우리는 위상수학에서 위상다양체의 개념을 정의했는데, 이 글타래에서는 미분다양체, 그 중에서도 특히 매끄러운 다양체를 다룬다.
표기법
앞으로 \(m\)차원의 좌표계를 다룰 일이 많으므로 다음과 같이 표기법을 고정하기로 한다. \(\mathbb{R}^m\)에 대하여, \(i\)번째 projection \(\pr_i\)를 \(r^i\)로 표기한다. 비슷하게, 임의의 집합 \(X\)와 함수 \(f:X\rightarrow\mathbb{R}^m\)에 대하여, \(f\)의 \(i\)번째 성분함수는 식 \(f^i=r^i\circ f\)으로 정의된다.
이제 함수 \(f\)가 \(\mathbb{R}^m\)에서 \(\mathbb{R}\)로의 함수라 하자. 그럼 \(f\)의 \(i\)번째 성분에 대한 편미분을 다음의 식
\[\frac{\partial}{\partial r^i}\bigg|_t f=\frac{\partial f}{\partial r^i}\bigg|_t=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(t^1,\ldots, t^{i-1}, t^i+h, t^{i+1},\ldots, t^m)-f(t^1,\ldots, t^m)}{h}\]으로 정의하기로 한다. 위의 표기법과 같이, [Lee]의 표기를 따라 \(i\)번째 성분을 \(x_i\) 대신 \(x^i\)로 적기로 한다.
만일 각각의 성분함수들이 \(k\)번 미분가능하고, 그 결과가 연속이라면 함수 \(f\)가 \(C^k\)라 부른다. 예를 들어 함수 \(f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}\)이 \(C^2\)라는 것은 다음의 편미분들
\[\frac{\partial^2 f}{\partial x^2},\quad\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y},\quad\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x},\quad\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\]이 모두 존재하고 연속인 것이다. 함수 \(f\)가 모든 자연수 \(k\)에 대하여 \(C^k\)라면 이를 \(C^\infty\)라 부른다.
미분다양체
일반적인 위상공간과 달리, topological manifold는 국소적으로 \(\mathbb{R}^n\)과 닮아 있으므로, 여기에서 정의된 미분의 개념을 \(M\)으로 가져올 수 있다. 이것이 가능한 이유는 미분가능성이 본질적으로는 국소적인 성질이기 때문이다.
정의 1 Topological manifold \(M\)이 주어졌다 하자. \(0\leq k\leq\infty\)에 대해, coordinate chart들 \((U,\varphi)\)와 \((V,\psi)\)가 \(C^k\)-compatible인 것은 두 transition map들
\[\psi\circ\varphi^{-1}:\varphi(U\cap V)\rightarrow\psi(U\cap V),\qquad\varphi\circ\psi^{-1}:\psi(U\cap V)\rightarrow\varphi(U\cap V)\]가 모두 \(C^k\)인 것이다. \(C^k\)-compatible한 chart들의 모임 \(\mathcal{A}=\{(U_\lambda, \varphi_\lambda)\}_{\lambda\in\Lambda}\)이 \(M=\bigcup U_\lambda\)을 만족한다면 \(\mathcal{A}\)를 \(C^k\)-atlas라 부른다.
\(M\) 위에 정의된 \(C^k\)-atlas 중, 포함관계에 대해 maximal인 atlas를 \(C^k\)-differentiable structure\(k\)급 미분구조라 부르고, 이 때 \(M\)을 \(C^k\)-differentiable manifold\(k\)급 미분다양체라 부른다. 특별히 \(k=\infty\)인 경우 이 구조를 smooth differentiable manifold매끄러운 미분다양체 혹은 더 간단히 differentiable manifold미분다양체라 부른다.
이 정의에서 maximal atlas가 미분구조를 주는 것으로 생각하는 이유는 maximal atlas가 아닌 두 atlas가 본질적으로 같은 미분구조를 주는 것이 얼마든 가능하기 때문이다. 예를 들어 \(\mathbb{R}\)은 다음의 \(C^\infty\)-atlas
\[\mathcal{A}=\{(\mathbb{R}, \id_\mathbb{R})\}\]도 갖지만, 또 다른 atlas
\[\mathcal{A}'=\{((-\infty, 1), \id_{(-\infty, 1)}), ((-1, \infty),\id_{(-1,\infty)})\}\]또한 갖는다. 그러나 명제 3에서 확인할 수 있듯, 임의의 atlas가 주어진다면 이를 포함하는 maximal atlas가 유일하게 결정되므로 본질적인 의미에서 이는 그렇게 큰 차이는 아니다.
한편, 수학에서 어떠한 대상을 알기 위해서는 이 대상 위에 정의된 함수를 알면 된다. 앞으로 모든 manifold는 smooth differentiable manifold인 것으로 생각한다.
정의 2 Manifold \(M\)과 한 점 \(p\in M\)을 생각하자. \(p\)의 적당한 열린근방에서 정의된 함수 \(f\)가 \(p\)에서 \(C^\infty\)이라는 것은 \(p\)를 포함하는 어떤 coorinate chart \((U,\varphi)\)에 대하여, 함수 \(f\circ\varphi^{-1}:U'\rightarrow \mathbb{R}\)이 점 \(\varphi(p)\)에서 \(C^\infty\)인 것이다.
점 \(p\)의 또 다른 열린근방에서 coordinate chart \((V,\psi)\)가 정의되었다 하자. 만일 \(f\circ\varphi^{-1}\)이 \(\varphi(p)\)에서 \(C^\infty\)이지만 \(f\circ\psi^{-1}\)은 \(\psi(p)\)에서 그렇지 않다면 이 정의는 좋은 정의가 아니다. 그러나 \(\psi(U\cap V)\)에서
\[f\circ\psi^{-1}=(f\circ\varphi^{-1})\circ(\varphi\circ\psi^{-1})\]이므로 \(f\circ\psi^{-1}\)은 점 \(\psi(p)\)에서 \(C^\infty\)이다. 이와 비슷한 논증을 통해 다음을 보일 수 있다.
