함수는 특정한 조건을 만족하는 이항관계이며, 앞서 우리는 이항관계의 합성과 역을 이미 정의한 적이 있다. 함수의 합성과 역이 잘 정의되기 위해서는 이를 이항관계로서 합성하거나, 혹은 이항관계로서 역을 취했을 때 그 결과물이 함수가 되어야 한다.
함수의 합성
함수의 합성은 특별하지 않다.
명제 1 함수 \(f:A\rightarrow B\)와 \(g:B\rightarrow C\)를 생각하자. 그럼 \(g\circ f\)는 \(A\)에서 \(C\)로의 함수이다.
증명
우선 \(g\circ f\)의 정의역이 \(A\) 전체임은 자명하다. \(f\)의 값은 모든 \(A\)의 원소들에 대해 정의되고, 또 \(g\)의 값 또한 모든 \(B\)의 원소, 특히 모든 \(f(A)\subseteq B\)의 원소에 대해 정의되기 때문이다. 따라서 주어진 명제를 보이기 위해서는
어떠한 \(x\in A\)에 대해서도 \((x,z)\), \((x,z')\in G\circ H\)라면 반드시 \(z=z'\)이다.
를 보이면 충분하다.
\((x,z),(x,z')\in G\circ F\)라 가정하자. 그럼 \(G\circ F\)의 정의에 의하여, \((x,y)\in F\), \((y,z)\in G\)이고 \((x,y')\in F\), \((y',z')\in G\)이도록 하는 \(y,y'\)가 각각 존재한다. 그런데 \(f\)가 함수이므로 \((x,y)\in F\)와 \((x,y')\in F\)로부터 \(y=y'\)이다. 이제 두 조건 \((y,z)\in G\)와 \((y',z')\in G\), 그리고 \(y=y'\)인 것과 \(g\)가 함수인 것으로부터 \(z=z'\)임을 안다.
따라서, 함수의 합성은 별다른 것이 아니라 단순히 이항관계의 합성과 같으며, 그 결과로 얻어지는 이항관계가 항상 함수가 된다.
역함수
역함수를 정의하는 것은 조금 더 복잡하다. 이항관계로서 함수 \(f\)의 역관계 \(f^{-1}\)을 생각할 수는 있지만 이 관계는 함수가 되지 않을 수도 있다. \(f^{-1}\)이 언제 함수가 되는지를 말하려면 단사함수, 전사함수, 전단사함수를 먼저 정의해야 한다.
정의 2 함수 \(f:A\rightarrow B\)를 생각하자. \(f\)가 단사injective라는 것은 \(A\)의 임의의 두 원소가 \(f\)에서 다른 함숫값을 갖는 것이다. \(f\)가 전사surjective라는 것은 \(f(A)=B\)인 것이다. 만일 \(f\)가 단사함수인 동시에 전사함수라면, 이 함수가 전단사bijective라고 한다.
이들 용어가 정착된 것은 수학사 전체적으로 보면 얼마 되지 않았고, 그 전까지는
- Injection이라는 용어 대신 one-to-one,
- Surjection이라는 용어 대신 onto,
- Bijection이라는 용어 대신 one-to-one and onto
와 같은 용어들을 사용했으며, 고등학교 때 흔히 사용하던 일대일함수, 일대일대응 등의 한글 용어는 이러한 용어들의 흔적이다.
예시 3 \(A\subseteq B\)라 하자. \(f:A\rightarrow B\)를 \(x\mapsto x\)로 정의하면 이 함수는 단사함수가 된다. 이 함수를 canonical injection이라 부른다.
임의의 함수 \(f:A\rightarrow B\)와 부분집합 \(X\subseteq A\), 그리고 canonical injection \(i:X\hookrightarrow A\)에 대하여
\[f|_X=f\circ i\]가 성립한다는 것을 쉽게 확인할 수 있다. 간혹 우변의 식을 \(i_\ast f\)로 적기도 한다.
예시 4 정의에 의해, \(\id_A=(\Delta_A,A,A)\)가 전단사임은 자명하다.
이제 약속한대로 역함수를 정의할 수 있다.
명제 5 함수 \(f:A\rightarrow B\)에 대하여, \(f^{-1}\)이 함수인 것과 \(f\)가 전단사함수인 것이 동치이다.
증명
만일 \(f^{-1}\)가 전단사라면 이는 전사함수이기도 하므로 그 정의역은 \(B\)가 된다. 또, \(f\)는 단사함수이기도 하므로 \(f^{-1}\)이 함수가 된다.
