집합의 곱
순서쌍을 가장 자연스럽게 일반화하는 것은 함수이다. 예컨대 \(n\)-tuple은 \(I=\{1,2,\cdots, n\}\)을 정의역으로 갖는, \(i\)를 넣으면 \(i\)번째 성분을 돌려주는 함수로 생각할 수 있다.
예컨대 집합 \(A_1\), \(A_2\)에 대하여 \(A_1\times A_2\)은 순서쌍들 \((x_1,x_2)\)의 모임이다. 위와 같이 순서쌍을 함수로 보자면, \(A_1\times A_2\)는 정의역 \(\{1,2\}\)를 갖는
그럼 일반적인 family의 곱은 다음과 같이 정의하는 것이 자연스럽다.
정의 1 \((A_i)_{i\in I}\)가 집합들의 family라 하자. 그럼 \(I\)에서 \(\bigcup A_i\)로의 모든 함수들 중, \(x_i=f(i)\in A_i\)를 만족하는 것들의 모임 \(P\)를 이 family의 곱product이라 부른다.
집합들의 family를 표기할 때와 마찬가지로, \(P\)의 원소들을 \((x_i)_{i\in I}\)로 적으며, 각각의 \(x_i\)를 \(i\)번째 성분이라 부르며, \(F\in P\)를 \(F(i)\)로 대응시키는 함수를 \(i\)번째 성분함수라 부르고 \(\pr_i\)로 적는다.
따라서 집합의 곱을 생각하는 것은
집합 \(A,B\)가 주어졌다고 하자. 그럼 \(A\)에서 \(B\)로의 함수는 \(\mathcal{P}(A\times B)\)의 원소이므로, 이들의 모임은 \(\mathcal{P}(A\times B)\)의 부분집합이 된다. 이를 우리는 \(B^A\)로 적는다. \(A\)에서 \(B\)로의 함수들의 집합을 \(\Fun(A,B)\)라 하자. 그럼 임의의 \(F\in B^A\)에 대하여, \(f=(F,A,B)\)는 \(A\)에서 \(B\)로의 함수이며, 이 대응 \(F\mapsto f\)는 \(B^A\)에서 \(\Fun(A,B)\)로의 함수이다.
한편, 임의의 함수 \(f=(F,A,B)\)에 대하여, \(B^A\)의 원소 \(F\)를 대응시키면 이 대응은 함수일 뿐만 아니라, 앞서 정의한 대응의 역함수임을 쉽게 확인할 수 있다. 즉 \(B^A\)와 \(\Fun(A,B)\) 사이의 자연스러운 전단사함수가 존재하여 이 두 집합을 서로 같은 것으로 생각할 수 있다.
함수들 \(u:A'\rightarrow A\)와 \(v:B\rightarrow B'\)가 주어졌다고 하고, 다음의 diagram을 생각하자.
이 diagram에서, 어떤 함수 \(f:A\rightarrow B\)가 주어질 때마다 우리는 이에 해당하는 \(A'\)에서 \(B'\)로의 함수 \(\tilde{f}=v\circ f\circ u\)를 생각할 수 있다. 이 대응 \(f\mapsto \tilde{f}\)는 \(\Fun(A, B)\)에서 \(\Fun(A', B')\)로의 함수이다.
명제 2 위의 diagram에서, \(u\)가 전사함수고 \(v\)가 단사함수라면 \(f\mapsto \tilde{f}\)는 단사함수다. 만일 \(u\)가 단사함수고 \(v\)가 전사함수라면, \(f\mapsto \tilde{f}\)는 전사함수다.
증명
우선 \(u\), \(v\)가 각각 전사함수와 단사함수라 하자. 주어진 함수 \(f\mapsto\tilde{f}\)가 단사임을 보이기 위해서는 \(\tilde{f}=\tilde{g}\)라면 \(f=g\)임을 보여야 한다. \(s\)와 \(r\)을 각각에 해당하는 section과 retraction이라 하자. 만일 \(\tilde{f}=\tilde{g}\)라면,
\[\begin{aligned} f&=\id_B\circ f\circ\id_A=(r\circ v)\circ f\circ(u\circ s)=r\circ(v\circ f\circ u)\circ s\\ &=r\circ\tilde{f}\circ s=r\circ\tilde{g}\circ s\\ &=r\circ(v\circ g\circ u)\circ s=(r\circ v)\circ g\circ (u\circ s)=\id_B\circ g\circ\id_A=g \end{aligned}\]이므로 \(f=g\)이다. 따라서 주어진 함수는 단사함수다.
