앞선 글에서 우리는 일반적인 left/right exact functor에 대한 right/left derived functor를 정의했다. 이번 글에서 우리는 특별히 \(\lMod{A}\)에서 정의된 left exact functor \(\Hom\), right exact functor \(\otimes\)의 derived functor에 대해 살펴본다.
Ext 함자의 정의
임의의 \(M\in\lMod{A}\)에 대하여, \(\Hom_\lMod{A}(M,-)\)은 \(\lMod{A}\)에서 \(\Ab\)로의 left exact functor이다. 따라서 다음을 정의한다.
정의 1 Left exact functor \(\Hom_\lMod{A}(M,-):\lMod{A} \rightarrow \Ab\)의 right derived functor를
\[\Ext_A^i(M,N)=R^i\Hom_\lMod{A}(M,-)(N)\]으로 정의하고, 이들을 \(\Ext\) group들이라 부른다.
\(\Hom_\lMod{A}(-,N)\)가 exact functor인 것이 \(N\)가 injective object인 것과 동치이다. ([다중선형대수학] §사영가군, 단사가군, 평탄가군, ⁋정의 3) 이를 derived functor를 사용해서 보면, 만일 \(N\)이 injective module이었다면 \(0 \rightarrow N \rightarrow N \rightarrow 0\)이 injective resolution이 되고, 따라서 \(\Ext_A^1(M,N)=0\)이 모든 \(M\)에 대해 성립하는 것을 안다. 그럼 임의의 short exact sequence
\[0 \rightarrow M_1 \rightarrow M_2 \rightarrow M_3 \rightarrow 0\]에 \(\Hom_\lMod{A}(-,N)\)을 취하고, 그 derived functor를 생각하여 얻어지는 다음의 long exact sequence
\[\begin{aligned}0 &\rightarrow \Hom_\lMod{A}(M_3, N) \rightarrow \Hom_\lMod{A}(M_2, N) \rightarrow \Hom_\lMod{A}(M_1, N)\\ &\rightarrow\Ext_A^1(M_3,N) \rightarrow\Ext_A^1(M_2,N) \rightarrow\cdots\end{aligned}\]에서, \(\Ext_A^1(M_3,N)=0\)이 성립하므로 \(\Hom_\lMod{A}(-,N)\)이 exact라는 것을 알 수 있다.
한편, 정의 1 대신 우리는 고정된 \(N\)에 대하여 \(\Hom_\lMod{A}(-,N):\lMod{A} \rightarrow \Ab\)를 생각한 후 이 left exact functor의 right derived functor로서 \(\Ext\)를 정의할 수도 있었을 것이다. 이 두 정의가 같다는 것은 아래 명제 3에서 확인할 수 있다.
Tor 함자의 정의
임의의 \(N\in\rMod{A}\)에 대하여, \(-\otimes_A N\)은 \(\lMod{A}\)에서 \(\Ab\)로의 right exact functor이므로, left derived functor를 생각할 수 있다.
정의 2 Right exact functor \(-\otimes_A N:\lMod{A} \rightarrow \Ab\)의 left derived functor를
\[\Tor_i^A(M,N)=L_i(-\otimes_A N)(M)\]으로 정의하고, 이들을 \(\Tor\) group들이라 부른다.
\(\Tor\)를 계산하기 위해서는 \(M\)의 projective resolution을 사용해야 한다. 따라서, 앞선 문단에서의 계산과 마찬가지로 \(M\)이 projective \(A\)-module이었다면 \(0 \rightarrow M \rightarrow M \rightarrow 0\)이 \(M\)의 projective resolution이 되고, 이로부터 \(\Tor_1^A(M,N)=0\)이 모든 \(N\)에 대해 성립했을 것이다. 즉, 임의의 projective \(A\)-module은 flat \(A\)-module임을 다시 한 번 확인할 수 있다.
