집합의 내부, 폐포, 경계

본격적으로 연속함수, 수열 등의 개념을 다루기 전에 위상수학에서 사용하는 언어들을 마저 도입한다.

닫힌집합

정의 1 위상공간 \(X\)에 대하여, 집합 \(A\)가 닫힌집합_{closed set}이라는 것은 \(A\)의 여집합 \(A^c=X\setminus A\)가 열린집합인 것이다.

\(X\) 위의 임의의 위상 \(\mathcal{T}\)에서 \(\emptyset\)과 \(X\)는 열린집합인 동시에 닫힌집합이고, 아예 discrete topology를 주면 임의의 부분집합이 열린집합인 동시에 닫힌집합이 된다. 따라서 닫힌집합과 열린집합은 반대개념이 아니라, 오히려 같은 것을 다른 방식으로 표현한 것에 가깝다. 예컨대, 위상 \(\mathcal{T}\)는 사실 닫힌집합들을 이용하여 다음과 같이 정의할 수 있다.

명제 2 집합 \(X\) 위에 다음의 조건들을 만족하는 모임 \(\mathcal{C}\)가 주어졌다 하자.

1. \(\emptyset\), \(X\in\mathcal{C}\)
2. \(\mathcal{C}\)는 임의의 교집합에 대하여 닫혀있다.
3. \(\mathcal{C}\)는 유한한 합집합에 대하여 닫혀있다.

그럼 \(\mathcal{C}\)의 각 원소들의 여집합을 열린집합으로 갖는 위상 \(\mathcal{T}\)가 유일하게 존재한다.

증명

다음의 De Morgan 법칙 ([집합론] §합집합과 교집합, ⁋명제 8)

\[\left(\bigcap A_i\right)^c=\bigcup A_i^c,\quad\left(\bigcup A_i\right)^c=\bigcap A_i^c\]

으로부터 자명하다.

앞선 명제의 세 번째 조건을 더 다듬을 수 있다.

정의 3 위상공간 \(X\)가 주어졌다 하고, \(X\)의 부분집합들의 family \((A_i)_{i\in I}\)가 주어졌다 하자. 그럼 \((A_i)\)가 locally finite_{국소적으로 유한}이라는 것은 임의의 \(x\in X\)마다, 적당한 근방 \(V\)가 존재하여 \(V\cap A_i\neq\emptyset\)을 만족하는 \(i\)가 오직 유한 개 뿐인 것이다.

임의의 유한한 family가 locally finite인 것은 자명하므로 위 정의는 유한한 family의 일반화라 할 수 있다. 다음이 성립한다.

명제 4 위상공간 \(X\)가 주어졌다 하자. 만일 \((A_i)_{i\in I}\)가 locally finite인 닫힌집합들의 모임이라면, \(A=\bigcup A_i\)는 닫힌집합이다.

증명

이를 위해서는 \(A^c\)가 열린집합임을 보이면 된다. \(x\in A^c\)라 하자. 그럼 \(x\in A_i^c\)가 모든 \(i\)에 대해 성립한다. 한편, \((A_i)\)는 locally finite이므로 \(x\)의 근방 \(V\)가 존재하여 \(V\cap A_i\neq\emptyset\)을 만족하는 \(i\)가 오직 유한 개 뿐이도록 할 수 있다. 이러한 \(i\)들을 모아둔 \(I\)의 부분집합을 \(J\)라 하자. 그럼 임의의 \(j\in J\)에 대하여, \(A_j^c\)는 모두 열린집합이며, 따라서 다음 집합

\[V\cap\bigcap_{j\in J} A_j^c\]

은 \(x\)의 근방이 되며, \(A^c\)의 부분집합이다. 이로부터 \(A^c\)는 열린집합임을 알고, 따라서 \(A\)는 닫힌집합이다.

