우리는 앞선 글들에서 이항관계를 정의했다. 이 정의에 따르면, 자연수 집합 \(\mathbb{N}\)에서 정의된 이항관계 \(<\)는 다음의 집합
\[{<}=\{(0,1),(0,2),\ldots, (1,2),(1,3),\ldots, \}\]을 의미한다.
이제 §이항관계, ⁋정의 7의 표기를 따르면 \({<}(1)\)은 \((1,n)\in\mathbb{N}\)이도록 하는 모든 \(n\in\mathbb{N}\)들의 모임이고 따라서
\[{<}(1)=\{2,3,\ldots\}\]이 된다. 거꾸로 모든 자연수 \(k\)에 대하여 집합 \({<}(k)\)에 대한 정보가 주어진다면 집합 \(<\)를 복원할 수도 있다.
위의 논의는 일반적인 이항관계 \((R,A,B)\)에 대하여도 성립하며, 따라서 임의의 이항관계 \(R\)이 주어진다는 것은 정확하게 각각의 \(a\in A\)에 대하여, 집합 \(R(a)\)를 대응시키는 규칙이 주어진 것으로 생각할 수 있다. 이러한 측면에서 함수란 모든 \(a\in A\)에 대하여 \(R(a)\)가 한원소집합인 이항관계라고 생각할 수 있다.
함수의 정의
정의 1 공집합이 아닌 집합 \(A\)에 대하여, 이항관계 \(f=(F,A,B)\)가 함수function라는 것은 \(A=\pr_1F\)이고 각각의 \(x\in A\)에 대하여 \(F(\{x\})\)가 한원소집합1인 것이다.
조건 \(A=\pr_1F\)는 \(A\)의 모든 원소 \(x\)가
모든 \(x\in A\)에 대하여,
유일한 \(y\in B\)가 존재하여 \((x,y)\in F\)
인 것이다. 이 때의 \(y\)를 \(f\)의 \(x\)에서의 함숫값이라 부르고, 이 때 집합 \(F(\{x\})\)의 유일한 원소를 \(f(x)\)로 표기한다. 또, 집합 \(A=\pr_1F\)를 \(f\)의 정의역domain이라 부른다.
위의 표기를 따라, 이항관계 \(F\)에 대한 집합 \(X\subseteq A\)의 image는 \(F(X)\) 대신 \(f(X)\)로, 집합 \(Y\subseteq B\)의 preimage도 \(F^{-1}(Y)\) 대신 \(f^{-1}(Y)\)로 적는다. (§이항관계, ⁋정의 5와 §이항관계들 사이의 연산, ⁋정의 1) 또, triple \(f=(F,A,B)\)는 간단히 \(f:A\rightarrow B\)과 같이 적는다.
한편, 함수 \(f=(F,A,B)\)를 나타내는 집합
\[F=\{(x,y)\mid (y=f(x))\wedge(x\in A)\}\]는 “좌표평면” \(A\times B\) 위에 그려진
특수한 경우에는 함숫값을 나타내기 위해 \(f_x\) 등과 같은 표현도 사용한다. 이러한 표기법을 사용할 때에는 특별히 \(f\)의 정의역을 index set첨수집합이라 부르고, 이 때 \(F\)를 family라 부른다. \(f=(F,I,A)\)를 family로 생각할 때에는 \(F\)를 나타낼 때 \((f_i)_{i\in I}\)와 같이 표기한다.
만일 \(f\)가 어떠한 집합 \(A\)에서 \(A\)로의 함수라면, \(x\in A\)가 \(f\)에 의해 고정된다는 것은 \(f(x)=x\)인 것이다.
정의 2 임의의 집합 \(A\)에 대하여, 항등함수 \(\id_A\)를 triple \((\Delta_A,A,A)\)으로 정의한다. 즉, \(\id_A\)는 임의의 \(x\in A\)에 대하여, 식 \(f(x)=x\)로 정의되는 함수이다.
정의에 의하여, \(\id_A\)는 \(A\)의 모든 원소를 고정하는 함수이다.
Commutative diagram
한번에 많은 수의 함수들을 다룰 때에는 다음과 같은 diagram들을 사용하는 것이 편하다.
여기서 \(A\overset{f}{\longrightarrow}B\)는 \(f:A\rightarrow B\)의 간편한 표기이다.