Balancing
본질적으로 \(\Hom\)과 \(\otimes\)는 두 개의 대상을 받는 bifunctor이다. 따라서 두 input 중 어느 것을 injective resolution 혹은 projective resolution으로 대체하는지에 따라 다른 결과가 나올 수도 있을 것이며, 이는 그렇게 바람직한 일이 아닐 것이다. 예를 들어 \(\Ext_A^i(M,N)\)을 계산한다 하였을 때, \(M\)의 projective resolution \(P_\bullet\rightarrow M\rightarrow 0\)을 사용하여
\[0\rightarrow \Hom_{\lMod{A}}(M, N)\rightarrow \Hom_{\lMod{A}}(P_0,N)\rightarrow \Hom_{\lMod{A}}(P_1, N)\rightarrow\cdots\]의 \(i\)번째 cohomology를 생각할 수도 있고, \(N\)의 injective resolution \(0\rightarrow N\rightarrow I^\bullet\)을 사용하여
\[0\rightarrow \Hom_{\lMod{A}}(M, N)\rightarrow \Hom_{\lMod{A}}(M, I^0)\rightarrow \Hom_{\lMod{A}}(M, I^1)\rightarrow\cdots\]을 생각할 수도 있을 것인데, 이들 두 결과가 같아야 비로소 \(\Ext\)를 “잘” 정의했다고 할 수 있을 것이다. 마찬가지로 \(\Tor\)도 다음의 두 chain complex
\[\cdots\rightarrow P_1\otimes_AN \rightarrow P_0\otimes_AN \rightarrow M\otimes_AN\rightarrow0\]와
\[\cdots \rightarrow M\otimes_AN_1\rightarrow M\otimes_AN_0\rightarrow M\otimes_A N\rightarrow0\]중 어느 것을 택하는지에 따라 \(\Tor^A_i(M,N)\)의 값이 달라져서는 안될 것이다.
우리는 따라서 이들이 주는 cohomology를 비교해야 한다. 이를 위한 증명 전략은 \((p,q)\) 성분이 \(\Hom_{\lMod{A}}(P_q, I^p)\)인 (혹은 텐서의 경우, \(P_p\otimes P'_q\)인) double complex를 생각하는 것이다. (§호몰로지, ⁋정의 4)
명제 3 두 \(A\)-module \(M \in \lMod{A}\), \(N \in \lMod{A}\), 그리고 이들의 projective resolution \(P_\bullet\rightarrow M\rightarrow 0\)과 injective resolution \(0\rightarrow N\rightarrow I^\bullet\)에 대하여, 다음의 isomorphism
\[H^n(\Hom_\lMod{A}(M, I^\bullet)) \cong H^n(\Hom_\lMod{A}(P_\bullet, N))\]이 성립한다. 여기서 \(P_\bullet \to M\)은 \(M\)의 projective resolution이고, \(N \to I^\bullet\)은 \(N\)의 injective resolution이다.
증명
다음의 double complex
\[K^{p,q}=\Hom_\lMod{A}(P_q, I^p)\]를 생각하자. Horizontal differential \(d_h:K^{p,q} \rightarrow K^{p+1,q}\)은 \(I^p\rightarrow I^{p+1}\)에 \(\Hom_\lMod{A}(P_q,-)\)를 취하여 얻고, 비슷하게 vertical differential \(d_v: K^{p,q}\rightarrow K^{p,q+1}\)은 \(P_{q+1}\rightarrow P_q\)에 \(\Hom_\lMod{A}(-,I^p)\)를 취하여 얻는다. 이제 이 double complex의 total complex \(\Tot(K)^\bullet\)을 생각하자. (§호몰로지, ⁋정의 5) 그럼 주어진 isomorphism은 \(\Tot(K)^\bullet\)의 \(n\)번째 cohomology를 다른 방법으로 계산한 것이다.
이를 확인하기 위해, 우선 cochain complex의 row \(K^{\bullet, q}\)와 column \(K^{p,\bullet}\)의 cohomology는 다음의 식
\[H^q(K^{p, \bullet}) = \begin{cases} \Hom_\lMod{A}(M, I^p) & q = 0 \\ 0 & q > 0, \end{cases}\qquad H^p(K^{\bullet, q}) = \begin{cases} \Hom_\lMod{A}(P_q, N) & p = 0 \\ 0 & p > 0. \end{cases}\tag{$\ast$}\]으로 계산된다는 것을 확인하자. 여기서 cohomology가 사라지는 것들은 projective module과 injective module의 정의에 따른 것이다. ([다중선형대수학] §사영가군, 단사가군, 평탄가군, ⁋정의 3)
§호몰로지, ⁋정의 5 직후에 수행한 계산과 마찬가지로, total complex의 cohomology를 계산하려면 differential들이 각 항을 섞어놓기 때문에 다소 주의해야 한다. 이를 위해 우리는 filtration을 사용한다.
