Ext와 Tor

앞선 글에서 우리는 일반적인 left/right exact functor에 대한 right/left derived functor를 정의했다. 이번 글에서 우리는 특별히 \(\lMod{A}\)에서 정의된 left exact functor \(\Hom\), right exact functor \(\otimes\)의 derived functor에 대해 살펴본다.

Ext 함자의 정의

임의의 \(M\in\lMod{A}\)에 대하여, \(\Hom_\lMod{A}(M,-)\)은 \(\lMod{A}\)에서 \(\Ab\)로의 left exact functor이다. 따라서 다음을 정의한다.

정의 1 Left exact functor \(\Hom_\lMod{A}(M,-):\lMod{A} \rightarrow \Ab\)의 right derived functor를

\[\Ext_A^i(M,N)=R^i\Hom_\lMod{A}(M,-)(N)\]

으로 정의하고, 이들을 \(\Ext\) group들이라 부른다.

\(\Hom_\lMod{A}(-,N)\)가 exact functor인 것이 \(N\)가 injective object인 것과 동치이다. ([다중선형대수학] §사영가군, 단사가군, 평탄가군, ⁋정의 3) 이를 derived functor를 사용해서 보면, 만일 \(N\)이 injective module이었다면 \(0 \rightarrow N \rightarrow N \rightarrow 0\)이 injective resolution이 되고, 따라서 \(\Ext_A^1(M,N)=0\)이 모든 \(M\)에 대해 성립하는 것을 안다. 그럼 임의의 short exact sequence

\[0 \rightarrow M_1 \rightarrow M_2 \rightarrow M_3 \rightarrow 0\]

에 \(\Hom_\lMod{A}(-,N)\)을 취하고, 그 derived functor를 생각하여 얻어지는 다음의 long exact sequence

\[\begin{aligned}0 &\rightarrow \Hom_\lMod{A}(M_3, N) \rightarrow \Hom_\lMod{A}(M_2, N) \rightarrow \Hom_\lMod{A}(M_1, N)\\ &\rightarrow\Ext_A^1(M_3,N) \rightarrow\Ext_A^1(M_2,N) \rightarrow\cdots\end{aligned}\]

에서, \(\Ext_A^1(M_3,N)=0\)이 성립하므로 \(\Hom_\lMod{A}(-,N)\)이 exact라는 것을 알 수 있다.

한편, 정의 1 대신 우리는 고정된 \(N\)에 대하여 \(\Hom_\lMod{A}(-,N):\lMod{A} \rightarrow \Ab\)를 생각한 후 이 left exact functor의 right derived functor로서 \(\Ext\)를 정의할 수도 있었을 것이다. 이 두 정의가 같다는 것은 <#ref#>에서 확인할 수 있다.

Tor 함자의 정의

임의의 \(N\in\rMod{A}\)에 대하여, \(-\otimes_A N\)은 \(\lMod{A}\)에서 \(\Ab\)로의 right exact functor이므로, left derived functor를 생각할 수 있다.

정의 2 Right exact functor \(-\otimes_A N:\lMod{A} \rightarrow \Ab\)의 left derived functor를

\[\Tor_i^A(M,N)=L_i(-\otimes_A N)(M)\]

으로 정의하고, 이들을 \(\Tor\) group들이라 부른다.

\(\Tor\)를 계산하기 위해서는 \(N\)의 projective resolution을 사용해야 한다. 따라서, 앞선 문단에서의 계산과 마찬가지로 \(N\)이 projective \(A\)-module이었다면 \(0 \rightarrow N \rightarrow N \rightarrow 0\)이 \(N\)의 projective resolution이 되고, 이로부터 \(\Tor_1^A(M,N)=0\)이 모든 \(M\)에 대해 성립했을 것이다. 즉, 임의의 projective \(A\)-module은 flat \(A\)-module임을 다시 한 번 확인할 수 있다.

Balancing