K

Grad. student in mathematics

앞선 글에서 우리는 벡터공간 VV의 쌍대공간 V∗V^\ast를 정의하고, 만일 VV가 유한차원이라면 V∗V^\ast의 쌍대공간인 V∗∗V^{\ast\ast}와 VV가 isomorphic하다는 것을 살펴봤다. 이 과정에서 핵심적으로 쓰인 사실은 non-degenerate pairing ⟨−,−⟩:V×W→K\langle -,-\rangle:V\times W \rightarrow \mathbb{K}가 VV에서 W∗W^\ast, 그리고 WW에서 V∗V^\ast로의 단사인 linear map을 정의한다는 것이었다. 우리는 이 사실을 canonical pairing

⟨−,−⟩:V×V∗→K;(v,f)↦f(v)\langle -,-\rangle:V\times V^\ast\rightarrow \mathbb{K};\quad (v,f)\mapsto f(v)

에 적용하고, 차원을 고려하여 VV와 V∗∗V^{\ast\ast}가 isomorphic하다는 것을 살펴보았다. 이렇게 유도되는 V→V∗∗V\rightarrow V^{\ast\ast}를 기술하기 위해서는 VV에서 basis를 선택할 필요가 없었다.

한편, 우리는 이전 글의 서두에서 VV와 V∗V^\ast 또한 같은 차원을 갖는다는 것을 언급하였는데, 이는 위의 자연스러운 isomorphism V→V∗∗V\rightarrow V^{\ast\ast}와는 다르게 특정한 basis {x1,…,xn}\{x_1,\ldots, x_n\}을 택한 후, 이들의 dual basis {ξ1,…,ξn}\{\xi^1,\ldots, \xi^n\}을 택하여 xi↦ξix_i\mapsto \xi^i를 통해 정의해야 한다는 차이가 있었다.

쌍선형형식Permalink

이제 우리는 V=WV=W인 경우에 집중한다.

정의 1 임의의 pairing ⟨−,−⟩:V×W→K\langle -,-\rangle:V\times W\rightarrow \mathbb{K}에 대하여, 만일 W=VW=V라면 이 pairing을 VV 위에서 정의된 bilinear form쌍선형형식이라 부른다. ⟨−,−⟩\langle -,-\rangle이 non-degenerate bilinear form비퇴화 쌍선형형식이라는 것은 ⟨−,−⟩\langle-,-\rangle이 pairing으로서 non-degenerate인 것이다.

VV 위에 bilinear form이 주어졌다 하자. 그럼 위와 같은 논증을 통해, 우리는 VV에서 V∗V^\ast로의 linear map들

v↦⟨v,−⟩,v↦⟨−,v⟩v\mapsto \langle v,-\rangle,\qquad v\mapsto \langle -,v\rangle

을 얻는다. 일반적으로 이 둘은 같을 필요가 없지만, 다음을 정의할 수 있다.

정의 2 임의의 bilinear form ⟨−,−⟩:V×V→K\langle-,-\rangle:V\times V\rightarrow \mathbb{K}에 대하여, 다음의 식

⟨v,w⟩=⟨w,v⟩\langle v,w\rangle=\langle w,v\rangle

이 모든 v,w∈Vv,w\in V에 대해 성립하면 이 form이 symmetric대칭적이라 말한다. 만일 모든 v,w∈Vv,w\in V에 대해 다음의 식

⟨v,w⟩=−⟨w,v⟩\langle v,w\rangle=-\langle w,v\rangle

이 성립하면 이 form이 alternating교대적이라 말한다.

비퇴화 쌍선형형식Permalink

유한차원 K\mathbb{K}-벡터공간 VV가 주어졌다 하고, 앞서 언급한 canonical pairing ⟨−,−⟩:V×V∗→K\langle-,-\rangle:V\times V^\ast\rightarrow \mathbb{K}을 생각하자. 만일 VV 위에 non-degenerate pairing ⟨−,−⟩:V×V→K\langle -,-\rangle:V\times V\rightarrow \mathbb{K}가 주어졌다면, 우리는 §쌍대공간, ⁋따름정리 5로부터 ⟨−,−⟩\langle -,-\rangle이 isomorphism

V→V∗;v↦⟨−,v⟩(1)V\rightarrow V^\ast;\qquad v\mapsto \langle -,v\rangle\tag{1}

을 정의한다는 것을 안다.

편의를 위해 앞으로는 ⟨−,−⟩\langle -,-\rangle이 처음부터 symmetric non-degenerate bilinear form이었던 것으로 가정하자. 그럼 ⟨−,−⟩\langle -,-\rangle는 식 (1)에 의해 정의된 isomorphism을 가지며, 이는 다음과 같이 쓸 수 있다.

