이 카테고리의 모든 글에서 등장하는 ring은 commutative ring이다. 또, 임의의 -algebra는 항상 commutative associative unital -algebra인 것으로 생각한다. 특히 우리는 [대수적 구조] §대수, ⁋정의 1 이후에 associative unital -algebra 와, ring homomorphism 가 같은 것임을 살펴보았으므로, 앞으로의 논의에서 -algebra는 ring homomorphism 로 생각해도 충분하다.
기본 정의들Permalink
이 카테고리에서는 commutative ring 와 그 위에 정의된 module 에 대해 살펴본다. Ring 의 임의의 ideal 는 항상 -module로 생각할 수 있으므로 많은 경우 우리는 -module에 대한 이론을 전개하게 된다. 앞서 [대수적 구조] 카테고리의 글들에서는 혼동을 방지하기 위해 -module 의 원소를 으로, 의 원소를 로 썼었는데, 도 -module로 생각하면 이와 같이 표기법을 구분하는 것이 오히려 더 혼란을 주게 되므로, 이 카테고리에서는 이와 같은 구분을 하지 않는다.
정의 1 임의의 -module 에 대하여, 의 annihilator소멸자 을 다음 식
으로 정의한다.
한편, ring 의 두 ideal 에 대하여 ideal quotient아이디얼 몫 를 다음 식
으로 정의하고, 비슷하게 -module 의 두 submodule 에 대하여는
으로 정의한다. Ideal quotient 는 대략적으로 정도로 생각할 수 있으며, 임의의 -module 에 대하여 이다.
한편 우리는 [다중선형대수학] §완전열, ⁋명제 7에서 유용한 두 개의 short exact sequence를 살펴보았는데, 여기에 다음의 short exact sequence
을 추가하여 기억할 가치가 있다. 첫 번째 함수 는 다음의 식
로 주어지며, 이것이 잘 정의된다는 것은
인 것으로부터 자명하다. 이제 두 번째 함수 는 다음의 식
으로 정의되며, 이것이 surjective이고 그 kernel이 정확히 로 생성되는 의 submodule인 것을 확인할 수 있다.
Finiteness conditionPermalink
많은 경우 우리는 어떤 종류의 유한성을 가정하게 된다. 가령 [다중선형대수학]의 글들에서 우리는 주어진 module이 finitely generated -module임을 가정하고, basis를 택함으로써 많은 계산을 행렬의 계산으로 줄일 수 있었다. 비슷한 맥락에서 우리가 자주 사용할 유한성의 개념들을 정의한다.
정의 2 임의의 -module 이 ascending chain condition오름사슬조건을 만족한다는 것은 의 임의의 submodule들의 increasing sequence
가 주어질 때마다, 적당한 가 존재하여 인 것이다. 비슷하게 이 descending chain condition내림사슬조건을 만족한다는 것은 의 임의의 submodule들의 decreasing sequence
가 주어질 때마다, 적당한 가 존재하여 인 것이다. Ascending chain condition을 만족하는 -module 을 noetherian뇌터가군이라 부른다. Descending chain condition을 만족하는 -module 을 artinian아틴가군이라 부른다. 임의의 ring 가 noetherian 혹은 artinian인 것은 가 자기 자신 위에서의 module로서 noetherian 혹은 artinian인 것이다.
그럼 다음이 성립한다.
정리 3 임의의 -module 에 대하여 다음이 모두 동치이다.
- 이 noetherian이다.
- 의 임의의 submodule이 finitely generated이다.
- 임의의 의 submodule들의 모임은 항상 포함관계에 대한 maximal element를 갖는다.
증명
우선 1번 조건을 가정하고 2번 조건을 보인다. 결론에 반하여 이 finitely generated가 아닌 submodule 을 갖는다 가정하자. 그럼 의 임의의 원소 을 택할 수 있으며, 이 finitely generated가 아니라는 사실로부터 이므로 을 택할 수 있다. 이를 계속 반복하여 의 submodule들의 increasing sequence
를 얻으며, 이들은 의 submodule이기도 하므로 이 noetherian이라는 가정에 모순이다.
이제 2번 조건을 가정하고 1번 조건을 보인다. 의 submodule들의 ascending chain
이 주어졌다 하고 라 하면 은 finitely generated이므로 이라 하자. 그럼 이제 각각의 에 대하여, 를 가 성립하도록 잡을 수 있고 이제 이러한 들 중 가장 큰 것은 반드시 과 같게 된다.
