완비화의 정의
임의의 abelian group \(G\)와 그 subgroup들의 decreasing sequence
\[\mathcal{J}:\qquad G=H_0\supseteq H_1\supseteq\cdots\]가 주어졌다 하면, \(G/ H_{i+1} \rightarrow G/H_{i}\)들이 잘 정의되며, 더 일반적으로 이들의 적절한 합성을 통해 \(j>i\)일 때마다 \(\rho_{ji}:G/H_j \rightarrow G/H_i\)가 정의된다. 이들 데이터를 통해 inverse limit
\[\widehat{G}_\mathcal{J}=\varprojlim_i G/H_i=\left\{(g_1,g_2,\ldots)\in \prod G/H_i\,\middle\vert\,\text{$\rho_{ji}(g_j)=g_i$ for all $j>i$}\right\}\]그리고 canonical morphism들 \(\rho_i:\widehat{G}_{\mathcal{J}} \rightarrow G/ H_i\)들이 주어지며, 이 때 \(\rho_{ji}\circ\rho_j=\rho_i\)가 모든 \(j>i\)에 대해 성립한다. 표기의 편의를 위해 \(\mathcal{J}\)가 문맥에 따라 명확할 경우 이를 간단히 \(\widehat{G}\)로 쓰기도 한다.
그럼 이들은 [범주론] §극한, ⁋예시 5에서 살펴본 것과 같이 범주론적인 극한으로 생각할 수 있으며, 따라서 다음의 universal property 또한 만족한다.
\(\rho_{ji}\circ\pi_j=\pi_i\)를 만족하는 \(K \rightarrow G/H_i\)들이 주어질 때마다, 유일한 \(\pi:K \rightarrow \widehat{G}\)가 존재하여 다음의 diagram
이 commute하도록 할 수 있다.
만일 \(G\)에 ring 구조가 주어져 있고 \(H_i\)들이 ideal들이었다면 \(\widehat{G}\) 또한 자연스러운 ring 구조를 갖는다. 우리가 살펴볼 상황은 다음과 같은 상황이다.
정의 1 Ring \(A\)와 ideal \(\mathfrak{a}\)를 고정하자. 그럼 \(A\)의 ideal들의 \(\mathfrak{a}\)-filtration
\[\mathcal{J}:\qquad A=\mathfrak{a}_0\supseteq \mathfrak{a}_1\supseteq \mathfrak{a}_2\cdots\]에 대하여,
\[\widehat{A}=\varprojlim_i A/\mathfrak{a}_i\]을 이 filtration에 의해 정의되는 \(A\)의 completion완비화이라 부른다. 만일 natural map \(A \rightarrow \widehat{A}\)이 isomorphism이라면, \(A\)을 이 filtration에 대한 complete ring완비환이라 부른다.
특별히 위의 filtration이
\[A\supseteq\mathfrak{a}\supseteq \mathfrak{a}^2\cdots\]꼴로 주어졌다면 이를 \(A\)의 \(\mathfrak{a}\)-adic completion\(\mathfrak{a}\)진 완비화이라 부른다. 이 경우, 만일 \(\mathfrak{a}\)가 maximal ideal이라면 \(\widehat{A}\)은 유일한 maximal ideal \(\widehat{\mathfrak{a}}\)를 갖는 local ring이 되므로, \(\widehat{A}\)을 complete local ring국소완비환이라 부른다.
우선 natural map \(\rho:A \rightarrow \widehat{A}\)는 canonical morphism들 \(\pr_i: A \rightarrow A/\mathfrak{a}_i\)들에 universal property를 적용하여 얻어지는 것이다. 그럼 정의에 의하여
\[x\in\ker\rho\iff\rho(x)=0\iff \rho_i(\rho(x))=0\text{ for all $i$}\iff \pr_i(x)=0\text{ for all $i$}\iff x\in \mathfrak{a}_i\text{ for all $i$}\]이므로 \(\rho\)가 injective인 것과 \(\bigcap \mathfrak{a}_i=0\)인 것이 동치이다.