집합의 내부와 폐포

위상공간 \((X,\mathcal{T})\)가 주어졌다고 하자. \(X\)의 임의의 부분집합 \(A\)에 대하여, $A$를 포함하는 닫힌집합과 $A$에 포함되어 있는 열린집합이 항상 존재한다. (\(X\)와 \(\emptyset\)). 한편, 닫힌집합들의 임의의 교집합은 닫힌집합이고, 열린집합들의 임의의 합집합은 열린집합이므로, $A$를 포함하는 가장 작은 닫힌집합과 $A$에 포함된 가장 큰 열린집합이 모두 존재한다. 이들을 다음과 같이 정의한다.

정의 5 위상공간 \(X\)의 임의의 부분집합 \(A\)에 대하여, \(A\)를 포함하는 가장 작은 닫힌집합을 \(A\)의 closure_폐포, \(A\)에 포함된 가장 큰 열린집합을 \(A\)의 interior_내부라 부르고, 이를 각각 \(\cl(A)\)와 \(\interior(A)\)로 적는다.

이렇게 정의하면 두 연산자 \(\cl\)과 \(\interior\)가 포함관계를 유지한다는 것은 자명하다.

다음의 식

\[\interior(A^c)=(\cl(A))^c\]

을 증명해보자. 정의에 의해, \(\interior(A^c)\)는 \(A^c\)에 포함된 열린집합 중 가장 큰 것이고, 이는 \(A\)를 포함하지 않는 열린집합 중 가장 큰 것이라는 말과 동일하다. 한편 \(\cl(A)\)는 \(A\)를 포함하는 닫힌집합 중 가장 작은 것이고, 따라서 \((\cl(A))^c\)는 \(A\)를 포함하지 않는 열린집합 중 가장 큰 것이 되어 이 둘은 동일해야 한다. 우리는 이 집합을 \(A\)의 exterior_외부라 부른다.

위와 같은 논증을 통해 interior와 closure, exterior 중 어느 하나만 있더라도 다른 둘을 만들 수 있다는 것을 안다.

집합 \(A\)의 interior를 생각하자. \(x\in\interior(A)\)라는 것은 \(x\)를 포함하고, \(A\)에 포함되는 열린집합 \(U\)가 존재한다는 뜻이고, 따라서 \(A\)가 \(x\)의 근방이라는 것과 동치이다. 따라서 임의의 두 집합 \(A,B\)에 대하여, \(x\in\interior(A\cap B)\)인 것은 \(x\in\interior(A)\cap\interior(B)\)인 것과 동치이다. (§열린집합, ⁋명제 6의 둘째 조건) 이를 위에서 설명한 방식을 따라 closure에 대한 명제로 바꾸면 다음 등식

\[\cl(A\cup B)=\cl(A)\cup\cl(B)\]

을 얻는다.

명제 6 위상공간 \(X\)와 부분집합 \(A\)에 대하여, 두 조건

1. \(x\in\cl A\)인 것,
2. \(x\)의 임의의 근방 \(U\)가 \(A\)와 만나는 것

이 서로 동치이다.

증명

대우명제를 보이는 것이 편하다. \(x\not\in\cl A\)라 하자. 그럼 \(x\in(\cl A)^c=\ext A\)는 \(x\)를 포함하며, \(\cl A\)와 만나지 않는 열린집합이고, 따라서 \(A\)와도 만나지 않는 열린집합이 된다. 즉, 명제 $A$와 만나지 않는 $x$의 어떠한 근방이 존재한다가 참이다.

거꾸로, \(A\)와 만나지 않는 \(x\)의 어떠한 근방이 존재한다 가정하자. 그럼 이 근방에 포함된 \(x\)의 열린근방 \(U\)가 \(A\)와 만나지 않으므로, \(U\cap A=\emptyset\)이다. 이제 \(U^c\cap A=A\)이므로 \(U^c\)는 \(A\)를 포함하는 닫힌집합이고, closure의 최소성에 의하여 \(U^c\)는 \(\cl A\) 또한 포함한다. 즉, \(x\not\in U^c\)이면 \(x\not\in\cl A\)이고, 따라서 반대방향도 성립한다.

