우리가 살펴볼 갈루아 이론의 큰 테마를 아주 간단한 예시에서 살펴보자. 가령 \(\mathbb{Q}\)의 degree \(4\) extension \(\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})\)을 생각하면, \(\mathbb{Q}\)로부터 새로 추가되는 원소들인 \(\sqrt{2}\)와 \(\sqrt{3}\)은 각각 유리수계수의 minimal polynomial들
\[\x^2-2,\qquad \x^2-3\]으로부터 나오는 것이다. 그런데 이 두 다항식을 각각 살펴보면, 이들은 각각 두 개의 근 \(\pm \sqrt{2}\), \(\pm\sqrt{3}\)을 가지는 다항식이며 이를 \(\mathbb{Q}\)에서는 대수적인 방식으로 구별할 방법이 없다. 따라서 이들 근을 서로 바꾸는 action (혹은 \(\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})\)의 \(\mathbb{Q}\)-automorphism)을 생각하면, 즉 permutation group \(S_2\times S_2\)를 생각하면 이것은 \(S_4\)의 subgroup이다.
이와 같은 방식으로 우리는 다항식이 주어질 때마다 적절한 Galois group을 정의해줄 수 있고, 이들을 보는 것이 \(\mathbb{Q}\)의 extension들을 분류해줄 수 있다는 것이 갈루아 이론의 철학이다.
그러나 이러한 철학을 바탕으로 생각했을 때, 가령 minimal polynomial이 중근을 갖는다면 permutation action을 정의하기가 상당히 껄끄러워질 것이다. 이는 \(\mathbb{Q}\)에서는 기우이지만, 어떠한 경우에는 이러한 일이 실제로 일어날 수도 있다.
참고 이번 글에서 등장하는 모든 field는 characteristic exponent \(p\)를 갖는다.
\(p\)-제곱근확대체
정의 1 Field extension \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)에 대하여, \(x\in \mathbb{L}\)이 \(p\)-radical이라는 것은 어떠한 \(m\geq 0\)이 존재하여 \(x^{p^m}\in \mathbb{K}\)이도록 할 수 있는 것이다. 이러한 \(m\)들 중 가장 작은 것을 \(x\)의 height라 부른다.
만일 \(p=1\)이라면 위의 정의는 별 의미가 없으며, 이번 글에서 나올 나머지 내용들 또한 마찬가지이다. 즉, 본질적으로 이번 글의 내용은 모두 characteristic \(p\)의 field에 대한 것이라 보아도 된다.
명제 2 Field extension \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)와 \(p\)-radical element \(x\in \mathbb{K}\) of height \(e\)를 고정하자. 그럼 \(a=x^{p^e}\in \mathbb{K}\)에 대하여, \(x\)의 minimal polynomial은
\[\x^{p^e}-a\in \mathbb{K}[\x]\]으로 주어진다. 따라서 \([\mathbb{K}(x):\mathbb{K}]=p^e\)이다.
Frobenius endomorphism \(\Frob_p:\mathbb{K}\rightarrow \mathbb{K}\)의 image를 우리는 \(\mathbb{K}^p\)라 적기로 하였다. \(e\)의 최소성에 의하여 \(a\not\in \mathbb{K}^p\)이므로, 주장은 다음 보조정리의 결과이다.
보조정리 3 Field \(\mathbb{K}\)의 원소 \(a\)가 \(a\not\in \mathbb{K}^p\)를 만족한다 가정하자. 그럼 임의의 \(e\geq 0\)에 대하여, \(f(\x)=\x^{p^e}-a\)는 \(\mathbb{K}[\x]\)의 irreducible polynomial이다.
증명
다음 정의는 정의 1 직후에 왔어도 자연스러웠을 것이다.
정의 4 Field extension \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)가 \(p\)-radical이라는 것은 \(\mathbb{L}\)의 임의의 원소가 \(p\)-radical인 것이다. 만일 \(\mathbb{L}\)의
즉 \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)의 height는 (만일 정의된다면) \(\mathbb{L}\)의 원소들의 height들의 maximum이라 생각할 수 있다. 또, 명제 2에 의하여 임의의 \(p\)-radical extension은 자연스럽게 algebraic extension이다.