우선 \(\Tot(K)^\bullet\)에 filtration
\[F^p \Tot(K)^k = \bigoplus_{\substack{i \geq p \\ i+q=k}} K^{i,q}\]을 생각하자. 이는 total complex의 degree \(k\)에서 horizontal 성분이 \(p\) 이상인 것만 뽑아오는 것이며, 정의에 의해 \(F^0\Tot(K)^\bullet=\Tot(K)^\bullet\)이고, \(p>k\)인 \(p\)에 대해서는 \(F^p\Tot(K)^k=0\)임이 자명하다.
이제 inclusion으로부터 induce되는 다음의 short exact sequence
\[0 \rightarrow F^{p+1} \Tot(K)^k \rightarrow F^{p} \Tot(K)^k \rightarrow K^{p, k-p} \rightarrow 0\]가 존재하며, 이를 complex로 승격시키면
\[0 \rightarrow F^{p+1}\Tot(K)^\bullet \rightarrow F^p \Tot(K)^\bullet \rightarrow K^{p, \bullet-p} \rightarrow 0\]을 얻는다. 즉, 중요한 것은 \(\Tot(K)^\bullet\)의 cohomology는 계산하기 까다롭지만, filtration을 걸면 이를 column의 cohomology 계산과 연관지을 수 있고 따라서 위의 계산 (\(\ast\))을 활용할 수 있다는 것이다.
이제 고정된 \(n\)에 대하여 \(H^n(F^p\Tot(K)^\bullet)\)들을 계산하고, 이로부터 \(H^n(F^0\Tot(K)^\bullet)=H^n(\Tot(K)^\bullet)\)을 구해내자. 위의 short exact sequence로부터 다음의 cohomology long exact sequence
\[\cdots\rightarrow H^{n-1}(K^{p, \bullet-p})\rightarrow H^n(F^{p+1}\Tot(K)^\bullet)\rightarrow H^n(F^p\Tot(K)^\bullet)\rightarrow H^n(K^{p, \bullet-p})\rightarrow \cdots\]을 생각하면, (\(\ast\))로부터 \(H^{n-1}(K^{p,\bullet-p})\)와 \(H^n(K^{p,\bullet-p})\)이 nontrivial한 부분, 즉 \(p=n,n-1\)인 경우를 제외한 모든 부분에서는
\[H^n(F^p\Tot(K)^\bullet)\cong H^n(F^{p+1}\Tot(K)^\bullet)\tag{$\ast\ast$}\]이 성립하는 것을 안다. 이제 \(p=n\)인 경우를 생각하면, long exact sequence는
\[0=H^n(F^{n+1}\Tot(K)^\bullet)\rightarrow H^n(F^n\Tot(K)^\bullet)\rightarrow \Hom_\lMod{A}(M, I^n)\rightarrow H^{n+1}(F^{n+1}\Tot(K)^\bullet)\rightarrow \cdots\]이며 이를 통해 \(H^n(F^n\Tot(K)^\bullet)\)은 connecting homomorphism
\[\delta_n:\Hom_\lMod{A}(M, I^n)\rightarrow H^{n+1}(F^{n+1}\Tot(K)^\bullet)\]의 kernel임을 안다. 마찬가지 논리로 \(H^{n+1}(F^{n+1}\Tot(K)^\bullet)\)은 \(\Hom_\lMod{A}(M, I^{n+1})\)로 들어갈 것이며, 실제로 계산을 해 보면 \(\delta_n\)이 정확히 \(\Hom_\lMod{A}(M, I^n)\rightarrow \Hom_\lMod{A}(M, I^{n+1})\)로부터 오는 것을 안다. 즉,
\[H^n(F^n\Tot(K)^\bullet)=\ker\left(\Hom_\lMod{A}(M, I^n)\rightarrow \Hom_\lMod{A}(M, I^{n+1})\right)\]이다. 이제 이를 바탕으로 \(p=n-1\)인 경우의 cohomology long exact sequence를 분석하면
\[\cdots \longrightarrow \Hom_\lMod{A}(M, I^{n-1}) \overset{\delta_{n-1}}{\longrightarrow} H^n(F^n\Tot(K)^\bullet) \longrightarrow H^n(F^{n-1}\Tot(K)^\bullet) \longrightarrow 0\]에서, \(H^n(F^{n-1}\Tot(K)^\bullet)\)은 connecting homomorphism \(\delta_{n-1}\)의 cokernel이라는 것을 안다. 이 때, \(H^n(F^n\Tot(K)^\bullet)\)은 이미 \(p=n\)인 경우에 구했으며, connecting homomorphism \(\delta_{n-1}\)은 다시 \(\Hom_\lMod{A}(M, I^{n-1})\rightarrow \Hom_\lMod{A}(M, I^{n})\)으로부터 오는 것이므로
