노름과 대각합의 정의
언제나처럼 commutative ring \(A\)가 주어졌다 하고, 이번에는 unital associative \(A\)-algebra \(E\)가 주어졌다 하자. 그럼 임의의 \(E\)-module은 항상 restriction of scalar를 통해 \(A\)-module로 생각할 수 있다.
정의 1 \(E\)-module \(M\)이 주어졌다 하고, \(M\)이 \(A\)-module로서 유한한 basis를 갖는다 하자. 임의의 \(\alpha\in E\)에 대하여, 다음의 \(E\)-module endomorphism
\[\alpha_M: x\mapsto \alpha x\]이 주어졌다 하자. 그럼 \(\alpha_M\)의 trace, determinant, characteristic polynomial을 각각 \(\alpha\)의 trace, norm, characteristic polynomial이라 부르고,
\[\tr_{M/A}(\alpha)=\tr(\alpha_M),\qquad N_{M/A}(\alpha)=\det(\alpha_M),\qquad \chi_{M/A,\alpha}(\x)=\chi_{\alpha_M}(\x)\]으로 표기한다.
그럼 trace와 determinant의 성질로부터
\[\tr_{M/A}(\alpha+\beta)=\tr_{M/A}(\alpha)+\tr_{M/A}(\beta),\qquad \tr_{M/A}(\alpha\beta)=\tr_{M/A}(\beta\alpha),\qquad N_{M/A}(\alpha\beta)=N_{M/A}(\alpha)N_{M/A}(\beta)\]를 얻는다. 또, 이들을 행렬의 trace, determinant, characteristic polynomial로 볼 수 있는 것도 앞선 글에서 살펴보았다.
특히 만일 commutative \(A\)-algebra \(A'\)가 주어졌다 하자. 그럼 \(M'=A'\otimes_AM\), \(E'=A'\otimes_AE\)를 통해 \(M'\)을 \(E'\)-module로 볼 수 있고, 이 때의 basis는 \(1\in A'와\)M\(의\)E$-basis를 텐서한 것으로 주어지므로, 다시 행렬 표현으로부터
\[\tr_{M'/A'}(1 \otimes \alpha) = \tr_{M/A}(\alpha) \cdot 1,\qquad N_{M'/A'}(1 \otimes \alpha) = N_{M/A}(\alpha) \cdot 1,\qquad\chi_{M'/A',\,1 \otimes \alpha}(x) = \chi_{M/A,\,\alpha}(x) \cdot 1\]임을 안다. 특히 \(A' = A[\x]\)일 때는
\[\chi_{M/A,\,\alpha}(\x) = N_{M[\x]/A[\x]}(\x - \alpha)\]가 성립한다.
주목할 만한 사실은 위의 선택은 \(M\)의 isomorphism class에만 의존한다는 것이다. 이는 \(M\)에서 \(M'\)로의 isomorphism이 있다면 이 isomorphism을 따라 \(M\)의 basis가 \(M'\)의 basis로 옮겨지며, 이 basis에 대해 \(\alpha_{M'}\)을 행렬로 나타낸 것이 원래의 basis에 대해 \(\alpha_M\)을 행렬로 나타낸 것과 같기 때문이다. 다음 명제도 비슷한 방식으로 증명할 수 있다.
명제 2 \(E\)-module \(M\)의 submodule들의 decreasing sequence
\[M = M_0 \supset M_1 \supset \cdots \supset M_r = \{0\}\]가 주어졌다 하고, 각 \(P_i := M_{i-1}/M_i\)가 \(A\)-module로 finitely generated라 하자.
그럼 \(M\) 역시 \(A\)-module로서 finite basis를 가지며, 모든 \(\alpha \in E\)에 대해 다음의 식
\[\tr_{M/A}(\alpha) = \sum_{i=1}^r \tr_{P_i/A}(\alpha),\qquad N_{M/A}(\alpha) = \prod_{i=1}^r N_{P_i/A}(\alpha),\qquad \chi_{M/A,\alpha}(x) = \prod_{i=1}^r \chi_{P_i/A,\alpha}(x)\]이 성립한다.
증명
\(P_i\)의 \(A\)-basis를 \(\mathcal{B}_i'\)라 하자. 이들을 lift하면 \(M_{i-1}\)의 supplementary \(A\)-submodule \(\mathcal{B}_i\)의 basis로 확장할 수 있고, 그 합집합 \(\mathcal{B} = \bigcup \mathcal{B}_i\)는 \(M\)의 \(A\)-basis가 된다. 이제 각 \(\alpha \in E\)에 대해, endomorphism \(\alpha_{P_i}\)의 \(\mathcal{B}_i\)에 대한 행렬을 \(X_{ii}\)라 하면, \(\alpha_M\)의 전체 행렬
\[e_M \sim \begin{pmatrix} X_{rr} & * & \cdots & * \\ 0 & X_{r-1,r-1} & \cdots & * \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & X_{11} \end{pmatrix}\]은 block upper-triangular 형태를 가지며 각 대각블록이 \(X_{ii}\)가 된다. 이제 trace는 대각합, determinant는 대각곱, characteristic polynomial은 대각 항들의 곱으로 주어지므로 명제가 성립한다.
같은 원리로 다음이 성립한다.
명제 3 \(E, E'\)를 \(A\)-algebra라 하고, \(M\)과 \(M'\)을 각각 \(E\), \(E'\)-module이라 하자.
\(M\)과 \(M'\)이 각각 \(A\)-module로서 free이고, 각각 rank \(n\), \(n'\)을 갖는다 하자. 먼알 \(M \otimes_A M'\)은 \(E \otimes_A E'\)-module로 취급한다면, 임의의 \(\alpha \in E\), \(\alpha' \in E'\)에 대해 다음의 식
이 성립한다.
이제 우리는 본격적인 정의에 들어간다. 본질적으로 norm은 determinant이고, determinant는 행렬의 가역성을 판단하는 도구이므로 다음이 성립하는 것은 이상한 일이 아니다.
명제 4 \(E\)가 유한한 \(A\)-basis를 갖는 \(A\)-algebra라고 하자.
\(\alpha \in E\)가 invertible하기 위한 필요충분조건은 \(N_{E/A}(\alpha)\)가 \(A\)에서 invertible인 것이다.
증명
\(\alpha\)가 \(E\)에서 inverse \(\alpha' \in E\)를 갖는다고 하자. 이때
\[N_{E/A}(\alpha)N_{E/A}(\alpha') = N_{E/A}(\alpha\alpha') = N_{E/A}(1) = 1\]이므로 \(N_{E/A}(\alpha)\)는 \(A\)에서 invertible이다.
반대로, \(N_{E/A}(\alpha)\)가 \(A\)에서 invertible이라 하자. 그러면 \(A\)-module endomorphism
\[h : x \mapsto \alpha x\]는 injective이고 \(E\)는 finitely generated이므로 \(h\)는 bijective이다. 이제 \(\alpha\alpha' = 1\)인 \(\alpha' \in E\)를 잡으면,
\[h(\alpha'\alpha- 1) = \alpha\alpha'\alpha - \alpha = (\alpha'\alpha - 1)\alpha = 0\]이므로 \(\alpha'\alpha = 1\)이 되고, \(\alpha'\)는 \(\alpha\)의 inverse가 된다.
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