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Grad. student in mathematics

당분간 우리는 group의 성질들을 탐구한다. 따라서 group들 사이의 group homomorphism도 간단히 homomorphism이라고만 칭하기로 한다.

§대수적 구조, ⁋정의 6으로부터 (group) isomorphism 또한 정의할 수 있는데, 이 정의와 [집합론] §함수들 사이의 연산, ⁋명제 4로부터 임의의 isomorphism은 반드시 전단사함수여야 함이 자명하다. 많은 경우에는 그 역 또한 성립한다.

명제 1 임의의 magma homomorphism f:A→A′f:A\rightarrow A’가 isomorphism인 것은 ff가 전단사인 것과 동치이다.

만일 AA가 항등원 ee를 갖고, f:A→A′f:A\rightarrow A’가 전단사함수라면 f(e)f(e)는 A′A’의 항등원이며, 따라서 f−1f^{-1}은 A′A’의 항등원을 AA의 항등원으로 보내는 magma homomorphism이다.

증명

반대쪽 방향만 보이면 충분하다. ff는 전단사이므로, 함수로써 역함수 f−1:G′→Gf^{-1}:G’\rightarrow G가 존재한다. 만일 f−1f^{-1}이 homomorphism이기만 하다면, 정의에 의해 ff는 isomorphism이 될 것이다.

임의의 y,y′∈A′y, y’\in A’를 택하자. 그럼 ff는 전단사이므로, 적당한 xx, x′x’가 유일하게 존재하여 f(x)=yf(x)=y이고 f(x′)=y′f(x’)=y’이다. 이제

f−1(yy′)=f−1(f(x)f(x′))=f−1(f(xx′))=xx′=f−1(y)f−1(y′)f^{-1}(yy')=f^{-1}(f(x)f(x'))=f^{-1}(f(xx'))=xx'=f^{-1}(y)f^{-1}(y')

이므로, f−1f^{-1}은 homomorphism이고 따라서 ff는 isomorphism이다.

한편 f:A→A′f:A\rightarrow A’가 전단사함수라면, 임의의 y∈A′y\in A’에 대하여 f(x)=yf(x)=y를 만족하는 유일한 x∈Ax\in A가 존재한다. 이제

y=f(x)=f(xe)=f(x)f(e),y=f(x)=f(ex)=f(e)f(x)y=f(x)=f(xe)=f(x)f(e),\qquad y=f(x)=f(ex)=f(e)f(x)

이므로 f(e)f(e)는 A′A’의 항등원이다.

준동형사상의 equalizerPermalink

다음이 성립한다.

명제 2 Group homomorphism f,g:G→Hf,g:G \rightarrow H가 주어졌다 하자. 그럼

Eq⁡(f,g)={x∈G∣f(x)=g(x)}\Eq(f,g)=\{x\in G\mid f(x)=g(x)\}

은 GG의 subgroup이다.

증명

만일 x,y∈Eq⁡(f,g)x,y\in \Eq(f,g)라면,

f(xy−1)=f(x)f(y)−1=g(x)g(y)−1=g(xy−1)f(xy^{-1})=f(x)f(y)^{-1}=g(x)g(y)^{-1}=g(xy^{-1})

이므로 xy−1∈Eq⁡(f,g)xy^{-1}\in\Eq(f,g)이다. 따라서 §반군, 모노이드, 군, ⁋명제 15에 의해 원하는 결과를 얻는다.

이렇게 정의한 i:Eq⁡(f,g)→Gi:\Eq(f,g)\rightarrow G는 다음과 같은 성질을 가진다.

만일 group homomorphism j:G′→Gj:G’ \rightarrow G가 f∘j=g∘jf\circ j=g\circ j를 만족한다면, 유일한 homomorphism j′:G′→Gj’: G’ \rightarrow G가 존재하여 i∘j′=ji\circ j’=j이다.

이는 정의에 의해 jj의 image가 Eq⁡(f,g)\Eq(f,g)에 포함되기 때문이다. 따라서 Grp\Grp의 임의의 morphism은 equalizer를 갖는다. ([범주론] §극한, ⁋예시 7) 사실 Grp\Grp의 임의의 morphism은 coequalizer 또한 갖지만, 이를 정의하기 위해서는 normal subgroup과 quotient group을 먼저 정의해야 한다.

준동형사상의 kernel과 imagePermalink

Group {e}\{e\}는 category Grp\Grp의 zero object이다. 따라서 임의의 group G,HG,H에 대하여 zero map e:G→He:G \rightarrow H가 합성 G→{e}→HG\rightarrow\{e\}\rightarrow H로 정의된다.

한편, group homomorphism ff가 단사함수라는 것은 다음과 같이 표현할 수 있다.

명제 3 Homomorphism f:G→G′f:G\rightarrow G’가 단사함수인 것은 f−1(e′)={e}f^{-1}(e’)=\{e\}인 것과 동치이다.

증명

ff가 단사함수라면 f−1(e′)={e}f^{-1}(e’)=\{e\}여야 하는 것은 자명하다.

거꾸로 f−1(e′)={e}f^{-1}(e’)=\{e\}가 성립한다 가정하자. f(x)=f(y)f(x)=f(y)를 만족하는 x,y∈Gx,y\in G가 주어졌다 하면,

e′=f(x)f(y)−1=f(xy−1)e'=f(x)f(y)^{-1}=f(xy^{-1})

이며, 가정에 의해 xy−1=exy^{-1}=e이다. 이로부터 x=yx=y임을 안다.

임의의 homomorphism f:G→G′f:G\rightarrow G’에 대하여, 위의 집합 f−1(e′)f^{-1}(e’)는 ff가 단사함수로부터 얼마나 멀리 떨어져 있는지를 보여준다. 이 집합을 다음과 같이 부른다.

정의 4 Homomorphism f:G→G′f:G\rightarrow G’의 kernel핵을 집합 f−1(e′)f^{-1}(e’)으로 정의하고, ker⁡f\ker f로 적는다.

그럼 f−1(e′)f^{-1}(e’)는 단순한 집합일 뿐만 아니라, GG의 subgroup이 된다.

명제 5 임의의 homomorphism f:G→G′f:G\rightarrow G’에 대하여, ker⁡f\ker f는 GG의 subgroup이다.

증명

정의에 의해 ker⁡f=Eq⁡(f,e)\ker f=\Eq(f,e)이다.

한편, 우리는 임의의 magma homomorphism f:A→A′f:A\rightarrow A’이 주어졌을 때, 그 image im⁡f\im f이 A′A’의 부분마그마가 되는 것을 확인했다. (§대수적 구조, ⁋정의 8 이전의 계산) 그러나 일반적으로 group의 부분마그마는 subgroup일 필요가 없으므로, 다음의 명제는 별도로 증명해야 한다.

명제 6 임의의 homomorphism f:G→G′f:G\rightarrow G’에 대하여, im⁡f\im f는 G′G’의 subgroup이다.

증명

im⁡f\im f가 G′G’의 부분마그마인 것은 이미 알고 있으므로, §반군, 모노이드, 군, ⁋명제 15를 이용하면 im⁡f\im f가 역원을 취하는 것에 대해 닫혀있음만 보이면 된다. y∈im⁡fy\in\im f라 하고, x∈Gx\in G가 f(x)=yf(x)=y를 만족한다 하자. 그럼

f(x−1)=f(x)−1=y−1f(x^{-1})=f(x)^{-1}=y^{-1}

로부터 y−1∈im⁡fy^{-1}\in\im f임을 안다.

참고문헌

[Bou] Bourbaki, N. Algebra I. Elements of Mathematics. Springer. 1998.

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