\[H^n(F^{n-1}\Tot(K)^\bullet)=\frac{\ker(\Hom_\lMod{A}(M, I^n) \to \Hom_\lMod{A}(M, I^{n+1}))}{\im(\Hom_\lMod{A}(M, I^{n-1}) \to \Hom_\lMod{A}(M, I^n))}\]을 얻는다. 이제 \(p< n-1\)에 대해서는 isomorphism (\(\ast\ast\))을 사용하여 모든 경우가 \(p=n-1\)과 isomorphic함을 알 수 있고 특히
\[H^n(\Tot(K)^\bullet) = H^n(F^0\Tot(K)^\bullet) = H^n(F^1\Tot(K)^\bullet) = \cdots = H^n(F^{n-1}\Tot(K)^\bullet) = H^n(\Hom_\lMod{A}(M, I^\bullet))\]이다. 이제 비슷한 방식으로, \(\Tot(K)^\bullet\)에 다음의 filtration
\[G^q \Tot(K)^k = \bigoplus_{\substack{j \geq q \\ p+j=k}} K^{p,j}\]을 걸고 계산하면 \(H^n(\Tot(K)^\bullet) = H^n(\Hom_\lMod{A}(P_\bullet, N))\)를 얻고, 이로부터 원하는 결과를 얻는다.
비슷한 방식으로 \(\Tor\)에 대해서도 balancing을 증명할 수 있다. 증명 구조는 동일하며, 차이는 projective module들이 flat module이므로 ([다중선형대수학] §사영가군, 단사가군, 평탄가군, ⁋정의 7) 이를 사용하여 계산을 처리해주면 된다는 것이다. 자세한 증명은 생략하기로 한다.
명제 4 두 \(A\)-module \(M \in \lMod{A}\), \(N \in \lMod{A}\), 그리고 이들의 projective resolution \(P_\bullet\rightarrow M\rightarrow 0\), \(P_\bullet'\rightarrow N\rightarrow 0\)에 대하여
\[H_n(P_\bullet \otimes_A N) \cong H_n(M \otimes_A P'_\bullet)\]이 성립한다.
예시
마지막으로 Ext와 Tor의 계산을 조금 더 구체적으로 살펴보자.
명제 5 두 정수 \(n, m \in \mathbb{Z}\)에 대해, 다음이 성립한다.
\[\Tor_i^\mathbb{Z}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}) \cong \begin{cases} \mathbb{Z}/(n,m)\mathbb{Z} & i = 0, 1\\ 0 & i \geq 2. \end{cases}\]여기서 \((m,n)\)은 \(m\)과 \(n\)의 최대공약수이다.
증명
\(i=0\)인 경우는 표준적인 계산이므로, 다음의 식
\[0 \rightarrow \mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\rightarrow 0\]이 \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\)의 projective resolution \(P_\bullet\rightarrow \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\rightarrow 0\)을 구성하는 것을 확인하자. 여기서 첫 번째 함수는 \(\mathbb{Z}\)의 원소를 \(n\)배하여 보내는 함수이다. 이제 \(\Tor\)를 계산하기 위해서는 여기에 \(-\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\)를 적용하면 된다. \(\mathbb{Z}\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}=\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\)이므로, tensor를 취한 후의 projective resolution은
\[0\rightarrow \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\rightarrow 0\]이고, 따라서 첫 번째 homology는
\[H_1(P_\bullet)=\ker(\cdot n)= \{a \in \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \mid na \equiv 0 \pmod{m}\}=\mathbb{Z}/(m,n)\mathbb{Z}\]이므로 원하는 결과를 얻는다.