만일 Frobenius endomorphism \(\Frob_p:A\rightarrow A\)가 bijection이라면 우리는 \(A\)를 perfect ring이라 불렀다. 따라서 만일 \(\mathbb{K}\)가 perfect field였다면, \(\mathbb{K}^p=\mathbb{K}\)일 것이므로, perfect field의 임의의 \(p\)-radical extension은 자기 자신이어야 한다. 뿐만 아니라, 정의로부터 \(p\)-radical extension들의 합성이 \(p\)-radical임이 자명하다. 다음 명제는 (relative) \(p\)-radical closure의 존재성에 대한 것이다.
명제 5 Field extension \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)를 고정하고, 각각의 \(n\geq 0\)마다
\[\mathbb{L}_n=\{x\in \mathbb{L}\mid\text{$x$ is $p$-radical of height $\leq n$}\}\]으로 정의하자. 그럼 increasing sequence \(\mathbb{L}_n\)들의 union \(\mathbb{L}_\infty\)는 \(\mathbb{K}\)를 포함하는 \(\mathbb{L}\)의 \(p\)-radical subextension 중 가장 큰 것이다.
이에 대한 증명은 본질적으로 자명하다.
앞선 글에서 우리는 임의의 field \(\mathbb{K}\)는 algebraic closure \(\overline{\mathbb{K}}\)를 갖는다는 것을 보았다. 따라서 명제 5에서 \(\mathbb{L}=\overline{\mathbb{K}}\)로 둘 수 있다. 그럼 \(\overline{\mathbb{K}}\)는 perfect field이며, 뿐만 아니라 각각의 \(n\)에 대하여 \(\overline{\mathbb{K}}_n\)은 정확히 \(\mathbb{K}^{p^{-n}}\)과 같음을 안다. 이 상황에서의 (relative) \(p\)-radical closure를 \(\mathbb{K}^{p^{-\infty}}\)라 적자. 이는 정확히 §체, ⁋정리 15와 같은 것이다. 만일 \(\mathbb{K}\)가 imperfect라면, 즉 \(\mathbb{K}\neq \mathbb{K}^p\)라면 위의 ascending sequence는 strictly increasing이며, 따라서 \(\mathbb{K}^{p^{-\infty}}/\mathbb{K}\)는 infinite degree의 extension이 된다.
한편 다음이 성립한다.
명제 6 Field extension \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)이 \(p\)-radical extension이라 하고, \(\mathbb{K}\)에서 어떠한 perfect field \(\mathbb{F}\)로의 homomorphism \(u\)가 주어졌다 하자. 그럼 \(u\)를 확장하는 유일한 homomorphism \(v:\mathbb{L} \rightarrow \mathbb{F}\)이 존재한다.
따라서 다음이 성립한다.
따름정리 7 Field extension \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)가 \(\mathbb{K}\)의 perfect closure일 필요충분조건은 \(\mathbb{L}\)이 \(\mathbb{K}\)의 \(p\)-radical extension이고 \(\mathbb{L}\)이 perfect field인 것이다.
명제 8
이 글을 서두에서 언급한 반례를 소개하며 마치기로 한다.
예시 9 Field \(\mathbb{K}=\mathbb{F}_p(t)\)를 생각하자. 그럼 다항식 \(u(\x)=\x^p-t\in \mathbb{K}[\x]\)을 생각하고, 이를 통해 \(p\)-radical extension \(\mathbb{L}=\mathbb{K}[\x]/(\x^p-t)\)을 생각할 수 있다. 그럼 \(\mathbb{L}\)에서의 \(u(\x)=0\)의 근 \(\alpha\)에 대한 minimal polynomial이 \(u(\x)\)여야 하고 (명제 2), 이를 미분하면 \(Du=p\x^{p-1}=0\)이므로 [환론] §다항식환, ⁋명제 11에 의하여 \(\alpha\)는 \(u\)의 중근임을 안다. 실은 §체, ⁋정리 10에 의해 \((\x-\alpha)^p=\x^p-\alpha^p=\x^p-t\)이므로 \(\alpha\)는 multiplicity \(p\)를 갖는다.
이제 다음 글과 그 다음 글에서는 이러한 경우를 어떻게 논의의 대상에서 제외시키는지 살펴본다.
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