이제 역으로 \(f^{-1}\)이 함수라 하자. 그럼 정의에 의해 \(\pr_1 f^{-1}=B\)이다. 그런데 §이항관계들 사이의 연산, ⁋명제 8의 첫 번째 식에 \(R_2=\id_A\), \(R_1=f^{-1}\)을 넣으면 \(\pr_1f^{-1}=f(A)\)이므로, \(B=f(A)\)이고 따라서 \(f\)는 전사함수다.
또, \((x,f(x))\in F\)와 \((y, f(y))\in F\)가 잘 정의된다고 가정하자. 그럼 \((f(x), x)\in F^{-1}\), \((f(y),y)\in F^{-1}\)이다. 여기에 더해 만일 \(f(x)=f(y)\)라면 \(f^{-1}\)가 함수라는 것으로부터 \(x=y\)이다. 따라서 \(f\)는 단사함수이다.
이렇게 정의된 \(f^{-1}\)을 \(f\)의 역함수라 부른다. 우리는 \(f^{-1}\circ f=\id_A\)이고 \(f\circ f^{-1}=\id_B\)임을 쉽게 확인할 수 있다.
아래 참고는 다음 글에서 retraction, section을 정의할 때 중요한 직관이 된다. 한편
참고 두 식 \(f^{-1}\circ f=\id_A\)이고 \(f\circ f^{-1}=\id_B\)은 \(f\)가 전단사함수가 아니라, 전사함수 혹은 단사함수 각각만 되더라도 일부는 참이 된다.
- \(f\)가 단사함수라면 \(f\)는 \(A\)와 \(f(A)\subseteq B\) 사이의 전단사함수이므로 \(\tilde{f}^{-1}:f(A)\rightarrow A\)가 존재할 것이다. 이제 \(\tilde{f}^{-1}\circ f=\id_A\)이다.
- \(f\)가 전사함수라면, 임의의 \(y\in B\)에 대해 항상 어떠한 \(x\)가 존재하여 \(f(x)=y\)이다. 이제 \(\tilde{f}^{-1}\)를 이렇게 결정된 \(y\)를 \(x\)에 대응시키는 함수라 하면 \(f\circ \tilde{f}^{-1}=\id_B\)가 된다.
함수의 곱
정의 6 이변수함수는 정의역이 순서쌍들의 집합인 함수이다.
\(f\)가 이변수함수라면 우리는 \((x,y)\)에서의 \(f\)의 값을 표현하기 위해 \(f((x,y))\) 대신 \(f(x,y)\)로 적는다. 이러한 함수의 가장 큰 특징은 우리가 \(f\)의 행동을 관찰하기 위해 조작할 수 있는 변수가 두 개라는 것이다.
예를 들어 \(f\)가 첫 번째 좌표가 변화함에 따라 어떻게 변화하는지를 보기 위해서는 두 번째 좌표를 고정한 후, \(f\)를 마치 첫 번째 좌표만을 입력받는 함수로 취급할 수 있다.
정의 7 \(f:A\rightarrow B\)가 이변수함수라 하자. 모든 \(y\)에 대하여 \(A_y\)를 \((x,y)\in A\)이도록 하는 모든 \(x\)들의 집합으로 정의하자. 그럼 \(A_{y_0}\)에서 \(B\)로의 함수 \(x\mapsto f(x,y_0)\)를 \(y_0\)에서의 \(f\)의 partial mapping이라 부르고, \(f(-,y_0)\)로 적는다. 이와 비슷하게 \(f(x_0,-)\) 또한 정의한다.
임의의 두 함수 \(u:A\rightarrow C\)와 \(v:B\rightarrow D\)에 대하여, 우리는 항상 이들을 묶어 \(A\times B\)에서 \(C\times D\)로의 이변수 함수로 만들 수 있다. 즉,
\[z\mapsto (u(\pr_1 z),v(\pr_2z))\]로 두면 된다. 이 함수를 \(u\)와 \(v\)의 product라 부르고, \(u\times v\)로 적는다. 물론 이 함수는 두 함숫값 \(u(x)\)와 \(v(x)\)를 곱해서 만들어지는 함수와는 전혀 관련이 없다.
참고문헌
[Bou] N. Bourbaki, Theory of Sets. Elements of mathematics. Springer Berlin-Heidelberg, 2013.
댓글남기기