이 명제는 \(\Tor\)라는 명칭의 기원을 보여주는데, \(\Tor_1^\mathbb{Z}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, \mathbb{Z}/m\mathbb{Z})\)가 nontrivial한 것은 정확히 \((n,m) > 1\), 즉 \(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\)에 \(n\)-torsion 원소가 존재할 때이며, 이 때 최대공약수 \((n,m)\)이 torsion의 양을 측정하는 것으로 생각할 수 있다.
비슷한 방식으로 \(\Ext\)에 대한 것도 살펴볼 수 있다.
명제 6 임의의 abelian group \(A\)와 \(n \in \mathbb{Z}\)에 대해, 다음이 성립한다.
\[\Ext^i_\mathbb{Z}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, A) \cong \begin{cases} A[n] & i = 0, \\ A/nA & i = 1, \\ 0 & i \geq 2. \end{cases}\]여기서 \(A[n] = \{a \in A \mid na = 0\}\)는 \(n\)-torsion subgroup이다.
증명
명제 5에서와 마찬가지의 projective resolution
\[0 \rightarrow \mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\rightarrow 0\]을 생각하고 \(\Hom_\mathbb{Z}(-,A)\)를 취하자. 그럼 \(\Hom_\mathbb{Z}(\mathbb{Z},A)\)는 \(1\)의 image에 의해 결정되므로, \(\Hom_\mathbb{Z}(\mathbb{Z}, A)\cong A\)이고 이로부터 다음의 complex
\[0 \to A \xrightarrow{\cdot n} A \to 0\]를 얻는다. 이 때, 첫 번째 함수는 \(a \mapsto na\)이며, 따라서 첫 번째 호몰로지는
\[\Ext^1_\mathbb{Z}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, A) \cong \coker(\cdot n ) = A/nA\]이다. \(\Hom_\mathbb{Z}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, A)=A[n]\)인 것은 단순 계산이다.
더 일반적으로, \(\Ext^1(M,N)\)는 \(0 \to N \to E \to M \to 0\) 형태의 short exact sequence, 즉 \(N\)에 의한 \(M\)의 extension의 equivalence class와 연결되며, 이는 Yoneda Ext를 통해 확인할 수 있다. (Wikipedia) 명제 5보다는 덜 직관적이지만, 명제 6 또한 이러한 의미에서 \(\Ext\)라는 명칭의 기원을 보여준다 할 수 있다.
마지막으로 우리는 다음을 정의한다.
정의 7 Commutative ring \(A\)와 rank \(n\) free \(A\)-module \(F\), 그리고 \(A\)-linear map \(\varphi : F \to A\)가 주어졌다 하자. 그럼 Koszul complex \(K(\varphi)_\bullet\)은 exterior algebra \(K=\bigwedge F\)에 다음과 같이 chain complex 구조를 부여한 것이다.
- 각각의 \(i\)에 대하여, \(K_i = \bigwedge\nolimits^i F\)이다.
-
각각의 \(i\)에 대하여, \(d_i: K_i \to K_{i-1}\)는 degree \(-1\)의 graded derivation으로, 식 \(d(f) = \varphi(f)\)와 Leibniz rule
\[d(\xi \wedge \eta) = d(\xi) \wedge \eta + (-1)^{\degree(\xi)} \, \xi \wedge d(\eta)\]에 의해 유일하게 결정된다.
Augmentation map \(\epsilon: K_0=A\to A/\im\varphi\)를 canonical projection으로 정의하면, \(K(\varphi)_\bullet\)을 \(A/\im\varphi\)의 resolution으로 생각할 수 있다. 편의상 \(F\)의 basis \(e_1, \ldots, e_n\)을 고정하고 \(\x_i = \varphi(e_i)\)라 하면 \(\im\varphi = (\x_1, \ldots, \x_n)\)이므로, 이를 \(K_\bullet(\x_1, \ldots, \x_n)\)이라고도 쓴다.