이제 canonical morphism \(\rho_i:\widehat{A}\rightarrow A/\mathfrak{a}_i\)들의 kernel을 \(\widehat{\mathfrak{a}}_i\)로 쓰기로 하자. 그럼 정의에 의해 \(\mathfrak{a}_i=\rho^{-1}(\widehat{\mathfrak{a}}_i)\)이며, \(\pr_i\)들이 surjective이고 \(\pr_i=\rho_i\circ\rho\)이므로 \(\rho_i\)들이 모두 surjective이고, 따라서 first isomorphism theorem에 의하여
\[\widehat{A}/\widehat{\mathfrak{a}}_i\cong A/\mathfrak{a}_i\]이 성립한다. 따라서 \(\widehat{A}\)의 ideal들의 descending chain
\[\widehat{A}=\widehat{\mathfrak{a}}_0\supseteq \widehat{\mathfrak{a}}_1\supseteq\cdots\tag{1}\]은 \(\mathfrak{a}\)-filtration이 되며, 또 위의 isomorphism으로부터
\[\widehat{A}=\varprojlim_i A/\mathfrak{a}_i\cong\varprojlim_i \widehat{A}/\widehat{\mathfrak{a}}_i\]이므로 \(\widehat{A}\)는 주어진 filtration에 대해 complete이다. 또, 위의 isomorphism은 다음의 isomorphism
\[\gr_\mathcal{J}A\cong\gr_{\widehat{\mathcal{J}}}\widehat{A}\]또한 준다.
\(\mathfrak{a}\)진 위상
한편, \(A\)로부터 \(\widehat{A}\)를 만드는 과정은 특수한 종류의 위상을 부여하여 살펴볼 수도 있다. 우선 topological abelian group \(G\)가 주어졌다 하자. 그럼 \(G\)의 한 원소 \(g\)를 고정한 후, 이를 사용해 정의하는 translation map \(T_g\)는 연속이므로 \(G\)의 각 점에서의 neighborhood filter는 정확히 \(0\in G\)에서의 neighoborhood filter에 의해 모두 결정된다. 이 과정은 당연히 거꾸로 해낼 수도 있다.
앞선 절과 같이, \(G\)의 subgroup들의 decreasing sequence
\[G=H_0\supseteq H_1\supseteq\cdots\]가 주어졌다 하자. 그럼
\[\mathcal{N}(0)=\{U\subseteq G\mid\text{$G_n\subseteq U$ for some $n$}\}\]으로 정의하면 이것이 [위상수학] §열린집합, ⁋명제 6의 모든 조건을 만족한다는 것을 안다. 이제 임의의 \(g\in G\)와 \(U\in \mathcal{N}(0)\)에 대하여, \(g+U\in \mathcal{N}(g)\)이도록 하면 이것이 \(G\) 위에 위상구조를 준다.
특별히 이를 정의 1의 상황에 대입하면 위의 과정을 통해 정의한 위상구조를 \(\mathfrak{a}\)-adic topology\(\mathfrak{a}\)진 위상이라 부른다. 이 때, \(0\in A\)는 countable local base
\[\mathfrak{a}\supseteq \mathfrak{a}^2\supseteq\cdots\tag{2}\]를 가지므로 이렇게 정의된 \(A\) 위에서의 위상은 first countable이다.
다시 일반적인 topological abelian group \(G\)로 돌아와서, 우리는 ##ref##의 조건을 약화시켜 다음을 정의할 수 있다.
정의 2 Topological group \((G, +, 0)\)에 대하여, \(G\)의 원소들의 수열 \((x_i)_{i\in \mathbb{N}}\)이 Cauchy sequence코시 수열이라는 것은 \(0\)의 임의의 근방 \(U\)가 주어질 때마다 적당한 자연수 \(N\)이 존재하여, 다음 명제
\[m,n>N \implies x_m-x_n\in U\]가 참이도록 할 수 있는 것을 말한다.
그럼 ##ref##에서 Cauchy filter들의 equivalence class들의 모임으로 completion을 정의한 것과 같이, 우리는 두 Cauchy sequence \((x_m)\), \((y_n)\)이 주어졌을 때 이들을 언제 같은 것으로 볼지를 정하고, 그를 통해 (위상적인) completion을 정의할 수 있다. 다만 우리가 관심있는 것은 위의 filtration (2)에 의해 정의되는 first countable topological group \(A\)이며, first countable space는 sequentual이므로 다음 정의에서는 편의를 위해 \(G\)가 first countable space라 가정하고, Cauchy filter 대신 Cauchy sequence를 사용한다.
정의 3 Topological group \((G, +, 0)\)의 두 Cauchy sequence \((x_m)\), \((y_n)\)이 equivalent동등하다는 것은 \(0\)의 임의의 근방 \(U\)가 주어질 때마다 적당한 자연수 \(N\)이 존재하여, 다음 명제
\[m,n>N \implies x_m-y_n\in U\]가 참이도록 할 수 있는 것을 말한다. First countable topological group \(G\)의 모든 Cauchy sequence들의 집합에 이 equivalence relation을 주어 얻어지는 집합을 \(G\)의 completion완비화이라 부르고, 이를 \(\widehat{G}\)로 적는다.