따름정리 3 Symmetric non-degenerate bilinear form ⟨−,−⟩\langle -,-\rangle이 주어진 유한차원 K\mathbb{K}-벡터공간 VV를 생각하자. 임의의 f∈V∗f\in V^\ast가 주어질 때마다, 적당한 w∈Vw\in V가 유일하게 존재하여

f(v)=⟨v,w⟩for all v∈Vf(v)=\langle v,w\rangle\qquad\text{for all $v\in V$}

이 성립한다.

그럼 특히 이전 글에서 정의한 orthogonal complement의 개념을 VV로 가져올 수 있다. 즉, 다음과 같이 정의하자.

정의 4 Symmetric non-degenerate bilinear form ⟨−,−⟩\langle -,-\rangle이 주어진 유한차원 K\mathbb{K}-벡터공간 VV를 생각하자. 임의의 v∈Vv\in V에 대하여, 다음의 식 ⟨w,v⟩=0\langle w,v\rangle=0을 만족하는 모든 w∈Vw\in V들의 모임을 vv의 orthogonal complement직교여공간이라 하고, v⊥v^\perp로 적는다. 더 일반적으로, 임의의 집합 SS에 대하여, 다음 집합

S⊥=⋂v∈Sv⊥S^\perp=\bigcap_{v\in S}v^\perp

을 SS의 orthogonal complement로 정의한다.

물론, 만일 ⟨−,−⟩\langle -,-\rangle이 symmetric하지 않았더라도 동일한 정의를 할 수 있으며, 실제로 vv를 ⟨−,v⟩\langle -,v\rangle로 보내는지 혹은 ⟨v,−⟩\langle v,-\rangle으로 보내는지를 선택한 후 이 선택을 꾸준히 유지한다면 동일한 결과를 얻게 된다. 어쨌든 혹시 모를 혼란을 피하기 위해 우리는 ⟨−,−⟩\langle -,-\rangle이 symmetric이라는 조건을 유지한다.

벡터 w∈Vw\in V는 따름정리 3에 의해 f∈V∗f\in V^\ast를 유일하게 지정하는데, 위의 정의는 만일 이렇게 얻어진 ff가 §쌍대공간, ⁋정의 7의 의미에서 vv의 orthogonal complement라면, ww를 vv에 직교하는 것으로 생각하고, 이러한 ww들을 모아둔 것을 orthogonal complement로 생각하겠다는 의미이다. 이러한 과정을 통해 §쌍대공간의 결과들을 모두 VV로 가져올 수 있다. 남은 글에서 우리는 이 과정을 자세히 살펴본다.

우선 두 유한차원 K\mathbb{K}-벡터공간 V,WV,W 위에 symmetric non-degnerate bilinear form ⟨−,−⟩V\langle -,-\rangle_V와 ⟨−,−⟩W\langle -,-\rangle_W가 주어졌다 하자. 또, 논의의 편의를 위하여 이들 bilinear form에 의해 결정되는 isomorphism들을 각각

φV:V∗→V,φW:W∗→W\varphi_V:V^\ast\rightarrow V,\qquad \varphi_W:W^\ast\rightarrow W

으로 적자.

만일 V,WV,W 위에 각각 두 basis B={x1,…,xn}\mathcal{B}=\{x_1,\ldots, x_n\}과 C={y1,…,ym}\mathcal{C}=\{y_1,\ldots, y_m\}이 주어졌다면, dual basis

B∗={ξ1,…,ξn},C∗={υ1,…,υm}\mathcal{B}^\ast=\{\xi^1,\ldots, \xi^n\},\qquad\mathcal{C}^\ast=\{\upsilon^1,\ldots,\upsilon^m\}

들이 잘 정의된다. 이제 이들을 φV,φW\varphi_V,\varphi_W를 따라 옮긴 basis

B′={φV(ξ1),…,φV(ξn)},C′={φW(υ1),…,φW(υm)}\mathcal{B}'=\{\varphi_V(\xi^1),\ldots,\varphi_V(\xi^n)\},\qquad\mathcal{C}'=\{\varphi_W(\upsilon^1),\ldots,\varphi_W(\upsilon^m)\}

를 생각하자. 즉 이들은 다음의 식

⟨xi,φV(ξj)⟩=δij,⟨yi,φW(υj)⟩=δij\langle x_i,\varphi_V(\xi^j)\rangle=\delta_{ij},\qquad\langle y_i,\varphi_W(\upsilon^j)\rangle=\delta_{ij}