비슷하게 \(u\)와 \(v\)가 각각 단사함수, 전사함수라 하자. 임의의 \(f'\in\Fun(A',B')\)에 대하여 \(\tilde{f}=f'\)인 \(f\in\Fun(A,B)\)가 존재함을 보여야 한다. \(r'\), \(s'\)가 각각 \(u\)와 \(v\)의 retraction과 section이라 하자. 그럼
\[f'=\id_{B'}\circ f'\circ\id_{A'}=(v\circ s')\circ f'\circ(r'\circ u)=v\circ(s'\circ f'\circ r')\circ u\]이므로, \(f=s'\circ f'\circ r'\)는 \(\Fun(A,B)\)의 원소이며 \(f'=\tilde{f}\)를 만족한다. 따라서 주어진 함수는 전사함수다.
특별히 만일 \(u\)와 \(v\)가 모두 전단사라면 \(f\mapsto \tilde{f}\) 또한 전단사함수가 된다.
앞서 집합들 사이의 합이 universal property를 만족했었는데, 마찬가지로 곱도 비슷한 universal property를 만족한다.
정리 3 집합들의 family \((A_i)\)들의 곱 \(P\)와, 성분함수들 \(\pr_i:P\rightarrow A_i\)가 주어졌다 하자. 다른 집합 \(B\)와, 함수들 \(f_i:B\rightarrow A_i\)가 주어졌다고 하면, 식 \(f_i=\pr_i\circ f\)를 만족하도록 하는 유일한 함수 \(f:B\rightarrow P\)가 존재한다.
증명
우선 주어진 조건 \(f_i=\pr_i\circ f\)를 만족하는 함수 \(f,f'\)가 주어졌다 하자. 우리는 임의의 \(y\in B\)에 대해 \(f(y)=f'(y)\)임을 보여야 한다. 그런데 \(f(y)\)와 \(f'(y)\)는 어차피 \(A\)의 원소이므로 함수(순서쌍)이고, 따라서 \(i\)가 대응되는 값(\(i\)번째 좌표)들에 의해 결정된다. 따라서 임의의 \(y\in B\)와 \(i\in I\)가 주어졌다고 할 때, \(\pr_i(f(y))=\pr_i(f'(y))\)라는 것을 보이면 충분하다. 그런데
\[\pr_i(f(y))=f_i(y)=\pr_i(f'(y))\]이므로, 그러한 함수 \(f\)는 유일해야 한다.
존재성의 경우, 마찬가지로 위의 유일성 증명에 힌트를 얻어 \(f(y)\)의 값을
\((f(y))(i)=f_i(y)\)를 만족하는 함수 (혹은 \(i\)번째 좌표가 \(f_i(y)\)인 순서쌍)
으로 정의한 후 이 대응 \(y\mapsto f(y)\)가 실제로 함수임을 보이면 된다.
이제 정리 3의 조건을 만족하는 \((P, \pr_i)\)가 적어도 하나는 존재하므로 (정의 1), 이를 곱집합의 정의로 삼아도 된다. 즉, \((A_i)_{i\in I}\)들의 곱은 다음의 universal property를 만족하는 집합 \(\prod_{i\in I} A_i\)와 함수들 \(\pr_i:\prod_{i\in I}A_i\rightarrow A_i\)이라 할 수 있다.
§집합의 합, ⁋따름정리 9와 정확하게 같은 논리를 펼치면 이 universal property를 만족하는 대상 및 \(\pr_i\)들 또한 전단사함수에 대해 유일함을 확인할 수 있다.
명제 4 집합 \(A\), \(B\), \(C\)에 대해 \(f:B\times C\rightarrow A\)라 하자. 만일 \(\tilde{f}\)가 \(C\)에서 \(\Fun(B,A)\)로의 함수 \(y\mapsto f(-,y)\)라면, \(f\mapsto\tilde{f}\)는 전단사함수이다. 즉, \(\Fun(B\times C,A)\)와 \(\Fun(C, \Fun(B, A))\) 사이의 전단사함수가 존재한다.