이제 \(0\in G\)의 열린근방 \(U\)에 대하여,
\[\widehat{U}=\{[(x_n)]\in \widehat{G}:\text{for any $(y_n)\in [(x_n)]$, $y_n\in U$ for all but finitely many $n$}\}\]으로 정의하자. 그럼 약간의 계산을 통해, \(\widehat{H}_i\)들을 coninitial subset으로 갖는 \(\widehat{G}\)의 집합들의 모임 \(\mathcal{N}(0)\)이 [위상수학] §열린집합, ⁋명제 6의 모든 조건을 만족한다는 것을 확인할 수 있고, 따라서 \(\widehat{G}\)에 위상구조를 정의할 수 있다. 정의에 의해 \(\widehat{G}\) 또한 first countable이며, \(x\in G\)를 받아 상수수열 \((x_i=x)\)를 내놓는 함수 \(G \rightarrow \widehat{G}\)가 연속임을 알 수 있다. 뿐만 아니라, 이 함수는 앞선 절에서 정의한 \(G \rightarrow \widehat{G}\)와 완전히 같은 것이다.
완비화의 기본적인 성질들
이제 완비화의 기본적인 성질들에 대해 살펴보자. 앞서 살펴본 정의 3에 의하여 \(\widehat{A}\)의 임의의 원소는 \(A\)의 \(\mathfrak{a}\)-adic topology에서의 Cauchy sequence로 생각할 수 있다. 그럼 \(b_j\in \mathfrak{a}^j\)를 만족하는 \(b_j\)들에 대하여,
\[a_i=\sum_{j=1}^i b_j\tag{3}\]으로 적으면 \((a_i)\)는 \(\widehat{A}\)에서의 Cauchy sequence이고 따라서 이 수열의 극한
\[\sum_{j=1}^\infty b_j\]은 \(\widehat{A}\)의 원소를 하나 정의한다. 거꾸로, 임의의 \(\widehat{A}\)의 원소 \((a_n')\)이 주어졌다하면 \(0\)의 local base (2)를 이용하여 이 원소와 equivalent하고 (3)과 같은 형태를 갖는 Cauchy sequence를 찾을 수 있다.
예시 4 만일 \(A=\mathbb{K}[\x]\)이고 \(\mathfrak{a}=(\x)\)라면 \(\widehat{A}\)는 formal power series들의 ring \(\mathbb{K}[[\x]]\)이다.
Ring \(\mathbb{K}[[\x]]\)는 유일한 nonzero prime ideal \(\mathfrak{m}=(\x)\)를 갖는 discrete valuation ring이다. 즉 \((\x)\)에 속하지 않는 임의의 원소는 unit이며, 이는 본질적으로 다음의 식
\[\frac{1}{1+\x}=1-\x+\x^2-\cdots\]으로부터 나온다. 위의 등식, 혹은 이와 동치인 다음의 등식
\[(1+\x)(1-\x+\x^2-\cdots)=1\]은 위의 논의와 같이, \(1-\x+\x^2-\cdots\)의 차수 \(i\)까지의 부분합
\[1-\x+\x^2-\cdots+(-1)^i\x^i\]에 대하여
\[(1+\x)(1-\x+\x^2-\cdots+(-1)^i\x^i)=1+(-1)^i\x^i\in \mathfrak{m}^i\]이므로, 이 곱은 상수수열 \((1)\)과 equivalent하다는 것을 통해 얻어진다.
이 계산을 일반화하여 다음의 두 결과를 얻는다.
명제 5 \(A\)가 ideal \(\mathfrak{a}\)에 대해 complete이라 하자. 그럼 다음 집합
\[U=\{1+a\mid a\in \mathfrak{a}\}\]은 \(A\)의 unit들의 모임이며, \(U\)는 multiplicatively closed이다.
증명
위의 논증에서 \(\x\)만 \(a\)로 바꾸면 된다.
따름정리 6 Local ring \((A, \mathfrak{m})\)에 대하여, \(A[[\x_1,\ldots, \x_n]]\)도 local ring이며, 그 유일한 maximal ideal은 \(\mathfrak{m}+(\x_1,\ldots, \x_n)\)이다.
증명
\(\mathfrak{m}+(\x_1,\ldots,\x_n)\) 바깥의 원소는 \(0\)이 아닌 상수항을 가지므로, 명제 5에 의해 이것이 unit임을 보일 수 있다.
또, 다음이 성립한다.