따름정리 7 위상공간 \(X\)가 주어졌다 하자. 열린집합 \(A\)와 임의의 집합 \(B\)에 대하여, 다음의 식

\[A\cap\cl(B)\subseteq\cl(A\cap B)\]

이 성립한다.

증명

\(x\in A\cap\cl(B)\)라 하자. \(A\)는 \(x\)의 열린근방이므로, \(x\)의 임의의 근방 \(V\)에 대하여 \(V\cap A\) 또한 \(x\)의 근방이 된다. 따라서 \(x\in\cl(B)\)인 것과 명제 6으로부터 \((V\cap A)\cap B\neq\emptyset\)임을 안다. 그런데 이는 \(A\cap B\)와 \(V\)의 교집합이 공집합이 아니라는 것으로 해석할 수도 있고, \(V\)는 \(x\)의 임의의 근방이므로 다시 명제 6에 의하여 \(x\in\cl(A\cap B)\)이다.

정의 8 위상공간 \(X\)와 \(X\)의 임의의 부분집합 \(A\)에 대하여, \(x\in X\)가 \(A\)의 limit point_극한점이라는 것은 \(x\)의 임의의 근방이 \(x\) 자기 자신을 제외한 점에서 \(A\)와 만나는 것이다.

그럼 정의에 의하여 \(\cl(A)\)는 \(A\)의 limit point들과 \(A\)의 합집합이다. 만일 \(x\in\cl(A)\setminus A\)라면, 명제 6에 의하여 \(x\)는 반드시 \(A\)의 limit point여야 하는 것을 안다. 반면, \(x\in A\)라 하면 이것이 반드시 참일 필요가 없다. 이와 같이 \(x\in A\)에 대하여 적당한 근방 \(V\)가 존재하여 \(V\cap A=\{x\}\)이도록 할 수 있다면 \(x\)가 \(A\)의 isolated point_고립접이라 부른다. Isolated point를 갖지 않는 닫힌집합을 perfect set_완전집합이라 부른다.

집합의 경계

정의 9 위상공간 \(X\)의 임의의 부분집합 \(A\)에 대하여, \(A\)의 boundary_경계는 다음의 식

\[\partial A=\cl A\setminus\interior A\]

으로 정의되는 집합 \(\partial A\)이다.

따라서 \(\partial A\)는 닫힌집합이다.

조밀집합

정의 10 위상공간 \(X\)의 임의의 부분집합 \(A\)가 dense subset_{조밀 부분집합}이라는 것은 \(\cl(A)=X\)인 것이다.

명제 6에 의하여, \(A\)가 \(X\)에서 dense라는 것은 공집합이 아닌 \(X\)의 열린집합이 반드시 \(A\)와 만난다는 것을 의미한다. 직관적으로 \(X\)의 dense subset을 찾으면, 약간의 perturbation만 거치면 \(X\)를 전부 얻어낼 수 있다는 것으로 생각할 수 있다. 이를 더 일상적인 언어로 쓰면 \(X\)의 dense subset은 \(X\)의 “거의 모든” 부분을 포함한다고 생각할 수 있다.

한편, 위상수학에서도 크기의 개념은 base의 크기로 주어지는데, 이는 다음 명제에 따른 것이다.

명제 11 위상공간 \(X\)의 base \(\mathcal{B}\)에 대하여, \(\card(D)\leq\card(\mathcal{B})\)이도록 하는 \(X\)의 dense subset \(D\)가 존재한다.

증명

각각의 \(U\in\mathcal{B}\)마다 원소 \(x_U\in U\)를 하나씩 뽑아, 이들의 모임을 \(D\)로 잡으면 된다. 집합 \(D\)가 dense인 것은 임의의 열린집합 \(V\)가 주어질 때마다, 이를 \(\mathcal{B}\)의 원소들의 합집합으로 표현할 수 있고, 이 합집합은 반드시 어떤 \(x_U\)를 포함해야 하므로 \(V\cap D\neq\emptyset\)이기 때문에 성립한다.