증명
우선 \(\tilde{f}\)는 \(C\)에서 \(\Fun(B,A)\)로의 함수이므로, \(\tilde{f}\in\Fun(C,\Fun(B,A))\)이다. 따라서 주어진 함수는 \(\Fun(B\times C, A)\)에서 \(\Fun(C, \Fun(B,A))\)로의 함수이다. 우리는 이 함수가 전단사임을 보이기 위해 역함수를 만들 것이다.
\(g\in\Fun(C, \Fun(B,A))\)가 주어졌다고 하자. 그럼 임의의 \(y\in C\)에 대하여, \(g(y)\)는 \(\Fun(B, A)\)의 원소이다. 이제 \(\bar{g}:B\times C\rightarrow A\)를 \((x, y)\)를 \(g(y)(x)\)로 보내는 함수로 정의하자. 그럼 임의의 \(g\in \Fun(C,\Fun(B,A))\)에 대하여, \(g\)를 \(\bar{g}\)로 보내는 함수
\[\begin{aligned} -:\Fun(C, \Fun(B,A))&\rightarrow\Fun(B\times C,A)\\ g\phantom{function}&\mapsto\phantom{function}\bar{g} \end{aligned}\]를 생각할 수 있다. 앞서 말한대로, 우리는 이 함수 \(-\)가 원래의 함수
\[\begin{aligned} \sim\;:\Fun(B\times C,A)&\rightarrow\Fun(C, \Fun(B,A))\\ f\phantom{function}&\mapsto\phantom{function}\tilde{f} \end{aligned}\]의 역함수임을 보여야 한다.
임의의 \(f:B\times C\rightarrow A\)에 대하여, \(\tilde{f}\in \Fun(C, \Fun(B, A))\)이다. 이제 이 함수를 거꾸로 \(-\)를 타고 \(\Fun(B\times C,A)\)로 보내자. 그럼 이 결과 \(\bar{\tilde{f}}\)는 \((x, y)\)를 \(\tilde{f}(y)(x)\)로 보내는 함수이다. 그런데 \(\tilde{f}(y)\)는 함수 \(f(-, y)\)이므로 \(\bar{\tilde{f}}=f\)이다.
한편 임의의 \(g\in\Fun(C, \Fun(B, A))\)에 대하여, \(\bar{g}\)를 먼저 적용한 후 \(\tilde{\bar{g}}\)를 조사해보면, \(\tilde{\bar{g}}\)는 \(y\mapsto \bar{g}(-,y)\)로 정해지는 함수이다. 그런데 \(\bar{g}\)의 정의에 의하여 이는 다시 \(y\)를 \(g(y)(-)\)로 보내는 함수이다. 즉 \(\tilde{\bar{g}}\)는 다시 \(g\)가 된다. 이로부터 \(\bar{\tilde{f}}=f\)이고 \(\tilde{\bar{g}}=g\)이므로 이들은 서로 역함수 관계이다. 즉, 우리는 다음을 보인 것이다.
그러므로 \(\sim\;:f\mapsto\tilde{f}\)는 전단사이다.
우리는 합집합을 정의한 직후에, index set을 전사함수를 통해 바꾸어도 아무런 일도 일어나지 않음을 보았는데, 집합들의 곱에서는 전단사함수를 통해 바꾸어도 아무런 일도 일어나지 않는다.
명제 5 \((A_i)_{i\in I}\)가 집합들의 family이고 \(u:K\rightarrow I\)가 전단사라 하자. 임의의 \(f:I\rightarrow \prod_{i\in I}A_i\)에 대해, 이를 \(f\circ u: K\rightarrow \prod_{i\in I} A_i\)로 보내는 함수 \(f\mapsto f\circ u\)는 전단사함수이다.
증명
다음의 diagram을 생각하자.
여기서 \(v\)는 \((x_i)_{i\in I}\)를 \((x_{u(k)})_{k\in K}\)로 대응시키는 전단사함수이다. 그럼 위의 명제 2에 의하여 \(F\mapsto F\circ U\)는 전단사다.
참고문헌
[HJJ] K. Hrbacek, T.J. Jeck, and T. Jech. Introduction to Set Theory. Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics. M. Dekker, 1978.
[Bou] N. Bourbaki, Theory of Sets. Elements of mathematics. Springer Berlin-Heidelberg, 2013.
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