이 카테고리의 모든 글에서 등장하는 ring은 commutative ring이다. 또, 임의의 \(A\)-algebra는 항상 commutative associative unital \(A\)-algebra인 것으로 생각한다. 특히 우리는 [대수적 구조] §대수, ⁋정의 1 이후에 associative unital \(A\)-algebra \(E\)와, ring homomorphism \(A\rightarrow Z(E)\)가 같은 것임을 살펴보았으므로, 앞으로의 논의에서 \(A\)-algebra는 ring homomorphism \(A\rightarrow E\)로 생각해도 충분하다.
기본 정의들
이 카테고리에서는 commutative ring \(A\)와 그 위에 정의된 module \(M\)에 대해 살펴본다. Ring \(A\)의 임의의 ideal \(\mathfrak{a}\)는 항상 \(A\)-module로 생각할 수 있으므로 많은 경우 우리는 \(A\)-module에 대한 이론을 전개하게 된다. 앞서 [대수적 구조] 카테고리의 글들에서는 혼동을 방지하기 위해 \(A\)-module \(M\)의 원소를 \(x,y,\ldots\)으로, \(A\)의 원소를 \(\alpha,\beta,\ldots\)로 썼었는데, \(\mathfrak{a}\)도 \(A\)-module로 생각하면 이와 같이 표기법을 구분하는 것이 오히려 더 혼란을 주게 되므로, 이 카테고리에서는 이와 같은 구분을 하지 않는다.
정의 1 임의의 \(A\)-module \(M\)에 대하여, \(M\)의 annihilator소멸자 \(\ann(M)\)을 다음 식
\[\ann(M)=\{a\in A\mid aM=0\}\]으로 정의한다.
한편, ring \(A\)의 두 ideal \(\mathfrak{a},\mathfrak{b}\)에 대하여 ideal quotient아이디얼 몫 \((\mathfrak{a}:\mathfrak{b})\)를 다음 식
\[(\mathfrak{a}:\mathfrak{b})=\{a\in A\mid a\mathfrak{b}\subseteq \mathfrak{a}\}\]으로 정의하고, 비슷하게 \(A\)-module \(M\)의 두 submodule \(N_1,N_2\)에 대하여는
\[(N_1:N_2)=\{a\in A\mid aN_2\subseteq N_1\}\]으로 정의한다. Ideal quotient \((\mathfrak{a}:\mathfrak{b})\)는 대략적으로 \(\mathfrak{a}/\mathfrak{b}\) 정도로 생각할 수 있으며, 임의의 \(A\)-module \(M\)에 대하여 \(\ann(M)=(0:M)\)이다.
한편 우리는 [다중선형대수학] §완전열, ⁋명제 7에서 유용한 두 개의 short exact sequence를 살펴보았는데, 여기에 다음의 short exact sequence
\[0 \longrightarrow A/(\mathfrak{a}:(a)) \overset{a}{\longrightarrow} A/\mathfrak{a}\longrightarrow A/(\mathfrak{a}+(a)) \longrightarrow 0\]을 추가하여 기억할 가치가 있다. 첫 번째 함수 \(A/(\mathfrak{a}:(a)) \rightarrow A/\mathfrak{a}\)는 다음의 식
\[x+(\mathfrak{a}:(a))\mapsto ax+\mathfrak{a}\]로 주어지며, 이것이 잘 정의된다는 것은
\[y\in (\mathfrak{a}:(a))\iff ay\in \mathfrak{a}\]인 것으로부터 자명하다. 이제 두 번째 함수 \(A/\mathfrak{a} \rightarrow A/(\mathfrak{a}+(a))\)는 다음의 식
\[x+\mathfrak{a}\mapsto x+(\mathfrak{a}+(a))\]으로 정의되며, 이것이 surjective이고 그 kernel이 정확히 \(a+\mathfrak{a}\)로 생성되는 \(A/\mathfrak{a}\)의 submodule인 것을 확인할 수 있다.
Finiteness condition
많은 경우 우리는 어떤 종류의 유한성을 가정하게 된다. 가령 [다중선형대수학]의 글들에서 우리는 주어진 module이 finitely generated \(A\)-module임을 가정하고, basis를 택함으로써 많은 계산을 행렬의 계산으로 줄일 수 있었다. 비슷한 맥락에서 우리가 자주 사용할 유한성의 개념들을 정의한다.
정의 2 임의의 \(A\)-module \(M\)이 ascending chain condition오름사슬조건을 만족한다는 것은 \(M\)의 임의의 submodule들의 increasing sequence
\[M_0\subseteq M_1\subseteq M_2\subseteq\cdots\]가 주어질 때마다, 적당한 \(k\)가 존재하여 \(M_k=M_{k+1}=\cdots\)인 것이다. 비슷하게 \(M\)이 descending chain condition내림사슬조건을 만족한다는 것은 \(M\)의 임의의 submodule들의 decreasing sequence
\[M_0\supseteq M_1\supseteq M_2\supseteq\cdots\]가 주어질 때마다, 적당한 \(k\)가 존재하여 \(M_k=M_{k+1}=\cdots\)인 것이다. Ascending chain condition을 만족하는 \(A\)-module \(M\)을 noetherian뇌터가군이라 부른다. Descending chain condition을 만족하는 \(A\)-module \(M\)을 artinian아틴가군이라 부른다. 임의의 ring \(A\)가 noetherian 혹은 artinian인 것은 \(A\)가 자기 자신 위에서의 module로서 noetherian 혹은 artinian인 것이다.
