당분간 우리는 group의 성질들을 탐구한다.
군 준동형사상의 기본 성질들
§준군, 모노이드, 군, ⁋정의 10 이후에 우리는 두 group $G,G’$ 사이의 임의의 magma homomorphism은 모두 group의 구조를 보존하는 것을 확인했다. 따라서 group homomorphism을 간단히 homomorphism이라 부르더라도 혼동의 여지가 없으므로, 이들을 구분할 필요가 없을 때에는 항상 간단한 이름으로 부르기로 한다.
한편 §대수적 구조, ⁋정의 6으로부터 (group) isomorphism 또한 정의할 수 있는데, 이 정의와 [집합론] §함수들 사이의 연산, ⁋명제 4로부터 임의의 isomorphism은 반드시 전단사함수여야 함이 자명하다. 많은 경우에는 그 역 또한 성립한다.
명제 2 임의의 magma homomorphism $f:A\rightarrow A’$가 isomorphism인 것은 $f$가 전단사인 것과 동치이다.
만일 $A$가 항등원 $e$를 갖고, $f:A\rightarrow A’$가 전단사함수라면 $f(e)$는 $A’$의 항등원이며, 따라서 $f^{-1}$은 $A’$의 항등원을 $A$의 항등원으로 보내는 magma homomorphism이다.
증명
반대쪽 방향만 보이면 충분하다. $f$는 전단사이므로, 함수로써 역함수 $f^{-1}:G’\rightarrow G$가 존재한다. 만일 $f^{-1}$이 homomorphism이기만 하다면, 정의에 의해 $f$는 isomorphism이 될 것이다.
임의의 $y, y’\in A’$를 택하자. 그럼 $f$는 전단사이므로, 적당한 $x$, $x’$가 유일하게 존재하여 $f(x)=y$이고 $f(x’)=y’$이다. 이제
\[f^{-1}(yy')=f^{-1}(f(x)f(x'))=f^{-1}(f(xx'))=xx'=f^{-1}(y)f^{-1}(y')\]이므로, $f^{-1}$은 homomorphism이고 따라서 $f$는 isomorphism이다.
한편 $f:A\rightarrow A’$가 전단사함수라면, 임의의 $y\in A’$에 대하여 $f(x)=y$를 만족하는 유일한 $x\in A$가 존재한다. 이제
\[y=f(x)=f(xe)=f(x)f(e),\qquad y=f(x)=f(ex)=f(e)f(x)\]이므로 $f(e)$는 $A’$의 항등원이다.
준동형사상의 kernel과 image
앞서 우리는 임의의 magma homomorphism $f:A\rightarrow A’$이 주어졌을 때, 그 image $\im f$이 $A’$의 부분마그마가 되는 것을 확인했다. 일반적으로 group의 부분마그마는 subgroup일 필요가 없으므로, 다음의 명제는 별도로 증명해야 한다.
명제 3 임의의 homomorphism $f:G\rightarrow G’$에 대하여, $\im f$는 $G’$의 subgroup이다.
증명
$\im f$가 $G’$의 부분마그마인 것은 이미 알고 있으므로, §준군, 모노이드, 군, ⁋명제 12를 이용하면 $\im f$가 역원을 취하는 것에 대해 닫혀있음만 보이면 된다. $y\in\im f$라 하고, $x\in G$가 $f(x)=y$를 만족한다 하자. 그럼
\[f(x^{-1})=f(x)^{-1}=y^{-1}\]로부터 $y^{-1}\in\im f$임을 안다.
앞서 언급한 것과 같이 group homomorphism $f:G\rightarrow G’$은 정의역과 공역이 모두 group이라는 것만 제외하면 magma homomorphism과 크게 다를 것이 없다. 그러나 이 작은 차이가 group homomorphism에 흥미로운 구조를 많이 주게 된다. 가령 $f$가 단사함수라는 것은 다음과 같이 표현할 수 있다.
명제 4 Homomorphism $f:G\rightarrow G’$가 단사함수인 것은 $f^{-1}(e’)=\{e\}$인 것과 동치이다.
증명
$f$가 단사함수라면 $f^{-1}(e’)=\{e\}$여야 하는 것은 자명하다.
거꾸로 $f^{-1}(e’)=\{e\}$가 성립한다 가정하자. $f(x)=f(y)$를 만족하는 $x,y\in G$가 주어졌다 하면,
\[e'=f(x)f(y)^{-1}=f(xy^{-1})\]이며, 가정에 의해 $xy^{-1}=e$이다. 이로부터 $x=y$임을 안다.
임의의 homomorphism $f:G\rightarrow G’$에 대하여, 위의 집합 $f^{-1}(e’)$는 $f$가 단사함수로부터 얼마나 멀리 떨어져 있는지를 보여준다. 이 집합을 다음과 같이 부른다.
정의 5 Homomorphism $f:G\rightarrow G’$의 kernel핵을 집합 $f^{-1}(e’)$으로 정의하고, $\ker f$로 적는다.
그럼 $f^{-1}(e’)$는 단순한 집합일 뿐만 아니라, $G$의 subgroup이 된다.
명제 6 임의의 homomorphism $f:G\rightarrow G’$에 대하여, $\ker f$는 $G$의 subgroup이다.
증명
임의의 $a,b\in \ker f$에 대하여,
\[f(ab^{-1})=f(a)f(b)^{-1}=e'(e')^{-1}=e'\]이므로 $ab^{-1}\in\ker f$가 성립한다.
참고문헌
[Bou] Bourbaki, N. Algebra I. Elements of Mathematics. Springer. 1998.
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