만일 \(\x_1, \ldots, \x_n\)이 \(A\)에서 regular sequence라면, Koszul complex는 \(A/(\x_1, \ldots, \x_n)\)의 free resolution이 된다. ([가환대수학] §정칙국소환, ⁋정의 2) 즉
\[0 \to K_n \to \cdots \to K_1 \xrightarrow{d_1} A \xrightarrow{\epsilon} A/(\x_1, \ldots, \x_n) \to 0\]이 exact하다.
이를 보이기 위해 \(n\)에 대한 귀납법을 사용한다. \(n = 0\)인 경우는 자명하므로, \(n-1\)개의 원소에 대해 \(K(\x_1, \ldots, \x_{n-1})\)가 exact함을 가정하자.
\(\x_n\)이 regular sequence의 마지막 원소이므로, \(\x_n\)은 \(A/(\x_1, \ldots, \x_{n-1})\) 위에서 non-zerodivisor이다. 따라서 \(\bar{\x}_i\)를 \(\x_i\)의 \(A/(\x_n)\)에서의 image라 하면, \(\bar{\x}_1, \ldots, \bar{\x}_{n-1}\)은 \(A/(\x_n)\) 위에서 regular sequence가 되고, 귀납적 가정에 의해 \(K'_\bullet = K(\bar{\x}_1, \ldots, \bar{\x}_{n-1})\)는 \(A/(\x_1, \ldots, \x_n)\)의 free resolution이다.
이제 \(K(\x_1, \ldots, \x_n)_i\)를 관찰하면, 정의에 의해
\[K(\x_1, \ldots, \x_n)_i \cong K'_i \oplus K'_{i-1} \cdot e_n\]이며, \(d_i\)는 행렬
\[d_i = \begin{pmatrix} d'_i & (-1)^i \x_n \\ 0 & d'_{i-1} \end{pmatrix}\]의 형태를 갖는다. \((\alpha, \beta) \in \ker d_i\)라 하면 \(d'_{i-1}(\beta) = 0\)이므로, 귀납적 가정에 의해 \(\beta = d'_i(\gamma)\)인 \(\gamma\)가 존재한다. 또한 \(d'_i(\alpha) = (-1)^{i+1} \x_n \beta\)이므로 \(d'_i(\alpha + (-1)^{i+1} \x_n \gamma) = 0\)이고, 다시 귀납적 가정에 의해 \(\alpha + (-1)^{i+1} \x_n \gamma \in \im d'_{i+1}\)이다. 따라서 \(\ker d_i \subseteq \im d_{i+1}\)이고, 반대방향 포함관계는 자명하다.
이는 특히 field \(\mathbb{K}\) 위의 polynomial algebra \(A=\mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_n]\)과 regular sequence \((\x_1,\ldots, \x_n)\)의 경우에 잘 적용된다. 이 때 \(F=\bigoplus_1^nAe_i\)이고 augmentation map은 \(e_i\mapsto \x_i\)로 주어진다. 위의 논의에 의해 Koszul complex는 \(\mathbb{K}\)의 free resolution이 되며, 각각의 \(K_i\)는 free \(A\)-module이므로 \(-\otimes_A\mathbb{K}\)를 적용하면 다음의 complex
\[0 \to \bigwedge\nolimits^n \mathbb{K}^n \to \cdots \to \bigwedge\nolimits^1 \mathbb{K}^n \to \bigwedge\nolimits^0 \mathbb{K}^n \to 0\]을 얻으며, 이는 \(A/(\x_1,\ldots, \x_n)\cong \mathbb{K}\)의 resolution이다. 한편 \(d_i\)는 \(\varphi\)로부터 유도된 것이므로, \(-\otimes_A \mathbb{K}\)를 적용하면 모든 \(\x_j\)-계수가 \(0\)으로 가므로 \(d_i \otimes 1 = 0\)이다. 따라서
\[\Tor_i^A(\mathbb{K}, \mathbb{K}) = H_i(K_\bullet \otimes_A \mathbb{K}) = K_i \otimes_A \mathbb{K} \cong \bigwedge\nolimits^i_{\mathbb{K}}(\mathbb{K}^n).\]을 얻는다.
이 계산은 나중에 다항식 환 \(\mathbb{K}[\x_1, \ldots, \x_n]\)의 global dimension이 \(n\)임을 보여주는 데 사용된다. (##ref##)
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