을 통해 정의되는 V,WV,W의 원소들이다. 이제 임의의 L:V→WL:V\rightarrow W에 대하여,

L(x1)=α11y1+α21y2+⋯+αm1ymL(x2)=α12y1+α22y2+⋯+αm2yma⋮L(xn)=α1ny1+α2ny2+⋯+αmnym\begin{aligned}L(x_1)&=\alpha_{11}y_1+\alpha_{21}y_2+\cdots+\alpha_{m1}y_m\\L(x_2)&=\alpha_{12}y_1+\alpha_{22}y_2+\cdots+\alpha_{m2}y_m\\&\phantom{a}\vdots\\L(x_n)&=\alpha_{1n}y_1+\alpha_{2n}y_2+\cdots+\alpha_{mn}y_m\end{aligned}

이라 하자. 만일 dual map L∗:W∗→V∗L^\ast:W^\ast\rightarrow V^\ast를 위의 identification φ\varphi들을 통해 WW에서 VV로의 map으로 생각한다면, 즉 다음의 diagram

identification

을 통해 정의되는 L′:W→VL’:W\rightarrow V를 생각한다면 이 linear map의 두 basis C′\mathcal{C}’, B′\mathcal{B}’에 대한 행렬표현이 [L′]B′C′[L’]_{\mathcal{B}’}^{\mathcal{C}’}가 됨을 확인할 수 있다.

한편, 이렇게 정의한 L′:W→VL’:W\rightarrow V는 다음 식

⟨Lv,w⟩W=⟨v,L′w⟩Vfor all v∈V and w∈W(1)\langle Lv, w\rangle_W=\langle v,L'w\rangle_V\qquad\text{for all $v\in V$ and $w\in W$}\tag{1}

을 만족하는 것을 알 수 있다. 이는

⟨Lv,w⟩=(φ−1(w))(Lv)=(φW−1(w)∘L)(v)=(L∗(φW−1(w))(v)=(φV−1(v)∘L′)(w)=(φV−1(v))(L′w)=⟨v,L′w⟩\langle Lv,w\rangle=(\varphi^{-1}(w))(Lv)=(\varphi^{-1}_W(w)\circ L)(v)=(L^\ast(\varphi^{-1}_W(w))(v)=(\varphi^{-1}_V(v)\circ L')(w)=(\varphi^{-1}_V(v))(L'w)=\langle v,L'w\rangle

으로부터 확인할 수 있다. 이러한 식을 만족하는 L′L’을 우리는 linear map LL의 adjoint라 부르고, 약간의 abuse of notation을 통해 L∗L^\ast으로 적기도 한다.

§쌍대공간, §§직교여공간의 결과들은 모두 canonical pairing에 대한 식 (Lv,f)=(v,L∗f)(Lv,f)=(v,L^\ast f)로부터 얻어졌다. 따라서, 이를 위에서 얻은 non-degenerate bilinear form ⟨−,−⟩\langle -,-\rangle들에 대한 식 (1)로 대체하면 다음 결과들을 얻는다.

명제 5 Symmetric non-degnerate bilinear form들이 주어진 두 K\mathbb{K}-벡터공간 V,WV,W, linear map L:V→WL:V\rightarrow W와 그 adjoint L∗:W→VL^\ast:W\rightarrow V가 주어졌다 하자. 그럼

  1. 임의의 부분공간 U⊆VU\subseteq V에 대하여, L(U)⊥=(L∗)−1(U⊥)L(U)^\perp=(L^\ast)^{-1}(U^\perp)가 성립한다.
  2. 임의의 부분공간 U⊆WU\subseteq W에 대하여, L∗(U)⊥=L−1(U⊥)L^\ast(U)^\perp=L^{-1}(U^\perp)가 성립한다.
  3. (im⁡L)⊥=ker⁡(L∗)(\im L)^\perp=\ker(L^\ast)이 성립한다.
  4. (im⁡L∗)⊥=ker⁡L(\im L^\ast)^\perp=\ker L이 성립한다.

특히, 3번과 4번에서 얻어지는 VV와 WW의 부분공간들

ker⁡L,(ker⁡L)⊥,im⁡L,(im⁡L)⊥\ker L, \quad(\ker L)^\perp, \quad\im L,\quad(\im L)^\perp

를 LL에 의해 결정되는 네 개의 기본공간들four fundamental subspaces이라 부르기도 한다. 특히 이들은

V=ker⁡L⊕(ker⁡L)⊥,W=im⁡L⊕(im⁡L)⊥V=\ker L\oplus(\ker L)^\perp,\qquad W=\im L\oplus(\im L)^\perp

를 만족한다.