이제 1번 조건과 3번 조건이 동치임을 보인다. 우선 1번 조건이 만족된다면 이는 의 임의의 submodule들의 모임이 주어질 때마다 ACC에 의하여 [집합론] §선택공리, ⁋정리 4의 전제조건이 만족되므로 3번이 성립하는 것이 자명하다. 거꾸로 3번 조건을 만족할 경우, 의 submodule들의 ascending chain
이 주어졌을 때 이들 모임의 maximal element가 존재해야 하므로 1번 조건이 성립한다.
따라서 noetherian module의 임의의 submodule 또한 noetherian임이 자명하다. 뿐만 아니라 다음이 성립한다.
명제 4 Noetherian -module 에 대하여, 임의의 quotient 또한 noetherian이다.
증명
의 임의의 submodule은 의 적당한 submodule 에 대하여 의 꼴이고, 이제 이 finitely generated이며 canonical surjection에 의하여 의 generator들이 을 generate하므로 자명하다.
명제 5 임의의 -module 과 임의의 submodule 에 대하여, 이 noetherian인 것과 이 모두 noetherian인 것이 동치이다.
증명
한쪽 방향은 이미 증명하였다. 따라서 이 noetherian이라 가정하고 이 noetherian임을 보이면 충분하다. 의 임의의 submodule 을 고정하자. 그럼 의 에서의 image 은 finitely generated이며, 또한 의 submodul이므로 finitely generated이다. 이제 을 으로 보낸 것이 의 generator가 된다 하고, 이 의 generator라 하자. 그럼 임의의 에 대하여
이도록 하는 들이 존재한다. 따라서
이고, 이를 다시 의 generator를 이용하여 적어주면 원하는 결과를 얻는다.
따라서 다음이 성립한다.
따름정리 6 Ring 와 두 noetherian -module 에 대하여, 은 noetherian -module이다.
증명
명제 5를 과 그 submodule 에 대해 적용하면 된다.
[다중선형대수학] 카테고리에서 살펴보았던 finitely generated -module의 조건은 다음의 exact sequence
이 존재한다는 것이고, 이 때 의 basis의 image 가 을 generate하게 된다. 그러나 일반적으로 을
으로 적었을 때, 들에 대한 relation은 무한히 많을 수 있다. 이들 relation은 surjection 의 kernel에 의해 결정되므로, 다음을 정의한다.
정의 7 -module 이 finitely presented유한표시가군라는 것은 적당한 이 존재하여 다음의 exact sequence
이 존재하는 것이다.
일반적으로 finitely presented module은 finitely generated이지만, 그 역은 성립하지 않는다. 하지만 임의의 noetherian ring 에 대해서는 두 개념이 일치한다. 이는 만일 이 finitely generated -module이라면, 다음의 exact sequence
를 얻고, 한편 은 따름정리 6에 의하여 noetherian이며 따라서 그 submodule 는 finitely generated이다. 이제
을 생각한 후, 합성 을 사용하면 다음의 exact sequence
을 얻는다. 한편 다음을 정의한다.
정의 8 -module 이 coherent module연접가군이라는 것은 이 finitely generated이고, 임의의 -linear map 이 주어질 때마다 이 linear map의 kernel이 finitely generated인 것이다.
그럼 다음 명제가 자명하다.
명제 9 Noetherian ring 와 -module 에 대하여, 다음이 모두 동치이다.
- 이 finitely generated이다.
- 이 finitely presented이다.
- 이 coherent이다.
증명
1번 조건과 2번 조건이 동치인 것은 이미 살펴보았다. 또, 정의에 의해 coherent -module은 항상 finitely generated이다. 따라서 이 finitely generated인 것을 가정하고 이 coherent라는 것을 보이면 충분하다. 이는 임의의 -linear map 이 주어졌을 때, 이 linear map의 kernel은 의 submodule이고, 여기에 명제 5를 적용하여 얻어진다.
소아이디얼Permalink
마지막으로 우리는 [대수적 구조] §분수체, ⁋명제 8에서 정의한 prime ideal의 개념이 필요하다.
정의 10 Ring 의 ideal 가 prime ideal이라는 것은, 만일 라면 반드시 이거나 가 성립하는 것이다.
그럼 우리는 [대수적 구조] §몫환, 환 동형사상, ⁋정리 3의 넷째 결과를 더 다듬어서 다음을 보일 수 있다.
명제 11 Ring 의 임의의 ideal 에 대하여, 의 prime ideal과, 의 prime ideal 중 을 포함하는 것들 사이의 일대일대응이 존재한다.
참고문헌
[Eis] David Eisenbud. Commutative Algebra: with a view toward algebraic geometry. Springer, 1995.
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