi_i$들을 projection이라 부르며, 이 경우에 $\lim F$ 대신 $\prod F(i)$와 같은 표기를 사용한다.

특별히 예시 6의 경우에서 limit cone $\pi:\prod F(i)\Rightarrow F$의 universal property를 다시 써 보면 다음과 같다.

$\mathcal{A}$의 임의의 대상 $A$와 morphism들 $\lambda_i:A \rightarrow F(i)$가 주어질 때마다, 유일한 $A \rightarrow \prod F(i)$가 존재하여 다음 diagram

universal_property_of_product

이 commute한다.

이해를 돕기 위해 이 예시를 예시 4에서 정의한 집합들의 limit인 경우로 제한하면 이 universa; property는 정확히 [집합론] §집합의 곱, ⁋정리 3에서 정의한 집합의 곱의 universal property와 같다.

예시 7 (Equalizer) 다음 category

equlizer_indexing_category

를 생각하자. 그럼 이 category로 index가 주어진 diagram은

equalizer_diagram

와 같은 꼴이며, 다음 diagram

equalizer_cone

이 cone이라는 것은 두 조건 $\lambda_C=f\circ\lambda_B$, $\lambda_C=g\circ\lambda_B$이 만족되는 것이고, 따라서 $\lambda_B\circ f=\lambda_B\circ g=\lambda_C$인 것이다. $A$가 cone이라면 $\lambda_C$는 $\lambda_B$로부터 이와 같은 식으로 정의되므로, 유효한 정보는 $\lambda_B\circ f=\lambda_B\circ g$를 만족하는 $\lambda_B:A \rightarrow B$ 뿐임을 알 수 있다. 그럼 이 diagram의 limit은 이러한 cone들 가운데 universal한 것을 뜻한다.

예시 6과 예시 7을 적절히 조합하면 $\Set$에서의 diagram $\mathcal{I}\rightarrow \Set$의 limit을 적당한 equalizer diagram으로 쓸 수 있다. 예시 4에서 살펴본 것과 같이 limit cone의 원소 $\lambda\in\lim F=\Cone(\ast,F)$는 모든 $\mathcal{I}$의 morphism $f$마다 다음 diagram

equalizer_seq

을 commute하게 하도록 하는 $(\lambda_i)_{i\in\mathcal{I}}$이다. 즉, 거꾸로 말하자면 $\lim F$는 $\prod F(i)$의 원소들 중 위의 조건을 만족하는 것들을 모아둔 것이므로, $\prod_{i\in\mathcal{I}}F(i)$에서 $\prod_{f\in\Hom(\mathcal{I})}F(\operatorname{cod}f)$로의 두 함수 $a,b$를 $\lambda=(\lambda_i)_{i\in\mathcal{I}}\in\prod_{i\in\mathcal{I}}F(i)$를 받아서,

  • $a(\lambda)$는 $f\in\Hom(\mathcal{I})$번째 성분에 $\lambda_{\operatorname{cod}f}\in F(\operatorname{cod}f)$가 있는 $\prod_{f\in\Hom(\mathcal{I})}F(\operatorname{cod}f)$의 원소 $(\lambda_{\operatorname{cod}f})_f$,
  • $b(\lambda)$는 $f\in\Hom(\mathcal{I})$번째 성분에 $F(f)(\lambda_{\operatorname{dom}f})\in F(\operatorname{cod}f)$가 있는 $\prod_{f\in\Hom(\mathcal{I})}F(\operatorname{cod}f)$의 원소 $(F(f)(\lambda_{\operatorname{dom}f}))_f$

을 주는 함수로 정의하자. 그럼 위의 diagram의 commutativity는 정확히 이 둘이 같을 것을 요구하며, 따라서 $\lim F$는 다음의 equalizer limit diagram

equalizer_limit_diagram

을 통해 얻어질 수 있다. 우리는 이 증명에서 $\Set$ category의 성질을 쓰긴 했지만, 적절한 방식으로 이를 범주론의 언어로 바꾸어 쓸 수 있고 따라서 임의의 category가 product와 equalizer를 갖는다면 limit 또한 갖는다는 것을 보일 수 있다.