직교기저Permalink

이제 symmetric non-degenerate bilinear form이 주어진 K\mathbb{K}-벡터공간 VV를 생각하자. 그럼 VV의 부분집합 {v1,…,vn}\{v_1,\ldots, v_n\}이 orthogonal set이라는 것은 i≠ji\neq j일 때마다 ⟨vi,vj⟩=0\langle v_i,v_j\rangle=0이 성립하는 것이다. 만일 VV의 basis B\mathcal{B}가 orthogonal set이기도 하다면, 이를 orthogonal basis라 부른다.

정의 6 Field K\mathbb{K}가 다음의 조건

1+1+⋯+1⏟p times=0\underbrace{1+1+\cdots+1}_\text{$p$ times}=0

을 만족한다면 K\mathbb{K}의 characteristic표수이 pp라고 하고 이를 char⁡K=p\ch \mathbb{K}=p로 표기한다. 만일 위의 식을 만족하는 자연수 pp가 존재하지 않는다면 K\mathbb{K}는 characteristic 0을 갖는 것으로 생각한다.

예를 들어 R\mathbb{R}은 characteristic 0을 갖는다. 만일 F2={0,1}\mathbb{F}_2=\{0,1\}에 다음의 식

0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=20+0=0,\quad 0+1=1,\quad 1+0=1,\quad 1+1=2

그리고

0⋅0=0,0⋅1=0,1⋅0=0,1⋅1=10\cdot 0=0,\quad 0\cdot 1=0,\quad 1\cdot 0=0,\quad 1\cdot 1=1

으로 덧셈과 곱셈을 각각 정의한다면 F2\mathbb{F}_2는 field의 조건을 만족한다는 것을 확인할 수 있고, 이 때 char⁡F2=2\ch\mathbb{F}_2=2이다.

명제 7 char⁡K≠2\ch \mathbb{K}\neq 2인 field K\mathbb{K}에 대하여, symmetric non-degenerate bilinear form이 주어진 K\mathbb{K}-벡터공간 VV는 항상 orthogonal basis를 갖는다.

증명

우선 간단한 보조정리를 보이자. 임의로 고정된 v∈Vv\in V에 대하여, 반드시 ⟨u,v⟩≠0\langle u,v\rangle\neq 0이도록 하는 u∈Vu\in V가 존재한다. 그럼

2⟨u,v⟩=⟨u+v,u+v⟩−⟨u,u⟩−⟨v,v⟩2\langle u,v\rangle=\langle u+v,u+v\rangle-\langle u,u\rangle-\langle v,v\rangle

이고, 두 조건 ⟨u,v⟩≠0\langle u,v\rangle\neq 0과 char⁡K≠2\ch \mathbb{K}\neq 2에서 좌변은 0이 아니다. 따라서 우변의 세 항 ⟨u+v,u+v⟩,⟨u,u⟩,⟨v,v⟩\langle u+v,u+v\rangle, \langle u,u\rangle,\langle v,v\rangle 가운데 적어도 하나는 0이 아니다. 따라서,

Non-degnerate symmetric bilinear form이 주어진 임의의 K\mathbb{K}-벡터공간에는 ⟨w,w⟩≠0\langle w,w\rangle\neq 0을 만족하는 ww가 반드시 존재한다.

원래의 명제는 VV의 차원에 대한 귀납법으로 증명한다. dim⁡V=0\dim V=0인 경우는 증명할 것이 없다. 이제 dim⁡V=k\dim V=k인 경우 증명이 완료되었다 가정하자. 그럼 dim⁡V=k+1\dim V=k+1를 만족하는 임의의 벡터공간 VV에 대하여, ⟨w,w⟩≠0\langle w,w\rangle\neq 0을 만족하는 벡터 ww가 존재한다.