위와 같은 상황에서 만일 임의의 \(x\in B\)에 대하여 \((i\circ g)(x)=(j\circ h)(x)\)가 성립한다면, 다음의 사각형
이 commute가환한다고 말한다. 이와 유사하게 다음의 diagram
이 commutative diagram가환그림이라는 것은 \(h(x)=(f\circ g)(x)\)가 모든 \(x\)에 대해 성립함을 의미한다. 이 상황을 간략하게 \(h=f\circ g\)라고 표현하기도 하는데, 이 표기는 \(H=F\circ G\)가 성립한다는 것 뿐만 아니라 양변의 source와 target 또한 모두 일치한다는 것을 내포한다.
한편 diagram을 다룰 때, 화살표를 통해 명시적으로 표현되지 않았더라도 각각의 대상 \(A\)마다 \(A\)에서 \(A\)로의 함수 \(\id_A\)가 그려져 있는 것으로 생각한다. 따라서 위의 삼각형이 commute한다는 것은 엄밀하게 이야기하자면 \(h=f\circ g\) 뿐만 아니라
\[{\id_B}\circ h=f\circ g,\qquad h\circ{\id_C}=f\circ{\id_A}\circ g,\quad\cdots\]를 모두 포함하는 것이다. 그러나 §이항관계들 사이의 연산, ⁋정의 9에서 살펴본 항등함수의 성질에 의해 위의 식들은 모두 \(h=f\circ g\)와 다를 것이 없다. 반면
가 commute한다는 것은 다음의 세 조건
\[{\id_A}=g\circ h\circ f,\quad {\id_B}=f\circ g\circ h,\quad {\id_C}=h\circ f\circ g\]이 모두 성립하는 것이다. 특별히 다음의 diagram
이 commute한다는 것은 \(g\circ f=\id_A\)이고 \(f\circ g=\id_B\)이라는 것이다.
함수의 확장과 제한
정의 3 두 함수 \(f=(F,A,B),f'=(F',A',B')\)가 집합 \(S\)에서 compatible하다는 것은 \(S\)가 \(f\)와 \(f'\)의 정의역에 각각 포함되어 있고, 모든 \(x\in S\)에 대하여 \(f(x)=f'(x)\)인 것이다.
두 함수 \(f\)와 \(f'\)가 주어졌고, \(S=\pr_1 F\cap\pr_1 F'\)가 공집합이 아니라 하자. \(S\)에서 두 함수가 compatible하다면 \(\pr_1F\cup\pr_1F'\)를 정의역으로 갖는 새로운 함수 \(g\)를 다음의 식
\[g(x)=\begin{cases}f(x)&x\in \pr_1F\setminus\pr_1F'\\ f(x)=f'(x)&x\in \pr_1F\cap\pr_1F'\\ f'(x)&x\in\pr_1F'\setminus\pr_1F\end{cases}\]으로 정의할 수 있다. 이러한 상황을 다음과 같이 정의한다.
정의 4 두 함수 \(f=(F,A,B)\), \(f'=(F',A',B')\)가 주어졌다 하자. 만일 \(F\subseteq F'\)이고 \(B\subseteq B'\)라면 \(f'\)를 \(f\)의 extension확장이라 부르고, \(f'\)가 \(f\)를 확장한다고 말한다.
이와 반대로 어떠한 함수를 더 작은 정의역으로 제한시킬 수도 있다. \(f=(F,A,B)\)가 함수이고 \(X\subseteq A\)라 하자. 관계 \(R\)을
\((x\mathrel{R} y)\) if and only if \(((x\in X)\wedge(y=f(x)))\)
로 정의한다면, 이를 만족하는 \((x,y)\)들을 모아둔 \(R\)은 함수가 되며, 이 함수의 정의역은 \(X\)가 된다. 따라서 다음과 같이 새로운 함수를 정의할 수 있다.
정의 5 위와 같이 정의된 함수 \(g\)를 \(f\)의 \(A\) 위로의 restriction제한이라 부르며, 이를 \(f\vert_{X}\)와 같이 적는다.
참고문헌
[Bou] N. Bourbaki, Theory of Sets. Elements of mathematics. Springer Berlin-Heidelberg, 2013.
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엄밀히 이야기하자면 집합의 크기를 아직 정의하지 않았지만, 이 조건은 \(x,y\in R(a)\implies x=y\) 등으로 표현할 수 있다. ↩
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