예시 8 (Fiber product) 마지막으로 다음 category

fiber_indexing_category

를 생각하자. 그럼 이 category로 index가 주어진 diagram은 다음 꼴

fiber_diagram

이며, 이 diagram의 limit은 조건 $g\circ b=f\circ a$을 만족하는 $A\overset{a}{\longleftarrow} X\overset{b}{\longrightarrow}B$ 중 universal한 것으로 주어진다. 이를 fiber product라 부르고 $A\times_C B$와 같이 표기한다. 이를 나타내는 다음과 같은 diagram

fiber_diagram_limit

을 fiber diagram이라 부르고, 이것이 fiber diagram임을 표기하기 위해 fiber product 쪽에 꺽쇠 $\lrcorner$를 그려 표기한다.

위의 예시들을 colimit으로 바꿔주면 direct limit, coproduct, coequalizer 그리고 fiber coproduct의 개념을 얻는다. 특히 colimit을 coproduct가 포함된 적절한 coequalizer diagram으로 나타낼 수 있고, $\Set$은 coproduct $\coprod$과 coequalizer를 모두 가지므로 cocomplete하다는 사실 또한 알 수 있다.

극한과 $\Hom$

한편 임의의 small diagram $F: \mathcal{I}\rightarrow \mathcal{A}$와 임의의 $A\in \mathcal{A}$에 대하여, 합성

\[\Hom_\mathcal{A}(A,-)\circ F:\mathcal{I}\rightarrow \mathcal{A}\rightarrow \Set\]

을 $\Hom_\mathcal{A}(A,F-)$으로 적자. 그럼 이는 $\mathcal{I}$에서 $\Set$으로의 diagram이다. 예시 4에 의하여 $\Set$은 complete category이므로, 이 diagram의 limit $\lim \Hom_\mathcal{A}(A,F-)=\Cone(\ast,\Hom_\mathcal{A}(A,F-))$이 존재한다.

이는 $\prod_{i\in \mathcal{I}}\Hom_\mathcal{A}(A, F(i))$의 원소들 중, 모든 $f:i \rightarrow j$에 대해 다음의 compatibility condition

compatibility

을 만족하는 것들이므로, 정확히 $\Cone(A,F)$이고 따라서

\[\lim \Hom_\mathcal{A}(A, F-)\cong\Cone(A,F)\]

가 성립한다. 한편, $F$가 limit을 갖는다면

\[\Cone(A,F)\cong\Hom_\mathcal{A}(A,\lim F)\]

이 성립하므로 다음 정리를 얻는다.

정리 9 임의의 diagram $F:\mathcal{I}\rightarrow \mathcal{A}$가 limit을 갖는다면 다음 natural isomorphism

\[\lim\Hom_\mathcal{A}(A, F-)\cong\lim\Hom_\mathcal{A}(A, F-)\]

이 존재한다.

즉, $\Hom_\mathcal{A}(A,-):\mathcal{A}\rightarrow\Set$은 continuous functor이다. 동일한 주장이 $\Hom_\mathcal{A}(-, A)$와 colimit에 대해서도 성립한다.

결합법칙

마지막으로 다음 명제를 소개한다.

명제 10 임의의 bifunctor $F: \mathcal{I}\times \mathcal{J}\rightarrow \mathcal{A}$에 대하여, 만일 두 극한

\[\lim_{i\in \mathcal{I}}\lim_{j\in \mathcal{J}}F(i,j),\qquad \lim_{j\in \mathcal{J}}\lim_{i\in \mathcal{I}} F(i,j)\]

가 모두 $\mathcal{A}$에서 존재한다면, 이들은 isomorphic하다.

비슷한 정리가 colimit에 대해서도 성립한다. 즉 limit과 colimit은 각각 결합법칙을 만족한다. 그러나 일반적으로 limit과 colimit의 순서를 바꿀 수는 없으며, 일반적으로 할 수 있는 최선은 universal property를 사용하여 (isomorphism이 아닐 수 있는) 다음의 canonical morphism

\[\colim_{i\in \mathcal{I}}\lim_{j\in \mathcal{J}} F(i,j) \rightarrow \lim_{j\in \mathcal{J}}\colim_{i\in \mathcal{I}} F(i,j)\]

을 얻는 것이 전부이다.

참고문헌

[Rie] Emily Riehl. Category Theory in Context. Dover Publications, 2016.

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