이제 W=span⁡wW=\span w라 하고 W⊥W^\perp를 생각하자. 그럼 임의의 v∈Vv\in V에 대하여, 다음의 식

v=⟨v,w⟩⟨w,w⟩w+(v−⟨v,w⟩⟨w,w⟩w)v=\frac{\langle v,w\rangle}{\langle w,w\rangle}w+\left(v-\frac{\langle v,w\rangle}{\langle w,w\rangle}w\right)

으로부터 VV의 임의의 원소는 WW와 W⊥W^\perp의 원소의 합으로 표현할 수 있다는 것을 안다. 또, 가정에 의해 ⟨w,w⟩≠0\langle w,w\rangle\neq 0이므로 W∩W⊥={0}W\cap W^\perp=\{0\}이 성립한다. 따라서 §벡터공간의 차원, ⁋예시 8에 의하여

k+1=dim⁡V=dim⁡(W+W⊥)=dim⁡W+dim⁡W⊥−dim⁡(W∩W⊥)k+1=\dim V=\dim(W+W^\perp)=\dim W+\dim W^\perp-\dim(W\cap W^\perp)

으로부터 dim⁡W⊥=k\dim W^\perp=k임을 안다. 뿐만 아니라, 임의의 v∈W⊥v\in W^\perp에 대하여, ⟨u,v⟩≠0\langle u,v\rangle\neq 0을 만족하는 uu에 대하여,

u′=u−⟨u,w⟩⟨w,w⟩w∈W⊥u'=u-\frac{\langle u,w\rangle}{\langle w,w\rangle}w\in W^\perp

는 W⊥W^\perp의 원소이며,

⟨u′,v⟩=⟨u,v⟩≠0\langle u',v\rangle=\langle u,v\rangle\neq 0

을 만족한다. 즉, W⊥W^\perp 또한 ⟨−,−⟩\langle-,-\rangle에 대해 non-degenerate이며, 따라서 귀납적 가정에 의해 W⊥W^\perp에는 orthogonal basis B\mathcal{B}가 존재한다. 이제 B∪{v}\mathcal{B}\cup\{v\}는 VV의 orthogonal basis이므로, 원하는 결과를 얻는다.

Gram matrixPermalink

임의의 bilinear form ⟨−,−⟩:V×V→K\langle-,-\rangle:V\times V\rightarrow \mathbb{K}가 주어졌다 하자. 만일 VV의 basis {x1,…,xn}\{x_1,\ldots, x_n\}가 고정되었다고 하면, 임의의 v=∑vixi,w=∑wjxjv=\sum v_ix_i, w=\sum w_jx_j에 대하여 다음의 식

⟨v,w⟩=⟨∑i=1nvixi,∑j=1nwjxj⟩=∑i,j=1nviwj⟨xi,xj⟩\langle v,w\rangle=\left\langle\sum_{i=1}^nv_ix_i,\sum_{j=1}^n w_jx_j\right\rangle=\sum_{i,j=1}^n v_iw_j\langle x_i,x_j\rangle

이 성립한다. 잠시 (i,j)(i,j) 성분이 ⟨xi,xj⟩\langle x_i,x_j\rangle인 n×nn\times n 행렬을 GG라 표기하면, 위 식은

⟨v,w⟩=vtGw\langle v,w\rangle=v^t Gw

으로 간단하게 쓸 수 있다. 이 때 GG를 basis B\mathcal{B}에 대한 Gram matrix라 부른다.

VV 위에 주어진 두 basis B,C\mathcal{B},\mathcal{C}를 생각하자. 이들에 대한 Gram matrix를 각각 GB,GCG_\mathcal{B},G_\mathcal{C}로 표현하고 위의 식을 정확하게 적으면,

⟨v,w⟩=[v]BtGB[w]B=[v]CtGC[w]C\langle v,w\rangle=[v]^t_\mathcal{B}G_\mathcal{B}[w]_\mathcal{B}=[v]^t_\mathcal{C}G_\mathcal{C}[w]_\mathcal{C}

라 할 수 있다. 이제 [v]C=[id]CB[v]B[v]_\mathcal{C}=[\id]_\mathcal{C}^\mathcal{B}[v]_\mathcal{B}이므로, 위의 식의 가장 우변은

[v]CtGC[w]C=([id]CB[v]B)tGB([id]CB[w]B)=[v]Bt(([id]CB)tGB[id]CB)[w]B[v]_\mathcal{C}^tG_\mathcal{C}[w]_\mathcal{C}=\left([\id]_\mathcal{C}^\mathcal{B}[v]_\mathcal{B}\right)^tG_\mathcal{B}\left([\id]_\mathcal{C}^\mathcal{B}[w]_\mathcal{B}\right)=[v]_\mathcal{B}^t\left(([\id]_\mathcal{C}^\mathcal{B})^t G_\mathcal{B}[\id]_\mathcal{C}^\mathcal{B}\right)[w]_\mathcal{B}

이 된다.

[Lee] 이인석, 선형대수와 군, 서울대학교 출판문화원, 2005.
[Goc] M.S. Gockenbach, Finite-dimensional linear algebra, Discrete Mathematics and its applications, Taylor&Francis, 2011.

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