그럼 다음이 성립한다.
정리 3 임의의 \(A\)-module \(M\)에 대하여 다음이 모두 동치이다.
- \(M\)이 noetherian이다.
- \(M\)의 임의의 submodule이 finitely generated이다.
- 임의의 \(M\)의 submodule들의 모임은 항상 포함관계에 대한 maximal element를 갖는다.
증명
우선 1번 조건을 가정하고 2번 조건을 보인다. 결론에 반하여 \(M\)이 finitely generated가 아닌 submodule \(N\)을 갖는다 가정하자. 그럼 \(N\)의 임의의 원소 \(x_0\neq 0\)을 택할 수 있으며, \(N\)이 finitely generated가 아니라는 사실로부터 \(N\neq \langle x_1\rangle\)이므로 \(x_2\in N\setminus \langle x_1\rangle\)을 택할 수 있다. 이를 계속 반복하여 \(N\)의 submodule들의 increasing sequence
\[\langle x_1\rangle\subsetneq \langle x_2\rangle\subsetneq\cdots\]를 얻으며, 이들은 \(M\)의 submodule이기도 하므로 \(M\)이 noetherian이라는 가정에 모순이다.
이제 2번 조건을 가정하고 1번 조건을 보인다. \(M\)의 submodule들의 ascending chain
\[M_0\subseteq M_1\subseteq M_2\subseteq\cdots\]이 주어졌다 하고 \(M'=\bigcup M_k\)라 하면 \(M'\)은 finitely generated이므로 \(M'=\langle x_1,\ldots, x_n\rangle\)이라 하자. 그럼 이제 각각의 \(i\)에 대하여, \(k_i\)를 \(x_i\in N_{k_i}\)가 성립하도록 잡을 수 있고 이제 이러한 \(k_i\)들 중 가장 큰 것은 반드시 \(M'\)과 같게 된다.
이제 1번 조건과 3번 조건이 동치임을 보인다. 우선 1번 조건이 만족된다면 이는 \(M\)의 임의의 submodule들의 모임이 주어질 때마다 ACC에 의하여 [집합론] §선택공리, ⁋정리 4의 전제조건이 만족되므로 3번이 성립하는 것이 자명하다. 거꾸로 3번 조건을 만족할 경우, \(M\)의 submodule들의 ascending chain
\[M_0\subseteq M_1\subseteq M_2\subseteq\cdots\]이 주어졌을 때 이들 모임의 maximal element가 존재해야 하므로 1번 조건이 성립한다.
따라서 noetherian module의 임의의 submodule 또한 noetherian임이 자명하다. 뿐만 아니라 다음이 성립한다.
명제 4 Noetherian \(A\)-module \(M\)에 대하여, 임의의 quotient \(M/N\) 또한 noetherian이다.
증명
\(M/N\)의 임의의 submodule은 \(M\)의 적당한 submodule \(L\)에 대하여 \(L/N\)의 꼴이고, 이제 \(L\)이 finitely generated이며 canonical surjection에 의하여 \(L\)의 generator들이 \(L/N\)을 generate하므로 자명하다.
명제 5 임의의 \(A\)-module \(M\)과 임의의 submodule \(N\)에 대하여, \(M\)이 noetherian인 것과 \(N,M/N\)이 모두 noetherian인 것이 동치이다.
증명
한쪽 방향은 이미 증명하였다. 따라서 \(N, M/N\)이 noetherian이라 가정하고 \(M\)이 noetherian임을 보이면 충분하다. \(M\)의 임의의 submodule \(L\)을 고정하자. 그럼 \(L\)의 \(M/N\)에서의 image \(L/N\)은 finitely generated이며, \(L\cap N\) 또한 \(N\)의 submodul이므로 finitely generated이다. 이제 \(x_1,\ldots, x_m\in L\)을 \(L/N\)으로 보낸 것이 \(L/N\)의 generator가 된다 하고, \(y_1,\ldots, y_n\in L\cap N\)이 \(L\cap N\)의 generator라 하자. 그럼 임의의 \(x\in L\)에 대하여
\[x\equiv \alpha_1x_1+\cdots+\alpha_m x_m\pmod{N}\]이도록 하는 \(\alpha_i\in A\)들이 존재한다. 따라서
\[x-\sum \alpha_i x_i\in L\cap N\]이고, 이를 다시 \(L\cap N\)의 generator를 이용하여 적어주면 원하는 결과를 얻는다.
따라서 다음이 성립한다.