명제 7 \(A\)의 ideal들의 filtration
\[A=\mathfrak{a}_0\supseteq \mathfrak{a}_1\supseteq\cdots\]과 filtration에 대한 associated graded ring \(\gr A\)를 고정하자. 만일 \(A\)가 이 filtration에 대해 complete이라 하면, \(A\)의 ideal \(\mathfrak{a}\)와 그 원소들 \(a_1,\ldots, a_n\)에 대하여, \(\initial(\mathfrak{a})\)가 \(\initial(a_1),\ldots, \initial(a_n)\)에 의해 생성된다면 \(\mathfrak{a}\) 또한 \(a_1,\ldots, a_n\)에 의해 생성된다.
증명
원소들 \(a_1,\ldots, a_n\)에 의해 생성되는 ideal을 \(\mathfrak{a}'\)라 하고 \(\mathfrak{a}=\mathfrak{a}'\)임을 보이자. 일반성을 잃지 않고 이들 원소들이 모두 \(0\)이 아니라 가정할 수 있다. 또, 만일 \(a_k\in \mathfrak{a}_i\)가 모든 \(i\)에 대해 성립했다면, canonical morphism \(A \rightarrow \widehat{A}\)에 의해 \(a_k\)는 \(0\in \widehat{A}\)로 옮겨지고, \(A\)가 complete이므로 이는 \(a_k=0\)이었다는 것이므로 적당한 \(d\)를 택하여 \(a_k\not\in \mathfrak{a}_i\)가 모든 \(k\)에 대해 성립하도록 할 수 있다.
한편 \(\initial(\mathfrak{a})\)가 \(\initial(a_k)\)들에 의해 생성된다는 가정으로부터, 임의의 \(a\in \mathfrak{a}\)에 대해 다음의 식
\[\initial(a)=\sum_{k=1}^n \beta_k\initial(a_k)\tag{4}\]를 만족하는 \(\beta_k\in \gr_\mathfrak{a}A\)들이 존재하며, 위의 식에서 차수를 고려하면 \(\beta_k\)들은 homogeneous이고 그 차수는
\[\degree(\beta_k)=\degree (\initial(a))-\degree(\initial(a_k))>\degree(\initial(a))-d\]여야 함을 안다. 따라서 \(\initial(b_k)=\beta_k\)를 만족하는 \(b_k\in A\)들에 대하여 \(a-\sum_k b_k a_k\)는 \(\mathfrak{m}_{\degree(\initial(a))+1}\)에 속하게 된다. 이 과정을 반복하여,
\[a-\underbrace{\sum_k b_k a_k-\cdots}_{=a'} \in \mathfrak{a}_{d+1}\]이도록 하는 \(a'\in \mathfrak{a}'\)를 택할 수 있다. 이 때, \(a'\)는 어차피 \(a_k\)들로 생성되므로 \(a\)가 \(a_k\)들로 생성되는 것은 \(a-a'\)가 \(a_k\)들로 생성되는 것을 보이는 것과 같다. 즉, 우리는 일반성을 잃지 않고 \(a\)가 \(\mathfrak{a}_{d+1}\)에 속해있다고 가정할 수 있다.
이제 이와 같은 가정에서 위의 식 (4)를 다시 살펴보자. \(\degree(\initial(a))=e\)라 하면, \(\beta_k\)의 차수는 \(e-d\) 이상이어야 함을 앞에서 살펴보았다. 따라서 \(b_k\)들을 \(\mathfrak{a}_{e-d}\)에서 택할 수 있으며, 이제 위에서와 마찬가지 논리를 통해
\[a-\sum_{k=1}^n b_ka_k\]는 \(\mathfrak{a}_{e-d+1}\)에 속한다는 것을 안다. 이를 반복하면
\[a-\sum_{k=1}^n\sum_{l=0}^j b_k^{(l)}a_k\in \mathfrak{a}_{e+j+1}\]이도록 하는 \(b_k^{(l)}\in \mathfrak{a}_{e-d+l}\)들을 택할 수 있다. 이제 \(A\)는 complete이므로, 무한합
\[\sum_{l=0}^\infty b_k^{(l)}\]은 \(A\)의 원소 \(c_k\)로 생각할 수 있다. 그럼
\[a-\sum_{k=1}^n c_k a_k\in \bigcap \mathfrak{a}_i=0\]이므로 원하는 결과를 얻는다.
참고문헌
[AM] M.F. Atiyah and I.G. Macdonald, Introduction to commutative algebra, Basic Books, 1969.
[Eis] David Eisenbud. Commutative Algebra: with a view toward algebraic geometry. Springer, 1995.
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