명제 3 Topological manifold \(M\) 위에 \(C^k\)-atlas \(\mathcal{A}\)가 주어졌다 하자. 그럼 \(\mathcal{A}\)를 포함하는 maximal \(C^k\)-atlas가 유일하게 존재한다. 따라서 임의의 \(C^k\)-atlas \(\mathcal{A}\)는 \(M\) 위에 유일한 \(C^k\)-differentiable structure를 정의한다.
증명
\(\mathcal{A}'\)를 다음의 식
\[\mathcal{A}'=\{(V,\psi)\mid\psi\circ\varphi_\lambda^{-1}, \varphi_\lambda\circ\psi^{-1}\text{ are $C^k$ for all $\varphi_\lambda\in\mathcal{A}$}\}\]으로 정의하면 된다. 그럼 \(\mathcal{A}'\)는 \(\mathcal{A}\)를 포함하고, 따라서 \(M\)을 coordinate chart들로 덮을 수 있다. 한편, \((V,\psi)\), \((V',\psi')\)가 \(\mathcal{A}'\)의 원소들이고 \(V\cap V'\neq\emptyset\)이라면 transition map
\[\psi'\circ\psi^{-1}:\psi(V\cap V')\rightarrow\psi'(V\cap V')\]는 \(C^k\)이다. 임의의 \(p\in\psi(V\cap V')\)에 대하여, \(p\in U\)를 만족하는 \((U,\varphi)\in\mathcal{A}\)를 뽑아오면 \(U\cap V\cap V'\) 위에서
\[\psi'\circ\psi^{-1}=(\psi'\circ\varphi^{-1})\circ(\varphi\circ\psi^{-1})\]가 되어 \(\psi'\circ\psi^{-1}\)가 점 \(p\)에서 \(C^k\)이기 때문이다. 점 \(p\)는 임의로 택한 점이므로, 이것이 \(\psi'\circ\psi^{-1}\)이 \(C^k\)임을 보여준다. 물론 \((V,\psi)\)와 \((V',\psi')\)의 역할을 바꾸면 반대방향 transition map 또한 \(C^k\)임을 보일 수 있다.
당연히 정의에 의해 \(\mathcal{A}'\)는 maximal \(C^k\)-atlas가 되고, 이는 유일함을 쉽게 확인할 수 있다.
예시 4 실수집합 \(\mathbb{R}\) 위에 두 개의 atlas
\[\mathcal{A}_1=\{(\mathbb{R},\id_\mathbb{R})\},\qquad \mathcal{A}_2=\{(\mathbb{R}, x\mapsto x^3)\}\]를 주자. 이들은 하나의 chart로 이루어진 atlas들이므로 당연히 \(C^\infty\)이다. 앞선 명제 3에 의하여 이들 각각을 포함하는 미분구조가 존재한다. 그러나 이들은 서로 같지 않다. 두 chart \((\mathbb{R},\id_\mathbb{R})\)과 \((\mathbb{R}, x\mapsto x^3)\)이 서로 \(C^\infty\)-compatible이 아니기 때문이다. (\(x\mapsto x^3\)은 \(C^\infty\) 함수지만, 그 역함수 \(x\mapsto x^{1/3}\)은 그렇지 않다)
다만, 예시 4의 두 atlas는 서로
Smooth partition of unity
임의의 topological manifold에서는 continuous partition of unity가 존재한다는 것을 보일 수 있었는데, differentiable manifold를 다룰 때는 연속인 partition of unity는 별 도움이 되지 않는다. 가령 임의의 \(C^\infty\) 함수를 연속이기만 한 partition of unity와 곱한다면 이 함수의 미분가능한 정도가 바로 약화될 것이다.
따라서 우리는 smooth partition of unity를 만들어야 하는데, 이는 다음의 보조정리만 보이면 충분하다.
보조정리 5 (\(C^\infty\) Urysohn lemma) 실수 \(a'<a<b<b'\)가 주어졌다 하자. 그럼 \([a,b]\) 위에서는 \(1\)이고, \((a',b')\) 바깥에서는 \(0\)인 \(C^\infty\) 함수 \(\psi:\mathbb{R}\rightarrow[0,1]\)이 존재한다.
증명
일반성을 잃지 않고 \(a'=-2,a=-1,b=1,b'=2\)로 두어도 된다. 우선 함수 \(f\)를
\[f(t)=\begin{cases}e^{-1/t}&t>0\\0&t\leq 0\end{cases}\]으로 두자. 그럼 특히 \(f\)는 항상 음이 아니며, \(C^\infty\)가 된다. 이제
\[g(t)=\frac{f(t)}{f(t)+f(1-t)}\]으로 정의하면 \(g\)는 마찬가지로 항상 음이 아니며, 그 값은 항상 1보다 작거나 같고 특히 \(t\geq 1\)인 경우 함수값이 항등적으로 1, \(t\leq 0\)인 경우 함수값이 항등적으로 0이 된다. 따라서 \(\psi\)를 다음의 식
\[\psi(t)=g(t+2)g(2-t)\]으로 정의하면 된다.
일반적인 Urysohn lemma 대신 위의 \(C^\infty\) Urysohn lemma를 사용하면 differentiable manifold 위에서의 smooth partition of unity를 만들 수 있다.
참고문헌
[Lee] John M. Lee. Introduction to Smooth Manifolds, Graduate texts in mathematics, Springer, 2012
[War] Frank W. Warner. Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Graduate texts in mathematics, Springer, 2013
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