따름정리 6 Ring \(A\)와 두 noetherian \(A\)-module \(M,N\)에 대하여, \(M\oplus N\)은 noetherian \(A\)-module이다.
증명
명제 5를 \(M\oplus N\)과 그 submodule \(M\oplus 0\cong M\)에 대해 적용하면 된다.
[다중선형대수학] 카테고리에서 살펴보았던 finitely generated \(A\)-module의 조건은 다음의 exact sequence
\[A^{\oplus n} \rightarrow M \rightarrow 0\]이 존재한다는 것이고, 이 때 \(A^{\oplus n}\)의 basis의 image \(x_1,\ldots, x_n\)가 \(M\)을 generate하게 된다. 그러나 일반적으로 \(M\)을
\[M=\langle x_1,\ldots, x_n\mid \text{relations on $x_i$}\rangle\]으로 적었을 때, \(x_i\)들에 대한 relation은 무한히 많을 수 있다. 이들 relation은 surjection \(A^{\oplus n} \rightarrow M\)의 kernel에 의해 결정되므로, 다음을 정의한다.
정의 7 \(A\)-module \(M\)이 finitely presented유한표시가군라는 것은 적당한 \(m,n\)이 존재하여 다음의 exact sequence
\[A^{\oplus m} \rightarrow A^{\oplus n} \rightarrow M \rightarrow 0\]이 존재하는 것이다.
일반적으로 finitely presented module은 finitely generated이지만, 그 역은 성립하지 않는다. 하지만 임의의 noetherian ring \(A\)에 대해서는 두 개념이 일치한다. 이는 만일 \(M\)이 finitely generated \(A\)-module이라면, 다음의 exact sequence
\[0\longrightarrow\ker u \longrightarrow A^{\oplus n} \overset{u}{\longrightarrow} M \longrightarrow 0\]를 얻고, 한편 \(A^{\oplus n}\)은 따름정리 6에 의하여 noetherian이며 따라서 그 submodule \(\ker u\)는 finitely generated이다. 이제
\[A^{\oplus m} \rightarrow \ker u \rightarrow 0\]을 생각한 후, 합성 \(A^{\oplus m} \rightarrow \ker \rightarrow A^{\oplus n}\)을 사용하면 다음의 exact sequence
\[A^{\oplus m} \rightarrow A^{\oplus n} \rightarrow M \rightarrow 0\]을 얻는다. 한편 다음을 정의한다.
정의 8 \(A\)-module \(M\)이 coherent module연접가군이라는 것은 \(M\)이 finitely generated이고, 임의의 \(A\)-linear map \(A^{\oplus n} \rightarrow M\)이 주어질 때마다 이 linear map의 kernel이 finitely generated인 것이다.
그럼 다음 명제가 자명하다.
명제 9 Noetherian ring \(A\)와 \(A\)-module \(M\)에 대하여, 다음이 모두 동치이다.
- \(M\)이 finitely generated이다.
- \(M\)이 finitely presented이다.
- \(M\)이 coherent이다.
증명
1번 조건과 2번 조건이 동치인 것은 이미 살펴보았다. 또, 정의에 의해 coherent \(A\)-module은 항상 finitely generated이다. 따라서 \(M\)이 finitely generated인 것을 가정하고 \(M\)이 coherent라는 것을 보이면 충분하다. 이는 임의의 \(A\)-linear map \(A^{\oplus n}\rightarrow M\)이 주어졌을 때, 이 linear map의 kernel은 \(A^{\oplus n}\)의 submodule이고, 여기에 명제 5를 적용하여 얻어진다.
소아이디얼
마지막으로 우리는 [대수적 구조] §분수체, ⁋명제 8에서 정의한 prime ideal의 개념이 필요하다.
정의 10 Ring \(A\)의 ideal \(\mathfrak{p}\subsetneq A\)가 prime ideal이라는 것은, 만일 \(ab\in \mathfrak{p}\)라면 반드시 \(a\in \mathfrak{p}\)이거나 \(b\in \mathfrak{p}\)가 성립하는 것이다.
그럼 우리는 [대수적 구조] §몫환, 환 동형사상, ⁋정리 3의 넷째 결과를 더 다듬어서 다음을 보일 수 있다.
명제 11 Ring \(A\)의 임의의 ideal \(\mathfrak{a}\)에 대하여, \(A/\mathfrak{a}\)의 prime ideal과, \(A\)의 prime ideal 중 \(\mathfrak{a}\)을 포함하는 것들 사이의 일대일대응이 존재한다.
증명
[대수적 구조] §몫환, 환 동형사상, ⁋정리 3의 셋째 결과에 의하여, \(\mathfrak{a}\subseteq \mathfrak{p}\subseteq A\)에 대하여
\[A/\mathfrak{p}\cong \frac{A/\mathfrak{a}}{\mathfrak{p}/\mathfrak{a}}\]이 성립하며, 그 후 [대수적 구조] §분수체, ⁋명제 8의 동치조건을 사용하면 된다.
참고문헌
[Eis] David Eisenbud. Commutative Algebra: with a view toward algebraic geometry. Springer, 1995.
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